10 phương trình bất phương trình minmax logarit đáp án

 Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm xxo của phương trình, rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên D luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D và kết luận xxo là ngh

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BPT MŨ -LOGARIT

Thường sử dụng các phương pháp sau:

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

1/ Phương trình – Bất phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ

+ Nếu a0, a1 thì f x  g x     

a a f x g x+ Nếu a chứa ẩn thì f x  g x        a 1  

a a  f x g x (ngược chiều) + Nếu a chứa ẩn thì f x  g x       

+ Nếu a1 thì log f xa  log g xa   f x g x  (cùng chiều)

+ Nếu 0 a 1 thì log f xa  log g xa   f x g x  (ngược chiều)

+ Nếu a chứa ẩn thì

a a a

log B 0 a 1 B 1 0log A

 Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit

Bước 1 Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần chú ý:

ĐK a

K a

K a

Bước 2 Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải

Bước 3 So với điều kiện và kết luận nghiệm

3 Phương pháp hàm số

I/ Cơ sở lý thuyết và vận dụng cơ sở lý thuyết để tìm hướng giải

Thông thường ta sẽ vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:

 Nếu hàm số yf x  đơn điệu một chiều trên D thì phương trình f x 0 không quá một nghiệm trên

D

 Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm được 1 nghiệm xxo của phương trình, rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên D (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D) và kết luận xxo là nghiệm duy nhất

 Hàm số f t đơn điệu một chiều trên khoảng    a; b và tồn tại u; v a; b thì f u   f v   " u v

 Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f t 

 Hàm số yf t  xác định và liên tục trên D:

Nếu f t  đồng biến trên D và u, vD thì f u   f v  u v

Nếu f t  nghịch biến trên D và u, vD thì f u   f v  u v

Để vận dụng nội dung định lí này trong giải bất phương trình, người ra đề thường cho dưới hai hình thức và có hai hướng xử lí thường gặp sau:

Nếu đề yêu cầu giải f x 0:

Nhẩm nghiệm của f x  trên miền xác định D, chẳng hạn 0 xxo

Xét hàm số yf x  trên D và chỉ rõ nó đơn điệu tăng một chiều (đơn điệu giảm một chiều) Khi đó:

Ta sẽ làm tương tự nếu đề cho f x 0, f x 0 hoặc f x 0

 Nếu hàm số yf x  có đạo hàm f ' x  liên tục và thỏa mãn f ' x 0 có một nghiệm trên D thì phương trình f x 0 không quá 2 nghiệm trên D

II/ Một số loại toán cơ bản thường gặp khi sử dụng đơn điệu hàm

Biến đổi  1 log f xa  log g xa   .g x  .f x 

 Loại 2 log f xa  log g xb    2

Nếu ab thì  2 f x g x : đây là dạng toán khá quen thuộc

Nếu a 1 b 1    0 PP  Dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất Nếu a 1 b 1    0 PP  Đặt ẩn phụ kết hợp mũ hóa phương trình

Tìm tập xác định D và đặt a   b       tt

f x alog f x log g x t

    với γ là bội số chung nhỏ nhất của và 

 Loại 3 logf x g x log ba  3

Đặt điều kiện: f x 0 và 0g x 1

Sử dụng công thức đổi cơ số thì   b    

a b

log f x log b.log g x

  log f xb  log g xa   (đây là loại 2)

 Loại 4 a x p logaλx   qxr  4

PP

Đặt ẩn phụ logaλx   y để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II hay gần đối xứng và sử dụng phương pháp hàm để tìm được xy

Phương trình dạng loga f x y , logb g x y , 

Phương pháp: đặt tloga f x y , logb g x y ,  và chuyển về hệ  

,,

t t

t Từ đó chọn giá trị nguyên của x thích hợp và thử lại xem với giá trị nguyên của xđã chọn thì hệ

phương trình có nghiệm t trong miền đã chặn hay không?

