Giảng dạy mônToán nói chung và giảng dạy môn Hình học ở bậc THCS nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó khô
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ.
I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI.
Giảng dạy mônToán nói chung và giảng dạy môn Hình học ở bậc THCS nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng và lật ngược bài toán là một vấn
đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm vững kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn giúp các em có khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo Là một công cụ đắc lực để rèn luyện tính thông minh, tư duy sáng tạo của học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và lật ngược các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học toán
Qua các năm giảng dạy tôi nhận thấy rằng:
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười
tư duy trong quá trình học tập
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán
II LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Thực tế hiện nay kỹ năng giải giải các bài tập Hình học của học sinh chưa cao, học sinh còn nhiều lúng túng, bỡ ngỡ trước các bài toán hình học Và q ua thực tế nhiều năm giảng dạy tôi đã được tiếp xúc với rất nhiều đối tượng học sinh khác nhau và thấy rằng đa số học sinh không nhớ được những bài tập hình học đã làm hoặc chỉ nhớ các bài tập riêng lẻ, thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn toàn giống với bài toán đã làm nhưng học sinh không làm được Đặc biệt là các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỹ năng nhận ra Do đó kết quả học tập và kết quả đạt được trong các kỳ thi chưa cao Vì vậy việc khai thác và xây dựng hệ thống bài tập từ các bài tập ban đầu sẽ giúp cho học sinh rất nhiều trong học toán, giúp
1
Trang 2học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học
toán cho học sinh Với mong muốn đó tôi xin giới thiệu đề tài: “ Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập hình học từ một bài tập cơ bản ban đầu theo nhiều hướng khác nhau ”
III ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ đề cập đến các bài tập hình học trong chương trình hình học THCS
Đối tượng để tôi thể nghiệm đề tài này là học sinh các khối lớp 7, 8, 9 và đội tuyển học sinh giỏi của trường
IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các
em hình thành phương pháp giải
- Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập
- Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh Khơi dậy tính sáng tạo và giải toán của học sinh
- Sữa chữa những thiếu sót, những sai lầm mà học sinh hay gặp khi giải các bài toán hình học
- Giúp học sinh nhận dạng và áp dụng phương pháp phù hợp đối với các bài toán hình học khác nhau
- Rèn luyện và hình thành cho học sinh các kỹ năng vẽ hình thành thạo và chính xác
+ Giúp học sinh có hứng thú, say mê trong học toán
+ Giúp học sinh xây dựng phương pháp tự học khoa học
+ Giúp học sinh đạt kết quả cao trong học tập nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng
V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Vấn đề được nghiên tương đối cứu toàn diện sâu sắc về công tác giảng dạy môn hình học Vấn đề được nghiên cứu là vấn đề đặc biệt quan trọng có tác động lớn đến việc nâng cao chất lượng học sinh, phát huy tính tích cực, khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh Hệ thống bài tập được xây dựng liên kết các kiến thức Từ những bài toán không mới, giáo viên đã biến nó thành cái mới và sắp xếp chúng theo một hệ thống nhất định có thể giúp học sinh tiếp thu bài nhanh hơn,vững vàng hơn và hứng thú hơn
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I CƠ SỞ LÍ LUẬN
Hiện nay hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và cả các tài liệu
tham khảo của chương trình hình học THCS tôi thấy còn rời rạc, đơn giản, chưa sâu, chưa có bài tập xâu chuỗi, liên kết các kiến thức đã học với nhau
Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng
2
