SKKN phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai trong chương trình toán THCS

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình bậchai là một phần học quan trọng trong chương trình lớp 9 THCS, một trongnhững phần mà trong các đề thi học sinh giỏ

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình bậchai là một phần học quan trọng trong chương trình lớp 9 THCS, một trongnhững phần mà trong các đề thi học sinh giỏi cũng như tuyển sinh thường ra

Đó cũng là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT

2 Cơ sở thực tiễn

Phương trình bậc hai là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó,nhiều học sinh không biết giải phương trình như thế nào? có những phươngpháp giải nào? Hoc sinh không phân dạng ra được nên khi giải theo một cáchchung chung dẫn đến lệch hướng đi không giải được

Các bái toán về phương trình bậc hai rất đa dạng và khó, có nhiều trongcác đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệuviết về vấn đề này chỉ nêu ra cách giải chung chưa phân dạng và phương phápgiải cụ thể gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trongcông tác tự bồi dưỡng của giáo viên

Vì vậy việc nghiên cứu để “phân dạng các bài toán về phương trình bậc hai trong chương trình Toán THCS” là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm

vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả,góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi vàgiáo viên giỏi ở các trường THCS

3 Khảo sát chất lượng ban đầu

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về “các dạng toán liên quan đến phương trình bậc hai trongchương trình toán THCS” Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu,đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiệnhiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả

Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạyhọc phần phương trình bậc hai trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó địnhhướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạythành công về phương trình bậc hai

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường

2 Phân dạng các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trìnhtoán THCS

3 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài

4 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

a Các tài liệu có liên quan

b Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS

2 Phạm vi nghiên cứu:

Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trình ToánTHCS

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

2 Phương pháp điều tra, khảo sát

3 Phương pháp thử nghiệm

4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sángkiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh hamthích học dạng toán này hơn

b giải quyết vấn đề

i Một số kiến thức liên quan

2) Cách giải:

Bớc 1: Xác định các hệ số a ?, b ? và c ? của phơng trình đã cho

Bớc 2: Tính biệt thức đen-ta:  b2  4ac hoặc  '  (b' )2 ac (trong đó

2 ' b

b 

)

Bớc 3: Dựa vào dấu của  (hoặc  ') để xác định nghiệm của phơng trình

+) Nếu   0 ( ' 0) thì phơng trình đã cho vô nghiệm

+) Nếu   0 ( ' 0) thì phơng trình đã cho có nghiệm kép

a

b a

b x

2 2

1     

+) Nếu   0 ( ' 0) thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

a

b a

3) Điều kiện có nghiệm của phơng trình ax2 bxc 0 (1)

( Chú ý: Phơng trình (1) cha phải là phơng trình bậc hai )

+) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai  a  0

+) Phơng trình (1) là phơng trình bậc nhất  



 0 0

b a

.+) Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất  



 0 0

b a

a

) 0 ' (  

a

) 0 ' (  

+) Phơng trình (1) có hai nghiệm     0

) 0 ' (  

+) Phơng trình (1) có một nghiệm  



 0 0

b a

hoặc 





 0 0

a

) 0 ' (  

+) Phơng trình (1) vô nghiệm  





 0 0

c b a

hoặc 





 0 0

a

) 0 ' (  

x1. 2 

5) Hàm số y  ax2 ( a 0 )

ii Các dạng toán thờng gặp.

 Dạng 1: Bài toán giải phơng trình ax2 bxc0 (*) khi cho biết giá trị của tham số m = k.

1) Phơng pháp giải

Bớc 1: Thay m = k vào phơng trình (*) để đợc một phơng trình mới ẩn x.

Bớc 2: Giải phơng trình vừa thu đợc để có nghiệm của phơng trình.

và  '  (b' )  ac ( 1  m)  ( 2m 3 ) m  2m 1  2m 3 m  4m 4  (m 2 )

Để phơng trình (1) có nghiệm kép thì 0 2

0 2 ( ) 0 0 ' 0

Vậy với m 2 thì phơng trình (1) có nghiệm kép.

