Luận văn sư phạm Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại Hypecbolic

Ph ng pháp tách bi n ph ng pháp Phuarie là m t trong nh ng ph ng pháp quan tr ng nh t.. Các đ nh lí sau đây là c s quan tr ng cho ph ng pháp... Ph ng trình lo i Hypecbolic ậ Bài toán Côs

M U

Toán h c là m t môn khoa h c g n li n v i th c ti n S phát tri n c a

Toán h c đ c đánh d u b i nh ng ng d ng c a Toán h c vào vi c gi i

quy t các bài toán th c ti n Trong l nh v c toán h c ng d ng th ng g p r t

nhi u bài toán liên quan đ n ph ng trình vi phân đ o hàm riêng

Ra đ i t nh ng n m 60, ph ng trình đ o hàm riêng đã nhanh chóng

kh ng đ nh đ c v trí và t m quan tr ng c a mình trong khoa h c nói chung

và Toán h c nói riêng c bi t ph ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic

có ng d ng r t l n trong khoa h c và trong th c ti n

Chúng ta bi t r ng, vi c nghiên c u tính ch t đ nh tính và vi c tìm

nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic r t khó kh n và ph c

t p V i kh n ng ng d ng r ng rãi trong khoa h c và trong th c ti n, vì v y

các nhà Toán h c đã t p trung nghiên c u và tìm đ c nhi u ph ng pháp đ

gi i các bài toán v ph g trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic

*Ch ng 2 : Ph ng trình lo i Hypecbolic Bài toán Cauchy

*Ch ng 3 : Ph ng trình lo i Hypecbolic Bài toán h n h p

*Ch ng 4: M t s bài toán áp d ng

Ph n III : K t lu n

L I C M N

hoàn thành khóa lu n t t nghi p này, tôi xin bày t lòng bi t n chân

thành t i các th y giáo và cô giáo trong khoa Toán – Tr ng i H c S

ph m Hà N i 2, đã t n tình giúp đ ch b o trong su t th i gian tôi theo h c

t i khoa và trong th i gian làm khóa lu n

c bi t tôi xin bày t lòng bi t n sâu s c t i T.S Tr n V n B ng –

Gi ng viên khoa Toán - Tr ng i H c S Ph m Hà N i 2, ng i tr c ti p

h ng d n tôi, luôn t n tâm ch b o và đ nh h ng cho tôi trong su t quátrình

làm khóa lu n đ tôi có đ c k t qu nh ngày hôm nay

M c dù đã có r t nhi u c g ng, song th i gian và kinh nghi m b n thân

còn nhi u h n ch nên khóa lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót r t

mong đ c s đóng góp ý ki n c a các th y cô giáo, các b n sinh viên và b n

đ c

Hà N i, tháng 4 n m 2010

Sinh viên

Bùi Th Thu

Nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p 1 thu n nh t là

hàm uu x x 1, , ,2 xntho mãn đi u ki n sau

1) Hi n nhiên (d a vào đ nh ngh a tích phân c a h (1.6))

2) L y vi phân toàn ph n c a hàm  d a vào h (1.6) ta đ c

Khi đó hàm s xác đ nh b i (1.9) c ng là tích phân c a (1.6) do đó c ng là

nghi m c a ph ng trình (1.3)

Ta g i nghi m (1.9) trong đó  là hàm s b t kì (kh vi liên t c c a các

tích phân c a nó ) là ngh êm t ng quát c a ph ng trình (1.3)

Ví d : Cho ph ng trình

0x

V y nghi m t ng quát c a ph ng trình đã cho là u( / , / )y x z x

1.3 Ph ng trình tuy n tính không thu n nh t

1) Nghi m (1.19) là nghi m t ng quát c a ph ng trình (1.10)

1.4 Bài toán biên

Bài toán biên c a ph ng trình đ o hàm riêng là bài toán tìm các

nghi m c a nó trong mi n nào đ y tho mãn các đi u ki n trên biên c a mi n

Có nhi u ph ng pháp gi i bài toán biên c a ph ng trình đ o hàm

riêng tuy n tính

Ph ng pháp tách bi n (ph ng pháp Phuarie) là m t trong nh ng

ph ng pháp quan tr ng nh t

u tiên ta tìm nghi m t ng quát sau đó cho tho mãn đi u ki n biên

Các đ nh lí sau đây là c s quan tr ng cho ph ng pháp

1.5.1 Nguyên lí c ng nghi m

nh lí: Gi s  1, 2, ,n1 là nghi m c a ph ng trình (1.4) thì

1 1 2 2 3 3 n1 n 1

C C C  C  c ng là nghi m c a ph ng trình (1.4)