Trang 3tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Nếu chỉ hướng dẫn học sinh học qua các bài tập riêng lẻ như sách giáo khoa hay sách bài tập thì rất khó
để nâng cao chất lượng học sinh Do đó mỗi giáo viên cần xây dựng hệ thống các bài tập liên kết các bài tập từ các bài tập cơ bản ban đầu giúp học sinh dễ dàng nhận biết, liên hệ các bài tập mới với các bài tập cũ từ đó tìm ra hướng giải đúng cho các bài tập mới và làm được các bài tập tương tự cũng như nắm vững kiến thức
II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh lớp 9A năm học 2015 – 2016 tôi thấy kết quả tiếp thu về như sau:
Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10
Qua bài làm của học sinh, tôi thấy đa số các em còn lúng túng và chưa liên hệ với các bài tập cơ bản mà các em đã làm (kể cả các em trong đội tuyển học sinh giỏi) dẫn đến kết quả bài làm còn thấp, đa số các em chưa đạt yêu cầu, chất lượng điểm khá giỏi thấp
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao
- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán
Do vậy bản thân tôi thấy cần thiết phải xây dựng các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp và có hiệu quả, giúp các em giải nhanh và chính xác các bài toán
III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Trong quá trình dạy toán, chắc rằng các thầy cô giáo đã có không ít lần gặp các bài toán cũ mà cách phát biểu có thể hoàn toàn khác, hoặc khác chút ít Những bài toán tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược bài toán mà các bài toán này có cùng phương pháp giải Nếu giáo viên định hướng cho học sinh
kỷ năng thường xuyên liên hệ một bài toán mới với những bài toán đã biết như
3
Trang 44 3 2 1
N
O
C
D
bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài toán đặc biệt thì sẽ làm cho học sinh phát hiện ra rằng bài toán đó không mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được bài toán từ đó định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực
và chủ động Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và
để thể hiện nội dung của đề tài
Bài toán 1: Cho hình thang vuông ABCD ( A B 90 0) Gọi O là trung điểm của AB Biết cạnh bên CD = AD + BC Chứng minh: CO D 90 0
1 Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của CD
ON là đường trung bình của hinh thang
2
A
ON
Mà AD + BC = CD ON = D
2
C
COD vuông tại O
vậy CO D 90 0
2 Khai thác và xây dựng hệ thống bài toán.
Qua bài toán 1 ta thấy CO D 90 0 thì ON = D
2
C
mà D+BC
2
A
ON suy ra
CD = AD + BC Với cách suy nghĩ này ta có bài toán 2 (bài toán 2 là bài toán đảo của bài toán gốc).
Bài toán 2: Cho hình thang vuông ABCD ( A B 90 0) Gọi O là trung điểm của AB Biết CO D 90 0 Chứng minh: CD = AD + BC
Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của CD
ON là đường trung bình của hinh thang ABCD nên D+BC
2
A
ON là đường trung tuyến ứng với cạn huyền của tam giác vuông DOC
ON = D
2
C
(2)
Từ (1) và (2) CD = AD + BC
Nhận xét 1: Qua bài 2 bài toán 1 và 2 ta thấy nếu C và D nằm trên hai tia nằm cùng 1 nửa mặt phẳng và vuông góc với AB tại A và B thì nếu CO D 90 0thì
CD = AD + BC và ngược lại nếu CD = AD + BC thì CO D 90 0
Và từ 0
D 90
CO ta suy ra
4 DO
A O ADO∽ BOC Với cách suy nghĩ này ta
có bài toán 3 như sau:
4
N
O
C
D
Trang 52 1
4 3 2
N
O
C
D M
y
2 1
4 3 2 1
N
O
C
D
Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tia Ax và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho CD = AD + BC
Chứng minh:
a)CO D 90 0
b) ADO∽ BOC
Hướng dẫn câu b:
Xét ADO và BOC ta có:
90 0
4
DO
A O (cùng phụ với
1
ADO∽ BOC (g.g)
Nhận xét 2: Vì ADO∽ BOC
2
D.BC=AO.BO=
A BC
Và ADO∽ BOC
BC
CO ODC∽BOC Với suy ngĩ trên ta có bài toán 4 như sau:
Bài toán 4: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tia Ax và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho CD = AD + BC Chứng minh:
a) CO D 90 0
b) D.BC=AB2
4
c) ODC∽BOC.
Nhận xét 3: Nếu không có các bài toán 1;2;3 ở trên thì học sinh không dễ để
giải bài toán 4 nhưng nếu học sinh được làm các bài toán trên thì bài toán 4 trở nên đơn giản với học sinh.
