Luận văn sư phạm Ứng dụng định hướng trong hình học phẳng

Các tiên đ trong nhóm này là:... Cho tam giác ABC và tam giác A‟B‟C‟... Cung ch a góc Cho tam giác ABC.

D ng Tr ng Luy n K29b toán 1

L i c m n

Sau m t th i gian say mê nghiên c u v i s c g ng c a b n thân đ c

bi t là s h ng d n ch b o t n tình c a Th y Nguy n V n V n đã giúp đ

em trong su t quá trình nghiên c u và hoàn thành khoá lu n

Qua đây em xin bày lòng bi t n t i Th y c ng nh s ch b o quan tâm, đóng góp ý ki n c a các Th y, Cô giáo trong t Hình h c, các Th y, Cô giáo trong khoa Toán đã giúp đ em hoàn thành khoá lu n t t nghi p c a mình

Do đi u ki n th i gian và kh n ng c a b n thân còn nhi u h n ch nên

lu n v n không th tránh kh i nh ng thi u sót Kính mong các Th y, Cô cùng các b n nh n xét và góp ý ki n đ em rút đ c kinh nghi m và có h ng hoàn thi n phát tri n khoá lu n sau này

M t l n n a em xin đ c g i l i c m n chân thành sâu s c và l i chúc

s c kho đ n các Th y, Cô và toàn th các b n

Sinh viên

D ng Tr ng Luy n

D ng Tr ng Luy n K29b toán 2

L i cam đoan

Qua quá trình nghiên c u khoá lu n: “ ng d ng đ nh h ng trong

hình h c ph ng” đã giúp em tìm hi u sâu h n b môn Hình h c đ c bi t đó

là m t trong nh ng khái ni m quan tr ng c a hình h c s c p Qua đó c ng giúp em b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c

Em xin cam đoan khoá lu n đ c hoàn thành do s c g ng n l c tìm

D ng Tr ng Luy n K29b toán 3

M c l c

A nh h ng trên đ ng th ng 9

1 nh ngh a 9 2 dài đ i s c a đo n th ng 10 3 H th c Sa- l 10 4 Các ví d minh ho 11 B nh h ng trong m t ph ng 16 B0 H to đ tr c chu n thu n ngh ch 16

B1 Góc đ nh h ng 16 B2 Góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng 24 B3 Cung đ nh h ng và đ ng tròn đ nh h ng 31 B4 ng d ng góc đ nh h ng trong m t ph ng 39 Ph n 3 M t s khái ni m đ nh h ng trong không gian 58 1 H to đ tr c chu n thu n ngh ch 58

2 nh h ng cho m t nh di n, m t tam di n 58

3 Phân lo i phép d i hình lo i I và lo i II 61

4 Ví d 62

K t lu n 64

D ng Tr ng Luy n K29b toán 4

M đ u

1 Lý do ch n đ tài

Hình h c là m t môn có tính ch t h th ng ch t ch , có tính logic và tình tr u t ng cao R t nhi u bài toán trong hình h c ph ng mà vi c tìm ra

l i gi i đó là r t khó ho c n u có tìm đ c l i gi i thì l i gi i c a bài toán th

hi n ngay trong ph m vi ki n th c đã h c thì nh t thi t ph i v hình đ tìm ra

h ng gi i Trong l i gi i c a bài toán nhi u khi chúng ta ph i xét r t nhi u

tr ng h p và th t v trí c a các đi m trong bài toán… V i r t nhi u bài toán nh v y khi vân d ng đ nh h ng trong m t ph ng đã có r t nhi u thu n

D ng Tr ng Luy n K29b toán 6

1 M t s yêu c u c b n c a vi c xây d ng hình h c b ng ph ng pháp tiên đ

Khi xây d ng m t s lý thuy t hình h c ng i ta c n ph i có các khái ni m

c b n (là nh ng khái ni m đ u tiên không đ nh ngh a) và các tiên đ (là

nh ng m nh đ xu t phát đ c th a nh n là đúng).Tuy nhiên h th ng các tiên đ c n ph i đ c đ m b o các đi u ki n sau:

1.1 i u ki n phi mâu thu n: i u ki n này có ngh a là nh ng đi u nói

trong các tiên đ và nh ng k t qu suy ra t chúng không có hai cái nào trái

ng c nhau

1.2 i u k n đ c l p: M i tiên đ c a h ph i đ c l p (đ i v i các tiên đ

khác), ngh a là không th suy ra đ c nó t các tiên đ còn l i

1.3 i u ki n đ y đ : H tiên đ ph i đ y đ đ xây d ng môn h c b ng

suy di n lôgic

2 H tiên đ Hinbe c a hình h c Euclid

H tiên đ Hinbe g m 20 tiên đ v i 6 khái ni m c b n

*Sáu khái ni m c b n g m:

“ i m”, “ ng th ng”, “m t ph ng” (g i chung là các “đ i t ng c

b n”)

“Thu c”, “ gi a”, “b ng” (g i chung là các “t ng quan c b n”)

*Các tiên đ c a Hinbe chia làm 5 nhóm:

Nhóm I ch a tám tiên đ v “liên thu c”

Nhóm II ch a b n tiên đ v “th t ”

Nhóm III ch a n m tiên đ v “b ng nhau”

Nhóm IV ch a hai tiên đ v liên t c

Nhóm V ch a m t tiên đ v song song

2.1 Nhóm I - các tiên đ v liên thu c

D ng Tr ng Luy n K29b toán 7

T ng quan c b n trong nhóm này là t ng quan “thu c” có khi còn

g i là đi qua

Các tiên đ trong nhóm này là:

2.1.1 V i hai đi m b t k t n t i đ ng th ng đi qua

2.1.2 V i hai đi m phân bi t có không quá m t đ ng th ng đi qua

2.1.3 M i đ ng th ng có ít nh t hai đi m Có ít nh t ba đi m không cùng thu c m t đ ng th ng

2.1.4 Cho b t k ba đi m A, B, C nào không thu c m t đ ng th ng, không bao gi có quá m t m t ph ng thu c m i đi m đó

2.1.5 Cho b t k ba đi m A, B, C nào không cùng thu c m t đ ng th ng, không bao gi có quá m t m t ph ng thu c m i đi m đó

2.1.6 N u hai đi m A, B cùng thu c m t đ ng th ng a, đ ng th i cùng thu c m t m t ph ng  thì m i đi m nào khác thu c đ ng th ng a c ng s thu c m t ph ng 

2.1.7 N u hai m t ph ng cùng thu c m t đi m A thì chúng s cùng thu c ít

nh t m t đi m th hai B

2.1.8 Có ít nh t b n đi m không cùng thu c m t m t ph ng

2.2 Nhóm II- Các tiên đ v th t

đây có thêm khái ni m t ng quan c b n “ gi a”

Các tiên đ trong nhóm này là:

2.2.1 N u đi m B gi a đi m A và đi m C thì A, B, C là ba đi m khac nhau cùng thu c m t đ ng th ng và đi m B c ng gi a C và A

2.2.2 Cho b t k hai đi m A, C nào bao gi a c ng có ít nh t m t đi m B trên

đ ng th ng AC sao cho C gi a A cà B

2.2.3 Trong b t c ba đi m nào cùng thu c m t đ ng th ng không bao gi

có quá m t đi m gi a hai đi m kia

2.2.4 Tiên đ Pát

Cho ba đi m A, B, C không cùng thu c m t đ ng th ng và m t đ ng

th ng a thu c m t ph ng (ABC) nh ng không thu c b t c đi m nào trong ba

đi m A, B, C c N u đ ng th ng a có m t đi m chung v i đo n AB thì nó còn m t đi m chung n a ho c v i AC ho c v i đo n BC

2.3 Nhóm III - Các tiên đ b ng nhau

T ng quan c b n trong nhóm này là t ng quan “b ng” c a m t

đo n th ng v i m t đo n th ng khác c a m t góc v i m t góc khác

Các tiên đ trong nhóm này là:

2.3.2 N u A‟B‟  AB và A”B”  AB thì A‟B‟  AB

2.3.3 Cho ba đi m A, B, C th ng h ng v i B gi a A và C và ba đi m A‟, B‟, C‟ th ng hàng v i B‟ gi a A‟ và C‟ N u AB  A‟B‟, BC  B‟C‟ thì