 Dạng 2: Bài toán tìm giá trị của tham số m để phơng trình ax2 bxc0

(*) có nghiệm x  x0.

1) Phơng pháp giải

Bớc 1: Thay x  x0 vào phơng trình (*) để đợc một phơng trình mới ẩn m

Bớc 2: Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có đợc giá trị của tham số m.

 Dạng 3: Bài toán liên quan đến điều kiện về nghiệm của phơng trình

0 2

) 0 '

( 0

a

b a

) 0 '

( 0

a

b a

a c a

0

a c a

) (

0 2 )

2 (

) (

0 1

2

m

m m

m

2

5 5

2   

a b a

1

2

) (

0

1

0

m m

m

m

2 2 0 1 2 0

Vậy với

2

1



m thì phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

c) Để phơng trình (1) có hai nghiệm đều mang dấu âm thì:

2

0 1

) (

0 1

0

m m m

m m

1 0

) 1

2

(

0 )

1

(

0

m m m

m

m

Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm đều âm.

 Dạng 4: Bài toán sử dụng hệ thức Vi-et

Loại 1 Những bài toán sử dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét

Bớc 3: Thay

a

b x

x1 2   và

a

c x

x1. 2  vào hệ thức vừa biến đổi để đợc một phơngtrình mới ẩn m

Bớc 4 : Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để có m.

Bớc 5 : Đối chiếu m vừa tìm đợc với điều kiện ở bớc 1, rồi kết luận.

1 x P ( x x ) P (x x ) 2 x x x

x

c) x1  x2  2

Giải:

1) Ta có: a 1; b   4; cm 1; 2

2 ' b  

Vậy với m 3 thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm.

2) Trớc hết để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì m 3 (theo câu a) Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét ta đợc:

1

2 1

m a c x x

a b x

1

2 2 2 1

2

2 4

2 10 2 2 16 10 ) 1

Vậy với m  2 thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm thoả mãn điều kiện

2 1 2 1

2 2 2 1

2 1 1

2 2

x x

x x x x

x x x

x x

x x

5 16 5 5 ) 1

4 0 1 0 3 0 1 0 0 0 ' 0

m m a

a

a

.Mặt khác: x1  x2  1 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 4 4 2 1 4

Ví dụ 2 Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x2  2mxm2 10 (1)

a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọigiá trị của tham số m

b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tìm giá trị lớn nhất củabiểu thức:

2 2

2 1 2

2 1 2 1

2 2 2 1

2 1 2 1

2 2

2 1 2

Vì m2 0 m2 0 m2  3 3 A 3 Dấu “=” xảy ra khi m  0

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng (-3) Đạt đợc khi m = 0.

Ví dụ 3 Cho phơng trình bậc hai tham số m: 2 2 1 4 0

1) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

2) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.3) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình

a) Chứng minh biểu thức M x11  x2x21  x1 không phụ thuộc vàom

b) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình thoả mãn

2) Ta có: a 1, b  2 (m 1 ), cm 4, ( 1 )

2 ' b   m

1 2

19 2

1

2 1

m a c x x

m a

b x

2 2 1 2 1 2

2 1 2

68 2

68 2

Loại 2 Những bài toán sử dụng hệ hức Vi-et không triệt để.

Bài toán 1 Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình có hai nghiệm x1

và x2 thoả mãn điều kiện: px1qx2 k .

