Dựa vào hình học tọa độ để tìm hiểu đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa, các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.

PHẦN MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọngtâm của chương trình hình học lớp 10 Kiến thức này cũng là một trong những vấn đềchính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Các bài toán thường phải áp dụng tínhchất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại sốthông thường như trước kia Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lựcphối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặcbiệt hóa, Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau Hơn nữa,các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nênviệc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình họctọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiếnthức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán vềđường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ

← Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độlớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phụcnhững sai lầm đó

Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông

← Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10 3.2 Đối tượng nghiên cứu Học sinh trung học phổ thông.

← Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đườngtròn trong hình học tọa độ lớp 10

4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng

và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài Sau đó, kiểm tra kết quả và đúckết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài

4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại họcSài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thulượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướnggiải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu

4.4 Phương pháp ứng dụng toán học

Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa họccủa đề tài

← Phạm vi nghiên cứu

5.1 Giới hạn về nội dung.

Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10

5.2 Giới hạn về địa bàn

Thực nghiệm:

← Thời gian: Ngày 30/03/2016

← Địa điểm:

← Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối

tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận

Phần nội dung: Gồm bốn chương

Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Chương 3: Một số bài toán tổng hợp

Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng vàđường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Phần kết luận

← Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được

← Hướng mở rộng cho nghiên cứu

Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cốgắng thể hiện các vấn đề sau:

← mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cậptới nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để ngườiđọc tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu

Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ bảnđược phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm giúpngười đọc hiểu rõ hơn.

Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôidẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hìnhhọc để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó

Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đadạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán

Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố nhữnghiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao biếtphải làm như vậy?” một cách thoả đáng

Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến những nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh

Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này, nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế từ chúng tôi Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các quý thầy cô và bạn đọc

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

← Tóm tắt lý thuyết

1.1 Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng

1.1.1 Tọa độ điểm trong mặt phẳng

Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  , tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa

độ của điểm M

Vectơ OM được biểu diễn theo i và j bởi hệ thức có dạng: OM  xi  y j với

x , y  R Cặp số là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm M

Kí hiệu: M x; y hoặc M  x; y  Số x được gọi là hoành độ của điểm M , số y được gọi là tung độ của điểm M

1.1.2 Tọa độ vectơ trong mặt phẳng

Định nghĩa Đối với hệ trục tọa độ O; i , j , nếu a  xi  y j thì cặp số  x; y 

được gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu là a  x; y  hay a x; y  Số thứ nhất x gọi là

hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ a

1.1.3 Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a x; y ,bx',y', các điểm A  xA; yA

x  x A  x B

2f) I là trung điểm  I

2



x  x A  x B  x C

3g) G là trọng tâm của tam giác ABC   G

1.2 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

1.2.1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa Vectơ u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nhận xét

i Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  thì mọi vectơ ku khác

vectơ 0 đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng

← Nếu u  a; b (với với a 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì hệ

số góc của đường thẳng  d  là kb

a ;

← Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ chỉ phương của nó

1.2.2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa Vectơ n khác 0 , có giá vuông góc với đường thẳng  d  gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d 

Nhận xét

i Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  thì mọi vectơ k n khác vectơ 0 đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  ;

← Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua

và một vectơ pháp tuyến của nó

1.2.3 Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

d ;

d .

i Nếu đường thẳng  d  có vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u thì

n.u  0;

← Nếu n  a; b là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d thì u   b; a 

hoặc u b;a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

← Nếu u  a; b là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì n   b; a hoặc n b;a là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  ;

← Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháptuyến;

← Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

1.3 Phương trình tham số của đường thẳng

Định lý Trong mặt phẳng  Oxy  , đường thẳng  d

vectơ u a; b làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

 d là đường thẳng vuông góc với trụcOx, cắt Oxtại điểm có hoành độ bằng x0 ;

Nếu b  0 và a0 thì phương trình tham số của  d

là 

y  y0

← d là đường thẳng vuông góc với trụcOy, cắtOytại điểm có tung độ bằngy0

1.4 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Định lý Trong mặt phẳng  Oxy  , đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0; y0 và nhận vectơ ua; ba0,b0 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

← d:xx0 yy

0 .

a b

d ;

Nhận xét Nếu a 0 hoặc b  0 thì đường thẳng  d  không có phương trình

chính tắc

1.5 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

Định nghĩa

Xét đường thẳng  d  có phương trình tổng quát AxByC 0 Nếu B0 thì

phương trình trên đưa được về dạng ykxm với k  B A và m  C

Từ phương trình d : Ax  By  C  0 ta luôn suy ra được

← Vectơ pháp tuyến của  d  là n A; B;

← Vectơ chỉ phương của  d  là uB; A hoặc uB;A;

← M x0 ; y0 d   Ax0  By0  C  0

Mệnh đề  3  được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đườngthẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

Cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 , với A2

B2 0

1.7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng  Oxy  cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát

← d1: A1 x  B1 y  C1  0 vàd 2: A2 x  B2 y  C2  0 .Vì số điểm chung của haiđường

ii Hệ  1  có nghiệm duy nhất   d1 cắt  d2;