AC A‟C‟

2.3.4 Cho m t góc ( x , y ) và m t n a m t ph ng xác đ nh b i đ ng th ng

ch a tia x‟ Khi đó trong n a m t ph ng nói trên bao gi c ng có m t và ch

m t tia y‟ cùng g c v i tia x‟ sao cho (x‟,y‟) b ng góc (x, y) và ký hi u là: (x, y) = (x‟,y‟)

i v i m i góc (x,y) ta đ u có (x,y)=(y,x) và (x,y)=(x,y)

2.3.5 Cho tam giác ABC và tam giác A‟B‟C‟ N u AB  A‟B‟, AC  A‟C‟

và BAC฀ = ' '฀B A C' thì ta có ฀ABC = ' '฀A B C' và ฀ACB = '฀A C B' '

2.4 Nhóm IV – tiên đ liên t c

2.4.1 Tiên đ đ kin hay tiên đ IV

N u t t c các đi m c a m t đ ng th ng đ c chia thành hai l p

không r ng sao cho:

- M i đi m c a đ ng th ng đ u thu c m t l p và ch m t mà thôi

- M i đi m c a l p th nh t đ u đi tr c m i đi m c a l p th hai Khi đó có m t đi m luôn luôn gi a hai đi m b t k thu c hai l p có

th coi đi m này là đi m cu i cùng c a l p th nh t ho c đi m đ u c a l p

th hai

2.4.2 Tiên đ Acsimét

Cho hai đo n th ng AB và CD b t k Khi đó có m t s h u h n các

đi m A1, A2, , A n thu c đ ng th ng AB s p x p sao cho A 1 gi a A vàA2, A2

gi a A 1, và A3, …., A n  1 gi a A n2 và An, B gi a A n  1 và An và sao cho các đo n AA A A 1 , 1 2 , , An1 An đ u b ng đo n CD

2.5 Nhóm V – các tiên đ v song song

nh ngh a: Hai đ ng th ng phân bi t cùng n m trên m t m t ph ng

và không có đi m chung g i là hai đ ng th ng song song v i nhau N u a và

b là hai đ ng th ng song song v i nhau ký hi u là: a // b

N i dung tiên đ : Cho m t đ ng th ng a b t k và m t đi m A không

thu c đ ng th ng a Khi đó trong m t ph ng xác đ nh b i đi m A và đ ng

th ng a có nhi u nh t m t đ ng th ng đi qua A và không c t a

2.6 o đ dài, di n tích, th tích

2.6.1 dài

D ng Tr ng Luy n K29b toán 9

nh ngh a 2.6.1 V i m t đo n th ng AB cho tr c t n t i duy nh t

m t hàm f (AB) tho mãn các đi u ki n sau:

1 V i m i đo n th ng AB ta có f(ab) > 0

2 N u hai đo n th ng AB và A‟B‟ b ng nhau thì f(AB) = f(A‟B‟)

3 N u có đi m C gi a hai đi m A và B thì : f(AC) + f(CB) = f(AB)

4 Có m t đo n OE sao cho f(OE) = 1

Hàm s f(AB) g i là đ dài c a đo n th ng AB o n OE g i là đ n v dài hay là đo n th ng đ n v

2 N u hai góc (x,y) và (x‟,y‟) b ng nhau thì  ( , ) x y   ( ', ') x y

3 N u có m t tia z gi a hai tia x,y c a góc (x,y) thì

Khi đó giá tr c a hàm f m i đa giác (đ n) P, t c là s f(P) đ c g i là

di n tích c a P theo đ n v di n tích là hình vuông nói trong đi u ki n 4 2.6.3 Th tích c a các hình đa di n đ n

Theo s đ nh xây d ng lí thuy t v di n tích c a các đa giác đ n trong m t ph ng, ng i ta xây d ng lí thuy t v th tích c a các hình đa di n

đ n trong không gian

trên tr c ) Hay cho đo n th ng

AB trên đ ng th ng đ nh h ng  Ta có đ dài đ i s c a đo n th ng AB là

s có giá tr tuy t đ i là đ dài c a đo n th ng AB, kí hi u: AB

D ng Tr ng Luy n K29b toán 11

3 H th c Sa–l

*H th c Sa-l cho ba đi m

V i ba đi m A, B, C b t k trên đ ng th ng đ nh h ng  ta luôn có:

*M r ng h th c Sa-l cho n đi m

Trên đ ng th ng đ nh h ng  cho các đi m A A 1 , 2 , , An, khi đó ta có

h th c Sa-l cho n đi m là: A A 1 2  A A 2 3   A An1 n  A A 1 n

Ví d 3: Gi s a, b, c l n l t là đ dài các c nh BC, AC, AB c a tam giác

ABC và m , m , m a b cl n l t là đ dài đ ng trung tuy n c a tam giác ABC

xu t phát t các đ nh A, B, C t ng ng xu ng các c nh BC, CA, AB ta có:

2 2 2 2

a

2 2 2 2

2 2 2 2

Ch ng minh t ng t ta có đi u ph i ch ng minh

Ví d 4: Qua đi m A c a hình bình hành ABCD D ng cát tuy n đi qua A c t

BD E, BC F và CD G CMR:

AE  AF  AGBài làm: Do AB song song v i DG nên ta có:

(II) N u đ nh th c c a phép bi n đ i t (I) sang (II)

có giá tr d ng ta nói h to đ (I) và h to đ (II) là cùng chi u N u đ nh

th c c a phép bi n đ i t (I) sang (II) có giá tr âm ta nói h to đ (I) và h

to đ (II) là ng c chi u

Vì v y ta quy c h to đ (I) là thu n

Khi đó n u đ nh th c c a phép bi n đ i t (I) sang (II) có giá tr âm thì

ta nói h to đ (II) là ngh ch

B1 - Góc đ nh h ng

1.1 Góc đ nh h ng c a hai vect chung g c

1.1.1 Khái ni m: kh o sát vi c quay tia 0m quanh đi m 0, ta c n ch n m t

chi u quay g i là chi u d ng Thông th ng, ta ch n đó là chi u ng c chi u quay c a kim đ ng h là chi u d ng (và chi u ng c l i c a kim đ ng

h là chi u âm) hình 1

m t góc l ng giác tia đ u là Ou, tia cu i Ov

Cho hai vect chung g c 0 , 0B   A

(đ u khác vect không), trong m t

ph ng (OAB) Cho tia Ox quay quanh đi m O theo m t h ng nh t đ nh t tia 0A đ n tia 0B, ta nói tia 0x quét m t góc đ nh h ng, kí hi u là (0 , 0 ) A B

 

, v i 0A 

là vect đ u(ho c là vect g c) 0B 

là vect cu i (ho c vect ng n)

Nh v y góc đ nh h ng c a vect 0A 

và vect 0B 

chình là góc l ng giác c a tia 0A và tia 0B

1.1.2 Quy c: Thông th ng, ta quy c h ng quay c a tia 0x nói trên

quanh đi m O là d ng n u h ng quay này là ng c chi u quay c a kim

đ ng h , và là âm n u h ng quay này theo h ng kim đ ng h

D ng Tr ng Luy n K29b toán 18

h.2 Trong đó k  0n u quay theo h ng d ng và k < 0 n u quay theo h ng âm

Ta có công th c v s đo cung đ nh h ng:

v i s đo cung không đ nh h ng AB฀ ), k là s vòng quay c a tia 0x t tia

đ u 0A đ n tia cu i 0B, k  0n u quay theo chi u d ng, k < 0 n u quay theo chi u âm N u dùng đ n v đo rađian ta có công th c: sđ(0A,0B)=    2 

Nh v y m i góc đ nh h ng (0A,0B  

) đ c xác đ nh b i vect đ u 0A 

, vect cu i 0B 

  

 

( đây k = 2)

D ng Tr ng Luy n K29b toán 19

1.2 Góc đ nh h ng c a hai vect b t k

1.2.1 Khái ni m

Cho hai vect MN, PQ  

(đ u khác vect không) n m trên cùng m t m t

ph ng.T m t đi m (g i là đi m g c) O nào đó trên m t ph ng y dùng các vect 0A MN , 0 B  PQ (h.3) v i m i véc t đ u MN 

h.3 1.2.2 Tính ch t

S xác đ nh góc đ nh h ng nh trên không ph thu c vào đ dài và

đi m g c các vect nên đ thu n ti n, ta ch c n xét các vect có đ dài b ng nhau và có chung đi m g c, ngh a là các bán kính vect c a m t đ ng tròn

có s đo t 0 đ n 2  thì s đo góc đó xác đ nh duy nh t Xét các h th c v

s đo góc theo môđun2  (ho c ) ta s nh n đ c nhi u đ ng d th c đ p và trong th c t s d ng nh ng đ ng d th c này r t thu n l i khi gi i toán

