Luận văn sư phạm Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI

TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học

TH.S DƯƠNG THỊ HÀ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiờn cứu cựng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tỡnh của cụ giỏo, thạc sĩ Dương Thị Hà, khúa luận của tụi đến nay đó hoàn thành Qua đõy tụi xin gửi lời cảm ơn sõu sắc của mỡnh tới cụ Dương Thị Hà, người đó trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo cho tụi nhiều kinh nghiệm quý bỏu trong thời gian tụi thực hiện khúa luận này Tụi cũng xin chõn thành cảm ơn ban giỏm hiệu, cỏc thầy cụ trong khoa toỏn trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đó tạo điều kiện tốt nhất giỳp tụi hoàn thành khúa luận đỳng thời hạn

Do lần đầu tiờn làm quen với cụng tỏc nghiờn cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thõn cũn hạn chế nờn mặc dự đó cú nhiều cố gắng song khụng trỏnh khỏi những thiếu sút Tụi rất mong nhận được sự đúng gúp ý kiến của cỏc thầy, cụ giỏo và cỏc bạn sinh viờn để khúa luận của tụi được hoàn thiện hơn

Xin chõn thành cảm ơn!

Hà Nội, thỏng 5 năm 2013 Sinh viờn

Trịnh Thị Như Quỳnh

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Tụi khẳng định rằng đõy là cụng trỡnh nghiờn cứu của riờng tụi, do chớnh tụi đó nghiờn cứu và hoàn thành trờn cơ sở những kiến thức đó học, tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn tận tỡnh của cụ giỏo Dương Thị Hà Nú khụng trựng với kết quả của bất cứ người nào khỏc Nếu cú gỡ sai sút tụi xin hoàn toàn chịu trỏch nhiệm

Hà Nội, thỏng 5 năm 2013 Sinh viờn

Trịnh Thị Như Quỳnh

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

Chương 1: Cơ sở lý luận 3

1.1 Nội dung cực trị của hàm số trong mụn Toỏn ở trường phổ thụng 3

1.1.1 Khỏi niệm cực trị của hàm số 3

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 3

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 4

1.1.4 Quy tắc tỡm cực trị 5

1.2 Cỏc dạng toỏn cực trị trong chương trỡnh toỏn phổ thụng 7

1.2.1 Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ 7

1.2.2 Cực trị của hàm số vụ tỉ 11

1.2.3 Cực trị của hàm siờu việt và lượng giỏc 13

1.2.4 Cỏc bài toỏn cực trị trong hỡnh học 16

1.3 Cỏc sai lầm học sinh thường gặp khi giải toỏn về cực trị của hàm số 20

1.3.1 Sai lầm liờn quan đến ngụn ngữ diễn đạt 20

1.3.2 Sai lầm liờn quan đến cảm nhận trực quan 20

1.3.3 Sai lầm liờn quan đến sử dụng định lớ 22

Kết luận chương 1 26

Chương 2: Một số dạng toỏn về cực trị của hàm số trong cỏc kỡ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 27

2.1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax 3bx2cx d (a 0)  27

2.1.1 Cỏc bài toỏn về sự tồn tại và vị trớ của cỏc điểm cực trị 28

2.1.2 Tỡm điều kiện để cực đại, cực tiểu thỏa món một hệ thức cho trước 30

2.1.3 Lập phương trỡnh đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu 32

2.1.4 Luyện tập 35

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.2 Cực trị của hàm số trựng phương y ax 4bx2c (a 0) 41

2.2.1 Cỏc bài toỏn về sự tồn tại cực trị 41

2.2.2 Tỡm điều kiện để hàm số cú cực đại, cực tiểu lập thành một tam giỏc luụn cõn hoặc tam giỏc đều 43

2.2.3 Tỡm điều kiện để hàm số cú cực đại, cực tiểu lập thành một tam giỏc cú diện tớch cho trước 44

2.2.4 Luyện tập 45

2.3 Cực trị của hàm phõn thức y ax2 bx c(a x b 0, a 0) a x b            48

2.3.1 Khoảng cỏch giữa hai điểm cực đại, cực tiểu 48

2.3.2 Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phớa của một đường thẳng 51

