10 phương trình bất phương trình minmax logarit câu hỏi

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489— Nếu hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị cần tìm là những m — Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phâ

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT

Thường sử dụng các phương pháp sau:

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

1/ Phương trình – Bất phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ

+ Nếu a0, a1 thì f x  g x     

a a f x g x

+ Nếu a chứa ẩn thì f x  g x        a 1  

f x g x

 



+ f x   g x  

  f x log b.g xa   (logarit hóa)

Bất phương trình mũ

+ Nếu a1 thì f x  g x     

a a  f x g x (cùng chiều) + Nếu 0 a 1 thì f x  g x     

a a  f x g x (ngược chiều) + Nếu a chứa ẩn thì f x  g x       

a a  a1 f x g x 0

2/ Phương trình logarit – Bất phương trình logarit cơ bản

Phương trình logarit

+ Nếu a0, a1 : log x a b xab  1

+ Nếu a0, a1 : log f x a  log g xa  f x g x   2

a0, a1 : log f x g x f x a (mũ hóa)  3

Bất phương trình logarit

+ Nếu a1 thì log f xa  log g xa  f x g x  (cùng chiều)

+ Nếu 0 a 1 thì log f xa  log g xa   f x g x  (ngược chiều)

+ Nếu a chứa ẩn thì

a

a

a

log A

log B









 Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit

Bước 1 Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần chú ý:

ĐK a

log b

  



 

Đ

Đ

K a

K a

  



Bước 2 Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải

Bước 3 So với điều kiện và kết luận nghiệm

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

I/ Đặt ẩn phụ cho phương trình mũ

 Loại 1  f x  PP

P a  0  đặt taf x , t0

 Loại 2       

λ

f x

     PP  Chia hai vế cho b2.f x , rồi đặt

 

f x

a

b

 

 

    (chia cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - MIN MAX LOGARIT Vấn đề 10

mũ lẻ

mũ chẵn

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 Loại 3 af x bf x c với a.b1PP  đặt f x  f x  1

t

 Loại 4  

   

 

 

 

f x g x

g x

a a

a











PP

 đặt

 

 

f x

g x

 



 

II/ Đặt ẩn phụ cho phương trình logarit

 Loại 1     PP

a

P log f x  0  đặt tlog f xa  

 Loại 2 Sử dụng công thức alog c b clog a b để đặt talog x b  t xlog a b

 Lưu ý

Trên đây là một số dạng cơ bản thường gặp về phương trình mũ và loga, còn bất phương trình ta cũng làm tương tự nhưng lưu ý về chiều biến thiên Về phương diện tổng quát, ta đi tìm mối liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ, đưa về phương trình (bất phương trình) đại số hoặc hệ phương trình đại

số mà đã biết cách giải Từ đó, tìm ra được nghiệm Ngoài ra, còn một số trường hợp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ t vẫn còn x Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số bằng cách lập biệt thức ∆ hoặc đưa về tích số

3 Phương pháp hàm số

I/ Cơ sở lý thuyết và vận dụng cơ sở lý thuyết để tìm hướng giải

Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:

 Nếu hàm số yf x  đơn điệu một chiều trên D thì phương trình f x  không quá một nghiệm 0 trên D

 Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm xxo của phương trình, rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận xxo là nghiệm duy nhất

 Hàm số f t  đơn điệu một chiều trên khoảng  a; b và tồn tại u; v a; b thì

f u f v  u v"

 Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t  

 Hàm số yf t  xác định và liên tục trên D:

Nếu f t  đồng biến trên D và u, vD thì f u   f v  u v

Nếu f t  nghịch biến trên D và u, vD thì f u   f v  u v

Để vận dụng nội dung định lí này trong giải bất phương trình, người ra đề thường cho dưới hai hình thức và có hai hướng xử lí thường gặp sau:

Nếu đề yêu cầu giải f x  : 0

Nhẩm nghiệm của f x 0 trên miền xác định D, chẳng hạn xxo

Xét hàm số yf x  trên D và chỉ rõ nó đơn điệu tăng một chiều (đơn điệu giảm một chiều) Khi đó:

f x  0 f x f x  x x nếu hàm số đơn điệu tăng trên D và xxo nếu hàm số đơn điệu giảm trên D