D i đây là m t s h th c c b n đ i v i các góc đ nh h ng chung g c và không chung g c, trong đó:

0A MN  , 0 B  PQ (h.1) Chú ý r ng: XY  YX

1) Góc không: (0 , 0 ) A A  0 (mod2 )  (1)

2) Góc b t : (0 , 0 ) A  A   (mod2 )  (2)

5) Hai góc ng c h ng bù nhau ho c hai góc đ nh h ng có c nh t ng

ng song song bù nhau:

h c có liên quan đ n góc và gi i m t s bài toán

1.3.1 T ng các góc trong m t tam giác

T ( AB AB , )  0 (mod2 )  , s d ng hai l n h th c Sa-l (4) ta đ c:

D ng Tr ng Luy n K29b toán 22

H th c (8) đ c phát bi u nh sau: T ng ba góc cùng h ng trong

m t tam giác b ng  (theo (mod 2 )  )

N u xét các góc d ng nh h n  ta có: T ng các góc cùng h ng trong m t tam giác b ng 

1.3.2 Góc ngoài c a m t tam giác

T h th c (8) ta có:

( , ) ( , ) ( , ) (mod 2 ) ( , ) ( , ) -( , ) (mod 2 )

c a tam giác ABC

T đó h th c (9) đ c phát bi u nh sau: T ng hai góc trong cùng

h ng c a m t tam giác b ng góc ngoài cùng đ nh th ba (theomod 2 ) 1.3.3 Góc n i ti p và góc tâm

Gi s tam giác ABC n i ti p đ ng tròn tâm O (h.4) Gi a góc đ nh

h ng n i ti p và góc đ nh h ng tâm cùng ch n dây AB có h th c sau:

(0 , 0 ) A B  2.( CA CB , ) (mod 2 ) (10) 

Ch ng minh

D ng Tr ng Luy n K29b toán 23

H.4 Theo h th c Sa-l (4) ta có:

cùng h ng nên x y ra a), còn n u C và D n m khác phía đ i v i

đ ng th ng AB thì chúng ng c h ng nên x y ra b)

1.3.5 Cung ch a góc

Cho tam giác ABC T các h th c v b n đi m n m trên đ ng tròn suy ra: T p h p đi m M sao cho ( MA MB , )  ( CA CB , ) (mod 2 )  là cung tròn đi qua đi m C và dây ch n AB

D ng Tr ng Luy n K29b toán 25

Trên hình 4, t p h p đi m M tho mãn ( MA MB , )  ( CA CB , )   (mod 2 ) 

là cung ACB, còn t p h p đi m N tho mãn

( NA NB , )  ( DA DB , )      (mod 2 )  là cung ADB

B2 Góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng

2.1 Khái ni m góc đ nh h ng gi a hai đ ng th ng

2.1.1 Khái ni m

Trên m t ph ng cho hai đ ng th ng m và p c t nhau t i O L y các đi m

M, N thu c đ ng th ng m, và các đi m P, Q thu c đ ng th ng p (các đi m

D ng Tr ng Luy n K29b toán 26

Gi s ฀MOP =  0 v i 0 0 0

0    180 h ng t OM t i OP là h ng d ng (ngh a là sđ  0

2.1.4 Khái ni m b ng nhau c a góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng

Hai góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng (m, n) và (u, v) đ c g i là b ng nhau khi sđ (m,n) = sđ (u,v) Ta c ng kí hi u s b ng nhau đó là

D ng Tr ng Luy n K29b toán 27

(m, n)   (mod ) 

Nh n xét: N u có đ ng d th c a  b (mod )  thì a   b k 2 (  kZ)suy ra (mod )

a  b  Nói cách khác m t đ ng d th c đúng theo môđun 2

thì c ng đúng theo môđun (đi u ng c l i không ch c ch n x y ra)