1 2

1 2 2 2

1 2

1 2

px            

Bớc 3: Thay

a

b x

x1 2   và

a

c x

x1. 2  vào hệ thức vừa biến đổi rồi tính x1 hoặc

Ví dụ 1 Cho phơng trình ẩn x, tham số m: x2  3x 2m 1  0 (1)

1) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.2) Tìm tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2thoả mãn điềukiện:

a) 2x1 3x2  1 b)

2 1 2 1

3 2 1

x x x

2 0 2 1

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi ét ta đợc: 1 2     3

a

b x x

a)Ta có: 2x1 3x2  1  2 (x1x2) x2  1  x2  1  2 (x1x2)

7 ) 3 (

2 1

 x (vì 1  2     3

a

b x

Thay x2  7 vào phơng trình (1) ta đợc:

2

71 0

2 71 0 1 2

1 2 1

2 2

1 2 1

x x x

x x

x x x

0 3

3 ) 3 ( 3

3 ) ( 1 2

Thay x2  0 vào phơng trình (1) ta đợc:

2

1 0

2 1 0 1 2

2 ) 3 ( 2

2 ) (

2 2

)

2 2

2

x x

x x

2 4

1 0 2 1 2

3 4

1 0 1 2 2

1

Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2

thoả mãn điều kiện:

1) x1 x2 2 x x1 2 2) 3 2 1

2 1

) 3 ( 9 6 5

2 4

4 ) 5 2 ( 2

) ' (

2

m a

) ( m  R

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi ét ta đợc: 1 2   2 (m 2 )

a

b x

a

c x x

1) Ta có:

2

2 ) (

2 2 ) (

2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

x x x x x x x x x x x x x

x          

 x  m  m  3  m

2

) 5 2 ( 2 ) 2 ( 2

Thay x2 3  m vào phơng trình (1) ta đợc:

0 5 2 ) 6 5 ( 2 ) 6

9 ( 0 5 2 ) 3 )(

2 (

x x x x x x x x x x x

x x x x

0

0 0

) )(

( 0

2 1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

2 2

1

a

b a

b

x x x

x

x x x

x x x x

2

0 3 0

) 2 ( 2

0 ) 3

m

m m

m m

x và x2 thoả mãn điều kiện: nghiệm này gấp k lần nghiệm kia.

1) Phơng pháp giải

Bớc 1: Tìm hai nghệm x1 và x2 của phơng trình đã cho theo m

(thông thờng chúng ta phải sử dụng tính chất: Nếu abc 0 thì x1   1 và

2 1

kx x

kx x

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị của m tơng ứng

3) Tìm m sao cho phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia

Giải:

Ta có: a 1; b  m; cm 1

1) Vì phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: abc 1  ( m) m 1  0 nênphơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1  1 và 2  m 1

a

c

Để phơng trình (1) có nghiệm kép thì x1x2  x2  1  m 1  1  m 2

Vậy với m 2 thì phơng trình (1) có nghiệm kép x1 x2  1.

2) Vì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 và x2 nên áp dụng hệ thức Vi et ta

đợc:

m a

2 1

2 2 1 2 1

2 2 2 1

2 1 2 1

2 2

) 8 ( 0 8 8

8 8

m

m m

m m

m m

m A

Vậy với m  0 hoặc m 8 thì A 8.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng ( 8 ), đạt đợc khi m 4.

3) Theo câu (a) ta có x1  1 và x2 m 1

Để phơng trình (1) có nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia thì:

3 3

1 2 2 2

1

) 1 ( 2 1 2

m m

m x

x

x

x

b) Để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2là nghịch đảo của nhau thì:

1

) ( 0

c

a

5 5

2

8 2 2 6

3

2 6

3 ) 2 ( 3 2

) 2 ( 3 2 3

m m

m

m m

m m

m m

x

x

x

x

Vậy với m  4 thì phơng trình (1) có nghiệm này bằng 3 lần nghiệm kia.