Nghi m t ng quát c a ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không

thu n nh t b ng t ng c a nghi m t ng quát c a ph ng trình tuy n tính thu n

nh t v i m t nghi m riêng nào đó c a ph ng trình tuy n tính không thu n

'

( ) ( )( ) ( )

u

X x Y yx

u

X x Y yy

YCY

dYCdyY

( ) ( )

Cx Cy

ke =8e3y đi u này x y ra khi k=8 và C=-3

V y nghi m c n tìm u(x,y)=8e-3(4x+y)

1.6 Bài toán Cauchy

1.6.1 Bài toán Cauchy v i ph ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính thu n

nh t

Hãy tìm nghi m uu x x( , , ,1 2 xn) (1.21) c a ph ng trình (1.1) sao

cho khi c đ nh m t bi n s (ch ng h n xn) thì nó tr thành hàm s kh vi liên

t c c a các bi n còn l i, t c là u( , , ,x x1 2 xn1) khi xn xn0 (1.22)

i u ki n (1.22) g i là đi u ki n đ u c a nghi m (1.21)

tìm nghi m c a bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình (1.3) ta ti n

( , , , )

n

xx

t x=0 vào bi u th c trên ta đ c : 2

y  Do  đó y   Nghi m ph i tìm s là z x y, t c là 2 2

zx  y

1.6.2 Bài toán Cauchy đ i v i ph ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính

không thu n nh t

i v i ph ng trình (1.10) ta c ng có bài toán Cauchy t ng t

Ví d : Tìm nghi m t ng quát và nghi m tho mãn đi u ki n ban đ u c a

V y nghi m t ng quát c a ph ng trình đã cho là : z z x, 2 y

Gi thi t dây đàn h i có chi u dài L bu c ch t hai g i có cùng m c

n m ngang do đó có th l y tr c x d c theo dây Dây đàn h i có th là dây đàn

dây truy n tin

Cho dây chuy n đ ng, nó dao đ ng trong m t ph ng th ng đ ng và kí

hi u u(x,t) là chuy n d ch c a dây t i đi m x và th i đi m t

G i s là ph n tác d ng cung c a dây Vì s c c ng T gi thi t là h ng

s , l c h ng th ng đ ng tác d ng lên s cho b i Tsin2Tsin1

Vì sin tg do góc  nh nên l c này có d ng:

2 2

l ng không đ i trên m t đ n v dài c a dây )

2.2 Bài toán Cauchy c a ph ng trình truy n sóng vƠ đ nh lí

duy nh t c a nó

2.2.1 Bài toán Cauchy c a ph ng trình truy n sóng

Ta xét bài toán Cauchy c a ph ng trình truy n sóng, c th là bài toán

không gian (x,y,t)

Gi s trên m t ph ng t=t0 c a không gian (x,y,t) cho m t tròn

(2.1.4) Ta g i K là m t trong hai hình nón k trên, ch ng h n hìn nón có đ nh

h ng theo chi u d ng t

2.2 2 nh lí duy nh t

n lí (2.1.1) Gi s u(x,y,t) là nghi m c a bài toán Cauchy (2.1.1), (2.1.2),

(2.1.3) sao cho nó và t t c các đ o hàm riêng c a nó k cho t i c p 2 liên t c

trong hình nón kín K  G S Khi đó nghi m u(x,y,t) đ c xác đ nh m t cách

duy nh t trong hình nón kín K G S  k trên b i các d ki n Cauchy

(2.1.2), (2.1.3) cho trên m t đáy G c a hình nón

Tr c khi ch ng minh đ nh lí, ta chú ý nh ng đi u sau đây :

