Các bài toán về BPT trong đề thi vào lớp 10

Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục nhằm xây dựng những con người và thế hệ gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng bảo vệ tổ quốc đề tài nghiên cứu khoa học Để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu trên, nhà trường phải là nơi đào tạo, rèn luyện phẩm chất và trí tuệ của con người mới phát triển toàn diện về mọi mặt vì vậy nhiệm vụ của dạy học ngoài việc dạy kiến thức còn dạy cho học sinh cách suy nghĩ, hiểu một cách sâu sắc một vấn đề nói chung hay một lĩnh vực nói riêng. Trong chương trình học lớp 8,9 THCS phần Bất Phương Trình rất quan trọng vì vậy bài toán về BPT có một vị trí quan trọng trong chương trình cấp học. Tuy nhiên việc vận dụng những kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thể vẫn còn nhiều hạn chế.

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn tận tình củagiáo viên hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã cómột quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài.Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của riêng em mà còn do có cả sự giúp đỡcủa quý thầy, cô và bạn bè

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất với các thầy giáo, côgiáo trong khoa Giáo dục THCS - trường Cao đẳng Sư phạm luôn tạo điềukiện để em thực hiện đề tài này

Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành tới cô Nguyễn Thị Hồng Nhung – giảng viên môn Toán - Khoa GD THCS của trường Cao đẳng Sư phạm

, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài

Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa nhiều, kinh nghiệm cũng như trình độhiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót Vì thế, em kínhmong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnsinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

, ngày tháng năm

Sinh viên thực hiện

(ký và ghi rõ họ tên)

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do nghiên cứu đề tài

- Nhiệm vụ đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ

sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện, nghị quyết hộinghị lần thứ hai của Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoáVIII đã khẳng đinh: "Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục nhằm xây dựngnhững con người và thế hệ gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xãhội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng bảo vệ tổ quốc, côngnghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước, giữ gìn và phát huy giá trị văn hoá dân tộc,

có năng lực tiếp thu tinh hoa của nhân loại, phát huy tiềm năng của dân tộc vàcon người việt nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân,làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năngthực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức, kỷ luật"

Để đáp ứng nhiệm vụ và mục tiêu trên, nhà trường phải là nơi đào tạo, rènluyện phẩm chất và trí tuệ của con người mới phát triển toàn diện về mọi mặt vìvậy nhiệm vụ của dạy học ngoài việc dạy kiến thức còn dạy cho học sinh cáchsuy nghĩ, hiểu một cách sâu sắc một vấn đề nói chung hay một lĩnh vực nóiriêng

Trong chương trình học lớp 8,9 THCS phần Bất Phương Trình rất quantrọng vì vậy bài toán về BPT có một vị trí quan trọng trong chương trình cấphọc Tuy nhiên việc vận dụng những kiến thức ấy vào giải những bài toán cụ thểvẫn còn nhiều hạn chế

Để học sinh có thể giải đước các bài toán bằng việc sử dụng kiến thức, cầngiúp học sinh định hướng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên bằng những

ví dụ cụ thể Và để tài mà em nghiên cứu sau đây mong muốn được trao đổinhững kiến thức, những cách giải một bài toán mà em đã sử dụng để khai thác

và vận dụng kiến thức về Bất Pương Trình Vì những lý do nêu trên mà em chọn

đề tài: “Các bài toán về BPT trong đề thi vào lớp 10” làm đề tài nghiên cứu

cho bài khóa luận của mình

2 Mục tiêu, nhiệm vụ và giới hạn đề tài

a) Mục tiêu nghiên cứu

Trong chương trình toán ở bậc THCS nhận thấy việc nghiên cứu dạng toán

về BPT được coi là nhiệm vụ góp phần nâng cao năng lực tư duy của học sinh

Vì thế mà mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là:

- Thống kê các bài tập và các dạng bài tập về BPT từ cơ bản đến nâng cao

- Nắm được kiến thức và phương pháp giải bài toán BPT

- Phân loại một số dạng toán về BPT thường gặp

b) Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lí luận của việc phát triển năng lực giải toán cho học sinhTHCS

- Phân loại rõ ràng dạng toán về BPT Mỗi dạng toán được đề cập đều đượcxác định rõ ràng, khai thác triệt để, sâu sắc nhằm phát triển năng lực giải toáncho học sinh

