Luận văn sư phạm Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác tang và cotang

Tr ng đ i h c s ph m hà n i 2

Khoa Toán

-

Khai thác bài t p toán

L I C M N

Em xin chân thành c m n các th y cô giáo Tr ng i h c S ph m

Hà N i 2, các th y cô giáo trong khoa Toán và các th y cô giáo t b môn

ph ng pháp đƣ t n tình giúp đ em trong quá trình h c t p t i tr ng và t o

đi u ki n cho em th c hi n khoá lu n t t nghi p

c bi t, em xin bày t lòng bi t n sơu s c t i th y giáo Nguy n V n

Hà, ng i đƣ t n tình h ng d n, ch b o em trong quá trình h c t p, nghiên

c u và hoàn thành khoá lu n này

Trong quá trình nghiên c u, không tránh kh i nh ng thi u sót và h n

ch Kính mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a các th y cô giáo và các

b n đ đ tài đ c hoàn thi n h n

L I CAM OAN

Tôi xin cam đoan đơy là công trình nghiên c u c a riêng tôi Nh ng s

li u và k t qu trong khoá lu n là hoàn toàn trung th c tài ch a t ng đ c

công b trong b t c m t công trình khoa h c nào

D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc khi bi t giá tr

giá tr l ng giác c a góc liên quan t i góc đóầầ ầ.ầ.20

PH N I: M U

1 LỦ do ch n đ tƠi

Nh m i khoa h c khác, l ng giác c ng xu t phát t nhu c u c a đ i

s ng

Trong nhƠ tr ng ph thông, l ng giác chi m m t th i l ng t ng

đ i l n trong vi c gi ng d y vƠ h c t p b môn toán, nó có m t l ng ki n

th c r t l n, có tính h th ng, ch t ch , logic cao c bi t lƠ ph n công th c

l ng giác Nó có m t trong h u h t các phơn môn toán: Hình h c, đ i s , gi i tích,ầ VƠ luôn đ c coi lƠ n i dung tr ng tâm trong b môn Toán nhà

tr ng ph thông

Th c t trong th i gian h c t p nhƠ tr ng ph thông c ng nh trên

đ i h c, cho th y: khi lƠm các bƠi t p liên quan t i các hƠm s l ng giác thì

m c dù v n có đ c l i gi i đúng cho bƠi toán, tuy nhiên l i gi i nhi u khi

còn quanh co, vòng vèo Nguyên nhơn lƠ do ng i lƠm toán không n m v ng các công th c bi n đ i l ng giác, nhìn nh n v n đ không đ c thoáng

V i m t bƠi toán nói chung vƠ bƠi toán l ng giác nói riêng thì có nhi u cách gi i khác nhau, có th lƠ ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp vect Trong đó có m t ph n l n các bƠi toán trong đ i s vƠ gi i tích có th

gi i b ng cách l ng giác hoá, ta đ c cách gi i ng n g n, d hi u cho bƠi

h n v l ng giác đ chu n b cho vi c gi ng d y sau khi ra tr ng, cùng v i

s đ ng viên khích l c a th y giáo Nguy n V n Hà mƠ em đƣ ch n đ tƠi :

“Khai thác bƠi t p toán ph n công th c l ng giác tang và cotang”

2 M c đích nghiên c u

M c đích nghiên c u ch y u c a đ tƠi lƠ:

- Giúp cho h c sinh h th ng t t h n các d ng bƠi t p v l ng giác,

đ c bi t lƠ các d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác

tang và cotang

- Nghiên c u sơu h n v l ng giác đ có đ c ki n th c t t h n v

l ng giác, đ ng th i lƠm tƠi li u tham kh o cho h c sinh vƠ giáo viên

3 Nhi m v nghiên c u

tƠi nghiên c u v i nhi m v :

- Nghiên c u lý lu n chung

+ Bài toán và l i gi i c a bƠi toán

+ N i dung ch ng trình l ng giác tr ng ph thông

- H th ng hóa ph ng pháp gi i các d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang, d i d ng c b n vƠ nơng cao

nh m ph c v cho vi c gi ng d y: “L ng giác cho h c sinh ph thông”

4 Ph ng pháp nghiên c u

- Ph ng pháp nghiên c u lý lu n: D a vƠo nh ng tƠi li u s n có,

nh ng thƠnh t u c a nhơn lo i trên nh ng l nh v c khác nhau đ v n d ng vƠo ph ng pháp d y h c môn Toán