Kiến thức để đánh giá chặn giá trị t :

+ Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

+ Bất đẳng thức Cauchy, BCS…

+ Tính chất biến thiên của hàm số

Câu 1 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log9xlog6 ylog42xy Giá trị của x

y bằng

3log2

t t t

x y

x x a b với ,a b là các số nguyên dương Giá trị P a b là

A P14 B P13 C P15 D P16

Lời giải

loglog log

1

21

Câu 5 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn loga logblog alog b100 và log a, log b,

Ta có: loga logblog alog b100

log 3 log 2 log 3 log 2

log 7 log 7 log 5 log 5

b b

log 36

1log 36

Đặt x0log log e 

0  ln 0 0 1 sin 0 6 2

Ta có log ln10   log 1  log log e    0

6+3(3 +3 ) a

=2-3 -3 b với

a

b là phân số tối giản Tính Pa b .

A P10 B P 45 C P 10 D P45

Lời giải Chọn B

Câu 10 Biết phương trình27 271 16 3 3 6 0

c x

Câu 11 Cho hai số thực dương a b, thỏa log4alog6blog9a b  Tính a

Câu 12 Gọi a là một nghiệm của phương trình 2 log log 2 log

4.2 x6 x18.3 x 0 Khẳng định nào sau đây đúng khi đánh giá về a?

Chọn B

Điều kiện: 5

.6

nên suy ra phương trình g x   0 có không quá hai nghiệm

Mặt khác g 1 g 2 0 nên x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phương trình (3)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x  và 1 x 2

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 1 2 3 

Câu 14 Bất phương trình 9x2x5 3 x9 2 x1 có tập nghiệm là 0 Sa b;   c; Tính 

Gọi x là nghiệm duy nhất của phương trình 0 g x 0, x00

Khi đó, g x 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Xét thấy, g x 0 có hai nghiệm là x0 và x1

Ta có bảng biến thiên

Gọi x là nghiệm duy nhất của phương trình 0 g x 0, x0 0

Khi đó, g x 0 có nhiều nhất hai nghiệm

Xét thấy, g x 0 có hai nghiệm là x0 và x1

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có,  4 0x1

Ta lại có,  3  x2

Kết hợp  3 và  4 suy ra, 0x1  **

Kết hợp  * và  ** ta được tập nghiệm của BPT đã cho là S  0;1  2;

Câu 15 Phương trình 2sin2x3cos2x 4.3sin2x có bao nhiêu nghiệm thuộc 2017; 2017

Câu 16 Cho các số thực dương x y, thỏa mãn log6xlog9ylog42x2y Tính tỉ số x

x y

t

x y

Câu 17 Số nghiệm của phương trình log 5 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Câu 18 Phương trình 33 3 x33 3 x 34x34x 103có tổng các nghiệm là?

Lờigiải

Chọn A

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là: 1  1  0

Câu 19 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 2

x x

x x x

Ta có

25

25

log 2 log

1 33log

t

x y

3 x 3 B

2 1009

0 3

1 1008 0

1x 3 D

1 1007 0

3 x  1

Lờigiải Chọn C

3

t t

x x

1x 3

Câu 22 Phương trình 2 log3cotxlog2cosx có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2018?

A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm D 1009 nghiệm

t t

f t   

 

đồng biến trên 

Mặt khác f  1  nên 1 x  1 là nghiệm của phương trình

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t  1

Vậy trong khoảng 0; 2018 có 1009.22018 nghiệm

Câu 23 Cho dãy số  u n thỏa mãn log 23 u5632 log4u n8n8,   n * Đặt

2 63 3

32 2

t t

u u

2 2

t t

Ta thấy u 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u 0 là duy nhất

Với u      0 t 1 x2 2 x   1 0, phương trình này vô nghiệm

Cho f x  g x  1 nếu f x g x   , đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g x const và f x 

tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất

Câu 25 Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:

12, 06 12,13

Nghiệm trên thỏa điều kiện

Câu 26 Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình log 100 2 log 10  1 log

b a thuộc khoảng nào dưới đây?

11

t t

t t

u v

2 1

x x

Kết hợp điều kiện x1, ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S 1; 2

Câu 30 Tập nghiệm của bất phương trình     log 5 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S   1;1

Câu 31 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  0 x 2020 và log 33 x  3 x 2y9y?