- Hướng dẫn khai thác, phân tích một bài toán, đặc biệt phương pháp tìmtòi lời giải qua từng dạng toán để từ đó hình thành cho học sinh phương phápgiải bài toán liên quan đến BPT, từ đó gây hứng thú cho học sinh khi học toán

c) Giới hạn đề tài

+ Đề tài được thực hiện trong 2 tháng

+ Nghiên cứu về những vấn đề liên quan đến các bài toán về Bất PhươngTrình trong chương trình học ở bậc học THCS

3 Phương pháp nghiên cứu

Chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý luận Trên cơ sở đọc các tàiliệu về lí luận dạy học môn toán Nghiên cứu về lý thuyết thông qua sách giáokhoa, sách bài tập, tài liệu tham khảo

4 Cấu trúc của đề tài

Đề tài gồm 3 phần chính:

Lời cảm ơn

- Phần I là phần mở đầu gồm:

-Lý do nghiên cứu Mục tiêu

-Nhiệm vụ và giới hạn đề tài

-Phương pháp nghiên cứu

-Cấu trúc đề tài

- Phần II là phần nội dung gồm 3 chương của đề tài:

Chương I: Cơ sở lý luận

Chương II: Tài liệu tham khảo

Chương III: Một số sai lầm thường gặp trong việc giải BPT

- Phần III là phần kết luận : Thâu tóm các luận điểm chính được phân tích,chứng minh trong đề tài

Phần II Nội dung

Chương I.Cơ sở lý luận ( lý thuyết và ví dụ minh họa )

Kiến thức cơ bản cần nắm vững : 1.Bất đẳng thức:

a>b hoặc a-b>0

d) Qui tắc 4: Nếu a>b>0 và c>d>0 thì a.c>b.d

4 Một vài bất đẳng thức quen thuộc

a) Bình phương của một số là một số không âm

Với mọi A => A2 ≥ 0

Đặc biệt (a + b)2 ≥ 0

(a - b)2 ≥ 0

 a+c > b+d

b) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.

Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0 Bất đẳng thức Cô-si được viết dưới các dạng

Bất phương trình dạng ax+b<0 (hoặc ax+b>0, ax+b≤0, ax+b≥0) trong

đó a và b là hai so đã cho, a≠0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn

2.Định lí về dấu nhị thức bậc nhất - Ứng dụng

a) Nhị thức bậc nhất

- Nhị thức bậc nhất đối với biến x là biểu thức đại số có dạng

f(x)= ax + b ( a ≠ 0)

- Ứng với mỗi giá trị của biến x, nhị thức nhận một giá trị xác định

- Ứng với giá trị x=-b/a thì f(x)= ax + b = 0 Giá trị x=-b/a là nghiệm của nhị thức

b) Định lí về dấu nhị thức bậc nhất:

-Ta viết nhị thức bậc nhất dưới dạng: f(x) = ax + b =a(x + b/a)

- Với những giá trị của biến x mà lớn hơn –b/a thì x + b/a >0, do vậy giá trị tương ứng của nhị thức có dấu phụ thuộc vào dấu của hệ số a

+ Nếu a > 0 thì f(x) > 0+ Nếu a < 0 thì f(x) < 0

- Với những giá trị của nhị thức có dấu ngược với dấu của hệ số a

+ Nếu a > 0 thì f(x) < 0+ Nếu a < 0 thì f(x) > 0

* Định lí:

- Nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b có cùng dấu với hệ số a, với những giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức và trái dấu với hệ số a, với những giá trị của biến xnhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

ta có bảng xét dấu:

3

5  1

4 1

4x – 1 - - 0 + +

3 – 3x + + + 0

-5x + 3 - 0 + + +

f(x) + 0 - 0 + 0 -

ta sẽ chọn các giá trị x thuộc khoảng có dấu “–“ và được nghiệm của bất phương trình đã cho 3 1 5 x 4    hoặc x > 1 Biểu diễn nghiệm trên trục số