2.3.3 Dấu của cỏc giỏ trị cực đại, cực tiểu 53

2.3.4 Luyện tập 55

Kết luận chương 2……… 59

Kết luận chung……….60

Tài liệu tham khảo……… 61

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU

1 Lớ do chọn đề tài

Toỏn học cú nguồn gốc từ thực tiễn và cú ứng dụng rộng rói trong thực tiễn Tớnh trừu tượng cao độ làm cho toỏn học cú tớnh thực tiễn phổ dụng cú thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khỏc nhau của khoa học cụng nghệ, sản xuất và đời sống xó hội hiện đại

Mục đớch của việc giảng dạy mụn Toỏn ở phổ thụng là dạy học sinh về kiến thức toỏn, cỏch giải bài tập, rốn luyện kĩ năng giải toỏn, giỳp học sinh khai thỏc được cỏc hoạt động tiềm ẩn trong nội dung mụn Toỏn từ đú hỡnh thành và phỏt triển tư duy logic cho học sinh

Trong chương trỡnh toỏn thỡ khảo sỏt hàm số và cỏc dạng toỏn liờn quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trỡnh lớp 12 núi riờng và chương trỡnh toỏn trung học phổ thụng núi chung Vỡ thế đõy là phần kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong phõn phối chương trỡnh cũng như khụng thể thiếu trong bất kỡ đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kỡ, đến thi tốt nghiệp, đặc biệt là kỡ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng,…Cõu hỏi phụ liờn quan liờn quan đến khảo sỏt hàm số trong cỏc đề thi luụn là cõu hỏi “e ngại” đối với phần lớn học sinh bởi tớnh đa dạng, phong phỳ đũi hỏi cú kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bộn Trong khúa luận này tụi đi sõu vào một phần nhỏ của khảo sỏt hàm số đú là phần cực trị của hàm số Đõy là một nội dung thường xuyờn cú mặt trong cỏc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với mục đớch giỳp cho học sinh cú một cỏi nhỡn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giỳp cỏc em nõng cao kiến thức luyện thi đại học

Với những lớ do trờn, cựng với sự đam mờ của bản thõn và sự hướng dẫn nhiệt tỡnh của cụ giỏo Dương Thị Hà, tụi lựa chọn đề tài: “Bài toỏn về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng”

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

3 Đối tượng nghiờn cứu

Cỏc bài toỏn về cực trị của hàm số trong cỏc kỡ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

4 Phạm vi nghiờn cứu

Sỏch giỏo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và một số tài liệu tham khảo khỏc

5 Nhiệm vụ nghiờn cứu

1 Tỡm hiểu cơ sở lớ luận của đề tài

2 Phõn loại cỏc dạng toỏn liờn quan đến cực trị của hàm số, nghiờn cứu một số sai lầm của học sinh khi giải dạng toỏn này

3 Nghiờn cứu cỏc bài tập trong sỏch giỏo khoa 12 và cỏc đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đõy

4 Đề xuất một số bài toỏn cực trị

6 Phương phỏp nghiờn cứu

+ Phương phỏp nghiờn cứu lớ luận

+ Phương phỏp tổng kết kinh nghiệm

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Nội dung cực trị của hàm số trong mụn Toỏn ở trường phổ thụng

1.1.1 Khỏi niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xỏc định trờn tập hợp D (D  ฀ ) và x0  D

a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và

f(x) < f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0}

Khi đú f(x0) được gọi là giỏ trị cực đại của hàm số f

b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một

khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và

f(x) > f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0}

Khi đú f(x0) được gọi là giỏ trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giỏ trị cực đại và giỏ trị cực tiểu được gọi chung là giỏ trị cực trị của

tại điểm x0 nhưng hàm số khụng đạt cực trị tại điểm x0

Vớ dụ:

Xột hàm số y f (x) x  3, cú f (x) 3x  2 và f (0) 0  Tuy nhiờn hàm

số f khụng đạt cực trị tại điểm x = 0 Thật vậy, vỡ f (x) 3x  2 0 với mọi

x  0 nờn hàm số luụn đồng biến trờn ฀

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Xột hàm số y f (x) x  là hàm số xỏc định trờn ฀ cú f (0) 0 và

f (x) 0 với mọi x  0 Nờn hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Nhưng hàm số khụng cú đạo hàm tại x = 0

Nhận xột:

Một hàm số chỉ cú thể đạt cực trị tại một điểm thuộc tập xỏc định mà tại

đú đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đú hàm số khụng cú đạo hàm Những điểm thuộc tập xỏc định của hàm số y f (x) mà tại đú đạo hàm bằng 0 hoặc tại

đú hàm số liờn tục mà khụng cú đạo hàm gọi là điểm tới hạn của hàm số 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lớ 2: Giả sử hàm số f liờn tục trờn khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và cú đạo hàm trờn cỏc khoảng (a ; x0) và (x0 ; b) Khi đú

a) Nếu f (x) < 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) > 0 với mọi x  (x0 ; b) thỡ hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f (x) > 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) < 0 với mọi x (x0 ; b) thỡ hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Chỳ ý: Định lớ trờn cú thể phỏt biểu cỏch khỏc như sau

Giả sử hàm số f liờn tục trờn khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và cú đạo hàm trờn cỏc khoảng (a ; x0) và (x0 ; b) Khi đú

a) Nếu f (x) đổi dấu từ õm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thỡ hàm số đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang õm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thỡ hàm số đạt cực đại tại điểm x0

f(x0) (cực tiểu)

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lớ 3: Giả sử hàm số f cú đạo hàm cấp một trờn khoảng (a ; b) chứa điểm

x0, f (x) = 0 và f cú đạo hàm cấp hai khỏc 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x) < 0 thỡ hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f (x) > 0 thỡ hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f (xi) < 0 thỡ hàm số đạt cực đại tại điểm xi

 Nếu f (xi) > 0 thỡ hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

f (x) 0    x 1 Hàm số liờn tục tại x 0 nhưng khụng cú đạo hàm tại x 0

Sau đõy là bảng biến thiờn :

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x 1,f ( 1) 1  và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , f (0) 0

Chỳ ý: Nếu f (x ) 0 0  và f (x ) 0 0  thỡ ta khụng tỡm được cực trị của hàm số

y f (x) theo quy tắc 2 Khi đú ta phải tỡm cực trị của hàm số theo quy tắc 1 chứ khụng được kết luận hàm số khụng cú cực trị

Quy tắc 2 thường tỡm cực trị của hàm số mà việc xột dấu đạo hàm cấp 1 quỏ phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giỏc

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.2 Cỏc dạng toỏn cực trị trong chương trỡnh toỏn phổ thụng

1.2.1 Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ

Vớ dụ 1 Tỡm cực trị của hàm số: y x (1 x) 3  2

Giải: Hàm số đó cho xỏc định trờn ฀ Ta cú:

y x (1 x)  x 2x x ; y 5x 8x  4 33x2 x (5x2 2 8x 3)y = 0  x = 0 hoặc x = 1 hoặc x 3

x y

+

0

108 3125

0

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x 3

m để đồ thị hàm số chỉ cú một cực tiểu mà khụng cú cực đại

Giải: Hàm số đó cho xỏc định trờn ฀

Ta cú f (x) 4x  324mx26(1 2m)x 2x 2x   212mx 3(1 2m)   Xột hàm t(x) = 2x2 + 12mx + 3(1 +2m) cú:

Vậy với mọi m 1 7 1; 7

   

  thỏa món điều kiện bài toỏn

+ Trường hợp 2: t(x) cú hai nghiệm phõn biệt đều khỏc 0 Khi đú phương trỡnh f (x) = 0 cú ba nghiệm phõn biệt mà f (x) là đa thức bậc ba nờn

nú đổi dấu liờn tiếp qua ba nghiệm đú

Vỡ vậy hàm số cú cực tiểu và cực đại nờn khụng thỏa món điều kiện bài toỏn

+ Trường hợp 3: t(x) cú hai nghiệm phõn biệt trong đú cú một nghiệm bằng 0 Ta cú t(0) = 0 hay 3(1 + 2m) = 0  m 1