Nếu đề bài yêu cầu giải f x 0 mà không nhẩm được nghiệm xxocủa f x 0 thì cần biến đổi

f x  0 f g x f h x 

   với việc xây dựng hàm đặc trưng yf t ,  rồi chỉ ra hàm f t là  

đồng biến (nghịch biến) Khi đó f g x  f h x  g x f x 

    hay g x f x 

Ta sẽ làm tương tự nếu đề cho f x 0, f x 0 hoặc f x 0

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

 Nếu hàm số yf x  có đạo hàm f ' x liên tục và thỏa mãn   f ' x  có một nghiệm trên D thì 0 phương trình f x 0 không quá 2 nghiệm trên D

II/ Một số loại toán cơ bản thường gặp khi sử dụng đơn điệu hàm

 Loại 1  

a

f x

g x

      1

Tìm tập xác định D

Biến đổi  1 log f xa  log g xa   .g x  .f x 

log f x f x log g x g x

      f f x  f g x  

Xét hàm số đặc trưng f t   .t log ta trên miền D và chỉ ra hàm số này luôn đơn điệu một chiều trên D và f f x  f g x   f x g x 

 Loại 2 log f xa  log g xb    2

Nếu ab thì  2 f x g x : đây là dạng toán khá quen thuộc

Nếu a 1 b 1    0 PP  Dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất

Nếu a 1 b 1    0PP Đặt ẩn phụ kết hợp mũ hóa phương trình

Tìm tập xác định D và đặt a   b       tt

log f x log g x t





 và biến đổi phương trình về dạng:

f t A B  và giải bằng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm này duy nhất 1

và tìm x khi biết t

 Dạng toán:  log f xa    log g xb   ta cũng làm tương tự bằng cách đặt

log f x log g x t

    với γ là bội số chung nhỏ nhất của và 

 Loại 3 logf x g x log ba  3

Đặt điều kiện: f x  và 0 0g x  1

Sử dụng công thức đổi cơ số thì   b    

a b

log f x

log g x

log f x log b.log g x

  log f xb  log g xa   (đây là loại 2)

 Loại 4 a x p logaλx   qxr  4

PP

Đặt ẩn phụ logaλx   y để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II hay gần đối xứng và

sử dụng phương pháp hàm để tìm được xy

Phương trình dạng loga f x y , logb g x y , 

Phương pháp: đặt tloga f x y , logb g x y ,  và chuyển về hệ  

 

, ,

t t

f x y a









và đánh giá chặn giá

trị t Từ đó chọn giá trị nguyên của x thích hợp và thử lại xem với giá trị nguyên của xđã chọn

thì hệ phương trình có nghiệm t trong miền đã chặn hay không?

Kiến thức để đánh giá chặn giá trị t :

+ Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

+ Bất đẳng thức Cauchy, BCS…

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log9xlog6 ylog42xy Giá trị của x

y bằng

3 log 2

 

 

 

2

log 2

Câu 2 Biết x x1; 2 x1x2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 2



1 2 4

x x a b với ,a b là các số nguyên dương Giá trị P a b là

A P14 B P13 C P15 D P16

Câu 3 Biết alog 1030 , blog 15030 và 1 1 1

2000



x a y b z

x a y b z với x1; y ; z ;1 1 x2; y ; z2 2 là các số

nguyên, tính 1

2

 x

S

x

2



3



Câu 4 Cho các số thực dương x y, khác 1 và thỏa mãn

log log





Giá trị của x2xyy bằng 2

Câu 5 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn loga logblog alog b100 và log a,

A 10 164 B 10 100 C 10200 D 10 144

Câu 6 Cho log 59 a; log 74 b; log 32 c Biết log 17524 





pc q .Tính A m 2n3p4q

Câu 7 Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x26y2xy Tính

12





M

4



2



3



f x a x x b x với a, b  Biết flog log e  2 Tính

log ln10 

Câu 9 Cho x -x

9 + 9 = 14 và

x -x x+1 1-x

= 2-3 -3 b với

a

b là phân số tối giản Tính Pa b

A P10 B P 45 C P 10 D P45

Câu 10 Biết phương trình27 271 16 3 3 6 0

3

     

x có các nghiệm xa x, log3b và

3

log



x c với a, b c 0 Tỉ số b

c thuộc khoảng nào sau đây?

A (3;) B 3 5;

2 2

 

 

3 1;

2

 

 

 

5

;3 2

 

 

 

Câu 11 Cho hai số thực dương a b, thỏa log4alog6blog9a b  Tính a

b

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

A 1

2



2

 

2

 

Câu 12 Gọi a là một nghiệm của phương trình 4.22 logx6logx18.32 logx  Khẳng định nào sau đây 0

đúng khi đánh giá về a?