Hướng dẫn:
Theo bài toán 3 thì ADO∽ BOC(g.g)
2
D.BC = AO.BO =
A BC
Và ADO∽ BOC
BC
BC
CO ODC∽BOC(c.g.c)
Nhận xét 4: Từ ODC∽BOC C1C 2
và tương tự
1 2
D D Do đó nếu kẻ OM CD thì OA = OB = OM nên ta có bài toán 5 như sau:
Bài toán 5: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tiaAx và
By
5
Trang 62 1
4
3 2 1
O
C
D
M
y
2 1
4
3 2 1
Q P
O
C
D
M
lần lượt lấy các điểm D và C sao cho 0
D 90
CO M là chân đường vuông góc kẻ
từ O đến CD Chứng minh:
a) AD.BC không đổi khi D và C di chuyển trên Ax và By
b) Tam giác AMB vuông
Hướng dẫn:
a) Làm theo bài 4 ta chứng minh được
2 AB
D.BC =
4
A mà AB không đổi nên AD.BC không đổi
b) Qua bài 4 ta đã c/m ODC∽BOC C1C 2
Tương tự ta cũng có
1 2
D D nên suy ra
DO = MDO
A
(cạnh huyền – góc nhọn) OM = OA
Tương tự OM = OB nên OM = 1
2AB suy ra AMB vuông tại M
Nhận xét 5: Từ ADO = MDO ta suy ra DA = DM do đó AM DO và BM cũng vuông góc với OC do đó ta có bài toán 6 như sau:
Bài toán 6: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tiaAx và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho CO D 90 0 M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến CD Gọi P là giao điểm của AM và DO; Q là giao điểm của BM và
CO Chứng minh:
a) Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật
b) PQ // AB
c) OPQ ∽ OCD
Hướng dẫn:
a) Ở bài 4 và bài 5 ta đã chứng minh
1 2
DO = MDO
A
(cạnh huyền – góc nhọn) suy ra
DAM cân tại D suy ra DO là đường trung trực
6
Trang 72 1
4
3 2 1
K P
O
C
D
M E
của AM nên AM DO tại P
Tương tự MB OC tại Q
Mặt khác CO D 90 0 (gt) suy ra
Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật
b) Vì DO // MB (cùng vuông góc AM)
O1MBO mà
1 2
O O (ADO = MDO )
2
O MQP(OPM = QMP (c.c.c)) suy ra MQP MBO Vậy PQ // AB
c) PQ // AB
1
QPO O
mà
1 1
O C (cùng phụ với
4
1 2
2
QPO C
vậy OPQ ∽ OCD (g.g)
Nhận xét 6: Ở bài toán 6 ta cũng có thể thay chứng minh Tứ giác OPMQ là
hình chữ nhật bởi yêu cầu chứng minh OP.OD = OQ.OC thì ta có thể chứng minh câu c OPQ ∽ OCD (c.g.c) do đó ta cũng có thể phát triển thêm bài toán tương tự như sau:
Bài toán 7: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tiaAx và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho CO D 90 0 M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến CD Gọi P là giao điểm của AM và DO; Q là giao điểm của BM và
CO Chứng minh:
a) Độ dài PQ không đổi khi D và C di chuyển trên Ax và By
b) OP.OD = OQ.OC
c) OPQ ∽ OCD
Hướng dẫn:
a) Ta c/m OPMQ là hình chữ nhật PQ = MO
mà MO2 = MD.MC = AD.BC = 2
4
AB
không đổi
b) Ta c/m MO2 = OP.OD = OQ.OC
c) Từ OP.OD = OQ.OC
D
OPQ ∽ OCD (c.g.c)
Nhận xét 7: Từ bài 6 ta thấy OPMQ là hình chữ nhật DO // MB và O là trung điểm của AB do đó nếu gọi E là giao điểm của MB và tia Ax thì D là trung điểm của AE Mà ADO∽ BOC nên AEO ∽ BAC AEO BAC
EOAC nên ta có bài toán 8 như sau:
Bài toán 8: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tiaAx và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho 0
D 90
CO M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến CD Gọi E là giao điểm của BM và tia Ax
a) Chứng minh rằng D là trung điểm của AE
b) Chứng minh EO AC
Hướng dẫn:
7
Trang 8y
2 1
4
3 2 1
O
C
D
M E
H
a) ADO∽BOC (g.g)
BC
BOC∽ODC (c.g.c) C1C 2
suy ra OMC = OBC (cạnh huyền – góc nhọn) CM = CB
CO là đường trung trực của MB COEB
mặt khác CODO (gt) CO // EB
mà OA = OB (gt) suy ra D là trung điểm của AE
b)Gọi K là giao điểm của EO và AC
ADO∽BOC 2
D 2 D E
AEO ∽ BAC (c.g.c) AEO BAC
Mà BAC K AE 90 0 AEO KAE 90 0
Suy ra AKE 90 0 vậy EO AC
Nhận xét 8: Từ CM = CB và D là trung điểm của AE Nếu gọi I là giao điểm của AC và BD thì MI // BC MI cắt AB tại H thì I là trung điểm của MH nên ta
có bài toán 9 như sau:
Bài toán 9: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tiaAx và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho CO D 90 0 M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến CD Gọi I là giao điểm của AC và BD
a) Chứng minh rằng: MI AB
b) MI cắt AB tại H Chứng minh rằng: MI = IH
Hướng dẫn:
a) ADO∽BOC (g.g)
BC
CO BOC∽ODC (c.g.c)
1 2
C C suy ra OMC = OBC (cạnh huyền – góc nhọn) CM = CB
BOC∽ODC O 4 D2 mà
1 4
D O D 1 D 2
suy ra OAD = OMD (cạnh huyền – góc nhọn) AD = MD.
