Luận văn sư phạm Các phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

Các ph ng pháp gi i tích.. Các ph ng pháp s.. Ph ng pháp Euler.. Ph ng pháp Runge Kutta.. Sau này vi n s Krylov Nga đã có công hoàn thi n ph ng pháp Adams... Dùng thu t toán MapleV gi i

L I C M N

hoàn thành khoá lu n t t nghi p em đã nh n đ c s dìu d t, ch b o

và t o đi u ki n giúp đ c a các th y cô trong khoa Toán nói chung và trong

t Gi i tích nói riêng, đ c bi t là s h ng d n, ch b o và giúp đ h t s c t n

tình c a th y giáo TS.Khu t V n Ninh

Qua đây, em xin bày t l i c m n chân thành t i th y giáo TS.Khu t

V n Ninh Em xin g i l i c m n sâu s c t i các th y cô giáo trong t Gi i

tích, các th y cô giáo trong khoa Toán, c m n gia đình, b n bè và các b n sinh viên quan tâm và đóng góp ý ki n cho đ tài c a em

M C L C

L I C M N 1

L I CAM OAN 2

L I NÓI U 5

N I DUNG KHOÁ LU N 7

Ch ng 1: Ki n th c c s 7

I Các khái ni m 7

1 S g n đúng 7

2 Sai s 7

3 Sai phân 8

II Khái quát v ph ng trình vi phân 8

1 M t s khái ni m 8

2 Bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th ng c p 1 8

3 Bài toán Cauchy đ i v i h ph ng trình vi phân th ng c p 1 10 4 i u ki n Lipschitz 10

Ch ong 2: Các ph ng pháp gi i g n đúng bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th ng 11

I Các ph ng pháp gi i tích 11

1 Ph ng pháp l p đ n 11

2 Ph ng pháp x p x liên ti p Picard 13

3 Ph ng pháp chu i s nguyên 15

II Các ph ng pháp s 16

1 Ph ng pháp Euler 16

2 Ph ng pháp Euler Cauchy 18 3 Ph ng pháp Runge Kutta 20 4 Ph ng pháp Adams 25

1 ng d ng c a ch ng trình MapleV 29

2 ng d ng c a ngôn ng l p trình Pascal 30

Ch ng 3: Các bài t p ng d ng 38

I Các bài t p ng d ng c a các ph ng pháp gi i tích 38

II Các bài t p ng d ng c a các ph ng pháp s 45

K T LU N 53 TÀI LI U THAM KH O 54

L I NÓI U

Th k XXI là th k bùng n c a công ngh thông tin, ng d ng c a công ngh thông tin có đóng góp to l n và hi u qu trong m i m t c a đ i

s ng Và c ng t r t lâu tin h c đã đ c ng d ng vào trong môn Toán Có

nh ng s li u tính toán quá c ng k nh và nh ng bài toán ph c t p chúng ta không th gi i b ng tay đ c nh ng n u dùng các l p trình trên máy vi tính thì chúng ta có k t qu r t nhanh g n và chính xác

Các b n sinh viên đã đ c h c môn ph ng trình vi phân t kì II n m

th ba, vì th các b n đã r t quen thu c v i d ng toán tìm nghi m đúng c a bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th ng Th nh ng có nhi u

tr ng h p nghi m đúng c a các ph ng trình vi phân không th tìm đ c

B i v y đ tìm nghi m c a chúng, ta ph i áp d ng các ph ng pháp g n đúng khác nhau m i ph ng pháp chúng ta có th dùng l p trình Pascal hay s

d ng thu t toán MapleV đ gi i các bài toán này

V i mong mu n h c h i tích lu thêm cho mình nh ng k n ng và kinh nghi m khi ti p c n v i ng d ng c a công ngh thông tin váo vi c gi i toán

đ ng th i đ hi u sâu h n v ph ng trình vi phân em m nh d n ch n đ tài

là: “Các ph ng pháp gi i bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân

Ch ng 2: Các ph ng pháp gi i g n đúng bƠi toán Cauchy đ i

M c dù đã có nhi u c g ng song do th i gian có h n và đi u ki n

nghiên c u còn h n ch đ ng th i ki n th c c a b n thân ng i làm khoá lu n

còn ch a v ng nên khoá lu n không tránh kh i nh ng thi u sót, em r t mong

nh n đ c s quan tâm góp ý c a các th y cô giáo, các b n sinh viên c ng

nh các b n đ c quan tâm đ n v n đ này đ khoá lu n đ c hoàn thi n h n

Hà N i 18/5/2009

Sinh viên:

Ph m Th Hoa

đã gi i ra đ o hàm

b) Ph ng trình vi phân c p n:

Ph ng trình vi phân c p n có d ng t ng quát F x y y( , , ', ,y( )n ) (b) 0Hàm F xác đ nh trong m t mi n G nào đ y c a không gian n  2

฀ Trong

ph ng trình (b) có th v ng m t s bi n x y y, , ', ,y(n1)nh ng y( )n nh t thi t

ph i có m t N u t (b) ta gi i ra đ c đ o hàm c p cao nh t, t c là ph ng trình (b) có d ng: y( )n  f x y y( , , ', ,y(n1))thf ta đ c ph ng trình vi phân

c p n đã gi i ra đ i v i đ o hàm c p cao nh t

2 BƠi toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phơn th ng c p 1

Xét bài toán

 t x,  R  0,T x0r x, 0  rTrong đó x t( ) là hàm m t bi n xác đ nh trên  0,T v i  0,T cho

tr c, hàm f t x( , ) và x 0 cho tr c đ c g i là bài toán Cauchy đ i v i

ph ng trình vi phân th ng c p 1, đi u ki n (2) đ c g i là đi u ki n Cauchy hay đi u ki n ban đ u

c) nh lý (đ nh lý t n t i và duy nh t nghi m)

Xét bài toán (1-2),  t x,  R  0,T x0 r x, 0  r

Hàm f t x( , ) xác đ nh trong R r( 0 c đ nh) tho mãn 2 đi u ki n :

a f t x( , ) liên t c trên R và do R đóng và b ch n cho nên

b f t x( , ) tho mãn đi u ki n Lipchitz

là h ng s thì t n t i duy nh t nghi m

( )

x t c a bài toán (1-2) xác đ nh trên [0,T]

3 B Ơi toán Cauchy v i h hai ph ng trình vi phân:

4 i u ki n Lipschitz

Ta nói r ng trong mi n G hàm f x y( , ) tho mãn đi u ki n Lipschitz

theo bi n y n u t n t i h ng s L > 0 sao cho đ i v i hai di m  x y  G, ,

 x y  , G b t kì, ta có b t đ ng th c

Gi s hàm f x y( , ) liên t c trong R và trên đó tho mãn đi u ki n Lipschitz theo bi n th hai

2 2

G G

'( , ) max 2 1

G G

*) Tìm nghi m c a bài toán Cauchy (1-2) là ph ng pháp x p

x liên ti p G s các đi u ki n t n t i duy nh t nghi m đ c tho mãn Vi c

gi i bài toán t ng đ ng v i vi c tìm nghi m c a ph ng trình tích phân sau:

y x( )= +

Vì n y x( ) tham gia vào d i d u tích phân nên g i (1.1) là ph ng trình tích phân

*) N i dung c a ph ng pháp:Thay cho vi c tìm nghi m đúng

c a (1.1) ta tìm nghi m g n đúng th n theo công th c quy n p:

( đ n gi n) g i nghi m g n đúng đ u tiên là ,

(Theo lý thuy t ph ng trình vi phân): N u f x y( , ) xác đ nh liên t c trong G: đ ng th i tho mãn đi u ki n Lipschitz

theo bi n y thì quá trinh x p x liên ti p (1.2) h i t đ u v nghi m duy nh t

c a nghi m (1.1) trong đo n h = min (a, ) trong đó:

D th y hàm s ' 2

y  y  tho mãn đ nh lý v s t n t i và duy nh t xnghi m trên toàn m t ph ng

y x =0; 0( )

y x1( ) y x0( )+ 0 2

1( , ( ))

Gi s hàm f x y( , ) v ph i c a (1) là gi i tích trong lân c n đi m

( ) ngh a là f x y( , ) khai tri n đ c thành chu i nguyên:

h i t trong lân c n đó V i gi thi t đó bài toán Cauchy (1-2 ) là gi i tích

trong lân c n đ bé c a đi m và có th bi u di n d i d ng chu i Taylor:

( )

y x =

( ) 0 0

L y đ o hàm các c p c 2 v (1) r i th x= vào ta đ c l n l t các giá tr ( ), (k=0, 1, ,…

12

''' 3 ' " ( ') ;(1) 6;

xy

Chia đo n  a b , thành các đo n nh b i các đi m chia x i (i=0, 1, …, N)

sao cho: a x0   x1 xN  b

Gi s hàm f x y( , ) có các đ o hàm riêng b c m liên t c trên

   0 

R= a,b  y Y m, , ฀

+) V i xiđ g n x 0 đ tính đ c giá tr g n đúng c a nghi m bài toán

(1-2) t i đi m x ta s d ng công th c tính ci a ph ng pháp chu i hàm

nguyên trong nhóm các ph ng pháp gi i tích đã trình bày m c tr c nh

sau:

( ) 0 1

( )( )

( , ), 0,1, , 1

kh c ph c nh c đi m này chúng ta s d ng ph ng pháp Euler-Cauchy S

đ tính toán c a ph ng pháp này nh sau:

* 1

0,4 0,6 0,8 1,0

1,3566 1,4993 1,6180 1,7569

0,0767 0,0699 0,0651 0,0618

0,1617 0,1454 0,1341 0,1263

1,1832 1,3416 1,4832 1,6125 1,7325

không chú ý t i s thay đ i c a đ o hàm trong kho ng x xi, i1 t đó ta th y

r ng n u hàm f x y( , ) thay đ i nhi u và không tuy n tính thì sai s m c ph i

s l n Ph ng pháp áp d ng công th c Euler-Cauchy s kh c ph c nh c

đi m này.

a) N i dung ph ng pháp

Xét bài toán Cauchy (1 - 2) ta chia đo n  a b , thành các đo n nh b i

các đi m chia x i (i=0, 1, …, N) sao cho: a x0   x1 xN  b trong đó

4 3

3

( )( )

24

R h   h

4 Tr ng h p r=4

M t trong các công th c thông d ng nh t ng v i tr ng h p này là:

h



0

x2

2

K

y 

(0) 2 0

K

(0) 2

K

(0) 3

K

(0) 4

K

(0) 1

K

(0) 2

2K

(0) 3

2K

(0) 4

1 1,145238

0,1 0,114524

0,1 0,229048

1,05

1,1

0,057262 0,115907

1,159071 1,310740

0,115907 0,131074

0,231814 0,131074 0,115323

1,309678 1,464447 1,477805 1,638523

0,130968 0,146445 0,147791 0,163852

0,130968 0,292889 0,295581 0,163852 0,147215

1,637563 1,801066 1,814146 1,983005

0,163756 0,180107 0,181415 0,198301

0,163756 0,360213 0,362829 0,198301 0,180805

1,982135 2,153696 2,166404 2,42897

0,198214 0,215370 0,216604 0,234290

0,198214 0,430739 0,443281 0,234290 0,216087

4 1,4 0,659475 2,342107 0,234211 0,234211

1,45

1,45

1,50

0,776580 0,785532 0,912824

2,521146 2,533493 2,717099

0,252115 0,253349 0,271710

0,504229 0,506700 0,271711 0,252808

a) N i dung ph ng pháp

N m 1855, nhà toán h c ng i Anh Adams đ xu t m t ph ng pháp đa

b c gi i bài toán Cauchy theo yêu c u c a ông Bashforth, m t chuyên gia k

th t pháo binh Anh K t qu c a Adams sau này b quên lãng Mãi đ n đ u

th k XX, nhà toán h c Na Uy Stermer trong khi tính qu đ o các h t tích

đi n r i xa m t tr i v i v n t c l n, đã phát minh l i công th c Adams Sau này vi n s Krylov (Nga) đã có công hoàn thi n ph ng pháp Adams