Do x,y nên  

0; 12; 1; 0; 1; 2

Kết hợp điều kiện, ta được x y,  0, 2 ; 0, 2 ; 1; 2 ; 1, 1 , 1, 0 ; 1,1 ; 1, 2                

Thử lại ta thấy cặp x y,   1, 2  không thỏa yêu cầu đề bài

Vậy có 6 cặp số nguyên x y,  thỏa yêu cầu bài toán

Câu 33 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại duy nhất cặp số thực x y,  thỏa mãn

m

 Nếu x1m thì thay vào  2 ta được 5 2 18 0 3 10

Điều kiện: 0

1

x x

Câu 35 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa mãn ;  0 x 2020 và log24x4x y 1 2y?

Lời giải Chọn B

Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt

Câu 36 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn  2 2  

log x 4y log x4y

Lời giải Chọn C

log 5

 t

Từ x24y2 2t suy ra

9 2

log 5 2

t

t

y y

Khi đó: 9t2.3t4.2t 5 4t4.2t 4 2.3t 1 2t223.2t 1 0 nên không tồn tại giá trị

của t Vậy loại x 1

2

9 2

2 log 4

t y

y y  nhận x0

 Với x1

2 2

t

t

y y

Câu 37 Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thoả mãn 0x2020 và     2

2 xln x1 x  1 y e y?

Lời giải Chọn C

2 xln x1 x  1 ye y 2 ln x1 e x  ye y  1 Xét hàm số:   t

f t  t e , ta có: f t  1 e t 0 nên hàm số f t  đồng biến trên 

Vậy có duy nhất 1 cặp số nguyên x y;  thoả mãn đề bài

Câu 38 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn  2 2

log (xy)log x 2y ?

Phân tích Lời giải Chọn C

4 9

log 23

0

3

t t

t y

y y

Câu 39 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 6

+ Với y  3  x2 2 x   2 109 x2 2 x  999999998 0  (không có giá trị x nguyên nào thỏa mãn)

Vậy có một cặp nguyên dương x y ;  4;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 40 Có bao nhiêu số nguyên y 10 sao cho tồn tại số nguyên x thỏa mãn

Phương trình dạng f u  f v 

Phương pháp: Chứng minh y f t  đơn điệu trên a b Từ phương trình suy ra u;   Từ đó tìm v

sự liên hệ giữa 2 biến x y, và chọn x y, thích hợp

Lời giải Chọn C

Do y* nên y1; 2;3; ;11, với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x thoả đề

Vậy có 11 cặp số nguyên x y;  thoả mãn đề bài

Câu 42 Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

Suy ra:  2 log 12 3  2  

1 3 22

t t

t

t

t t

Do đó với x   thì không tồn tại số thực y thỏa mãn 1

t t

x x a b với a , b là hai số nguyên dương Tính  a b

A ab13 B a b 11 C ab16 D ab14

Lời giải Chọn D

Điều kiện: 1

0,2

 1 log 25 x12log 23 xlog5x2log3x1 (*)

Xét hàm số f t log5t2 log3t1, với t1

 

0.ln 5 1 ln 3



t t với mọi t1, suy ra f t đồng biến trên khoảng   1;   

Từ (*) ta có f2 x1 f x  nên suy ra 2 x 1 x x 22 x 1 0 x  1 2 (do 1

Khi đó  1  f x  f log 56 x1 xlog 56 x1log 56 x1 x 0

x x

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x0,x 1

Câu 47 Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình 5 3 1

Câu 48 Số nghiệm của phương trình

2.9 ln 3 24.9 ln 3 2

Do đó phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm

 Dạng 1 Tìm m để có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D?

— Bước 1 Tách m ra khỏi biến số và đưa về dạng

— Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D

— Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số để đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm số

— Bước 4 Kết luận các giá trị cần tìm của để phương trình có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D

— Nếu hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị cần tìm là những m thỏa

— Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên

để xác định sao cho đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm số tại k điểm phân biệt

 Dạng 2 Tìm m để bất phương trình hoặc có nghiệm trên miền D?