Bài toán 3 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào tham

) 1 (

2 1

2 1

a c x x

a b x

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình (1)

b) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm là x1 và x2 hãy tìm một hệthức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m

Giải:

a) Ta có: a 1; b  2 (m 1 ); c 2 m 10; ( 1 )

2 ' b   m

Kết luận: Với  3 m 3 thì phơng trình (1) vô nghiệm

0 9

) 1 ( 2 2

1 2 1

m x

x

m x

x

(**) (*)

Từ phơng trình (*)

2

2 ) (

2 ) (

2 1

x m

Thế

2

2 ) ( 1 2 

a) Chứng minh rằng: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m  1

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãytính tổng hai nghiêm của phơng trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức:

0 2

a) Ta có: am 1; b  2m; cm 1; b b  m

2 '

Từ (*) và (**)  phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm)

b) Vì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 ( m  1 )nên theo

2 1

2 1

m m a c x x

m m a

b x

x

Để phơng trình (1) có tích hai nghiệm bằng 5 thì 5

1

1 5

5 2

c x

x

 5 (m 1 ) m 1

2

3 6

4 1 5

Khi đó, tổng của hai nghiệm là: 6

2 1

3 1 2 3 2

3 2

) 1 ( 1 2

2 1

2 1

m m x x

m m x

x

Từ phơng trình (2)  x1x2(m 1 ) m 1  x1x2.m x1x2 m 1  m(x1x2  1 ) x1x2  1

1

1

2 1

2 1

x x m

Thế

1

1

2 1

2 1

2 1 1

1 ).

(

2 1

2 1 2

1

2 1 2

x x x

x

x x x x

1 )

1 (

2 ) (

2 1

1

2 1

1 1

1 ).

2 1

2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

x x x

x

x x x

x

x x x

2 2 2 1

2 1 2

1

2 2

2 1 1

2 2

) 1 )(

1 ( ) 1 (

8 0 1

1 1

2

2 2

m m

m m

m

3

1 9

1 1

9 0 1 9 0 1

 Nhận xét

+) Đồ thị của hàm số y  ax2 ( a 0 )là một đờng cong đi qua gốc toạ độ và nhận

Oy làm trục đối xứng Đờng cong đó gọi là parabol với đỉnh O

+) Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox, O(0; 0) là điểm thấp nhấtcủa đồ thị.

+) Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành Ox, O(0; 0) là điểm cao nhất của

Bớc 3: Nối các điểm vừa vẽ thành một đờng cong để có đồ thị của hàm số.

4) Sự tơng giao của Parabol (P): y  ax2 và đờng thẳng (d): ymxn

Xét phơng trình hoành độ giao điểm của Parabol (P) và đờng thẳng (d)

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy

b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d) Tìm điểm M trên cung AB của (P)sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất

c) Tìm điểm N trên trục hoành Ox sao cho NA + NB ngắn nhất

Ví dụ 2 Cho hàm số: y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D):

a) Đi qua điểm A (1; 2003)

b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;

c) Tiếp xúc với parabol y = - 1/4.x2

Ví dụ 3 Vẽ đồ thị hàm số: y  41 x2(P) và đường thẳng (D): y  2 x 3 trêncùng một hệ trục toạ độ Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phéptính.

Ví dụ 4 Cho Parabol (P): 2

4

1

x

y  và đờng thẳng (d): ym(x 1 )  2.a) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi m thay đổi.b) Gọi x A và x B lần lợt là hoành độ của điểm A và điểm B Xác định m để

x  đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị này

Đề thi vào lớp 10 Chuyên THPT Đai Học Vinh (vòng 2) năm 2010

 Dạng 6: Bài toán liên quan đến điều kiện có nghiệm của phơng trình trùng phơng 4 2 0

Bớc 2: Giải phơng trình bậc hai vừa thu đợc để có nghiệm y .

Bớc 3: Thay y vừa tìm đợc vào (*) để có nghiệm x

+) Phơng trình (1) vô nghiệm  phơng trình (2) vô nghiệm hoặc phơng trình (2)

có hai nghiệm đều âm

) 0 ' ( 0

a b a c

+) Phơng trình (1) có một nghiệm  phơng trình (2) có nghiệm kép bằng 0,hoặc phơng trình (2) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại âm

) 0 ' ( 0

) 0 ' ( 0

a

b a

) 0 ' ( 0

a b a c

(L u ý : Chúng ta củng có thể lí luận: Vì nếu x0 là nghiệm của phơng trình (1)

) 0 ' ( 0

) 0 ' ( 0

a c a b

+) Phơng trình (1) có 4 nghiệm  phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt đềudơng.

