Luận văn sư phạm Biến đổi Fourier, hàm suy rộng và toán tử giả vi phân

Không gian đ nh chu n, không gian banach .... Không gian đ nh chu n, không gian Banach .... Không gian Hilbert ..... Toán t trong không gian .... Nhân Schwartz và tích phân đ ng .... Khô

L i c m n!

Em xin chân thành c m n các th y cô giáo trong khoa toán đã giúp đ

em trong th i gian v a qua c bi t em xin đ c bày t lòng bi t n chân

thành và xâu s c nh t t i th y giáo, Ti n s Bùi Kiên C ng đã t n tình

h ng d n, nghiêm kh c đ em hoàn thành t t khoá lu n và trong su t quá

Khoá lu n t t nghi p

M c l c

Trang

M c l c 1

M đ u 3

1 Lý do ch n đ tài 3

2 M c đích nghiên c u 3

3 Nhi m v nghiên c u 3

4 Ph ng pháp nghiên c u 3

5 C u trúc lu n v n 4

Kí hi u 5

Ch ng 1 Các ki n th c chu n b 1.1 Không gian đ nh chu n, không gian banach 6

1 Không gian đ nh chu n, không gian Banach 6

2 Toán t tuy n tính 7

3 Không gian liên h p 8

1.2 Không gian Hilbert 9

1.3 Không gian L p   , 1   11p  1 Không gian L 1  11

2 Không gian L p  (1 p  ) 12

3 Không gian L  13

4 Tích ch p 13

1.4 Không gian Schwartz - S ฀ n 18

1 Không gian Schwartz  n S ฀ 18

2 S h i t trong không gian S ฀ n 21

1.5 o hàm suy r ng ( h.s.r) 23

1 o hàm suy r ng 23

2 Tính ch t c a đ o hàm suy r ng 23

Ch ng 2 bi n đ i Fourier

Khoá lu n t t nghi p

2.1 Phép bi n đ i Fourier trong 1 ฀ n

L ( ) 27

1 nh ngh a và ví d 27

2 Các tính ch t 28

2.2 Phép bi n đ i Fourier trong   ฀ n S 33

1 nh ngh a và ví d 33

2 Các tính ch t 34

3 Bi n đ i Fourier ng c 38

2.3 Bi n đ i Fourier trong không gian 2  n L ฀ 43

1 nh ngh a 43

2 Các tính ch t 43

Ch ng 3 Không gian các hàm suy r ng 3.1 nh ngh a và ví d 46

3.2 Toán t trong không gian 50

các hàm suy r ng 50

3.3 Giá c a hàm suy r ng 53

3.4 Bi n đ i Fourier trong  n S ฀ 55

Ch ng 4 Toán t gi vi phân 4.1 Bi u tr ng 60

4.2 Toán t gi vi phân 65

1 nh ngh a và ví d 65

2 Các tính ch t 66

4.3 Nhân Schwartz và tích phân đ ng 70

1 Nhân Schwartz 70

2 Tích phân đ ng 72

Ch ng 5 nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng 1 Ph ng trình đ o hàm riêng v i h s h ng 78

2 Ph ng trình không d ng v i h s h ng 82

3 Ph ng trình đ o hàm riêng (gi ) eliptic 84

K t lu n 89

Tài li u tham kh o 90

Khoá lu n t t nghi p

M đ u

1 Lý do ch n đ tài

Lý thuy t hàm suy r ng và xây d ng các không gian hàm có nhi u ng

d ng l n trong v t lý và lý thuy t ph ng trình đ o hàm riêng, nó ph c v cho vi c nghiên c u tính kì d c a hàm và hàm suy r ng trong gi i tích vi đ a

ph ng Chính vì th vi c nghiên c u các không gian hàm là c n thi t đ i v i

m i sinh viên

Trong quá trình h c t p em đã ti p thu đ c m t s ki n th c: m đ u

là chu i Fourier, đ ng th c Parseval trong gi i tích, ti p đ n là tích phân Lebegeus, ph ng trinh đ o hàm riêng, gi i tích hàm….Chính nh ng ki n

th c này đã t o đi u ki n, đ ng l c thôi thúc em tìm hi u và quy t đ nh ch n

đ tài: “Bi n đ i Fourier, hàm suy r ng và gi i tích vi đ a ph ng”