A a 102 1 B a  102 C a2a 1 2 D 1

100

Câu 13 Tổng các nghiệm của phương trình sau 1  

7

7x 6 log 6x5  bằng 1

Câu 14 Bất phương trình 9x2x5 3 x9 2 x1 có tập nghiệm là 0 S a b;   c; Tính 

tổnga b c  ?

Câu 15 Phương trình 2sin2x3cos2x 4.3sin2x có bao nhiêu nghiệm thuộc 2017; 2017

Câu 16 Cho các số thực dương x y, thỏa mãn log6xlog9 ylog42x2y Tính tỉ số x

y ?

3

x

2

3 1

x

2

3 1

x

3 2

x

y 

Câu 17 Số nghiệm của phương trình log 5 3

2 x x là:

Câu 18 Phương trình 33 3  x33 3  x34 x34 x 103có tổng các nghiệm là?

Câu 19 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 2

x x

x



A ; 0log 2;3   B 0; log 2 3 

C 0;1 2; 

2

  D 0;  

Câu 20 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log25 log15 log9

2

y

 

 , với a,

b là các số nguyên dương, tính a b

A a b 14 B a b 3 C a b 21 D a b 34

Câu 21 Biết rằng phương trình  1009

log 1x 2018 log x có nghiệm duy nhất x Khẳng định nào dưới 0

đây đúng?

A

0

2 1009

1 1008 0

1 1007 0

Câu 22 Phương trình 2 log3cotxlog2cosx có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2018?

A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm D 1009nghiệm

Câu 23 Cho dãy số  u n thỏa mãn log 23 u5632 log4u n8n8, *

n

   Đặt

S u u  u Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 2

2

n n

n n

u S

Câu 24 Số nghiệm của phương trình 2  2 

log x  2x log x  2x2 là

Câu 25 Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

2

Câu 26 Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình log 100 2 log 10  1 log

10

Câu 27 Tập nghiệm của bất phương trình 2.7x 27.2x 2 351 14x có dạng là đoạn Sa b;  Giá trị

2

b a thuộc khoảng nào dưới đây?

9 5

Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình   2   2

2x2  2x 2 1 2x 1 là

A S   ; 0 B S 1;  C S 0;1 D S     3; 

Câu 29 Bất phương trình 2x2 x 1 1 2 2x2 2 x1 có tập nghiệm S a b;  Khi đó a b bằng

Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình     log 5 2

x

A S   2;1 B S   1;1 C S 1;5 D S 1; 

Câu 31 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  0 x 2020 và log 33 x  3 x 2y9y?

Câu 32 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y,  thỏa mãn log9x2y23xy91?

Câu 33 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại duy nhất cặp số thực x y,  thỏa mãn

18

x y và x y mlog3y2mlog3x m ?

Câu 34 Biết x x x1, (2 1 x2) là hai nghiệm của phương trình

2

2 3

3

x

và

4x 2x  a b, với a b, là hai số nguyên dương Tính a b

A ab9 B a b 12 C a b 7 D ab14

Câu 35 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa mãn 0;   x 2020 và log24x4xy 1 2y?

Câu 36 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn  2 2  

log x 4y log x4y

Câu 37 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thoả mãn 0x2020 và     2

2 xln x1 x  1 y e y?

Câu 38 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn  2 2

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Câu 39 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 6

1x10 và

Câu 40 Có bao nhiêu số nguyên y 10 sao cho tồn tại số nguyên x thỏa mãn

y x y x x

x

Câu 41 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y;  thoả mãn 1 x 2020 và  1

2

2yy2xlog x2y

Câu 42 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

Câu 43 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0 y2020 và 3 2 1

x

x y y

Câu 44 Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 7

2

1 2 4

x x a b với a , b là hai số nguyên dương Tính  a b

A ab13 B ab11 C ab16 D ab14

Câu 45 Biết phương trình log52 1 2 log3 1



x x có một nghiệm dạng xab 2 trong đó

,

a b là các số nguyên Tính 2 a b

Câu 46 Số nghiệm thực của phương trình 6x 3log 56 1 2 1

Câu 47 Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình 5 3 1

x x





Câu 48 Số nghiệm của phương trình

2

80

3

x x

x

x





B BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

 Dạng 1 Tìm m để có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D?