- Ph ng pháp quan sát đi u tra: LƠ ph ng pháp quan sát m t s v t

hi n t ng nƠo đó đ thu l m nh ng s li u, c th đ c tr ng cho quá trình

di n bi n c a hi n t ng

- Ph ng pháp t ng k t kinh nghi m: Th c ch t lƠ đánh giá vƠ khái quát kinh nghi m, t đó phát hi n ra nh ng v n đ c n nghiên c u, ho c khám phá nh ng m i liên h có tính quy lu t c a hi n t ng giáo d c

- Ph ng pháp th c nghi m giáo d c: Cho phép ta t o nên nh ng tác

đ ng giáo d c, t đó xác đ nh vƠ đánh giá k t qu c a nh ng tác đ ng đó

th y rõ rƠng, nh ng không th đ t đ c ngay

T đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y: BƠi toán lƠ s đòi

h i ph i đ t t i m t m c đích nƠo đó Nh v y bƠi toán có th đ ng nh t v i

m t s quan ni m khác nhau v bƠi toán nh : đ toán, bƠi t pầ

BƠi t p lƠ bƠi toán trong đó có nh ng yêu c u đ t ra cho ng i h c

ki n th c đƣ bi t khác có liên quan đ n bƠi toán, t ng h p l i đ đ ra ki n

th c m i n aầ Cu i cùng, chúng ta đi đ n đ c l i gi i c a bƠi toán

Nh v y khi gi i m t bƠi toán không nh ng ch các ki n th c đƣ có trong bƠi toán mƠ c m t h th ng các ki n th c liên quan t i bƠi toán c ng

đ c c ng c qua l i nhi u h n

b Rèn luy n vƠ phát tri n t duy cho h c sinh

c đi m n i b t c a môn toán lƠ m t môn khoa h c suy di n, đ c xơy d ng b ng ph ng pháp tiên đ

Do đó l i gi i c a bƠi toán lƠ m t h th ng h u h n các thao tác có th

t ch t ch đ đi đ n m t m c đích r t rõ r t

Vì v y khi gi i m t bƠi toán nó có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta

n ng l c s d ng các phép suy lu n h p logic: suy lu n có c n c đúng, suy

lu n tuơn theo quy t c suy di nầ

Chúng ta bi t r ng không th có m t ph ng pháp chung nƠo đ gi i

đ c m i bƠi toán

M i bƠi toán có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ c l i gi i

c a bƠi toán chúng ta ph i bi t phơn tích: ph i bi t cách d đoán k t qu ,

ki m tra k t qu , bi t cách liên h t i các v n đ t ng t g n gi ng nhau,

bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoáầ

Nh v y qua vi c gi i bƠi toán n ng l c t duy sáng t o đ c rèn luy n

Trong vi c gi ng d y toán thì bƠi toán l i tham gia vƠo trong m i tình

hu ng c a quá trình d y h c môn toán

Trong gi ng d y khái ni m toán h c: BƠi toán đ c s d ng đ t ch c gơy tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đi đ n đ nh ngh a khái ni m

Bài toán đ c s d ng đƣ nêu ra lƠm các ví d vƠ ph n ví d minh ho cho khái ni m BƠi toán đ c s d ng đ luy n t p, c ng c v n d ng khái ni m

Trong gi ng d y đ nh lý toán h c: BƠi toán có th đ c s d ng đ t

ch c gơy tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n ra n i dung đ nh lý toán h c BƠi toán có th đ c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t lƠ

vi c t ch c h ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý chính lƠ vi c t ch c

h ng d n h c sinh t p tìm ra l i gi i c a m t ch ng nƠo đó c a môn h c

Trong luy n t p toán h c : BƠi toán lƠ ph ng ti n ch y u trong các

ti t luy n t p toán h c Trong đó ng i giáo viên ph i xơy d ng đ c m t h

th ng các bƠi t p có liên quan ch t ch v i nhau đ nh m giúp h c sinh c ng

c các ki n th c vƠ hình thƠnh m t s k n ng c b n nƠo đó

d B i d ng phát tri n nhơn cách cho h c sinh

c bi t c b n trong tính cách c a con ng i lƠ: M i ho t đ ng đ u có

m c đích r t rõ rƠng Khi gi ng m t bƠi toán ta luôn có đ nh h ng m c đích

r t rõ r t, vì v y vi c gi i bƠi toán s góp ph n tích c c vƠo vi c rèn luy n

n ng l c ho t đ ng c a con ng i

gi i m t bƠi toán nh t lƠ đ i v i các bƠi toán khó ta ph i v t qua

r t nhi u khó kh n, ph i kiên trì nh n n i vƠ nhi u khi ta ph i có quy t tơm r t

l n đ gi i bƠi toán đó

Nói theo cách c a G.POLYA thì: “Khát v ng vƠ quy t tơm gi i đ c bƠi toán lƠ nhơn t ch y u c a quá trình gi i m i bƠi toán”