T t ng chung c a ph ng pháp Adams nh sau:

Xét bài toán Cauchy (1-2), ta chia đo n ta chia đo n  a b , thành các đo n

nh b i các đi m chia x i (i=0, 1, …, N) sao cho: ax0   x1 xN  btrong đó hxi1 xi

Áp d ng công th c n i suy Newton lùi cho ' '

Thay (13) vào (12) ta đ c công th c:

i n i q i



 , (14) trong đó a =1; 0 ai =

1 0

th c (15) đ n s h ng th 5)

2 n

y 

1 n

 

2 n

 

1 n

 



2 n

 



1 n

 

n





… 2 3 n

 



2 2 n

 



… 3 3 n

 



Công th c (15) g i là công th c ngo i suy Adams Công th c (15’) g i

là công th c ngo i suy Adams-Bashforth 4 b c

Bây gi ta xét công th c n i suy Newton lùi (13) nh ng đi m ban đ u

Công th c (16) g i là công th c n i suy Adams Công th c (16’) g i là công th c n i suy Adams-Bashforth 3 b c

Trong công th c (16) giá tr yn1 tham gia vào v ph i b t đ u t s

h ng th 2 chúng ta có m t ph ng trình đ tìm giá tr này Trong th c t

ng i ta s d ng cách sau:

Theo công th c (15) tính yn1 (th ng thì giá tr yn1 đ c tiên đoán), sau đó giá tr này s d ng vào v ph i c a công th c (16) đ tìm *

1 n

y , giá tr

*

1

n

y s l i đ c chính xác hoá đ n khi c n thi t

b) Ví d : Gi i bài toán sau b ng ph ng pháp Euler

0,100000 0,1309678 0,1637563 0,1982135 0,2342107 0,2716377

0,3103994 0,31978 0,3504099 0,3504086

[ > with (DEtools);

b) Bài t p(ph n bài t p này đ a ra m c đích đ tìm ngh m đúng

c a các ph ng trình vi phân ph c v cho bài t p gi i ph ng trình vi phân

b ng ph ong pháp Euler và ph ng pháp Euler-Cauchy d i đây)

Dùng thu t toán MapleV gi i các ph ng trình vi phân sau:

diff_eq1 := D(y)(x) = y + (1 + x) y

[> init_con:=y(1)=-1; {l nh này đ nh p đi u ki n ban đ u}

Sau khi n phím enter trên màn hình xu t hi n: init_con := y(1)1

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

var f:real;

begin f:=(x*y)/2; ham:=f;

end;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

writeln;

end;

var xo, yo:real;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

end;

begin textbackground(white); textcolor(black);clrscr;

write('nhap khoang xac dinh cua x: ');

y2:=1.00882780; {cac gia tri y1,2,3 duoc lay tu chuong trinh Kutta}

)112(1))(,





 y x f s y s dsx

y

0

1 0

4 5 6

7 8

10

)123

415

269

45

215

42512(1

23590

2663

420135

4275

3 4

5 6 7

8 9

sss

sss

sss

5 6 7

8 9 11

3

23590

2663

420135

4275

Khi k thay đ i ta th y giá tr h s d t c c d i v i k=1 =>h=

V y quá trình xáp x liên ti p đ tìm nghi m c a (1.5) h i t ít nh t là trong đo n V i ta c ng có (vì k=1) H ng s Lipschitz k dây đ c đánh giá nh sau:

d) y’=y2

+2x; y(0)=0;