Ta có AD // BC AD DI
mà CM = CB; AD = MD
8
Trang 9y
2 1
4
3 2 1
F
O
C
D
M E
H
MI // BC
Mặt khác BC AB MI AB
b) theo bài 8 ta đã c/m DA = DE mà
MI // ED (theo câu a) MI IB
IH // DA IB IH
Từ đó suy ra MI IH
DE DA MI = IH
Nhận xét 9: Vì MH // AE ; DO // EB
do đó nếu gọi F là giao điểm của MH
và DO thì DÈMF là hình bình hành
nên MF = DE mà DE = DA
suy ra MF = AD nên ta có bài toán 10 như sau:
Bài toán 10: Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các
tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của AB, trên các tiaAx và
By lần lượt lấy các điểm D và C sao cho CO D 90 0 M là chân đường vuông góc kẻ từ O đến CD Kẻ MH AB (H AB) DO cắt MH tại F
chứng minh AD = MF
Hướng dẫn:
Từ
1 2
D D suy ra OAD = OMD (cạnh huyền – góc nhọn)
AD = MD nên DO là đường trung trực của AM DOAM nên F là trực tâm của tam giác AMO AF MO mà DM MO gt DM // AF
MF // AD (GT) suy ra tứ giác ADMF là hình bình hành
Vậy AD = MF
Nhận xét 10: Ta thấy AB DC; AD + BC = DC
Nên chu vi tứ giác ABCD là: P ABCD = AB + AD + BC + DC = AB + 2DC
3AB.
9
Trang 102 1
4
3 2 1
O
C
D
M
Diện tích tứ giác ABCD là:
2
.
ABCD
AB
toán 11 như sau:
Bài toán 11: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của
AB D và C là các điểm di động trên trên các tiaAx và By sao cho 0
D 90
Tìm vị trí của D và C để:
a) Chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất
b) Diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất
Hướng dẫn:
Gọi N là trung điểm của CD
ON là đường trung bình của hinh thang ABCD nên D+BC
2
A
ON là đường trung tuyến ứng với cạn huyền của tam giác vuông DOC
ON = D
2
C
(2)
Từ (1) và (2) CD = AD + BC
Ta có: P ABCD = AB + AD + BC + DC = AB + 2DC
Mà DC AB (vì AB là khoảng cách giữa hai đuoingừ thẳng song song)
P ABCD 3AB = 3a
Vậy chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất bằng 3a khi CD = AB suy ra CD // AB
Nhận xét 11: - Bài toán này có thể khai thác, phát triển thành nhiều bài toán nữa theo nhiều hướng khác nhau Nhưng nhũng bài toán trên được phát triển theo một mạch lôgic và vận dụng các kiến thức cơ bản nhất của hình học 8 Và mỗi bài toán có thể còn nhiều cách giải khác nữa, thậm chí còn những cách giải còn ngắn gọn hơn Nhưng trong chuyên đề này tôi chỉ trình bày các cách suy luận theo một mạch lôgic liên quan giữa các bài tập với nhau.
- Để vận dụng tốt đề tài này cần yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản của bộ môn hình học.
- Để vận dụng đề tài hiệu quả trong quá trình giảng dạy giáo viên cần cho học sinh tiếp cận đề dưới nhiều bài toán khác nhau bằng cách thay đổi các yêu cầu bài toán bằng các câu hỏi tương tự, làm mới bài toán bằng các cách thay đổi ngôn ngữ nhưng bản chất toán học không thay đổi.
10
