Luận văn sư phạm Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác

Th.S Nguy n V n HƠ

Hà N i - 2010

L I C M N

Trong th i gian nghiên c u và hoàn thành khóa lu n tôi đã nh n đ c s giúp đ nhi t tình c a các th y cô giáo trong t ph ng pháp và các b n sinh

viên trong khoa Qua đây tôi mu n g i l i c m n sâu s c t i các th y cô giáo

trong t ph ng pháp , đ c bi t là th y Nguy n V n HƠ ng i đã đ nh h ng

cho tôi l a ch n đ tài, d n d t ch b o t n tình chu đáo giúp tôi hoàn thành

4 Ph ng pháp tìm l i gi i c a bài toán: D a theo 4 b c c a Polia 14

5 Các phép suy lu n quy n p trong toán h c 18

Ch ng II: ng d ng trong d y h c 21

D ng 1: Tính giá tr c a m t góc b t k khi bi t giá tr hàm

l ng giác khác có liên quan đ n góc đó Tính giá tr bi u th c

th c c ng, công th c nhân đôi, công th c bi n đ i t ng thành tích, công th c

bi n đ i tích thành t ng Song song cùng v i nó, h c sinh l n l t đ c làm

quen v i các d ng bài t p có liên quan ch ng h n: tính giá tr l ng giác c a

m t góc, ch ng minh đ ng th c, nh n d ng tam giác, rút g n bi u th c Sang

đ n l p 11 l i có thêm ph n ph ng trình l ng giác, vi c gi i ph ng trình

l ng giác đôi khi c ng s d ng các công th c bi n đ i l ng giác Nh m

c ng c ki n th c, rèn luy n k n ng s d ng các công th c bi n đ i l ng

giác th y giáo đã đ t đ tài cho tôi là “ Khai thác bài t p toán ph n công

th c bi n đ i l ng giác ’’ N i dung ch y u c a đ tài là vi c phân chia

các d ng bài t p có liên quan đ n vi c s d ng các công th c bi n đ i l ng giác sin, cosin, và đ a ra m t lo t các d ng bài t p giúp c ng c kh c sâu và

rèn luy n k n ng gi i toán cho h c sinh

2 M c đích nghiên c u

- Nghiên c u lý lu n v bài toán, vi c phân lo i bài toán và ph ng pháp

tìm l i gi i bài toán nh m m c đích xây d ng h th ng bài t p đa d ng

phong phú, đáp ng yêu c u gi ng d y ph n công th c bi n đ i l ng

giác tr ng ph thông

- Xây d ng và khai thác h th ng bài t p trong sách giáo khoa góp ph n nâng cao ch t l ng d y và h c toán tr ng ph thông

3 Nhi m v nghiên c u

tài nghiên c u 2 n i dung :

- C s lý lu n v bài toán, l i gi i bài toán, ý ngh a c a bài toán, phân

lo i bài toán, ph ng pháp gi i bài toán Toán h c

- Nghiên c u các công th c bi n đ i l ng giác l p 10 tr ng ph

thông Phân lo i các d ng toán, khai thác và xây d ng các bài t p toán có liên quan đ n các công th c l ng giác sin, cosin

4 Ph ng pháp nghiên c u

- Nghiên c u lý lu n chung v bài toán và l i gi i bài toán, ý ngh a

bài toán, phân lo i bài toán, ph ng pháp tìm l i gi i bài toán, các

Trên c s đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y r ng: Bài toán là

s đòi h i ph i đ t t i m c đích nào đó Nh v y bài toán có th đ ng nh t

v i m t s quan ni m khác nhau v bài toán: đ toán, bài t p

1.2 Các y u t c b n c a bƠi toán

Trong đ nh ngh a v bài toán trên ta th y có hai y u t chính h p thành

c a m t bài toán đó là : S đòi h i c a bài toán và m c đích c a bài toán

Ví d : Cho 2 đ ng tròn (O), (O’) c t nhau A và B M t cát tuy n

thay đ i quay quanh B c t 2 đ ng tròn (O), (O’) l n l t t i M, N

a Ch ng minh r ng trung tr c c a MN đi qua đi m c đ nh

b Tìm t p h p trung đi m P c a MN

Trong bài toán này 2 y u t c b n h p thành đó là:

S đòi h i c a bài toán th hi n qua c m t "Ch ng minh r ng", “ Tìm

t p h p’’

M c đích c a bài toán th hi n qua: '' Trung tr c c a MN đi qua

đi m c đ nh ''; “ T p h p trung đi m P c a MN’’

Gi i đ c m t bài toán đ c hi u là tìm ra và trình bày đúng ít nh t m t

l i gi i c a bài toán trong tr ng h p bài toán có l i gi i, ho c lý gi i

đ c bài toán là không gi i đ c trong tr ng h p nó không có l i gi i

Ví d : Bài toán có nhi u l i gi i:

'' Trong gi v a th v a gà

M t tr m cái c ng b n ba cái đ u

=

y +

V y s chân c a 43 con v t là: 2  43= 86 (chân)

S chân h t đi là: 100 - 86 = 14 (chân)

S chân h t đi so v i đi u ki n đã cho là do ta gi s t t c 43 con v t

đ u là gà c , t c là ta đã b t đi m i con chó 2 chân

V y s con th là: 14 : 2 = 7 (con), s con gà là: 43 - 7 = 36 (con)

S chân d ra so v i đi u ki n đã cho là do ta gi s t t c 43 con v t

đ u là th c , t c là ta đã thêm vào cho m i con gà 2 chân

V y s con gà là: 72 : 2 = 36 (con), s con chó là: 43 - 36 = 7 (con)

S chân d ra 29 chân là do ta gi s gà và chó đ u 3 chân, t c là ta đã

t ng lên cho m i con gà 1 chân và đ ng th i gi m đi m i con th 1 chân V y 29 chân d ra s con gà l n h n s con th là 29 con Do đó

2.1 C ng c các ki n th c c b n cho h c sinh

Trong th c t m t bài toán ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m toán

h c và các k t lu n toán h c Khi gi i m t bài toán đòi h i ta ph i phân

tích d ki n c a bài toán, huy đ ng các ki n th c đã cho trong đ toán

và các ki n th c đã bi t khác có liên quan t i bài toán, t ng h p l i đ

đ ra ki n th c m i Và c nh v y các ki n th c m i tìm ra l i cùng

các ki n th c đã bi t tr c đ c phân tích, t ng h p l i đ đ ra các ki n

th c m i n a Cu i cùng chúng ta đi đ n đ c l i gi i c a bài toán

Nh v y khi gi i m t bài toán không nh ng ch các ki n th c đã có

trong bài toán mà c m t h th ng các ki n th c liên quan t i bài toán

c ng đ c c ng c qua l i nhi u l n

Ví d : Tìm m đ 2 đ th sau ti p xúc nhau:

m xsinx

y

1 cosx x

2 cos 2

1 y

cosxsinx

m xsinx

1 cosx

x 2cos2

m xsinx

1 cosx

x 2cos2

x

0 cosx

m xsinx

1 cosx

x 2cos21

sin 1 cos 2cos21

)(0

cos

sin 1 cos 2cos21

IIx

x

mxxx

x

Ix

mxxx

1

0 cosx

22

kx

)12(2

km

kx

(k  Z)

Xét hàm s : f(x) = x + sinx , x R

Ta có : f’(x) = 1 + cosx v i  x R

Khi đó ph ng trình: x + sinx = 0 có nghi m duy nh t x = 0

Suy ra h (II) có nghi m khi và ch khi m = 1

 Thông qua cách gi I này c ng c cho h c sinh các ki n th c sau:

- Ph ng pháp đi u ki n đ nh ngh a ti p xúc trong d ng bài t p tìm

đi u ki n c a tham s đ 2 đ th hàm s đã cho ti p xúc v i nhau

- Cách gi I ph ng trinh l ng giác c b n cosx, sinx

- Ngoài ra thông qua đó h c sinh còn liên h t i vi c gi I bài toán này b ng ph ng pháp nghi m kép, nh ng cách này gây khó

kh n trong vi c xác đ nh m

xfy

có nghi m kép

2.2 Rèn luy n vƠ phát tri n t duy cho h c sinh

c đi m n i b t c a toán h c c ng nh c a môn toán là m t khoa h c suy di n, đ c xây d ng b ng ph ng pháp tiên đ Do v y nên l i gi i

c a bài toán là m t h th ng h u h n các thao tác có th t ch t ch đ

đi đ n 1 m c đích r t rõ r t Vì v y khi gi i m t bài toán nó có tác d ng

tr c ti p rèn luy n cho ta n ng l c s d ng các phép suy lu n h p lôgíc: Suy lu n có c n c đúng, suy lu n tuân theo qui t c suy di n,