Do v y ta th y r ng: Ho t đ ng gi i toán chính lƠ nhơn t ch y u c a quá trình hình thƠnh vƠ phát tri n nhơn cách c a con ng i

3 Phơn lo i bƠi toán

Ng i ta phơn lo i các bƠi toán theo nhi u cách khác nhau đ đ t đ c

m c đích nh t đ nh, th ng lƠ đ s d ng nó m t cách thu n l i

a Phơn lo i theo hình th c bƠi toán:

Ng i ta c n c vƠo k t lu n c a bƠi toán: K t lu n c a bƠi toán đƣ cho hay ch a đ phơn chia bƠi toán thƠnh 2 lo i:

- BƠi toán ch ng minh: LƠ bƠi toán mƠ k t lu n c a nó đƣ đ c đ a ra

m t cách rõ rƠng trong đ bƠi toán

- BƠi toán tìm tòi: LƠ bƠi toán trong đó k t lu n c a nó ch a s n sƠng trong đ bƠi toán

b Phơn lo i theo ph ng pháp gi i toán:

Ng i ta c n c vƠo ph ng pháp gi i toán: BƠi toán nƠy có angôrit

gi i hay ch a đ chia các bƠi toán thƠnh hai lo i:

- BƠi toán có angôrit gi i: LƠ bƠi toán mƠ ph ng pháp gi i c a nó theo

m t angôrit nƠo đó ho c mang tính ch t angôrit nƠo đó

- BƠi toán không có angôrit gi i: LƠ bƠi toán mƠ ph ng pháp gi i c a

nó không theo m t angôrit nƠo đó ho c không mang tính ch t angôrit nƠo đó

c Phơn lo i theo n i dung bƠi toán:

Ng i ta c n c vƠo n i dung c a bƠi toán đ c phát bi u theo thu t

ng c a m t hay m t vƠi l nh v c chuyên môn h p h n đ chia bƠi toán thƠnh các lo i khác nhau nh sau:

+ BƠi toán s h c

+ BƠi toán đ i s

+ BƠi toán hình h c

d Phơn lo i theo Ủ ngh a gi i toán:

Ng i ta d a vƠo ý ngh a c a vi c gi i toán đ phơn lo i bƠi toán: BƠi toán nƠy nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vƠi ki n th c k n ng nƠo đó, hay bƠi toán nh m phát tri n t duy Ta có hai lo i bƠi toán nh sau:

- BƠi toán c ng c k n ng: LƠ bƠi toán nh m c ng c tr c ti p ngay sau khi h c ho c m t vƠi ki n th c hay k n ng nƠo đó

- BƠi toán phát tri n t duy: LƠ bƠi toán nh m c ng c m t h th ng các ki n th c c ng nh k n ng nƠo đó ho c đòi h i ph i có m t kh n ng t duy phơn tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o

đ i bi n thiên c a bƠi toán

- Xác đ nh các n vƠ giá tr h ng c a bƠi toán

- D ki n c a bƠi toán có đ đ xác đ nh cái ch a bi t hay không ?

b B c 2: Xơy d ng ch ng trình gi i

tìm l i gi i cho bƠi toán m t cách có hi u qu thì b c xơy d ng

ch ng trình gi i lƠ b c quy t đ nh, đ ng th i c ng lƠ b c khó kh n nh t

B c nƠy đòi h i chúng ta ph i huy đ ng các ki n th c đƣ bi t đ nh n xét, so sánh, bác b t đó m i có th ti p c n t i l i gi i c a bƠi toán

Chúng ta có th ti n hƠnh xơy d ng ch ng trình gi i theo ph ng

pháp sau:

- Ph ng pháp đi xuôi:

Xu t phát t các gi thi t c a bƠi toán đ c l y lƠm ti n đ , b ng suy

lu n h p logic chúng ta tìm ra các h qu logic c a các ti n đ đó Ti p t c

ch n l c trong đó đ l y ra các h qu g n g i v i k t lu n c a bƠi toán lƠm

ti n đ m i L i b ng suy lu n h p logic chúng ta tìm ra các h qu logic m i

Ti p t c chúng ta ch n l c trong đó đ l y ra ti n đ g n g i v i gi thi t c a bƠi toán đ lƠm k t lu n m i t đó rút ra ti n đ logic m i c a các k t lu n

m i nƠyầQuá trình y l i đ c ti p di n ta tìm đ c các ti n đ logic trùng

v i gi thi t c a bƠi toán, ta đ c l i gi i c a bƠi toán

Ph ng pháp nƠy đ c mô t theo s đ sau:

đ toán h c đƣ bi t ta suy d n ra t i k t lu n c a bƠi toán

Trong b c th c hi n ch ng trình gi i m t bƠi toán c n chú ý phơn

bi t s khác nhau gi a nh ng đi u đƣ th y đ c vƠ nh ng đi u suy ra đ c chính lƠ đi u ch ng minh đ c

-d B c 4: Nh n xét l i gi i vƠ khai thác bƠi toán

Th l i k t qu c a bƠi toán, th l i các l p lu n trong l i gi i đƣ tìm

đ c c a bƠi toán

Tìm các cách gi i khác n u có c a bƠi toán

Nghiên c u các bƠi toán có liên quan

Ví d 1 Phân tích quá trình tìm l i gi i bƠi toán sau:

Ch ng minh r ng n u ABC th a mƣn đi u ki n 2 B

ch ng minh m t tam giác lƠ tam giác cơn có nhi u cách: Ho c

ch ng minh 2 c nh nƠo đó b ng nhau, ho c ch ng minh 2 góc nƠo đó b ng

nhau

đơy ta th y gi thi t c a bƠi toán cho bi t đ ng th c liên h v góc, ta

s ch ng minh tam giác đó có hai góc nƠo đó b ng nhau

H n n a ta th y trong đ ng th c đƣ cho thì vai trò c a góc A vƠ C lƠ

nh nhau Do đó ta s ch ng minh trong ABC có góc A = C

2 BsinA.sinC cos

 A C

V y ABC là tam giác cơn t i B

Ví d 2 Phơn tích tìm l i gi i c a bƠi toán sau :

B N I DUNG CH NG TRỊNH L NG GIÁC TRUNG H C PH THÔNG

Ch ng 6 ( S10NC): Góc l ng giác vƠ công th c l ng giác

Bài 1: Góc vƠ cung l ng giác

Bài 2: Giá tr l ng giác c a góc (cung) l ng giác

Bài 3: Giá tr l ng giác c a các góc (cung) có liên quan đ c bi t

BƠi 4: M t s công th c l ng giác

Ọn t p ch ng 6

Ch ng 1 ( S&GT11NC): HƠm s l ng giác vƠ ph ng trình l ng giác

BƠi 1: Các hƠm s l ng giác

BƠi 2: Ph ng trình l ng giác

BƠi 3: M t s d ng ph ng trình l ng giác c b n

Ọn t p ch ng 1

22

1

b, Cung bù nhau: và 

c, Cung h n kém : và 

1 tan tantan tansin( ) sin cos cos sin tan( )

1 tan tancot cot 1cos( ) cos cos sin sin cot( )

cot cotcos( ) cos cos sin sin c

21

2tan cot

sin2tan cot 2cot2

IV Các h th c c b n trong tam giác

1 H th c c b n trong tam giác vuông

5 Bán kính đ ng tròn bƠng ti p tam giác

* Các kí hi u dùng cho ph n h th c l ng trong tam giác:

• A, B,C l n l t lƠ ba góc ฀BAC, CBA, ACB฀ ฀ c a ABC

• a, b, c l n l t lƠ đ dƠi ba c nh BC, CA, ABc a ABC

• S lƠ di n tích c a tam giác ABC

• h , h , h a b c l n l t lƠ đ dƠi ba đ ng cao h t đ nh A, B, Cc a ABC

• l , l , l a b c l n l t lƠ đ dƠi ba đ ng phơn giác trong c a ba góc A, B, C

• m , m , m a b c lƠ đ dƠi ba đ ng trung tuy n c a ABC

• R, r lƠ bán kính đ ng tròn ngo i ti p ABC

• r , r , r a b c l n l t lƠ bán kính đ ng tròn bƠng ti p góc A, B, Cc a ABC

os 225 cos (180 45 ) cos 45

2c

0 0

0

0 0

0

sin 225

cos 225cos 225

22cos( 225 ) cos 225

0

sin 750 1tan 750

3cos( 510 ) cos510 cos(180 30 360 ) cos30

103

os

3c

103

a Hãy tính cos2 ; sin 2 ; tan 22 2 theo m(gi s tan2 xác đ nh)

b H i sin2 ; tan2 có xác đ nh duy nh t b i m hay không?

