Luận văn sư phạm Khai thác bài tập toán, phần phương pháp tọa độ trong không gian

Phân lo i theo ph ng pháp gi i toán:... c Tính chu vi và di n tích tam giác ABC.

Khoá lu n t t nghi p

L I C M N

B n khóa lu n t t nghi p này là b c đ u tiên em làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c

Trong th i gian nghiên c u và hoàn thành khóa lu n t t nghi p em đã

nh n đ c s giúp đ nhi t tình c a các th y cô trong t ph ng pháp và các

b n sinh viên trong khoa

c bi t, em xin g i l i c m n sâu s c t i th y giáo Nguy n V n HƠ, th y

đã tr c ti p gi ng d y, giúp đ , h ng d n em hoàn thành khóa lu n

Em xin trân tr ng c m n các th y cô giáo!

Hà N i, tháng 05 n m 2010

Lê Th Li u

Khoá lu n t t nghi p

L I CAM OAN

Em xin cam đoan toàn b k t qu trong khóa lu n này là do em nghiên

c u d i s h ng d n c a các th y cô trong t ph ng pháp, đ c bi t là

th y giáo Th c s Nguy n V n HƠ

Và k t qu trong khóa lu n này c a em không trùng l p v i b t kì k t qu nào khác

Hà N i, tháng 05 n m 2010

Sinh viên

Lê Th Li u

PPT cho ta cách gi i nhanh chóng, chính xác và tránh đ c các y u t

tr c quan, các suy di n ph c t p c a PPTH, và là ph ng ti n hi u qu đ gi i các bài toán hình h c

Vì v y, trong r t nhi u n m g n đây PPT đ c xem là n i dung tr ng tâm c a ch ng trình toán trung h c ph thông

Xu t phát t s say mê c a b n thân, ham mu n h c h i, tìm tòi, nghiên c u sâu h n v HHKG, v i mong mu n có đ c ki n th c v ng h n

v HHKG đ chu n b cho vi c gi ng d y sau khi ra tr ng, cùng v i s đ ng

viên khích l c a th y giáo Nguy n V n HƠ mà em đã ch n đ tài : “Khai

thác bài t p toán ph n PPT trong không gian”

2 M c đích nghiên c u

M c đích nghiên c u ch y u c a đ tài là:

- Cho h c sinh th y đ c s t ng quan gi a HHKG và HHGT trong không gian

- Giúp cho h c sinh có thêm ph ng pháp đ gi i bài toán HHKG

- Nghiên c u sâu h n v HHKG làm tài li u tham kh o cho h c sinh và giáo viên

Khoá lu n t t nghi p

3 Nhi m v nghiên c u

tài nghiên c u v i nhi m v :

- Nghiên c u lý lu n chung

+ Bài toán và bài t p toán h c

+ Ph ng pháp t a đ trong không gian

- H th ng hoá ph ng pháp gi i các d ng bài t p d i d ng c b n và nâng cao nh m ph c v cho vi c gi ng d y: “PPT l p 12 THPT theo phân

ph i ch ng trình”

4 Ph ng pháp nghiên c u

- Ph ng pháp nghiên c u lý lu n : D a vào nh ng tài li u s n có,

nh ng thành t u c a nhân lo i trên nh ng l nh v c khác nhau đ v n d ng vào ph ng pháp d y h c môn Toán

- Ph ng pháp quan sát đi u tra: Là ph ng pháp tri giác m t hi n

t ng nào đó đ thu l m nh ng s li u, tài li u c th đ c tr ng cho quá trình di n bi n c a hi n t ng

- Ph ng pháp t ng k t kinh nghi m: Th c ch t là đánh giá và khái quát kinh nghi m, t đó phát hi n ra nh ng v n đ c n nghiên c u, ho c khám phá nh ng m i liên h có tính quy lu t c a hi n t ng giáo d c

- Ph ng pháp th c nghi m giáo d c: Cho phép ta t o nên nh ng tác

ki n th c đã bi t khác có liên quan đ n bài toán, t ng h p l i đ đ ra ki n

th c m i n a…Cu i cùng, chúng ta đi đ n đ c l i gi i c a bài toán

Nh v y khi gi i m t bài toán không nh ng ch các ki n th c đã có trong bài toán mà c m t h th ng các ki n th c liên quan t i bài toán c ng