Các h th c (*) và (**) đ c tr ng cho s đo góc đ nh h ng c a hai

đ ng th ng MN, PQ và c ng ch ra m i liên h gi a s đo góc c a hai đ ng

th ng và s đo góc đ nh h ng c a hai vect

2.3 M t s h th c c b n c a s đo góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng

D ng Tr ng Luy n K29b toán 28

T các h th c c a s đo góc đ nh h ng c a hai vect , m i liên hên

gi a s đo góc đ nh h ng c a hai đ ng th ng và s đo góc đ nh h ng c a hai vect ta có các h th c v s đo c a hai góc đ nh h ng c a hai đ ng

D ng Tr ng Luy n K29b toán 29

2.4.2 B n đi m cùng n m trên m t đ ng tròn

nh lí 1: Cho tam giác ABC t p h p các đi m M tho mãn:

( MA MB , )  ( CA CB , ) (mod )  là đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC

Chú ý: Khi M  A(ho c M  B) ta coi MA (ho c MB) là ti p tuy n đ ng tròn tâm O ngo i ti p tam giác ABC

và đi qua C, h th c (6) ch ng t đi m M n m trên cung tròn tâm O ch n dây

AB và không đi qua C

Suy ra M n m trên c đ ng tròn tâm O

*Ph n đ o

Gi s đi m M n m trên đ ng tròn tâm O ngo i ti p tam giác ABC Theo h th c c a góc đ nh h ng c a hai vect v b n đi m A, B, C, M cùng

D ng Tr ng Luy n K29b toán 30

n m trên m t đ ng tròn khi C, M cùng phía đ i v i đ ng th ng AB thì: ( CA CB , )  ( MA MB , ) (mod 2 )  còn khi C, M n m khác phía v i đ ng th ng AB thì ( CA CB , )  ( MA MB ,  ) (mod 2 ) 

Khi xét theo môđun thì:

(CA, CB) (DA, DB) (mod ) 

Trong m t ph ng đ nh h ng cho hai d ng th ng x, y c t nhau t i O khi

đó đ ng th ng z đ c g i là đ ng th ng phân giác c a góc đ nh h ng gi a hai đ ng th ng x và y c t nhau t i O n u:

( , ) ( , ) (mod ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (mod ) 2(x,z) (x,y) (mod )

1 (x,z) ( , ) (mod )

Do t giác ABCD n i ti p đ ng tròn nên

(AB, BC)  (AD, DC) (mod )  Ta có

D ng Tr ng Luy n K29b toán 32

( , ) x y  ( , ) (mod ) y x 

ng th c ch ng t các đ ng phân phân giác x, y vuông góc v i nhau

ho c song song v i nhau Vì m i góc có hai đ ng phân giác vuông góc v i nhau nên đi u ki n c n đ c ch ng minh

* i u ki n đ : Gi s hai đ ng phân giác x, y song song v i nhau ta

D ng Tr ng Luy n K29b toán 33

Trong m t ph ng cho hai đ ng tròn tâm 0 và hai đi m A, B n m trên

đ ng tròn đó, đ ng tròn s b chia c t làm hai cung ฀AmB và ฀AnB Ta xét cung ฀AmB khi đó cung này đ c g i là cung đ nh h ng N u các đ u mút có

nh h ng m t ph ng (P) là ch n cùng m t h ng đi trên t t c các

đ ng tròn c a m t ph ng, h ng này g i là h ng thu n, th ng ng i ta quy c h ng thu n c a phép quay trong m t ph ng là h ng t ng ng v i

h ng ng c chi u quay c a kim đ ng h , h ng ng c l i g i là h ng ngh ch

H ng thu n c ng g i là h ng d ng hay h ng l ng giác, h ng ngh ch còn l i g i là h ng âm, và ký hi u d ng hay âm b i d u „+‟ hay „-„

Cung đ c g i là cung d ng n u h ng c a cung đó là cùng h ng

v i h ng d ng c a m t ph ng

Cung đ c g i là cung âm n u h ng c a cung đó là h ng âm c a

m t ph ng

Ta g i  là giá tr s đo c a cung đ nh h ng ฀AmB khi đi m M chuy n

đ ng t A đ n trùng v i B thì giá tr c a cung đ nh h ng là ฀AmB =  và ta