2 Ta có x2 – 20 x +51 > 0  x2 – 3x -17x+51 > 0  x(x-3) - 17(x-3) > 0  (x-3)(x-17) > 0 Giải tương tự như vi dụ trên được nghiệm x <3 hoặc x > 17 3 x3 - 6x2+ 5x +12 < 0 xét thấy x = -1 là một nghiệm của vế trái nên ta có (x-1)(x2-7x +12)=(x-1)(x-4)(x-3) Bất phương trình trở thành (x-1)(x-4)(x-3) <0 làm tương tự như trên được nghiệm x <-1 hoặc 3<x<4 ( HS tự giải và biểu diễn tập nghiệm trên trục số ) * 3.2 : Giải các bất phương trình thương BPT thương có dạng ( ) ( ) ( ) f x G x g x  a) Phương pháp giải: Việc giải bpt thương cũng tương tự như giải bpt tích đó là lập bảng xét dấu ///////////////////////////////( )/////////////////////(

3 5

x

Chú ý:

- Phải chú ý đến các giá trị của ẩn làm cho mẫu bằng 0, tức là các giá trị

của ẩn mà tại đó bpt không xác định Cần phải loại bỏ các giá trị này trong tập

- Biểu diễn nghiệm của bất phương trình:

Người ta thường biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số

 -5x >-2

 x<2/5S={x/xR, x<2/5}

b) (x + 1)( x + 3) <1 + 4x  x2+4x-4x <1-3

 x2<-3Nhận thấy với mọi x, x R => x2≥0 Vế phải là một số âm Vậy không có giá trịcủa x nào thoả mãn hay bất phương trình vô nghiệm S=

4 Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta đổi dấuhạng tử đó

b) Quy tắc nhân với một số

Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:

- Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.

- Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

(A) phương pháp giải

- Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn , ta sử dụng các phép biến đổitương đương (quy tắc chuyển vế , quy tắc cộng , quy tắc nhân )

Ta có

Nếu

0(*) 0(*)

b

a b

Hướng dẫn : đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc

biến dổi tương đương ( quy tắc chuyển vế , quy tắc nhân ) để suy ra nghiệm của bất phương trì( )3a x 2 7 �3x 7 2�3x9� x3nh

Lời giải: -Vậy nghiệm của bất phương trình là : s x x/ 3 

ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số :

6.2 Dạng toán về giải và biểu diễn tập nghiệm của BPT bậc nhất một ẩn trên trục số

  

-Hướng dẫn : ở câu (b) hs sẽ lúng túng hoặc không giải được nên GV cần HD

HS biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu ) về dang j ax+b>0 hoặc ax+b <0 ; ax b �0;ax b � ) rồi áp dụng các quy tắc đã học để tìm nghiệm khi0biểu diễn nghiệm trên trục số cần lưu ý các trường hợp x lớn hơn và x nhỏ hơn hoặc bằng

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này

Bài 1 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục

số

(a) 3x 2x 5;

Hướng dẫn Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa bất

phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó suy ranghiệm của bất phương trình

Lời giải (a) 3x 2x 5 � 3x 2x 5

� x 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S x x/  5

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(b) 2( 2) 3

x

x   ;

Hướng dẫn Ở bài toán này học sinh không thể nhận dạng được ngay đây là bất

phương trình bậc nhất một ẩn nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi(quy đồng 2 vế của bất phương trình về cùng mẫu dương rồi khử mẫu) các bấtphương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải (b) Quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình 2( 2) 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/   1.

Biểu diễn nghiệm trên trục số

Hướng dẫn Dùng hằng đẳng thức để khai triển.

Nhân đa thức với đa thức, đặt nhân tử chung

Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, nhân

Lời giải (a) Dùng hằng đẳng thức khai triển ở vế trái và áp dụng quy tắc nhân

đa thức với đa thức ở vế phải của bất phương trình ta có

Biểu diễn nghiệm trên trục số

8 Dạng toán về bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

(a) Phương pháp giải

Ở đây chúng tôi chỉ đề cặp đến hai dạng đơn giản và cách giải của từng dạngnhư sau

TH1.Nếu f x( ) A trong đó A là đa thức hoặc là một hằng số.

Đối với loại này, ta đưa về một bất đẳng thức kép f x( ) A �  A f x( ) A do

đó ta giải hai bất phương trình ����f x f x( )( ) A A

Tập nghiệm của bất phương trình f x( ) A là giao của các tập hợp nghiệm của

hai bất phương trình trên

TH2.Nếu f x( ) B trong đó B là đa thức hoặc là một hằng số

Đối với loại này ta đưa về hai bất phương trìnhf x( )  B hoặc f x( ) B

Tập nghiệm của bất phương trình f x( ) B là hợp của hai tập hợp nghiệm của

mỗi bất phương trình trên

Ta có một số ví dụ minh họa sau

.