— Bước 1 Tách m ra khỏi biến số và đưa về dạng

— Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D

— Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số để đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm số

— Bước 4 Kết luận các giá trị cần tìm của để phương trình có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D

 Lưu ý

 

f t; m  0

f t A m

 

f t

 

 

yf t

 

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

— Nếu hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị cần tìm là những m

— Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm số tại k điểm phân biệt

 Dạng 2 Tìm m để bất phương trình hoặc có nghiệm trên miền D?

— Bước 1 Tách tham số m ra khỏi biến số t và đưa về dạng hoặc

— Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D

— Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm:

 Lưu ý

Câu 1 Cho phương trình 2   

log 2x  m2 log xm  ( 2 0 m là tham số thực) Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 là 

A 1; 2 B 1; 2 C 1; 2 D 2; 

Câu 2 Cho phương trình 2 log32 7 log22 4 log2 3 0

2

x

x

 

(m là tham số thực) Có tất cả

bao nhiêu giá trị nguyên dương của mđể phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

2 log x3log x2 9x 1m 3xm  (0 m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của mđể phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất cả các phần tử của S

Câu 4 Cho phương trình  2 

2 log x3log x2 3xm.2x  ( m là tham số thực) Gọi 0 S là tập hợp tất

cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tính

tổng tất cả các phần tử của S

Câu 5 Cho phương trình  2 

m

   (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tổng của phần tử nhỏ

nhất và phần tử lớn nhất S bằng

A 31001 B 31001 C 399 D 3991

Câu 6 Cho phương trình 3.2 logx x12 logx2x4 5xm0 (m là tham số thực) Có tất cả bao

nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu 7 Cho phương trình 2   2

thực m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;9

A 3 1

2

m

  

 

min f t A m max f t

 

 

f t; m  0 f t; m  0

   

 

f t

   

A m f t D A m  max f tt D  



   

A m f t D A m  min f tt D  



   

A m f t t D A m  min f tt D  



   

A m f t t D A m  max f tt D  



TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

nguyên của tham số m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc đoạn 1;32

4

 ?

Câu 9 Cho phương trình 9x(m5)3x3m 6 0 (m là tham số thực ) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2

Câu 10 Cho phương trình log22xlog2x2m22m0 ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc đoạn 1;16

8

?

Câu 11 Cho phương trình 2  2

phương trình có đúng một nghiệm thuộc đoạn 1;16

2

?

Câu 12 Cho phương trình  2 2 2 

giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1

8

x  ?

Câu 13 Cho phương trình 1 2020x2m2 2020x m20 ( m là tham số thực) Tập hợp tất cả

các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  0;2  là

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1

27

x  ?

Câu 15 Cho phương trình 2    

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

3

1; 2021

  là:

Câu 16 Cho phương trình  2 2 2 

giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 1

8

x  ?

Câu 17 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 1 1 2   1 1 2

9 x  m2 3 x 2m  có 1 0 nghiệm thực?

Câu 18 Cho phương trình 2  

loga x 2 loga x2  Số giá trị nguyên của 1 a 0 ; 2020 để phương trình trên có 1 nghiệm thực là

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1 2

2

log mx6x 2 log 14x 29x2  , số giá trị nguyên của m để 0 phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt là

Câu 20 Phương trình 2 2

log x log x 1 2m  có nghiệm trên đoạn 1 0 1;3 3

  khi ma b;  Khi đó giá trị biểu thức T a b bằng

4

Câu 21 Phương trình 2 2

log x log x 1 2m 1 0 có nghiệm trên đoạn 1;3 3 khi ma b;  Khi đó giá trị biểu thức T a b bằng

4

Câu 22 Cho phương trình 2 

3log x  2log x  1 5x m  0 ( m là tham số thực) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu 23 Cho phương trình  2   

nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

Câu 24 Tìm tập hợp tất cả giá trị của tham số thực m để phương trình 2

log x4 log x  có m 0 nghiệm thuộc khoảng 0 ;1 

A 4 ;   B  4 ;  C 4 ;0 D 2 ; 0

2020 2 log x7 log x4 log 2x 3xm (0 m là tham số thực) Có tất

cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của mđể phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu 26 Cho phương trình  2 

2 log x 3log x 2 5x m.3x 0

     (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của mđể phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất cả các phần tử của S

A 4950 B 2475 C Vô số D 4949

Câu 27 Cho phương trình   2 2  

1

2

x

 (m là tham số thực) Có

tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc 5; 4

2

 

2 log x3log x2 16x 1m 4xm  (0 m là tham số thực) Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân

biệt Tổng tất cả các phần tử của Slà

Câu 29 Giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình  2   2 

nghiệm đúng với mọi x thuộc  là