đ c c ng c qua l i nhi u h n

b Rèn luy n và phát tri n t duy cho h c sinh

c đi m n i b t c a môn toán là m t môn khoa h c suy di n, đ c

xây d ng b ng ph ng pháp tiên đ

Do v y nên l i gi i c a bài toán là m t h th ng h u h n các thao tác

có th t ch t ch đ đi đ n m t m c đích r t rõ r t

Khoá lu n t t nghi p

Vì v y khi gi i m t bài toán nó có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta

n ng l c s d ng các phép suy lu n h p logic: Suy lu n có c n c đúng, suy

lu n tuân theo quy t c suy di n…

Chúng ta bi t r ng không th có m t ph ng pháp chung nào đ gi i

đ c m i bài toán

M i bài toán có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ c l i gi i

c a bài toán chúng ta ph i bi t phân tích, ph i bi t cách d đoán k t qu , ki m tra k t qu , bi t cách liên h t i các v n đ t ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoá…

Nh v y qua vi c gi i bài toán n ng l c t duy sáng t o đ c rèn luy n và phát tri n

c Rèn luy n k n ng v n d ng các ki n th c toán h c cho h c sinh

M t trong nh ng yêu c u c a vi c n m v ng các ki n th c c a b t c

c a b môn khoa h c nào là hi u, nh và v n d ng các ki n th c c a b môn khoa h c đó vào vi c gi i quy t các nhi m v đ t ra, t c là gi i quy t đ c các bài toán đ t ra trong l nh v c khoa h c đó

Trong vi c gi ng d y toán thì bài toán l i tham gia vào trong m i tình

hu ng c a quá trình d y h c môn toán

Trong gi ng d y khái ni m toán h c: Bài toán đ c s d ng đ t ch c gây tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đi đ n đ nh ngh a khái ni m Bài toán đ c s d ng đã nêu ra làm các ví d và ph n ví d minh h a cho khái ni m Bài toán đ c s d ng đ luy n t p, c ng c v n d ng khái ni m

Trong gi ng d y đ nh lý toán h c: Bài toán có th đ c s d ng đ t

ch c gây tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n ra n i dung đ nh lý toán h c Bài toán có th đ c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t là

Khoá lu n t t nghi p

vi c t ch c h ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý chính là vi c t ch c

h ng d n h c sinh t p tìm ra l i gi i c a m t ch ng nào đó c a môn h c

Trong luy n t p toán h c : Bài toán là ph ng ti n ch y u trong các

ti t luy n t p toán h c Trong đó ng i giáo viên ph i xây d ng đ c m t h

th ng các bài t p có liên quan ch t ch v i nhau đ nh m giúp h c sinh c ng

c các ki n th c và hình thành m t s k n ng c b n nào đó

d B i d ng phát tri n nhân cách cho h c sinh

c bi t c b n trong tính cách c a con ng i là: M i ho t đ ng đ u có

m c đích r t rõ ràng Khi gi i m t bài toán ta luôn có đ nh h ng m c đích

r t rõ r t, vì v y vi c gi i bài toán s góp ph n tích c c vào vi c rèn luy n

n ng l c ho t đ ng c a con ng i

gi i m t bài toán nh t là đ i v i các bài toán khó ta ph i v t qua

r t nhi u khó kh n, ph i kiên trì nh n l i và nhi u khi ta ph i có quy t tâm r t

l n đ gi i bài toán đó

Nói theo cách c a G.POLYA thì : “Khát v ng và quy t tâm gi i đ c bài toán là nhân t ch y u c a quá trình gi i m i bài toán”

Do v y ta th y r ng : Ho t đ ng gi i toán chính là nhân t ch y u c a quá trình hình thành và phát tri n nhân cách c a con ng i

3 Phân lo i bƠi toán

a Phân lo i theo hình th c bài toán:

- Bài toán ch ng minh: Là bài toán mà k t lu n c a nó đã đ c đ a ra

m t cách rõ ràng trong đ bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó k t lu n c a nó ch a s n sàng trong đ bài toán

b Phân lo i theo ph ng pháp gi i toán:

Khoá lu n t t nghi p

- Bài toán có angôrit gi i: Là bài toán mà ph ng pháp gi i c a nó theo

m t angôrit nào đó ho c mang tính ch t angôrit nào đó

- Bài toán không có angôrit gi i: Là bài toán mà ph ng pháp gi i c a

nó không theo m t angôrit nào đó ho c không mang tính ch t angôrit nào đó

c Phân lo i theo n i dung bài toán:

Bài toán s h c

Bài toán đ i s Bài toán hình h c

d Phân lo i theo ý ngh a gi i toán:

- Bài toán c ng c k n ng: Là bài toán nh m c ng c tr c ti p ngay sau khi h c ho c m t vài ki n th c hay k n ng nào đó

- Bài toán phát tri n t duy: Là bài toán nh m c ng c m t h th ng các

ki n th c c ng nh k n ng nào đó ho c đòi h i ph i có m t kh n ng t duy phân tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o

4 Ph ng pháp gi i m t bƠi toán

Ph ng pháp tìm l i gi i c a bài toán: D a theo 4 b c c a G.POLYA

a B c 1: Tìm hi u đ

Tr c khi gi i m t bài toán ta ph i phân tích đ bài c a bài toán, r i tìm

hi u th u đáo n i dung c a bài toán b ng nh ng câu h i sau :

- Nh ng cái đã bi t ? Cái gì ch a bi t c a bài toán ?

- Tìm nh ng y u t c đ nh, nh ng y u t không đ i, nh ng y u t thay

đ i bi n thiên c a bài toán

- Xác đ nh các n và giá tr h ng c a bài toán

- D ki n c a bài toán có đ đ xác đ nh cái ch a bi t hay không ?

b B c 2 : Xây d ng ch ng trình gi i

Khoá lu n t t nghi p

Chúng ta có th ti n hành xây d ng ch ng trình gi i theo ph ng pháp sau:

- Ph ng pháp đi xuôi:

Xu t phát t các gi thi t c a bài toán đ c l y làm ti n đ B ng suy

lu n h p logic chúng ta tìm ra các h qu logic c a các ti n đ đó Ti p t c

ch n l c trong đó đ l y ra các h qu g n g i v i k t lu n c a bài toán làm

ti n đ m i L i b ng suy lu n h p logic chúng ta tìm ra h qu logic m i g n

g i h n v i k t lu n… C ti p t c quá trình y chúng ta tìm ra các h qu logic trùng v i k t lu n c a bài toán Khi y ta tìm đ c l i gi i c a bài toán

Ph ng pháp này đ c mô t theo s đ sau:

Khoá lu n t t nghi p

ây là quá trình t ng h p l i c a b c xây d ng ch ng trình gi i, ta

dùng các phép suy lu n h p logic xu t phát t gi thi t c a bài toán, các m nh

đ toán h c đã bi t ta suy d n ra t i k t lu n c a bài toán

d B c 4 : Nh n xét l i gi i và khai thác bài toán

Th l i k t qu c a bài toán, th l i các l p lu n trong l i gi i đã tìm

đ c c a bài toán

Tìm các cách gi i khác n u có c a bài toán

Nghiên c u các bài toán có liên quan

V í d 1: Phơn tích quá trình tìm l i gi i bƠi toán sau:

sinA.sinC = cos

2thì ABC là tam giác cân

HD :

ch ng minh m t tam giác là tam giác cân có nhi u cách : Ho c

ch ng minh 2 c nh nào đó b ng nhau, ho c ch ng minh 2 góc nào đó b ng nhau

đây ta th y gi thi t c a bài toán cho bi t đ ng th c liên h v góc, ta

s ch ng minh tam giác đó có hai góc nào đó b ng nhau

H n n a ta th y trong đ ng th c đã cho thì vai trò c a góc A và C là

nh nhau Do đó ta s ch ng minh trong ABC có góc A = C

2

2 A + C sinA.sinC = sin

2Û

Khoá lu n t t nghi p

2sinA.sinC = 1 - cos(A+C)Û

cosA.cosC + sinA.sinC = 1 Û

cos(A - C) = 1

A = C

ÛÞ

i qua M = (x ; y ; z )0 0 0 0 v i VTCP u = (a; b; c)

là:

- Ph ng trình tham s là:

Khoá lu n t t nghi p

0 0 0

- Ch ng 3 nh m cung c p cho h c sinh nh ng ki n th c c b n v khái ni m

v t a đ trong không gian và nh ng ng d ng c a nó

Khoá lu n t t nghi p

+ i u ki n đ hai đ ng ph ng song song

+ i u ki n đ hai đ ng ph ng chéo nhau

H c xong ch ng trình này h c sinh s liên h đ c v i nhi u v n đ

th c t sinh đ ng, liên h đ c v i nhi u v n đ hình h c đã h c l p d i,

m ra m t cách nhìn m i v hình h c T đó, các em có th sáng t o ra nhi u bài toán ho c nhi u d ng toán m i

K t lu n :

Khi h c xong ch ng này, h c sinh c n làm t t các bài t p sách giáo khoa và

các bài ki m tra trong ch ng

Khoá lu n t t nghi p

B c 4: Chuy n k t qu t ngôn ng t a đ sang ngôn ng hình h c

N i dung ch ng trình

Ch ng 3 : Ph ng pháp t a đ trong không gian (20 ti t)

Bài 1 : H t a đ trong không gian (5 ti t) Bài 2 : Ph ng trình m t ph ng (5 ti t)

N u A(a; b; c) và B(a‟; b‟; c‟) thì AB = (a' - a; b' - b; c' - c)

2 Tích vô h ng c a hai vect : u

Khoá lu n t t nghi p

- Ph ng trình tham s là

0 0 0

    

+

0 0

u,u' 0d//d'

) là:

0 (M, )

t = + l3

Þ êëuuur uuur uuurúû

Theo gi thi t VABCD = 5

-4y + 2 = 30

y = -7, y = 8

ÛÛÞ

V y có hai đi m D trên Oy tho mãn : (0; -7; 0) và (0; 8; 0)

Bài 5

Cho A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mp(P) : 3x - 8y + 7z - 1 = 0 Tìm t a đ

đi m C n m trên mp(P) sao cho tam giác ABC đ u

c) Tính chu vi và di n tích tam giác ABC

d) Tính đ dài đ ng cao c a tam giác ABC k t đ nh A

BC = AB + AC nên tam giác ABC vuông t i A

V y: Di n tích tam giác ABC là :

Cho tam giác ABC có: A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5) Tính đ dài

đ ng phân giác trong c a tam giác k t đ nh B

h c12)

Khoá lu n t t nghi p

Gi i

Ta có: AB 1; -3; 4 , AC -5; 5; 6 , BC -6; 8; 2uuur( ) uuur( ) uur( )

G i D là chân đ ng phân giác k t B, gi s D(x; y; z)

-112(2 - y) = y - 7 y =

32(-1 - z) = z - 5

z = 1

ìïïïï

Cho 4 đi m A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1)

a) Ch ng minh 4 đi m không đ ng ph ng Tính th tích t di n ABCD

b) Tìm t a đ tr ng tâm c a tam giác ABC, c a t di n ABCD

G i : hA, hB, hC, hD là chi u cao h t A, B, C, D thì :

hA =

BCD

13

Khoá lu n t t nghi p

hB =

ACD

13

1S

b) i qua 2 đi m A(1; 1; -1), B(5; 2; 1) và song song v i Oz

c) i qua đi m (3; 2; -1) và song song v i mp có ph ng trình: x - 5y + z = 0 d) i qua 2 đi m A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc v i mp: x - y + z + 1 =

Khoá lu n t t nghi p

V y: Mp(MNP) có ph ng trình: 2(x - 2) + y + (z - 1) = 0

hay 2x + y + z - 3 = 0 b) Gi s : Mp(P) đi qua A, B và song song v i Oz, có VTPT n

a = b = c pt(1) tr thành x + y + z = 0

a = b = -c pt(1) tr thành x + y - z + 1 = 0

a = c = -b pt(1) tr thành x - y + z - 3 = 0 -a = b = c pt(1) tr thành -x + y + z - 5 = 0