— Bước 1 Tách tham số m ra khỏi biến số t và đưa về dạng hoặc

— Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D

— Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm:

log 2x  m2 log xm 2 0 1 log  x 2m2 log 2x m  2 0  *

Đặt tlog2xg x  0  và mỗi giá trị của t 1 x sẽ cho một giá trị của t

Với t 1 thì phương trình có một nghiệm x 2

Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình  1 phải có một nghiệm t 1

Vậy m 1; 2 để thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 2 Cho phương trình 2 log32 7 log22 4 log2 3 0

1

m nguyên dương nên m 3; 4; , 80

Vậy có 79giá trị m nguyên dương

Câu 3 Cho phương trình  2   

2 log x3log x2 9x 1m 3xm  (0 m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của mđể phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất cả các phần tử của S

Với m 1 thì xlog3m  nên luôn nhận nghiệm 0 xlog3m

Mà 4 1

2

 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

1 2 3

2 log x3log x2 3xm.2x  ( m là tham số thực) Gọi 0 S là tập hợp tất cả

các giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tính tổng tất

3 2

m nguyên dương nên m 2;3; 4; , 38

Như vậy có tất cả các giá trị m là 1; 2; 3; ; 4; ; 38

Tổng 1 2 3 38    741

Câu 5 Cho phương trình  2lg 2 lg 1 lg 

2 x x 4 x 3xm 0(m là tham số thực) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt Tổng của phần tử nhỏ nhất và

phần tử lớn nhất S bằng

A 31001 B 31001 C 399 D 3991

Lời giải

Đk: 0

3x

x m

log3

Câu 6 Cho phương trình 3.2 logx x12 logx2x4 5xm 0 (m là tham số thực) Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

10

 và vì xlog5mnên phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

3

1 10 5

Câu 7 Cho phương trình 2   2

log x3 log 3m x 2m 2m 1 0( m là tham số thực) Tìm tất cả các số thực

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;9

log x(m3) log x2m 3m0 ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc đoạn 1;32

m m

TH3:  

22

m m

Vậy tổng cộng có 5 số nguyên của m thỏa đề

Câu 9 Cho phương trình 9x(m5)3x3m 6 0 (m là tham số thực ) Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2

A 6 B 7 C  m R D 1

Lời giải Chọn A

mà m nguyên suy ra m 2;3; 4;5;6; 7 nên có 6 giá trị nguyên của m

Câu 10 Cho phương trình log22xlog2x2m22m0 ( m là tham số thực) Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc đoạn 1;16

m m

Vậy tổng cộng có 5 số nguyên của m thỏa đề

Câu 11 Cho phương trình 2  2

log 2x 2 log x m 1 0.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình có đúng một nghiệm thuộc đoạn 1;16

Điều kiện: x 0

Biến đổi phương trình về dạng

1 log x 4 log x m  1 0 log22x2log2xm

Đặt t  log2x, với mỗi 1;16

2

x   thì cho một giá trị t   1; 4 Khi đó ta được phương trình t22tm

Xét hàm số   2

2

f t t  t trên đoạn 1; 4

Ta có f t 2t2, f t   0 t 1

Bảng biến thiên của f t 

Từ bảng biến thiên suy ra m   1  3;8m1; 4;5; 6; 7;8 có 6 giá trị của m thỏa mãn yêu

cầu bài toán

Câu 12 Cho phương trình  2 2 2 

trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1

8

Lời giải Chọn C

Ta cần tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1

;88

Câu 13 Cho phương trình 1 2020x2m2 2020x m20 ( m là tham số thực) Tập hợp tất cả

các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  0;2  là

Lời giải Chọn D

log x(m3)log x2m 3m 1 log x0 ( m là tham số thực) Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1

27

Lời giải Chọn B

Ta cần tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt 1

;8127

x  

Vậy tổng cộng có 3 số nguyên của m thỏa đề

Câu 15 Cho phương trình 2    

Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn

2021

x x

Vậy tổng các giá trị mnguyên là: 1 3 48

Câu 16 Cho phương trình  2 2 2 

trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 1

8

Lời giải Chọn D