Chúng ta bi t r ng không th có 1 ph ng pháp chung nào đ gi i đ c

m i bài toán M i bài toán có m t hình v khác nhau, mu n tìm ra đ c

l i gi i c a bài toán chúng ta ph i bi t phân tích: ph i bi t cách d đoán

k t qu , bi t cách ki m tra d đoán, bi t cách liên h t i các v n đ

t ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoá

Nh v y qua vi c gi i bài toán n ng l c t duy sáng t o đ c rèn luy n

Trong vi c gi ng d y toán thì bài toán l i tham gia vào trong m i tình

hu ng c a quá trình d y h c môn toán

Trong gi ng d y khái ni m toán h c: Bài toán đ c s d ng đ t ch c gây tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đi đ n đ nh ngh a khái

ni m; Bài toán đ c s d ng đ nêu ra làm các ví d ho c ph n ví d minh ho cho khái ni m; bài toán đ c s d ng đ luy n t p c ng c

v n d ng khái ni m

Trong gi ng d y đ nh lý toán h c : Bài toán có th đ c s d ng đ t

ch c gây tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n ra n i dung đ nh lý toán

h c; Bài toán có th đ c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý;

c bi t là vi c t ch c h ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý chính là

vi c t ch c h ng d n h c sinh t p tìm ra l i gi i c a m t bài toán c

b n có nhi u ng d ng trong m t ph n hay m t ch ng nào đó c a môn h c

Trong luy n t p toán h c: Bài toán là ph ng ti n ch y u trong các ti t luy n t p toán h c Trong đó ng i giáo viên ph i xây d ng đ c m t

h th ng các bài t p có liên quan ch t ch v i nhau đ nh m giúp h c sinh c ng c các ki n th c và hình thành m t s k n ng c b n nào đó

2 4 B i d ng phát tri n nhơn cách cho h c sinh

c đi m c b n trong tính cách c a con ng i là m i ho t đ ng đ u có

m c đích r t rõ ràng Khi gi i m t bài toán ta luôn có đ nh h ng m c đích r t rõ r t, vì v y vi c gi i bài toán s góp ph n tích c c vào vi c rèn luy n n ng l c ho t đ ng c a con ng i gi i m t bài toán, nh t là

đ i v i các bài toán khó ng i gi i ph i v t qua r t nhi u khó kh n,

ph i kiên trì nh n l i, và nhi u khi ng i ta ph i có quy t tâm r t l n đ

gi i bài toán đó Nói theo cách c a G.POLIA là " Khát v ng và quy t

tâm gi i đ c bài toán là nhân t ch y u c a quá trình gi i m i bài toán" Do v y ta th y r ng: Ho t đ ng gi i toán chính là nhân t ch y u

c a quá trình hình thành và phát tri n nhân cách c a con ng i

3 Phơn lo i bƠi toán

Ng i ta phân lo i các bài toán theo nhi u cách khác nhau đ đ t đ c

m c đích nh t đ nh, th ng là đ s d ng nó m t cách thu n l i

3.1 Phơn lo i theo hình th c bƠi toán

Ng i ta c n c vào k t lu n c a bài toán: K t lu n c a bài toán đã cho hay ch a đ phân chia bài toán ra thành 2 lo i:

- Bài toán ch ng minh: Là bài toán k t lu n c a nó đã đ c đ a ra m t cách rõ ràng trong đ bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó k t lu n c a nó ch a có s n trong đ bài toán