-ìïïï

ìïïï

V y có 2 mp(P) là: 1x + y = 0; -3x +y = 0

3

Bài 2

Cho 3 đi m A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1)

a) Vi t ph ng trình mp đi qua 3 đi m A, B, C

b) Tìm đi m M thu c mp: 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC

Khoá lu n t t nghi p

b) Mp đi qua H(2; 1; 1 ) c t các tr c t a đ t i A, B, C

Khi đó: T di n OABC có các c nh OA, OB, OC đôi m t vuông góc

H là tr c tâm ABC OH(ABC)

Mp(ABC) đi qua H và có VTPT là OH = (2; 1; 1) 

có ph ng trình là : 2(x - 2) + (y - 1) + (z - 1) = 0

Khoá lu n t t nghi p

a) i qua A(4; 3; 1) và song song v i đ ng th ng

x = 1 + 2t: y = -3t

b) i qua A(-2; 1; 0) và vuông góc v i mp  : x + 2y - 2z + 1 = 0

c) i qua A(2; -1; 1) và vuông góc v i 2 đ ng th ng l n l t có VTCP là :

Nh n xét: (1),(2) là ph ng trình t ng quát c a 2mp     ,  cùng đi qua d

Vì ph ng trình ( 1) v ng n z nên mp  đi qua d và song song v i Oz Khi đó giao tuy n c a   và (Oxy) chính là hình chi u d 1 cua d trên (Oxy)

V y: Ph ng trình đ ng th ng d là: 1

x - 1 y + 2

3x - 2y - 7 = 0 =

ng th ng d đi qua M(1; 0; 3) và có VTCP u(2; 1; -1)

ng th ng d‟ đi qua đi m M‟(0; -1; 2) và có VTCP u(1; -2; 1)

ng th ng  c n tìm là giao tuy n c a 2mp (A,d) và (A‟,d‟)

Chú ý: u n' = 2 + 1 - 1 = 2ur ur ¹ 0 nên d c t mp(A,d‟) hay d c t 

T ng t : u'.n = -3 - 8 - 2 = -13ur r ¹ 0 nên d‟ c t mp(A,d) hay d‟ c t 

Khoá lu n t t nghi p

a) Tìm m t VTCP c a d và m t đi m n m trên d

b) Vi t ph ng trình mp đi qua d và vuông góc v i (P)

c) Vi t ph ng trình hình chi u vuông góc c a d trên (P)

,VTPT c a (P) là n 1; 1; 1 

Nh n xét : u.n 0 Nên d và (P) không vuông góc

Khi đó hình chi u c a d trên mp(P) là đ ng th ng d‟ có ph ng trình là

4x - y + 8 = 0 =

t' = 1 =

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1; 1; 0), B(0; 2; 1) và

tr ng tâm G = (0; 2; -1) Vi t ph ng trình đ ng th ng đi qua đi m C và vuông góc v i m t ph ng (ABC) ( thi C kh i A,B,D-

2009)

Gi i

i m G(0; -2; -1) là tr ng tâm c a ABC

Khoá lu n t t nghi p

T a đ đi m G th a mãn h :

A B C G

A B C G

A B C G

Bài 4

Cho A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đ ng th ng : x - 1 = y + 2 = z



Vi t ph ng trình đ ng th ng d đi qua tr ng tâm G c a tam giác OAB và

Gi i

T a đ tr ng tâm Gx ; y ; z G G G là:

V y : Hai đ ng th ng d, d‟ chéo nhau

b) ng th ng d đi qua đi m M(0; -3 ; -3) có VTCP u 1; -4; -3 

Khoá lu n t t nghi p

Nh v y : d, d‟ có cùng VTCP nh ng Od', Od

Nên d, d‟ song song

BƠI T P NÂNG CAO

đ ng th ng d , d 1 2

b) Mp(Oxz) c t c 2 đ ng th ng d , d 1 2 l n l t t i các đi m A, B Tính di n tích tam giác OAB (O là g c t a đ ) ( thi H kh i D-2005)

Gi i

a) ng th ng d qua M và có VTCP 1 u = 3; -1; 21  