) 0 ' ( 0

a b a c

2 2

) 1 ( 1 2 )

1 2 ( ) ( )

' (

2 0 1 2

m hoặc m  1 thì phơng trình (1) có hai nghiệm.

2) Để phơng trình (1) có 3 nghiệm thì phơng trình (2) phải có một nghiệm bằng

0 và một nghiệm dơng

2 0 1 2 0 0

1 2 0 2

) ( 0 ) 1 ( 0 0 ) 0 ' (

m m

a c

m m m m m m m m m

a a

C KẾT LUẬN

I Bài học kinh nghiệm

Bài toỏn về phương trỡnh bậc hai là cỏc dạng toỏn thường gặp trongchương trỡnh toỏn 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yờu cầutrong sỏch giỏo khoa thỡ chưa đủ, vỡ vậy đũi hỏi giỏo viờn phải tớch cực tự học,

tự nghiờn cứu, tỡm tũi sỏng tạo thường xuyờn bổ sung kiến thức và tớch luỹ kinhnghiệm về vấn đề này

Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương phỏp giải bài toỏnliờn quan đến phương trỡnh bậc hai thỡ bản thõn mỗi giỏo viờn phải phõn dạngđược cỏc bài toỏn liờn quan đến phương trỡnh bậc hai và biết cỏch giải cụ thể củacỏc dạng toỏn

Qua việc nghiờn cứu bờn cạnh việc giỳp cho bản thõn nõng cao kiến thức,nõng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi cú hiệu quả, ngoài ra cũn giỳp bảnthõn nõng cao phương phỏp tự học, tự nghiờn cứu để cú thể tiếp tục nghiờn cứucỏc vấn đề khỏc tốt hơn trong suốt quỏ trỡnh dạy học của mỡnh

Sau quỏ trỡnh nghiờn cứu đề tài tụi đó ỏp dụng vào giảng dạy cho học sinhkhối lớp 9 và thấy răng cỏc em cú hứng thỳ học hơn đặc biệt là cỏc em hiểu bài

và làm bài tốt hơn Kết quả khảo sỏt sau khi thực hiện đề tài như sau :

II Kết luận chung

Để thực hiện tốt cụng việc giảng dạy, đặc biệt là cụng tỏc bồi dưỡng họcsinh giỏi người thầy phải thường xuyờn học, học tập, nghiờn cứu, tỡm tũi và sỏngtạo

Trong quỏ trỡnh giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tàiliệu tham khảo tụi đó rỳt ra một số kinh nghiệm nờu trờn Hy vọng đề tài

“Phân dạng các bài toán về phơng trình bậc hai trong chơng trình Toán THCS” làm một kinh nghiệm của mỡnh để giỳp học sinh tiếp thu vấn đề này,

phần nào nõng cao năng lực tư duy, sự sỏng tạo và rốn kỹ năng giải cỏc bài toỏn

về phương trỡnh bậc hai cho học sinh

Trong quỏ trỡnh nghiờn cứu khụng thể trỏnh khỏi sai sút, hạn chế rấtmong được sự giỳp đỡ, gúp ý của đồng nghiệp

D TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK và sách giáo viên lớp 9 cải cách

2 Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên

3 Một số vấn đề phỏt triển Đại số 9

4 Cỏc chuyờn đề trờn bỏo tuổi thơ 2

5 Bỏo toỏn học tuổi thơ 2 của Bộ Giỏo Dục

6 ễn tập thi vào lớp 10 mụn Toỏn

7 Bộ đề ụn tập Toỏn 9