Khoá lu n t t nghi p

Ch ng 1

Các ki n th c chu n b

1.1 Không gian đ nh chu n,

không gian banach

1 Không gian đ nh chu n, không gian Banach

nh ngh a 1.1 Ta g i không gian đ nh chu n (hay không gian tuy n tính) là không gian tuy n tính X trên tr ng k (k  ฀ ho c k  ฀ ) cùng v i m t ánh

x t X vào t p s th c ฀ kí hi u là  và đ c là chu n, tho mãn các tiên đ

sau:

1)  x X x, 0, x    , (0 x   là ph n t không c a X) 2)    x X,  k, x   x

Khoá lu n t t nghi p

2 Toán t tuy n tính

nh ngh a 1.5 Cho hai không gian tuy n tính X và Y trên tr ng k ánh x

A t không gian X vào không gian Y g i là tuy n tính n u A tho mãn các

nh t Khi Y k thì A đ c g i là phi m hàm tuy n tính

nh ngh a 1.6 Cho X và Y là hai không gian đ nh chu n Toán t tuy n tính A t không gian X vào không gian Y g i là b ch n n u t n t i h ng s 0

nh lý 1.8 Cho A là m t toán t tuy n tính ánh x không gian đ nh chu n X

vào không gian đ nh chu n Y khi đó 3 m nh đ sau t ng đ ng

3 Không gian liên h p

nh ngh a 1.10 Cho không gian đ nh chu n X trên tr ng k Ta g i không gian I X k các phi m hàm tuy n tính liên t c trên X là không gian liên h p  , 

(hay không gian đ i ng u) c a không gian X và kí hi u là X*

Khoá lu n t t nghi p

1.2 Không gian Hilbert

nh ngh a 1.13 Cho không gian tuy n tính X trên tr ng K (K  ฀ ho c

 ฀

K ) ta g i là tích vô h ng trên không gian X m i ánh x t tích

Descarts X X  vào tr ng k kí hi u là ( , )  tho mãn tiên đ :

là không gian Hilbert, n u t p H tho mãn các đi u ki n:

1) H là không gian tuy n tính trên tr ng k

2) H đ c trang b m t tích vô h ng ( , ) 

3) H là không gian Banach v i chu n x   x x, , x H

Ta g i không gian tuy n tính con đóng c a không gian Hilbert H là không

nh lý 1.18 ( nh lý Riesz) M i phi m hàm tuy n tính liên t c trong không gian Hilbert H đ u có th bi u di n duy nh t d i d ng:

f (x)x,a, x  H

trong đó ph n t a  H đ c xác đ nh duy nh t b i phi m hàm f và ta có

f  a (1.5)

Ch ng minh: (xem gi i tích hàm - Nguy n Ph Hy)

Nh n xét: Nh đ nh lý Riez m i phi m hàm tuy n tính liên t c f trên không gian Hilbert H t ng ng m t đ i m t v i ph n t a trong H Hi n nhiên

t ng ng đó v a tuy n tính v a đ ng c Vì v y ta có th đ ng nh t m i phi m hàm f  H * v i ph n t a  H ngh a là H H Nói cách khác không gian Hilbert là không gian t liên h p

Khoá lu n t t nghi p

1.3 Không gian L p   , 1  p 

1 Không gian L 1 

nh ngh a 1.19 Cho  là t p m c a ฀ n trang b đ đo Lebesgue Ta kí

hi u L 1  là không gian các hàm kh tích trên  l y giá tr trong ฀ , và đ t

Khoá lu n t t nghi p

nh lý 1.24 Không gian C 0  các hàm kh vi liên t c có giá compact trù

m t trong L 1  t c là  f L 1  và     0, f 1 C 0  sao cho

f g  f  g

nh lý 1.28 (Tính trù m t)