3.2 Phơn lo i theo ph ng pháp gi i bƠi toán

Ng i ta c n c vào ph ng pháp gi i bài toán: Bài toán này có angôrit

gi i hay ch a đ chia các bài toán thành hai lo i

- Bài toán có angôrit gi i: Là bài toán mà ph ng pháp gi i c a nó theo

m t angôrit nào đó ho c mang tích ch t angôrit nào đó

- Bài toán không có angôrit gi i: Là bài toán mà ph ng pháp gi i c a

nó không theo m t angôrit nào ho c không mang tính ch t angôrit nào

3.3 Phơn lo i theo n i dung bƠi toán

Ng i ta c n c vào n i dung c a bài toán đ c phát bi u theo thu t

ng c a m t hay m t vài l nh v c chuyên môn h p h n đ chia bài toán thành các lo i khác nhau nh sau:

Bài toán s h c

Bài toán đ i s

Bài toán hình h c

3.4 Phơn lo i theo Ủ ngh a gi i toán

Ng i ta d a vào ý ngh a c a vi c gi i bài toán đ phân lo i bài toán: Bài toán này nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vài ki n th c k n ng nào đó, hay là bài toán nh m phát tri n t duy Ta có hai lo i bài toán

Tr c khi gi i 1 bài toán ta ph i phân tích đ bài c a bài toán, r i tìm

hi u th u đáo n i dung c a bài toán b ng nh ng câu h i sau:

Nh ng cái gì đã bi t? Cái gì ch a bi t c a bài toán?

Tìm nh ng y u t c đ nh, nh ng y u t không đ i, nh ngy u t thay

đ i, bi n thiên c a bài toán

Xác đ nh các n và các giá tr h ng c a bài toán

D ki n c a bài toán có đ đ xác đ nh cái ch a bi t hay không?

ó là quá trình xu t phát t k t lu n c a bài toán B ng suy lu n h p lôgic chúng ta đi ng c lên đ tìm các ti n đ lôgic c a k t lu n này

Ti p t c chúng ta ch n l c trong đó đ l y ra ti n đ g n g i v i gi thi t c a bài toán đ làm k t lu n m i t đó rút ra các ti n đ lôgíc m i

c a các k t lu n m i này Quá trình y l i đ c ti p di n ta tìm đ c các ti n đ lôgic trùng v i gi thi t c a bài toán, ta có đ c l i gi i c a

A C

X (trong đó A, B là gi thi t còn X là k t lu n)

Chú ý: Thông th ng trong nhi u tr ng h p đ tìm đ c l i gi i c a bài toán ta th ng k t h p c 2 ph ng pháp - đi xuôi và đi ng c

Ví d : Phân tích quá trình tìm l i gi i bài toán sau:

'' Ch ng minh r ng n u ABC tho mãn đi u ki n a = 2bcosC thì

ABC là tam giác cân''

Hd:

ch ng minh m t tam giác là tam giác cân ta có nhi u cách: ho c

ch ng minh 2 c nh nào đó b ng nhau, ho c ch ng minh 2 góc nào đó

b ng nhau

đây ta th y gi thi t c a bài toán cho bi t đ ng th c liên h gi a góc

và c nh, do đó ta có 2 h ng ch ng minh đó là: chuy n v đ ng th c liên h gi a góc và khi đó ta s ch ng minh tam giác đã cho có 2 góc

b ng nhau ho c ta có th chuy n v đ ng th c liên h gi a các c nh và khi đó ta s ch ng minh tam giác đã cho có 2 c nh b ng nhau

0 C)sin(B

C)sin(B C)sin(B sinA

2sinBcosC

sinA

4RsinBcosC

2RsinA

2c2b 2a 2a

2ab

2c2b2a2b a

2bcosC

a

Có nh ng bài toán mà ta đã s d ng nhi u ph ng pháp: Ph ng pháp

đi xuôi, ph ng pháp đi ng c, th m chí k t h p c hai ph ng pháp đó

mà v n ch a tìm đ c l i gi i c a bài toán đó Lúc này ta c n chuy n

h ng suy ngh theo m t h ng khác, t m g i là ph ng pháp s d ng các phép suy lu n qui n p, ngh a là: Suy ngh đ n bài toán liên quan, có tính ch t g n gi ng v i bài toán ta c n gi i - Có th là bài toán con, bài toán t ng t , bài toán đ c bi t, đôi khi là bài toán khái quát