Th c v y, n u ch ng minh đ c đi u này thì u x y t( , , )0 trong hình

G i K’ là hình nón đ nh P, đáy là G’ L p l i đi u đã ch ng minh cho

hình nón K’, vì ta có (2.1.6), (2.1.7) trong G’ nên ta có u(x,y,t) =0 t i đ nh

2

1

V y trong (2.1.9), ch còn tích phân l y trên S Chú ý r ng cos n, t   0

trên m t S nên ta có th nhân (2.1.9) v i cos n, t  

, sau đó dùng h th c

(2.1.12) thì ta vi t đ c (2.1.9) d i d ng

Vì mn Nh v y u(x,y,t)=const d c trên đ ng sinh  Vì t i đáy

u(x,y,t)=0 nên u(x,y,t)=0 d c đ ng sinh  c bi t t i đ nh A :u(A)=0

nh lí hoàn toàn đ c ch ng minh

2.3 Công t h c cho nghi m c a bƠi toán Cauchy v i ph ng

trình truy n sóng

Gi s trong không gian (x,y,z) cho hai hàm x y z, ,  và x y z, , 

trong đó  là hàm sao cho nó và t t c các đ o hàm c a nó k cho t i c p 3

Nghi m này đ c gi thi t là kh vi liên t c 2 l n đ i v i các bi n trong

mi n t  Theo đ nh lí duy nh t nó đ c hoàn toàn xác đ nh trong mi n t>0 0

gi i bài toán (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3) ta l n l t gi i 3 bài toán sau

Bài toán 1 Tìm nghi m v(x,y,z,t) sao cho

Bài toán 3 Tìm nghi m u*

(x,y,z,t) sao cho

G i Sat là m t c u tâm (x,y,z) bán kính at,   , ,  là bi n đi m tích

phân ch y trên m t c u đó Ta ch ng minh nghi m c a bài toán 1 cho b i

S1 v i tâm là g c to đ trong không gian   , ,  H n n a g i dS1 là vi

phân trên m t S1 thì ta có : dS=a2t2dS1

Vì x y z, ,  liên t c, nên áp d ng đ nh lí trung bình cho (2.2.14) ta có

Vì các đ o hàm riêng c a  c ng liên t c, nên c ng áp d ng đ nh lí

trung bình nh trên, ta kh ng đ nh đ c r ng khi t  h ng th c th 2 trong 0

M t khác t (2.2.16) và sau đó dùng công th c Ôtstrôgratski v i chú ý

r ng   , ,  là cosin ch ph ng c a pháp tuy n ngoài c a m t Sat, t i

Bài toán 1 đ c gi i xong

2) Gi i bài toán 2: Ta ch ng minh r ng nghi m c a bài toán 2 s là

V y (2.2.8), (2.2.9) đ c tho mãn và bài toán 2 đ c gi i xong

3) Gi i bài toán 3 Tr c h t ta ch ng minh m nh đ sau

N u V, , , ,x y z t v i m i giá tr c a tham bi n  là nghi m c a bài toán

V  x y z t d  f x y z t

, , ,1

, , ,

t S

Có th coi tr ng h p này nghi m u và các hàm   là các hàm ,

trong không gian (x,y,z) nh ng giá tr c a chúng không ph thu c vào z (d c

đ ng th ng song song v i tr c oz, các hàm u,  có giá tr không đ i ).V i ,

chú ý đó, ta có th áp d ng công th c Kiêcsôp

Ta g i Kat là m t tròn tâm (x,y,z) bán kính at, gi i h n b i giao tuy n

c a m t c u Sat v i m t ph ng xuyên tâm c a Sat và song song v i m t ph ng

C ng b ng ph ng pháp h th p s chi u trong không gian, coi u, ,

là nh ng hàm trong không gian (x,y,z) nh ng không ph thu c y và z, ta có

th tìm công th c cho nghi m bài toán nói trên

Vì     , ,  và     , ,  không ph thu c ,  nên dS là di n tích

ây là công th c alembe đ i v i ph ng trình dao đ ng c a dây

2.4.2 Xây d ng tr c ti p công th c alembe vƠ công th c Kiêcs p

dx2–a2

hay dx-adt=0

     