Ta th y r ng hàm s 2

f x y  y  x trên toàn m t ph ng và tho mãn

đi u ki n Lipschitz theo bi n y

Bài 1 B ng ph ng pháp Euler gi i các bài toán Cauchy sau:

a) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5

b) y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05

c) y'x2 y 2; ( 1)y  3;h0,1;a 1;b 0

H ng d n

Thay d li u t ng ng v i m i ph n vào trong l p trình m c III ch ng

2 ta có các b ng sau:

a) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5

b) y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05

c) y'x2  y 2; ( 1)y  3;h0,1;a 1;b 0

Bài 2 B ng ph ng pháp Euler c i ti n tìm nghiêm g n đúng c a các bài toán sau:

a) y’=y+(1+x) , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5

b)y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05

c) y'x2 y 2; ( 1)y  3;h0,1;a 1;b 0

H ng d n

Thay d li u t ng ng v i m i ph n vào trong l p trình m c III

ch ng 2 ta có các b ng sau:

a) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5

b) y’= ,y(0)=e, a=0, b=0,5, h=0,05

c) y'x2  y 2; ( 1)y  3;h0,1;a 1;b 0

Bài 3 B ng ph ng pháp Runge-Cutta tìm nghi m g n đúng c a các bài toán sau

a)y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1]

b)y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5

c)y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3

d)y’=y+(1+x) , y(1)=-1, h=0,1, a=1, b=1,5

e)y’ ycosx+sinxcosx; y(0) 1, h=0,1, a=0, b=1

H ng d n

Thay d li u t ng ng v i m i ph n vào trong l p trình m c III ch ng

2 ta có các b ng sau:

a) y’= siny +cosy; y(0)=0; h=0,2; x[0,1]

d) y’=y+(1+x) , y(1) 1, h=0,1, a=1, b=1,5

b) y’= , y(1)=0, h+0,1, a=1, b=1,5

c) y’= , y(0)=2, h=0,05, a=0, b=0,3

d) y’=y+(1+x) , y(0) 1, h=0,1, a=1; b=1,5

e) y’ ycosx+sinxcosx; y(0) 1, h=0,1

d) y’=y+(1+x) , y(0) 1, h=0,1, a=1; b=1,5

K T LU N

Gi i g n đúng bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình vi phân th ng là

d ng toán khá ph c t p, do đó vi c nghiên c u và tìm hi u m t cách sâu s c không h đ n gi n Do nh ng đi u ki n nghiên c u còn h n ch nên trong khoá lu n không đ a đ c t t c các ph ng pháp đ gi i bài toán Cauchy đ i

v i ph ng trình vi phân th ng và vi c đ a ng d ng c a tin h c vào gi i các bài toán ch a đ c hoàn thi n Song trong n i dung khoá lu n v n đ a ra

đ c các ph ng pháp c b n và quan tr ng nh t và đã dùng ngôn ng Pascal

đ l p trình k t h p v i ch ng trình MapleV đ gi i bài toán này

Do ki n th c c a b n thân ng i làm khoá lu n còn h n ch đ ng th i

ch a có kinh nghi m trong nghiên c u đ tài khoa h c nên không tránh kh i

nh ng thi u sót Em hy v ng s nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a các

th y cô giáo và các b n sinh viên đ nâng cao thêm ch t l ng c a khoá lu n

Em mong r ng đ tài s ti p t c đ c m i ng i quan tâm và hoàn thi n

h n

Em xin chân thành c m n!

TÀI LI U THAM KH O

1. Ph m K Anh(2005), “Gi i tích s ”, NXB HQG Hà N i(Tái b n l n

th 7)

2 Nguy n Minh Ch ng-Nguy n V n Kh i-Khu t V n Ninh-Nguy n v n

Tu n-Nguy n T ng(2001), “Gi i tích s ”, NXB Giáo D c

3. Ph m Huy i n(2002), “Tính toán, l p trình và gi ng d y toán h c trên

Maple”, NXB Khoa H c và K Thu t

4. Nguy n Th Hoàn-Ph m Phu, “C s ph ng trình vi phân và lý thuy t

n đ nh”, NXB Giáo D c