B ng cách phân tích s d ng l i gi i c a các bài toán có liên quan

v i bài toán đã cho, chúng ta có nhi u c h i thu n l i đ tìm ra l i gi i

c a bài toán đã cho

Theo G.POLIA chúng ta th ng ph i đ t ra các câu h i sau: " Anh có

bi t m t bài toán nào g n gi ng bài toán c a anh không?"; " ây là m t bài toán g n gi ng v i bài toán c a anh đã gi i đ c r i Anh có th dùng đ c nó làm gì không?"; " N u anh không gi i đ c bài toán đã cho, thì tr c h t hãy gi i bài toán g n gi ng v i nó

B c 3: Th c hi n ch ng trình gi i

ây là quá trình t ng h p l i c a b c xây d ng ch ng trình gi i, ta dùng các phép suy lu n h p lôgic xu t phát t gi thi t c a bài toán, các

m nh đ toán h c đã bi t ta suy d n ra t i k t lu n c a bài toán

Trong b c th c hi n ch ng trình gi i m t bài toán c n chú ý phân

bi t s khác nhau gi a nh ng đi u đã th y đ c và nh ng đi u suy ra

đ c - chính là đi u ch ng minh đ c

B c 4: Nh n xét l i gi i và khai thác bài toán

Th l i k t qu c a bài toán, th l i các l p lu n trong l i gi i đã tìm

đ c c a bài toán

Tìm các cách gi i khác n u có c a bài toán

Nghiên c u các bài toán có liên quan

5 Các phép Suy Lu n Qui N p trong Toán H c

5.2 Suy lu n quy n p ( Suy lu n nghe có lỦ)

Suy lu n quy n p là suy lu n đi t cái đúng riêng đ n k t lu n chung

T cái ít t ng quát đ n cái t ng quát h n

c tr ng c a suy lu n quy n p là:

- Quá trình suy lu n không tuân theo quy t c suy di n

- K t lu n mang tính c đoán có th đúng có th sai c n ph i ki m nghi m

- Các phép suy lu n qui n p có nhi u ng d ng trong gi i toán, trong

vi c sáng t o toán h c

a Suy lu n quy n p không hoàn toàn

Suy lu n quy n p không hoàn toàn là phép suy lu n mà k t lu n thu c tính A thu c vào t t c các ph n t c a t p đang xét trên c s bi t thu c tính A thu c vào m t s ph n t nào đó c a t p đó

c Suy lu n khái quát hoá

Suy lu n khái quát hoá là suy lu n đi t m t đ i t ng hay m t nhóm

GA1 + GA2 + GA3 = 0

V y n u h n đi m Ai,G là tr ng tâm h n đi m thì

i n

Trong phép suy lu n đ c bi t hoá c n chú ý các tr ng h p đ c bi t gi i

h n suy bi n : Ti p tuy n v i đ ng cong là gi i h n c a cát tuy n v i

đ ng cong khi hai giao đi m c a cát tuy n trùng nhau; o n th ng là

tr ng h p suy bi n tam giác; i m có th coi là đ ng tròn suy bi n có bán kính b ng không

CH NG II : NG D NG TRONG D Y

H C

1 H TH NG CÁC KI N TH C

* CT c ng : sin(a ± b) sinacosb sinbcosa

cos(a b) cosacosb sinasinb

a2sina2cos cos2a

2sinacosa

sin2a

34cos cos3a

a34sin 3sina sin3a

a2sin  

;

2

cos2a1

a2cos  

t1

2t sina



 ;

2 t 1

2 t 1 cosa

ba2cos cosb

2

basin2

ba2sin cosb

2

bacos2

ba2sin sinb

2

basin2

ba2cos sinb

21sinasinb cos(a b) cos(a b)

Liên quan đ n ph n công th c B LG sin, cosin ta có th đ a ra m t

vài d ng bài t p c b n sau đây:

- D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a 1 góc b t k bi t giá tr hàm

l ng giác khác liên quan đ n góc đó, tính giá tr bi u th c

GÓ C ị TệNH GIÁ TR BI U TH C

I BÀI T P C B N

Bài 1: ( SGK SNC 10 trang 213)

S d ng 750 = 450 + 300, hãy tính giá tr l ng giác c a góc 750

S d ng 150 = 450 - 300, hãy tính giá tr l ng giác c a góc 150

1)3(4

2 osin30osin45 ocos30o

cos45 )o30ocos(45

sin75

ocos75   ;