Không gian C 0  trù m t trong L p  v i 1 p  

nh lý 1.29 Kí hi u L p  là không gian liên h p c a  L p (1 p  ) Khi đó L p  =  L q  trong đó q>1 tho mãn 1 1 1

p  q

H qu 1.31 L 2  là không gian t liên h p

nh lý 1.32 Không gian L 2  là không gian ph n x v i 1 p  

nh lý1.34 L p  là không gian Banach 1 p   

H qu 1.35 N u 1 p   thì m t dãy Cauchy trong  L p  bao gi c ng

có m t dãy con h i t t ng đi m h u kh p n i trên 

Khoá lu n t t nghi p

+ Xét v i 1 p   đ t      

n

p p

p p p

p L

p L

Khoá lu n t t nghi p

     

n n

1 p

f ,g C ฀ khi đó f g c ng có giá compact H n

n a supp( f g )  supp(f) + supp(g)

f ( ) (2 )    e f (x)dx

฀

(2.1)

đ c g i là bi n đ i Fourier c a hàm f và ta kí hi u là ฀f ho c Fxf x  Tích phân c a v ph i (2.1) hoàn toàn đ c xác đ nh vì:

฀

n

n 2

(2 ) f (x) dx (vì e ix  ) 1

Ta l i có f     

n

n 1



v i 0



f     f ฀ ฀

    không ph thu c vào giá tr  suy ra ˆf   liên t c

f  Fx  2 2 ( )

n

n ix

x ix

ix j j

R

2 1

e f x dx

1 2 1

Khoá lu n t t nghi p

M nh đ 2.13. N u f   n

S ฀ thì ˆf   n

S ฀ và F : f  là ánh x fˆliên t c trên  n

ch ph thu c vào giá tr c a hàm f t i đi m y mà không ph thu c vào hàm

f H n n a vì T là ánh x tuy n tính nên ta có:       Tf y c y f y Trong

Ch ng minh D dàng ch ng minh đ c F là ánh x tuy n tính

Theo m nh đ 2.17 ta có T f  f  JF  ˆ f   f , f S ฀ n

n

S 1

n ix 2

n

ix 2

n

ix 2

S ฀ (1) + Do F và F 1 là liên t c trên  n

S ฀ suy ra bi n đ i Fourier là đ ng

c u trên  n

S ฀ (2)

T (1) và (2) ta có đi u ph i ch ng minh 

2 2

Khoá lu n t t nghi p

Ch ng 3 Không gian các hàm suy r ng

3.1 nh ngh a và ví d

M t ánh x u: S ฀ n ฀ đ c g i là m t phi m hàm trên S ฀ n Giá tr c a phi m hàm u ta f   n

nh ngh a 3.1. M t phi m hàm tuy n tính liên t c trên  n

Hai hàm u ,u 1 2 đ c g i là các hàm suy r ng b ng nhau khi u = 1 u h u 2

kh p n i ( theo ngh a đ đo Lebesgue ) S d ng kí hi u u trên ฀ n và hàm suy r ng t ng ng

Ví d 3.3. (- hàm ) Cho x  ฀ n là m t đi m c đ nh Hàm suy r ng x

u , f = 1  

0 t

u ฀ thì (3.5) quay tr v (3.4) S

Khoá lu n t t nghi p

3.3 Giá c a hàm suy r ng

Nói chung giá c a m t hàm suy r ng không l y giá tr c th t i m t

đi m c th Tuy nhiên giá c a hai hàm suy r ng có th trùng nhau trên m t

đi u ki n c a đ nh ngh a 3.9 thì:

Khoá lu n t t nghi p

supp hu supp h supp u , u S ฀ n

c bi t, n u h trong m t lân c n c a 0 supp u thì  

trong đó u x là các hàm liên t c có giá compact

Chú ý Ta luôn có th ch n hàm j C0sao cho j  1

n ixy

e f y dy

   

฀

Khoá lu n t t nghi p

n

n ixy

trong đó  là đa ch s , a là hàm s xác đ nh trên ฀ n

N u thay th D trong công th c (4.1) b i đ n th c  trên ฀ n thì ta

2   e P x,     d

฀

   ฀  ฀ tho mãn đi u ki n: v i hai đa ch s

, b t kì t n t i s nguyên d ng c , ph thu c vào , sao cho:

m 1

2 2 j

c  1    

trong đó c  , 1 ,  là h ng s ph thu c vào     , 1, 

Nh n xét Do tính ch t tuy n tính c a tích phân và bi n đ i Fourier nên toán

t gi vi phân là toán t tuy n tính

T    f x  x dx  0,    S

฀

thì f  0 trên ฀ n

Ch ng minh Không gi m t ng quát ta gi s f ch nhân giá tr th c

Gi s   x0 ฀ nsao cho f x  0  0 Khi đó có m t hình c u m

M nh đ 4.14. Cho   , là hai bi u tr ng sao cho T  T thì   

Ch ng minh Theo gi thi t ta có:

Theo nhân xét sau đ nh ngh a ta có T là ánh x tuy n tính v y đ

n

n ix 2

S ฀

z x t y x 0

Thì ta c ng có I   x,y  I'   x,y tr n vô h n th a mãn (4.12)

Nh n xét. Gi s T là toán t gi vi phân Khi đó nó là m t toán t trên

thì T x,y   là nhân Schwartz

c a toán t T và nó có d ng c a tích phân đ ng D a vào đi u đó ta có th xây d ng tích phân đ ng m t cách đ c l p d a vao tích nhân Schwartz và tích

đ ng

Khoá lu n t t nghi p

nh ngh a 4.30. Ta nói r ng toán t T   m n u nhân Schwartz c a nó

đ c cho b i tích phân đ ng I  x,y v i biên đ v i biên đ

a x,y,  , bi u tr ng A x,   thì toán t chuy n v AT c a nó c ng là

m t toán t gi vi phân v i biên đ a y, x,     và bi u tr ng A T  x, 

Khoá lu n t t nghi p

Khoá lu n t t nghi p

x m

j j j n

e t

n 2

n

x t 4t n

x y t 4t n

n

x y t 4t n

n 2

đây A  t,Dx có d ng (5.3) Trong tr ng h p này ta hi u u t, x   nh là

m t h các hàm suy r ng bi n x và ph thu c vào tham s t và k tu là m t hàm suy r ng sao cho :

tu t, x , f x t u t, x , f x , f S

Là nghi m c a bài toán Cauchy  tu Au 0  u 0, x      v x

Th t v y, S d ng phép bi n đ i Fourier theo bi n không gian x฀ n, ta có:

Khoá lu n t t nghi p

2 tt

nh ngh a 5.8. M t toán t gi vi phân A   m d c g i là c đi n n u

bi u tr ng c a nó có khai tri n ti m c n thành chu i:

nh lý 5.10. Cho A là m t toán t gi vi phân c đi n lo i eliptic Khi đó

t n t i m t toán t B  cl m sao cho BA I    

nh ngh a 5.11. Toán t B đ c g i là parametric trái c a A

Nh n xét. N u B là parametric trái c a A và Au  f thì

BA I   R  BA I    R Bf   I R u,R    (đ nh lý 5.10) Toán t ph n d R th ng là toán t compact trên m t không gian hàm thích h p H Trong tr ng h p này s t n t i c a m t paramêtric kéo theo không gian con  u H : Au 0    có s chi u h u h n, và ph ng trình

Au  f có nghi m đ i v i t t c f thu c không gian con có s đ i chi u

h u h n (nh n xét liên quan đ n lý thuy t b c và toán t Fredhlom)

Khoá lu n t t nghi p

thì B  clm n u và ch n u BT clm; A là eliptic n u và ch n u AT là eliptic Do đó parametric trái c a A t n t i và thu c vào m

Do th i gian có h n, l n đ u làm nghiên c u khoa h c và kh n ng c a

b n thân còn h n ch nên có th lu n v n còn nhi u thi u sót Em hi v ng

nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô và các b n

[5] M.Dimassi and J Sjotrand (1999), Spectral asymptotics in the semi –

classical Limit, LMS lecture

[6] L Hormander, The analysis of linear partial differential operators Springer-Verlag, New York, 1984

[7] M Shubin, Pseudodifferential operatorsand spectral theory, “Nauka”, Moscow, 1978, Englishtraust, Springer-Verlag, 1987

[8] Yu Safarov and D Vassiliev, The asymptotic distribution of eigenvalues of partial differential operators, American Mathemtical Society, Providence, Rhode Island

[9] Richard Melrose (2003) Introduction to Microlocal Analysis, Massachusetts Institute of Technology, USA