0

1 x x

Các h th c (4.2.8) ph i đ c tho mãn v i b t kì giá tr nào c a x.V y thay

x b i x+at trong f1(x) và x-at trong f2(x) theo (4.2.5) ta có

Gi s ta c n gi i bài toán Cauchy c a ph ng trình truy n sóng trong

không gian 3 chi u

Trong đó   , ,  và   , ,  l n l t là các bi n đi m tích phân trên

m t c u Sr và S1, (x,y,z) là to đ đi m P U(r,t) là giá tr trung bình c a hàm

 , , , 

u    t trên m t c u Sr(P) Rõ ràng là u(x,y,z,t)=U(0,t) (4.2.13)

Ta ch ng minh r ng hàm U(r,t) x ng th a mãn ph ng trình (4.2.9)

Tr c h t hãy chú ý r ng toán t Laplat trong to đ c c có d ng

2 2

2 2 0

4

r

Udt

r at t

, , ,

r at t

Ch ng 3: Ph ng trình lo i hypecbolic ậBài toán h n

h p

3.1 BƠi toán h n h p

C ng b ng cách đ i bi n th i gian t’ = at trong ph ng trình truy n

sóng , ta có th coi v n t c truy n sóng a = 1

Trong m t ph ng xOy c a không gian (x, y, t) ta xét m t mi n gi i n i

G gi i h n b i chu tuy n , g m m t s h u h n các cung  vi i ti p tuy n

biên thiên liên t c G i VT là hình tr đáy song song mà đáy d i là mi n G,

đáy trên là G’, có các đ ng sinh song song v i Ot và có chi u cao T M t bên

Ta gi thi t nghi m c a bài toán (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3), (3.1.4) là hàm kh

vi liên t c hai l n trong V T

3.2 nh lý duy nh t

nh lý: Gi s u(x,y,t) là nghi m c a bài toán h n h p (3.1.1), (3.1.2),

(3.1.3), (3.1.4) sao cho nó và t t c các đ o hàm riêng c a nó cho t i c p hai

liên t c trong hình tr đóng VT , khi đó nghi m u(x,y,t) đ c xác đ nh m t

cách duy nh t trong hình tr đóng V T b i các d ki n (3.1.2), (3.1.3) trên m t

đáy G và d ki n (3.1.4) trên m t bên S c a hình tr V T

Ch ng minh: ch ng minh đ nh lý ta ch ng minh r ng n u u1(x,y,t),

u2(x,y,t) là hai nghi m b t k c a (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3), (3.1.4) thì hi u

u(x,y,t)  u1(x,y,t) - u2(x,y,t)  0 trong V T

G i tolà m t giá tr sao cho 0  và Vto T

S

1

os (n , t)- 2 os (n , x)2

V i nlà véct pháp tuy n trong c a m t biên St0  G G't0 v i S G t0, 't0

l n l t là m t bên và đáy trên c a Vto H th c (3.2.5) có th vi t

Vì t0 là tu ý trong đo n [0,T] ta suy ra có (3.2.7) trong toàn hình tr VT,

và do tính liên t c c a u(x,y,t) trongV nên ta có :u(x,y,t)=const trong T V T

3.3 S ph thu c liên t c c a nghi m vƠo các d ki n ban đ u

12

฀    

฀    

2 2

2 2

2

'

2

b a b a

2 0

Khi đó nghi m t ng quát c a (2.1.8) là

Các giá tr  (2.1.13) sao cho nghi m c a ph ng trình (2.1.8) tho

mãn đi u ki n (2.1.10) là nghi m không t m th ng đ c g i là các giá tr

riêng và nghi m t ng ng X(x) đ c g i là hàm riêng c a bài toán (2.1.8),

Nh v y n u bài toán có nghi m, thì nghi m đó ph i đ c bi u di n b i

(2.1.17) trong đó Ak, Bk đ c xác đ nh b i (2.1.20), (2.1.21) qu th c là

nghi m c a bài toán đ t ra

kh ng đ nh đ c t ng u(x,t) c a (2.1.17) tho mãn đi u ki n (2.1.2),

Mu n cho t ng u(x,t) c a (2.1.17) có th đ o hàm t ng h ng th c và tho

mãn đi u ki n (2.1.3), ch c n ch ng minh chu i

H n n a, mu n cho t ng u(x,t) c a (2.1.17) tho mãn ph ng trình

(2.1.1), ch c n (2.1.17) có th đ o hàm t ng h ng th c hai l n theo x và hai

l n theo t, do đó ch c n ch ng minh s h i t đ u c a các chu i

ch ng minh 2

1 k k

Nh v y đ i v i các đi u ki n a, b v a nêu thì chu i (2.1.17) cho ta

nghi m c a bài toán

Bài toán 2: Tìm nghi m c a ph ng trình 2 2 2

 Trong đó T (t) là hàm ch ph thu c vào t mà ta s xác đ nh sau

Gi thi t chu i (2.2.6) h i t đ u, rõ ràng hàm u(x,t) đ c xác đ nh b i

(2.2.6) tho mãn đi u ki n biên (2.2.4), (2.2.5)