BƠi 2: (SGK SNC 10 trang 214)

Bi t

3

1

a , hãy tính các giá tr l ng giác c a góc

2a

Gi i

Ta có:

3

22 cosa 3

1 sina     Nh ng do 

a nên cosa < 0

3

22

cosa 

6

223 2

a2cos 2

cosa1

2

a2

V y

6

223 2

acos   Hoàn toàn t ng t ta có:

6

223 2

a

3 2 2

2tan

 a ; 3 2 2

2a

2 sin4a cos4a bi t cos2a =

53

3

16

7sin16

5sin16

3sin16

sin

4 cos(a + b), bi t:

2

1 cosb cosa

;3

1 sinb

a nên sina < 0

V y

5

3 sina   Mà

25

12 5

4)5

3( cossin2 2

25

7 25

9 25

16 a2sin a2cos

10

1 2

acos 10

1 2

cosa1

2

1 2

1 2a)2cos (12

1

1

)2

cos2a1

()2

cos2a1

2(

1 a2asin22cos

1 a4cos a4

ba2sin

cosb

2

sin2cos2 sinsina  b  a b a b

2

3 sinbsina

cosbcosa

2

ba

t

tb

)

13

5)

Gi i

H ng d n:

1 Ta có cosa = 6

3

n cosb cosa

m sinb sina

2

2

cos2sin

2

baba

baba

Do 2 < a < nên cosa < 0 và sina > 0 (2)

S d ng công th c nhân đôi ta có: sin2a = - 59 = 2sina cosa;

Hay sina cosa = - 5

x0

18

5x3

22

x0

18

5x3

22

Gi i

Vì 0 < a <

2, nên sin2

a > 0, cos

2

a > 0 V y ta có:

5

42

5

312

cosa1

5

312

cosa1

asin  ;

5

522

a

2

12

a

2

acot 

Bài 9: ( SBT SNC 10 trang 204)

Cho sina = m

1 Hãy tính cos2a, sin22a, tan22a theo m ( gi s tan2a xác đ nh )

2 H i sin2a, tan2a có xác đ nh duy nh t b i m hay không?

)2m(124m2a

2cos

2a2sin

2sin3

sin   ; nh ng

2

33

2

sin  ;

2

3-)3sin(2 

Bài 10: ( SBT SNC 10 trang 205)

Cho cosa = m Hãy tính

2

a2cos ;

2

a2sin ;

2

a2tan theo m ( Gi s

2

atan

cosa1

cosa1

2

a2

m1

m12

a2cos2

a2sin2

II BÀI T P LUY N T P, M R NG, NÂNG CAO

Bài 1: Tính: 1 cos 8 ; sin 8 2 cos 11

12

3

8

sin8

3cos

A 

9

7cos9

5cos9

4cos1

82

Vì cos 8 > 0 nên cos 8 =

2

2 m 2 m

2

2m2m

2

2m2m

1)2(mcosasin2a

15

3cos15

2cos15

sin18

01o2sin18o

1824sin

01)o2sin18o

1821)(4ssino

(sin18

0o1822sin1

o1834sino

3sin18

o1822sin1

o1834sino

12sina  cosa =

13

52)13

12(

Khi đó: cos(

3 - a ) = cos3 cosa + sin3 sina = 26

312

1

( 2 sin200 cos200) cos400 cos800

=

o8sin20

1

( 2 sin400cos400) cos800

=

o16sin20

1

( 2 sin800 cos800) =

16

1o

16sin20

osin160 

Bài 6: Tính: B = sin50sin150……sin750

sin850

sin100 cos200 cos400

=

ocos10

cos10

9

2

osin80

2a

2a

2cos

sin2a = 2sina cosa =

4

52

10

; cos2a = 2 cos2a – 1 =

41

5

Suy ra : sin4a =

4

52

30a

ok72o

18a

ok360a

o904a

ok360a

o904a

A - B = (sin2100 - cos2100) - (sin2200 - cos2200) -….- (sin2

1800 - cos21800) = cos200 + cos400 +…….+ cos3600

Suy ra: 2sin100 (A - B) = sin100 (cos200 + cos400 +…….+ cos3600

Do A + B = 18 và A – B = 0 nên A = B = 9

D NG 2: RÚT G N BI U TH C

I BÀI T P C B N

Bài 1: (SGK SNC 10 trang 215)