cos ; sin ; tan

11

tan2

14

  

 

Ch ng minh r ng (khi các bi u th c có ngh a):

a 1 2sin2 cos2 1 tan

;cos sin 1 tan

N u   k (k฀) và cos cos cos 0 thì

tan tan tan tan tan tan

tan (1 tan tan ) (tan tan )

tan tan tan tan tan tan

đpcm

Bài 6 (SGK S10NC_BT52b_T216)

Ch ng minh r ng v i mà cosk 0 (k 1,8) và sin 0 thì

sin4 sin4 sin4 (sin3 sin cos3 cos )

cos3 cos sin3 sin cos3 cos sin3 sin

4.sin4 cos2 8cos 2

VTsin6 sin2 sin6

Bài 2 Ch ng minh các đ ng th c sau:

a tan(  ) tan tan tan(  ).tan tan ;

3tan3 tan tan( 60 ) tan( 120 )

L i gi i:

a Ta có

tan( ) tan tan tan( ).tan tan

tan( )(1 tan tan ) tan tan

tan tan( 60 ) tan[180 (60 )]

tan tan( 60 ) tan(60 )

tan tan60 tan60 tan

Bài 3 Ch ng minh các đ ng th c sau:

a cot xtan x2cot 2x;

b 8 4tan 2tan tan cot ;

cos x sin x cos x sin x

sin x cos x sinx.cos x

cot x tan x 2tan2x2(cot 2xtan2x)

hay cot x tan x 2tan2x 4cot4x (2)

T (1) vƠ (2) ta đi đ n:

cot x tan x 2tan2x4tan4x 4(cot4x tan4x) 8cot8x

V y cot x tan x 2tan2x 4tan4x 8cot8x.   (3)

cot x tan x 2 tan2 x2 tan2 x 2 cot 2 x

Khi đó v i cách ch ng minh t ng t nh ph n c, vƠ s d ng ph ng pháp

quy n p toán h c thì ta có công th c t ng quát sau:

tan1 tan 61 tan 3 tan 31

tan1 tan 61 tan 59 tan 3 tan 31 tan 59 (1)

VT tan3 tan17 tan23 tan37 tan43 tan57 tan63 tan77 tan83

(tan3 tan57 tan63 ).(tan17 tan43 tan77 ).(tan23 tan37 tan83 )

tan tan 1 tan

* L u Ủ: Khi rút g n m t bi u th c ph thu c vƠo bi n s mƠ ta đ c k t qu

lƠ h ng s thì ta nói bi u th c ban đ u không ph thu c vƠo bi n s

b 2 2 2 2 2

B sin tan 4sin tan 3cos

(Gi s các bi u th c đƣ cho đ u có ngh a)

tan (1 sin ) 4sin 3cos

A tan10 tan20 tan30 tan70 tan80

tan10 tan20 tan30 tan40 tan(90 40 ).tan(90 30 )

.tan(90 20 ).tan(90 10 )

tan10 tan20 tan30 tan40 cot 40 cot 30 cot 2 0 cot10

(tan10 cot10 ).(tan20

cos9 cos81 cos63 cos27

A tan10 tan20 tan30 tan70 tan80

tan10 tan20 tan30 tan40 tan(90 40 ).tan(90 30 )

.tan(90 20 ).tan(90 10 )

tan10 tan20 tan30 tan40 cot40 cot30 cot20 cot10

(tan10 cot10 ).(tan20

A tan20 tan40 tan60 tan80

tan20 tan(60 20 ).tan(60 20 ).tan60

[ tan 6 tan(60 6 ).tan(60 6 )].cot(60 6 ).tan 42 tan 78

tan(3.6 ).tan 42 tan 78 cot 54



[ tan18 tan(600 0 18 ).tan(600 0 18 )].cot540 0