SKKN: Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác

Sáng kiến đã góp phần làm rõ cơ sở lí luận và thực tiễn trong việc khắc sâu và mở rộng kiến thức SGK theo hướng bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS giáo dục thường xuyên khá và giỏi.

MỤC LỤC

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ 1

CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH

CỦA VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI

TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC”

33

3 Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến 34

IX CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 36

XI DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

GD&ĐT Giáo dục và đào tạo

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

I LỜI GIỚI THIỆU

Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học Phương pháp giáo dục là phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên Một trong những nội dung đổi mới dạy học là đổi mới kiểm tra đánh giá Năm 2017, lần đầu tiên Bộ GD&ĐT tổ chức thi môn toán theo hình thức trắc nghiệm Về kiến thức hàn lâm thì không thay đổi nhưng cách giải quyết vấn đề hoàn toàn thay đổi Trong một bài thi học sinh phải giải quyết một lượng nhiều câu hỏi trải rộng trên nhiều vấn đề chỉ trong một thời gian ngắn xuất hiện nhiều dạng toán mới lạ đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản trọng tâm và phải có kỹ năng làm bài thi trắc nghiệm Đặc biệt với các em học sinh lớp 11 có rất nhiều dạng toán mới đòi hỏi các em đã bắt đầu cần có xu hướng tư duy nghiên cứu và sáng tạo Lượng giác là một phần toán rất quan trọng trong chương trình toán 11 Để có kĩ năng cho học sinh giải bài tập trắc nghiệm phần lượng giác tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là “ Một

số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”

II TÊN SÁNG KIẾN

“Một số kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm lượng giác”

III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Doãn Hoài Nam

- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc

- Số điện thoại: 0987272900

- Email: doanhoainam.c3yenlac@gmail.com

IV CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm

V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học lượng giác lớp 11 THPT

VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ

Ngày 10 tháng 10 năm 2019

VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

1.1 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan là gì?

Trắc nghiệm khách quan là một phương tiện kiểm tra, đánh giá về kiến thức hoặc để thu thập thông tin

1.2 Ưu điểm và nhược điểm của câu hỏi trắc nghiệm khách quan

- Ưu điểm:

 Khảo sát được số lượng lớn thí sinh

 Kết quả nhanh

 Điểm số đáng tin cậy

 Ngăn ngừa học tủ học lệch vì lượng kiến thức kiểm tra lớn

- Nhược điểm:

 Do có nhiều học sinh lười học nên có khuynh hướng khoanh bừa vì vậy không thấy rõ diễn biến tư duy của học sinh

 Biên soạn đề tốn công sức

1.3 Sự khác biệt giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm

Bài toán tự luận yêu cầu thí sinh phải trình bầy lời giải một cách tuần tự với đầy đủ các bước để giải quyết vấn đề

Bài toán trắc nghiệm khách quan có nhiều dạng, tuy nhiên trong bài thi THPT quốc gia sẽ chỉ xuất hiện câu hỏi dạng lựa chọn 1 trong 4 phương án Tức là cho trước 4 phương án lựa chọn, đáp số bài toán là một trong bốn phương án A, B,

C, D Trong đó một phương án đúng các phương án còn lại là các phương án nhiễu Lưu ý có hai loại phương án nhiễu

+) Loại 1: Nhiễu xa tức là phương án này tách biệt hoàn toàn với phương án đúng, thí sinh dễ dàng tìm được đáp án đúng

+) Loại 2: Nhiễu gần tức là phương án này gần giống phương án đúng,

có khả năng gây rối cao cho học sinh Để loại được phương án này thí sinh cần có kiến thức cơ bản tốt và suy luận tốt

2 Thực trạng:

+) Khó khăn của học sinh khi làm bài thi bằng hình thức trắc nghiệm Khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian bởi thí sinh phải vận dụng cả kiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian ngắn

Khó khăn thứ hai là câu hỏi trắc nghiệm đa dạng từ dễ đến khó

+) Trước kia khi dạy học lượng giác mới chỉ có dạng bài tập giải phương trình lượng giác Học sinh chưa biết cách làm bài tập trắc nghiệm dựa vào lí thuyết lượng giác Để làm được điều này đòi hỏi học sinh phải rất vững về lí thuyết và thông qua bài tập trắc nghiệm rèn được học sinh tính sáng tạo, tư duy sâu sắc

Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm về lượng giác và kĩ năng giải quyết các câu hỏi đó Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả

CHƯƠNG II: MỘT SỐ KỸ NĂNG LÀM BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC

1 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác:

1.1 Lí thuyết về đường tròn lượng giác

+) Đường tròn định hướng là một đường tròn

trên đó đã chọn một chiều chuyển động gọi

là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm

Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay

của kim đồng hồ là chiều dương

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B

Điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B

Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung như vậy để được ký hiệu là AB

Nhận xét: Đường tròn lượng giác, cung lượng giác, góc lượng giác là khái niệm rất khó đối với học sinh phổ thông

Mỗi điểm trên đường tròn là biểu diễn điểm cuối của vô số cung lượng giác

và góc lượng giác

+) Góc lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD

Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D

tạo nên cung lượng giác nói trên

Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O

từ vị trí OC tới vị trí OD Ta nói tia OM

tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC,

tia cuối là OD Kí hiệu góc lượng giác đó là (𝑂𝐶, 𝑂𝐷)

+) Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 vẽ đường tròn

định hướng tâm 𝑂 bán kính 𝑅 = 1

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại 4

điểm 𝐴(1; 0), 𝐴′(−1; 0), 𝐵(0; 1), 𝐵′(0; −1)

Ta lấy 𝐴(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó

Đường tròn xác định như trên được gọi là

đường tròn lượng giác (gốc A)

+) Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2𝜋 Ta viết: sđAM= 𝛼 + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ ℤ

B’(0;-+) Số đo của góc lượng giác (𝑂𝐴, 𝑂𝐶) là số đo của cung lượng giác AC

tương ứng

Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại

+) Chọn điểm gốc 𝐴(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trêN đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo 𝛼 trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M thuộc cung này Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức: sđAM = 𝛼

1.2 Kĩ năng dùng đường tròn lượng giác

1.2.1 Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong các câu hỏi về tính đồng

biến nghịch biến của hàm lượng giác cần nắm rõ tính chất như sau:

Hàm y= sinx đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên phải trục tung,

nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trái trục tung

Hàm y= cosx đồng biến trên các khoảng thuộc nửa bên dưới trục hoành,

nghịch biến trên các khoảng thuộc nửa bên trên trục hoành

Hàm y= tanx đồng biến trên các khoảng không chứa điểm

2

k ( về hình ảnh khoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trái hoặc bên phải trục tung)

Hàm y= cotx nghịch biến trên các khoảng không chứa điểm k ( về hình ảnh khoảng đó nằm hoàn toàn ở bên trên hoặc bên dưới trục hoành)

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A y= tanx nghịch biến trong 0;

Ví dụ 2: Hàm số y= sinx đồng biến trên khoảng nào sau đây?

5𝜋 4

9𝜋 4

7𝜋 4

Ví dụ 3: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hàm số y= cotx đồng biến trên khoảng (0; )

B Hàm số y= sinx nghịch biến trên khoảng (  ; 2 )

C Hàm số y= cosx nghịch biến trên khoảng ;

Lời giải: Dựa vào đường tròn lượng giác có đáp án là D

1.2.2 Để có kĩ năng dùng đường tròn lượng giác trong câu hỏi về phương trình

lượng giác học sinh cần thành thạo kĩ năng biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn

+) Kĩ năng nhận dạng số điểm biểu diễn:

Luôn viết góc lượng giác dưới dạng k2

−𝜋2

2𝜋 0

5𝜋 2

7𝜋 12

11𝜋 12

5𝜋 4

𝜋 4

−5𝜋12

−5𝜋12

+) Kĩ năng xem một khoảng là bao nhiêu vòng quay:

+) Khi đó dựa vào câu hỏi của đề bài để xử lí câu trả lời

Ví dụ 3: Số nghiệm của phương trình 2sinx − 3 = 0 trên đoạn 0; 2 

 được biểu diễn bằng 5,75 vòng

Vậy số nghiệm của phương trình là 12

6

S =

Lời giải:

Vẽ đường tròn lượng giác

Suy ra nghiệm trên đoạn ;

𝜋 6

−𝜋2

𝜋 3

− √ 3 2

𝐵 𝐴

𝑦 =13

Ví dụ 8: Phương trình sin 2 3

2

x = − có hai công thức nghiệm dạng  +k,  +k

(k  ) với  ,  thuộc khoảng ;

6sin 2x − =1 0 nếu không dùng đường tròn lượng giác sẽ rất dài dòng và gặp rất nhiều khó khăn

Ví dụ 10 : Phương trình cos 2x+ 4sinx+ = 5 0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (0;10 )?

A 5 B 4 C 2 D 3

−𝜋3

−2𝜋3

𝜋

−𝜋

2𝜋

−2𝜋

k x

𝜋 3 0 2𝜋 4𝜋

7𝜋 3

5𝜋 3 11𝜋 3

dấu .biểu thị điểm của góc tìm được (2) Nhìn trên đường tròn ta được nghiệm là

2 , 0;30 0; ; 4 0; ; 2 ; ;9 2

Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn 0;30của phương trình (1) là: 45

Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình: 2sin 2 3 0

2 cos 1

x x

A

6

, ( )

, ( )

, ( ) 2

.2 3

, ( )

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác

điểm cuối của góc bị loại là dấu X

Khi đó, phương trình (1) sin 2 3 6

So sánh với điều kiện bằng đường tròn lượng giác ta được đáp án C

Ví dụ 3: Cho phương trình cos 4 cos 2 2 sin2 0.

cos sin

x x

+ Tính diện tích đa giác có các

đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc bị loại là 2 điểm

cos 4x− cos 2x+ 2sin x= 0

x k x

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác điểm của góc nghiệm (*)là 6 điểm

Trong đó có 2 điểm trùng với góc bị loại

Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm là .

A Điểm D, điểm C B Điểm E, điểm F

C Điểm C, điểm F D Điểm E, điểm D

Câu 3 Số nghiệm của phương trình sin 1

Câu 4 Phương trình 2sinx − =1 0 có bao nhiêu nghiệm x(0; 2 )?

A 2 nghiệm B 1 nghiệm C 4 nghiệm D Vô số nghiệm

Câu 5 Phương trình sin 5x− sinx= 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn

− 2018 ; 2018  ?

A 20179 B 20181 C 16144 D 16145

Câu 6 Số nghiệm thuộc đoạn 0;5

2 của phương trình 2sinx 1 0 là:

Câu 16 Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là

nghiệm của phương trình cos 2 1

Câu 26 Tính tổng S các nghiệm của phương trình ( ) ( 4 4 )

2 cos 2x+ 5 sin x− cos x + = 3 0trong khoảng(0; 2 )

Câu 28 Tìm nghiệm của phương trình lượng giác 2

cos x− cosx= 0 thỏa mãn điều kiện 0  x 

Câu 36 Tính tổng Scác nghiệm của phương trình 4 4

(2 cos 5)(sin cos ) 3 0

Câu 37 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosx+ cos 2x+ cos3x= 0 trên đường

tròn lượng giác ta được số điểm cuối là

2 sinx− 1 3 tanx+ 2 sinx = − 3 4 cos x Gọi T là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0; 20  của phương trình trên Tính tổng các phần

Câu 43 Số nghiệm của phương trình 2

2sin 2x+ cos 2x+ = 1 0 trong 0; 2018 là

A 1008 B 2018 C 2017 D 1009

Câu 44 Số nghiệm của phương trình sinx+ 4cosx= + 2 sin 2x trong khoảng (0;5 )

là:

Câu 45 Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ( 6 6 ) 1

8cot 2 sin cos sin 4

Câu 52 Tìm nghiệm của phương trình cos 3 sin 0

Câu 53 Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

sin 2 2 cos sin 1

2 Kĩ năng dùng công thức lượng giác:

2.1 Công thức lượng giác:

Công thức cộng:

sin( ) sin x cos sin sin( ) sin x cos sin cos( ) osx cos sin sin cos( ) osx cos sin sin

sin 3 3sin 4 sin

2 1

s inx.sin [ os( ) c os( )]