Ch ng minh r ng m i bi u th c sau không ph thu c vào bi n s :

1 A = cos2(a + x) + cos2x - 2cosx cosa cos(a + x)

2 B = sin4x sin10x – sin11x sin3x – sin7x sinx

Gi i

1 Ta có:

a2sin2

a2sin2

a24coscosa)

(12

a22cos

a))cos(2xcosa

a)cos(2x(1

2

a22cos

x))cosxcos(a)

2

a(x2(cos2

a24cos

x)cosxcos(a2

a24cos2

a2)cos2

a(x24cos

x)cos(a1)cosx

2(cosa2

x))cos(a(cosa

A = sin4a + sin2acos2a - cos4a B = 1+ sin4a - cos4a 1+cos4a + sin4a

C = cosa + mcos3a + cos5asina + msin3a +sin5a D = cos2a + sin4a - cos6acos2a - sin4a - cos6a

Gi i

A = 2sin2a cosa2sina sin3a = tana (công th c bi n đ i t ng thành tích)

B = 1+ sin2acos2a - 1 + 2sin

2

2a 1+ 2cos2a- 1 +2sin2acos2a =

2sin2a(cos2a + sin2a) 2cos2a(cos2a + sin2a) = tan2a

C = 2sin3acos2a+ msin3a

2cos3acos2a + mcos3a =

sin3a(2cos2a + m) cos3a(2cos2a + m) = tan3a

D = 2sin2 sin4a- sin4a

2sin2a sin4a+ sin4a =

sin4a(2sin2a -1) sin4a(2sin2a +1 ) =

sin2a- sin300 sin2a + sin300

= 2sin(a- 15

0

)cos(a+ 150) 2sin(a+ 150)cos(a- 150) = tan (a - 15

1

sinasin2a



  2

2

a2cos1

a24sin



3

sinacosa

1

sinacosa

)2

ao(4522sinsina

1

sinasin2a



1)sina(2cosacosa

a22cos

1)sina(2cosa

a24sin

a216cos2

a2sin

2

a2cos2

a216sin



3

sinacosa

1

sinacosa

a2sin2

a22sin

2

acos2

a2sin2

a22cos





=

)2

acos - 2

asin(2

a2sin

)2

acos 2

asin-2

a

= - cot

2a

4

2

a4cos

)2

ao(4522sinsina

=

2

a4cos

2sina2

a4cos

a)0cos(90

= sin

2

a

BƠi 4: ( SBT S 10 trang191) Ch ng minh bi u th c sau là nh ng h ng

s không ph thu c vào a, b

a) tan

32a

a) tan

2asin)3

acos3

asin3

asin3

acos

=

3

2acos3

2asin3

acos3

asin

3

a2sin3

a2

3

2acos3

2asin3

2asin3

2a2cos



Bài 5: Ch ng minh r ng bi u th c sau không ph thu c vào bi n s :

C = 8(cos8x - sin8x) – cos6x - 7cos2x

Gi i

C = 8(cos4x - sin4x) (cos4x + sin4x) - cos6x - 7cos2x

= 8(cos2x - sin2x) (1 – 2sin2

x cos2x) - cos6x - 7cos2x

= 8cos2x(1 - 1

2 sin

2

2x) - cos6x - 7cos2x

= cos2x - 4cos2x sin22x – cos6x

= cos2x - sin4x sin2x - cos2x cos4x + sin4x sin2x

= cos2x – (cos2x cos4x + sin4x sin2x) = cos2x - cos2x = 0

Bài 6: Cho bi t cosx = cosb cosa

2 cos

a-x2 =

1

2 (cosx- cosa)1

2 (cosx + cosa)

= cosacosb - cosa cosacosb +cosa

( do cosx = cosb cosa )

= cosb+1cosb-1 = 2 tan2 b2 V y bi u th c đã cho không ph thu c vào a, x

Bài 7: (SGK SNC 1 trang 44) n gi n hóa bi u th c sau

3sin(

a)3

4(2cosa)

4(2