2

 

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vớ dụ 1 Tỡm cực trị của hàm số: y 2x3

x 1



 Giải: Tập xỏc định của hàm số là: D฀ \ 1 

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Từ đú ta thấy hàm số cú 5 điểm là: x = 0, x  3 tại đú đạo hàm bị

triệt tiờu và x 1 tại đú đạo hàm khụng tồn tại

Giải: Hàm số trờn xỏc định trờn ฀

Vậy hàm số luụn cú cực đại và cực tiểu Gọi x1, x2 là nghiệm của (*),

khi đú A(x ; y ), B(x ; y ) là cỏc điểm cực trị của hàm số



3 32

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta lại cú giỏ trị cực trị là: y (x22 2x a) x 1

x 1(x 2x 2)

Ta thấy: x 2; x  2 thuộc tập xỏc định của hàm số

Vỡ y( 2 ) = 4 < 0 nờn hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 , yCĐ  2

Vỡ y( 2) = 4 > 0 nờn hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  2, yCT = 2

(x 4x 5)

 

 

Để hàm số cú cực đại tại x0 thỡ:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Phương trỡnh (1) cú nghiệm x0 < 2  a 1 a 2

2     Vậy với a < 2 hàm số đó cho cú cực đại

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

a) Hàm số khụng cú cực trị  (*) vụ nghiệm hoặc (*) cú nghiệm khụng thỏa món (1)

Vậy với 0 m 4  thỏa món yờu cầu bài toỏn

b) Hàm số cú cực đại  (*) cú nghiệm thỏa món điều kiện (1) và y đổi dấu từ dương sang õm

1.2.3 Cực trị của cỏc hàm siờu việt và lượng giỏc

1.2.3.1 Cực trị của hàm số siờu việt

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vớ dụ 2 Tỡm cực trị của hàm số: y ln x

x

 Giải: Tập xỏc định của hàm số là: D (0; )

Vớ dụ 1 Tỡm cực trị của hàm số sau: y cos x 1cos2x 1

y(x )

1 khi k 2n 12

e

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

31

0

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vớ dụ 3 Với giỏ trị nào của m thỡ hàm số:

Ta cú: y 2(m 3)cosx 4mcos2x  2  , y  2(m 3)sin x 8msin 2x2 

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x

1.2.4 Cỏc bài toỏn cực trị trong hỡnh học

Bài toỏn: Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của một đại lượng hỡnh học biến thiờn f (độ dài đoạn thẳng, diện tớch đa giỏc, thể tớch khối đa diện …) yờu cầu phải tỡm được cỏc giỏ trị f1, f2 cố định luụn luụn thỏa món đẳng thức: f1  f  f2, đồng thời chỉ rừ cỏc đại lượng hỡnh học của đại lượng biến thiờn đang xột, để tại đú f đạt giỏ trị nhỏ nhất f1 hoặc lớn nhất f2 Đụi khi bài toỏn chỉ yờu cầu tỡm một trong hai đại lượng này

Phương phỏp giải toỏn: Tớnh đại lượng f đang xột theo chỉ một đại lượng thay đổi x, tỡm miền xỏc định của x và khảo sỏt cực trị của hàm f nhận

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 được trong miền đú Ta cần lưu ý việc lựa chọn đại lượng thay đổi x để thuận lợi trong việc tớnh toỏn biểu thức cần khảo sỏt theo biến x (và được một hàm

số cú thể khảo sỏt được sự biến thiờn của nú)

Vớ dụ 1 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a Đoạn

SA a 3 vuụng gúc với đỏy Một điểm B chuyển động trong đoạn SB Mặt phẳng (ADB) cắt SC tại C Đặt y là tổng bỡnh phương của cỏc cạnh của tứ diện (ADCB) Hóy tớnh y theo x = SB Từ đú hóy xỏc định cỏc giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của y

Giải:

Mặt phẳng (ADB) chứa AD // BC nờn giao

tuyến của nú với mặt phẳng (SBC) sẽ song song với

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

   trong đoạn [0; 2a]