Lời giải a) Áp dụng quy tắc chuyển vế ta có x   1 0 � x  1 ta nhận thấy

đây là dạng f x( ) A nên từ x  1 ta có được    1 x 1.Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x/ 1   x 1

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(b) Bất phương trình đã cho có dạng f x( ) B với f x( ) 1 3   x và B   7 x

Vậy ta cần giải hai bất phương trình

9 Dạng toán về bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số

-Trong những phương pháp giải các dạng bài tập ở phần này, chúng tôi chỉ đềcặp đến bất phương trình dạng ax b  0 Đối với ba trường hợp bất phươngtrình dạng ax b  0,ax b � 0, ax b �0 có cách giải tương tự Điều quan

trọng cần nhớ là khi chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì phải đổichiều bất phương trình

-Từ những kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc nhất một ẩn số ta có thểchia các bài tập về bất phương trình bậc nhất chứa tham số thành các dạng sau

9.1 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm (a) Phương pháp giải

.

0

Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình ax b  0 có nghiệm

có thể giải như sau

Bước 1: Xét a 0 Suy ra giá trị tham số Thay vào bất phương trình đã cho.Nếu nhận được bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì nhận tham số đó,ngược lại không nhận giá trị tham số đó

Bước 2: Bất phương trình có nghiệm khi a �0

Bước 3: Kết hợp Bước 1 và Bước 2 ta có kết luận

Dưới đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này

m vào bất phương trình đã cho ta được

0x  7 0 Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Vậy với 1

3

m thì bất phương trình đã cho có nghiệm

Bất phương trình có nghiệm khi a� � 0 3m 1 0 � hay 1

3

m � Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m

(b) Để giải được bài này giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng qui tắc biến dổitương đương (qui tắc chuyển vế) đưa bất phương trình về dạng ax b  0 hoặc

ax b, sau đó phải xác định được hệ số a

Ta có kết quả biến đổi như sau

0x 0 Bất phương trình này vô nghiệm.

Vậy không nhận 1

2

m  Bất phương trình có nghiệm khi

đó, nếu ngược lại thì nhận giá trị tham số đó

Ta có ví dụ minh họa như sau

(b) Ví dụ minh hoạ

Bài 2 Tìm điều kiện của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm

(a) (m3)x2m 7 0; (b) 2mx  3 x m.

Lời giải (a) Ta nhận thấy a m  3 có chứa tham số m

Cách 1: Trước hết tìm điều kiệm của m để bất phương trình vô nghiệm

Xét m  3 0 hay m 3 Thay m 3 vào bất phương trình đã cho ta nhậnđược

0x  1 0 Bất phương trình này vô nghiệm

Vậy không nhận m 3

Bất phương trình có nghiệm khi m � 3 0 hay m �3

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m �3

Suy ra bất phương trình vô nghiệm khi m 3

Cách 2: Xét m  3 0 hay m 3 Thay m 3 vào bất phương trình đã cho tanhận được 0x  1 0 Bất phương trình này vô nghiệm

Vậy với m 3 thì bất phương trình trên vô nghiệm

Nhận xét: Ta nhận thấy giải theo cách 1 phức tạp hơn, do đó giáo viên nên

khuyến khích học sinh làm theo cách 2

(b) Trước hết phải đưa bất phương trình về dạng ax b  0 Sử dụng qui tắcbiến đổi tương đương ta được

x  Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình đã cho vô nghiệm.

9.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình nhận x x 0

làm một nghiệm

(a) Phương pháp giải

Ta nhận thấy x x 0 là một nghiệm của bất phương trình ax b  0 khi

ax  b

Do đó, để giải dạng bài tập này chúng ta tiến hành như sau

Bước 1: Thay x x 0 vào bất phương trình, ta nhận được bất phương trình theotham số

Bước 2: Giải bất phương trình theo tham số

Dưới đây là một số ví dụ minh họa

(b) Ví dụ minh họa

Bài 1 Tìm điều kiện của m để các bất phương trình