2 1 sinx.cos [sin( ) sin( )]

2.2 Kĩ năng dùng công thức lượng giác:

Dùng công thức lượng giác để biến đổi điều kiện phù hợp với bài toán

Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình cos 2 3sin 2 0

A

2 2

6 5 6

2

cos x x

Đối chiếu điều kiện ta loại phương trình (1) Giải phương trình (2) được

Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình sin 2 0

Vậy nghiệm của phương trình là

x  k

= +Đáp án: B

Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình sin 4x=cos2x là:

A

12 5 12

12 cos 2 0

Nhận xét: Khi biến đổi lượng giác cần phải biết biến đổi theo nhiều hướng phù hợp

với đáp án bài toán nếu không rất khó nhận biết đáp án nào đúng Từ đây giáo viên cũng có thể ra đề trắc nghiệm gây nhiễu cho học sinh

Ví dụ 8: Nghiệm của phương trình sin 2 sin 1

2 2

x

x x

sin x=0 sin 2 sin sin 3 0 sin 2 2 sin 2 cos 0 cosx 0

1 cosx

Nhận xét: Trong ví dụ này có rất nhiều cách biến đổi Tuy nhiên việc biến đổi như

trên giúp loại nghiệm rất đơn giản Ngoài ra nếu hs thành thạo đường tròn lượng giác thì cũng khá nhanh

Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình 8sin 3 1

Đáp án: B

Nhận xét: Nếu bài toán này học sinh làm theo cách biến đổi sau thì khó có thể nhận

ra đáp án vì vậy khi làm bà tập trắc nghiệm kĩ năng biến đổi lượng giác theo nhiều hướng khác nhau là rất quan trọng

Phương trình tương đương với phương trình 2

8s in x osc x = 3 s inx+cosx

Đây là phương trình đẳng cấp chia 2 vế cho 3

os

c xta được phương trình

1 tanx

3

3 tan x 7 tan x 3tanx+1=0 tan 3 2

x x

6 5 6

Câu 3 Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

sin 2 2 cos sin 1

Câu 5 Tính tổng các nghiệm thuộc 0;100  của phương trình

3 cos 2 sin 2 5sin cos

+ Tính diện tích đa giác có các

đỉnh là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác

3 cos 2 sin cos

Câu 9 Số nghiệm của phương trình

sin 3 cos 3 2 2 cos 1

4

0 sin

Câu 12 Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

1 tan tan sin cot 4

Câu 14 Tìm nghiệm của phương trình tan 3sin 1

Bảng biến thiên của hàm số lượng giác:

➢ Bảng biến thiên của hàm số 𝑦 = sin 𝑥

+∞

0

➢ Bảng biến thiên của hàm số 𝑦 = cot 𝑥

3.2 Kĩ năng dùng hàm số lượng giác:

Chủ yếu sáng kiến đưa ra kĩ năng dùng hàm số lượng giác đặc biệt là dùng bảng biến thiên của hàm số lượng giác trong bài tập chứa tham số

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình cos x=mcó 3 nghiệm thuộc đoạn 2 ;

Ta có bảng biến thiên của hàm số y =cos x trên đoạn 2 ;

3

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm thuộc đoạn ;2

Ta có bảng biến thiên của hàm số y sin(2 )

𝜋 2

3𝜋 4

Ta có bảng biến thiên của hàm số y sin( )

𝜋 2

4𝜋 3

𝑦 = sin (𝑥 +𝜋

3) −

1 2

−√32

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn ;

1 cos + x cos 4x m− cosx =msin x + 1 cosx cos 4x m− cosx −m 1 cos − x = 0

(1 cosx) cos 4x mcosx m(1 cosx) 0

8𝜋 3

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Với 4x0; 2 \  và m  −( 1;1 phương trình cos 4x=m có 2 nghiệm

  phương trình cos 4x=m có 1 nghiệm

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;2

m − 



Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

cos3x− cos 2x+mcosx= 1 có đúng bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng ; 2