Ta cú: y = 5x  7a; y = 0  x 7a

ymax = 8a2, đạt được khi x = 0 (B  C  S)

Vớ dụ 2 Cho một tấm nhụm hỡnh vuụng cạnh a Người ta cắt ở bốn gúc bốn hỡnh vuụng bằng nhau rồi gập tấm nhụm lại được cỏi hộp khụng nắp Tớnh cạnh của cỏc hỡnh vuụng bị cắt sao cho thể tớch khối hộp là lớn nhất

Giải: Gọi x là độ dài cạnh của hỡnh vuụng bị cắt Rừ ràng x phải thỏa món điều kiện 0 x a

3,1a2

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

3

2a27

a 6

V(x)

V(x)

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Dựa vào bảng biến thiờn ta thấy trờn khoảng 0;, hàm số S đạt giỏ trị nhỏ nhất tại điểm x = 10 Vậy muốn tốn ớt nguyờn liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đỏy hỡnh hộp là x = 10(cm)

1.3 Cỏc sai lầm học sinh thường gặp phải khi giải toỏn về cực trị của hàm số

1.3.1 Sai lầm liờn quan đến ngụn ngữ diễn đạt

Trong cỏc bài toỏn về cực trị của hàm số, học sinh thường lẫn lộn cỏc cụm từ “điểm cực trị”, “cực trị” và “giỏ trị cực trị” do đú dễ sai lầm khi giải toỏn

Chẳng hạn, bài toỏn: Tỡm a, b để cỏc điểm cực trị của hàm số:

S(x)

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

thị tại hai điểm phõn biệt mà điểm

cực đại, cực tiểu vẫn nằm khỏc phớa

(x 1)

   

 

 Đặt g(x)  x2 2x 5 2m  Hàm số cú cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trỡnh y = 0 cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 1

x

x2

x1

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.3.3 Sai lầm liờn quan đến sử dụng định lớ

Học sinh thường nhầm lẫn giữa điều kiện cần và điều kiện đủ Chẳng hạn, khi sử dụng quy tắc 2 để xỏc định cực trị của hàm số, cỏc em quờn rằng

đú chỉ là điều kiện đủ chứ khụng phải là điều kiện cần

Điều ngược lại núi chung là khụng đỳng

Vớ dụ 1 Cho hàm số y f (x) mx  4, tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Một số học sinh thường làm như sau:

Hệ này vụ nghiệm m

Vậy khụng tồn tại giỏ trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 Phõn tớch:

Ta thấy, với m = 1, hàm số y =  x4 cú y' = 4x3 , y' = 0  x = 0 Bảng biến thiờn:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0

Vậy lời giải trờn sai ở đõu?

 là điểm cực đại của hàm

số, cũn điều ngược lại thỡ chưa chắc đỳng Vỡ nếu x0 là điểm cực đại thỡ vẫn

cú thể f (x0) = 0 Lớ do là điều kiện f (x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f (x) nghịch biến trong lõn cận (x0  h; x0 + h) (với h > 0), khi đú:

 m > 0: Ta cú y = 4mx3, y 0   x 0 Lập bảng biến thiờn ta thấy

x0 là điểm cực tiểu của hàm số

 m < 0: Ta cú y = 4mx3, y 0   x 0 Lập bảng biến thiờn ta thấy

x0 là điểm cực đại của hàm số

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vớ dụ 2 Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham

số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Một số học sinh trỡnh bày như sau:

f '(x) = 4x3 + 3mx2, f ''(x) = 12x2 + 6mx Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: f '(0) 0f ''(0) 0



2

4.0 3m.0 012m.0 6m.0 0

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Cỏch 2: Xột 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)

đú hàm số khụng cú cực trị tại x = 0

 m < 0: Ta cú y = x2(4x + 3m), y 0   x 0 hoặc x 3m

4

  Lập bảng biến thiờn ta thấy y khụng đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn) Do

đú hàm số khụng cú cực trị tại x = 0

Kết luận: với m = 0 thỡ hàm số đó cho đạt cực tiểu tại x = 0

Vớ dụ 3 Tỡm k sao cho hàm số y 2x k x  2 1 cú cực tiểu

Một số học sinh trỡnh bày như sau:

(x 1)

 

 Giả sử y đạt cực tiểu tại x0 thỡ y(x0) = 0 0

2 0

x 1

  2 2  2   2  2 2   2   

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Phõn tớch: Lời giải trờn đó nhầm lẫn giữa điều kiện cần và điều kiện đủ Đỏng

lẽ, sau khi suy ra |k| >2, phải lần lượt xột hai trường hợp:

Nếu k < 2 thỡ y(x0) < 0 khi đú y đạt cực đại tại x0 (trỏi giả thiết)

Nếu k > 2 thỡ y(x0) > 0 khi đú y đạt cực tiểu tại x0, nờn k < 2 là giỏ trị cần tỡm

Cần phải lưu ý rằng nếu y đạt cực tiểu tại x0 thỡ chưa đủ để suy ra y(x0) > 0 (cho dự trước đú đó cú y(x0) = 0) Thật vậy, xột hàm số y = x4 cú y = 4x3; y = 12x2 mặc dự y(0) = 0 và y(0) = 0 khụng thỏa món điều kiện y(x0) > 0, thế nhưng hàm số y = x4 vẫn đạt cực tiểu tại x = 0

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương này, việc nhắc lại cỏc kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số, cỏc quy tắc để tỡm cực trị nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng để học sinh cú thể ứng dụng vào tỡm cực trị của hàm số Đồng thời chương này

đó đưa ra hệ thống, phõn loại cỏc dạng bài tập theo cỏc lớp hàm và một số sai lầm học sinh thường gặp giỳp cho việc giải quyết cỏc bài tập một cỏch thuận lợi hơn Trờn cơ sở đú, với mục đớch giỳp học sinh cú một tài liệu về chủ đề cực trị của hàm số trong kỡ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khúa luận sẽ tổng hợp và đề xuất cỏc dạng bài tập về cực trị theo cỏc lớp hàm thường xuyờn cú mặt trong kỡ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng ở chương 2

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG Kè THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

2.1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

 Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cú y = 3ax2 + 2bx + c; y = b2  3ac

+ Nếu y  0: y khụng đổi dấu, hàm số khụng cú cực trị

+ Nếu y > 0: phương trỡnh y = 0 cú hai nghiệm phõn biệt và y đổi dấu qua hai nghiệm nờn hàm số cú cực đại, cực tiểu Hoành độ điểm cực đại, cực tiểu kớ hiệu là x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh y = 0

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu cú phương trỡnh là: y = r(x) Đối với hàm số tổng quỏt: y f (x) ax  3 bx2cx d (a 0)  thỡ đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu cú phương trỡnh:

2.1.1 Cỏc bài toỏn về sự tồn tại và vị trớ của cỏc điểm cực trị

Lớp bài toỏn này thường cú dạng sau: Tỡm tham số để cỏc hàm số cú cực trị và cực trị này thỏa món những điều kiện nào đú cho trước

Lược đồ chung để giải cỏc bài toỏn này sẽ là sử dụng điều kiện tồn tại cực trị kết hợp sử dụng với cỏc kết quả về đa thức bậc hai, định lớ Vi-ột, lớ thuyết về phương trỡnh và bất phương trỡnh

Vớ dụ 1 (Đề thi tuyển sinh đại học dự bị 2 khối A - 2002)

Cho hàm số y (x m)  33x Tỡm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

cú hoành độ x = 0

Giải: Hàm số đó cho xỏc định trờn ฀

Ta cú: y 3(x m)   2  3 3 (x m) 1  2  , y 6(x m) Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm cú hoành độ x = 0 thỡ:

Vậy với m = 1 thỡ hàm số đó cho đạt cực tiểu tại điểm cú hoành độ x = 0

Vớ dụ 2 (Đề thi tuyển sinh đại học dự bị 2 khối B - 2006)

Cho hàm số y x 3 (1 2m)x2 (2 m)x m 2   Tỡm m để hàm số

cú cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Giải: Hàm số đó cho xỏc định trờn ฀