Bây gi ta hãy xác đ nh Tk(t) đ cho (2.2.6) nghi m ph ng trình (2.2.1)

Trong đó  

0

2( , )sin

l k

3.5 BƠi toán h n h p t ng quát

Xét bài toán: Tìm nghi m c a ph ng trình: 2 2 2

xt

x at

x at

cc

Trong bài này ta có a2=5 ,  ,  x sinx, x 0

Khi đó nghi m c a bài toán có d ng :

; 15

k

kB

Khi đó nghi m c a bài toán có d ng :

Trong bài này a2=4 , 2,u x ,0  x , u x,0  x 0

K T LU N

Trên đây là toàn b n i dung khoá lu n c a em Trong khoá lu n t t

nghi p này, em đã trình bày nh ng hi u bi t c a mình v nh ng ki n th c c

b n v ph ng trình vi phân đ o hàm riêng và các ki n th c v bài toán côsi

và bài toán h n h p c a ph ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic

Ngoài ra, trong quá trình nghiên c u ph ng trình đ o hàm riêng lo i

Hypecbolic còn giúp em th y đ c ng d ng c a nó trong vi c gi i quy t m t

l p bài toán v t lí c a ph ng trình truy n sóng Qua đó giúp em hi u h n

r ng trong khoa h c c ng nh trong th c ti n ph ng trình đ o hàm riêng có

ng d ng to l n nh th nào

Qua vi c th c hi n nghiên c u đ tài này, em đã đ c m r ng t m hi u

bi t v ph ng trình vi phân đ o hàm riêng và làm quen v i vi c nghiên c u

khoa h c M c dù có nhi u c g ng song do th i gian có h n và đây c ng là

v n đ m i đ i v i b n thân em, nên trong quá trình vi t c ng nh trong quá

trình in n, khoá lu n không tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong các

th y cô giáo và các b n sinh viên đóng góp ý ki n giúp em hoàn thành khoá

lu n c a mình

Em xin trân tr ng c m n các th y cô giáo trong Khoa Toán, tr ng H

s ph m Hà N i 2 đã giúp đ và t o đi u ki n giúp em hoàn thành khoá lu n

M C L C

M đ u 1

L i c m n………2

Ch ng 1 Nh ng ki n th c chu n b Ph ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính 1.1 Các khái ni m t ng quát………3

1.2 Ph ng trình tuy n tính thu n nh t……… 4

1.3 Ph ng trình tuy n tính không thu n nh t………6

1.4 Bài toán biên ……… 10

1.5 Nguyên lí c ng nghi m và ph ng pháp tách bi n………… …… 11

1.6 Bài toán Côsi……… ………12

Ch ng 2 Ph ng trình lo i Hypecbolic ậ Bài toán Côsi 2.1 Bài toán d n đ n ph ng trình truy n sóng ……… ………15

2.2 Bài toán Côsi c a ph ng trình truy n sóng và đ nh lí duy nh t c a nó……….16

2.3 Công th c nghi m c a bài toán Côsi v i ph ng trình truy n sóng 21

2.4 Ph ng trình h th p Xây d ng tr c ti p công th c alembe và

Kiêcsôp ……… 28

Ch ng 3 Ph ng trình lo i Hypecbolic ậ BƠi toán h n h p 3.1 Bài toán h n h p… ……… 35

3.2 nh lí duy nh t ……….36

3.3 S ph thu c liên t c nghi m vào các d ki n ban đ u…… …… 38

3.4 Ph ng pháp tách bi n…… ……….41

3.5 Bài toán h n h p t ng quát……… 47

Ch ng 4 M t s bƠi toán áp d ng

K t lu n……….……… 54

TƠi li u tham kh o……… 55