← Hệ  1  vô số nghiệm   d1 trùng với  d2

Trong trường hợp A2,B2,C2 đều khác 0, ta có

1.8.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

M x0 ; y0 Khoảng cách từmột điểm M đến đường thẳng d , ký hiệu làdM,d 

,được tính bởi công thức dM,d Ax

0 By

0 C

A2B2

1.8.2 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng

Cho điểm M  x0; y0 và đường thẳng  d  : Ax  By  C  0

+ d M , d    0  M   d   Ax0  By0  C  0 ;

+ d M , d    0  M   d   Ax0  By0  C  0

1.8.3 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 và hai điểm M x M ; y M, N x N ; y Nkhông nằm trên  d  Khi đó

i Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với  d  khi và chỉ khi

Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình  d1 : A1x  B1y  C1 0 và

d 2: A2 x  B2 y  C2  0 Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai

1.8.5 Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó Định lý

Cho hai đường thẳng d1 : A1 x  B1 y  C1  0 và d 2 : A2 x  B2 y  C2  0 Góc

Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

2.1 Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng

Ví dụ 1 Cho đường thẳng  d  : y  2 x 5

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d 

Viết phương trình tham số của đường thẳng  d 

Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng  d 

Phân tích

Phương trình tổng quát của đường thẳng d : Ax  By  C  0 với

A2  B2  0 mà phương trình của d  là y  2 x  5 nên ta chỉ cần chuyển tất cả các số hạng của phương trình về một vế.

b) Để đưa phương trình  d



x  x0  at

về dạng phương trình tham số d  : 

y  y0



bt

t R, ta cần tìm được một điểm cố định M x0 , y0d và một vectơ chỉ phương

a; bcủa đường thẳng d .Ngoài ra, ta có thể đưa phương trình d vềdạngphươngtrình tham số bằng cách đặt xt , khi đó y  2t  5 , nghĩa là M  0; 5  và u1; 2

0 Để đưa phương trình của  d  về dạng phương trình theo đoạn chắn

a x  b y  1 a0,b0, ta cần tìm giao

điểmA  a;0 của d  vớiOxvà giao điểm

B  0;b  của d với Oy Ngoài ra, vì phương trình d có dạng y  2 x  5 nên ta có thể

đưa phương trình của  d  về dạng phương trình theo đoạn chắn bằng cách đưa các số

hạng chứa x, chứa y về cùng một vế và hằng số ở vế còn lại rồi chia hai vế phương trình

cho 5

Các bước giải

Để đưa đường thẳng  d  : y  2 x 5 về dạng phương tổng quát, ta cần

chuyển y sang cùng một vế với 2x5 , ta được phương trình đúng dạng với dạng của phương trình tổng quát của đường thẳng

Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số

Bước 4 Từ vectơ chỉ phương và điểm M thuộc  d  ta suy ra được phương trình

tham số của đường thẳng

Cách 2

Tham số hóa x và y Đặt xt , thay xt vào phương trình y  2 x  5 ta được

 2t  5 Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳng d 

0 Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.Cách 1

Bước 1 Từ phương trình tổng quát  d  : 2 x  y  5  0 , ta chuyển hệ số tự

do 5 sang vế phải, ta được 2 x  y  5 ;

Bước 2 Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng x 

y

 1 a  0, b  0

nên để

Cách 2Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng  d  với Ox , Oy

Ví dụ 2 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  d biết

điểm thuộc đường và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Các bước giải

Ta có hai cách giải

d:xx0 yy

0 .

a b

Cách 2

Bước 1 Từ hai phương trình x  2  t , ta suy ra được t  x  2 ;

Bước 2 Từ hai phương trình y  1  2t , ta suy ra được t  y

Từ phương trình tham số của  d  ta tìm được vectơ chỉ phương của  d  , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳng  d  , như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng

 d 

Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảng  d  bằng

cách khác Chọn một trong hai phương trình, ta tìm t theo biến x hoặc y rồi thế t vào

phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng

Bước 1 Xác định một điểm thuộc đường thẳng  d  ;

Bước 2 Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  , từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến của  d 

Bước 3 Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0; y0 và có vectơ pháp tuyến n A; B có dạng d : A  x  x0  B  y  y0  0

Bài giải

Cách 1

 x 3  t

Đường thẳng  d  đi qua M  3;6  và có vtpt nd  2;1

Vậy phương trình tổng quát của  d  là

2  x  3    y  6   0  2 x  y  0.

2.2.1 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước Ví

và có vectơ pháp tuyến n 1; 2

Phân tích

Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm Mx0;y0 và có vectơ pháp tuyến

n  A; B có dạng d : A  x  x0   B  y  y0   0 nên để lập được phương trình tổng quát của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của

đường thẳng đó Trong ví dụ này, đường thẳng

 d  qua M 1;2  và có vectơ pháp tuyến

Bước 2 Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  d  ;

Bước 3 Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0; y0 và có vectơpháp tuyến nA;

B

có dạng d : A  x  x0  B  y  y0  0

R nên để lập được phương

phương có phương trình tham số là d  : 

Các bước giải

Bước 1 Xác định điểm N  3; 2  thuộc đường thẳng  d  ;

Bước 2 Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  ;

Bước 3 Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm Mx0;y0

Ví dụ 3 Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng  d

 đi qua 2 điểm A  2;1  và B  4;5 

Phân tích

Để lập được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng, một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương của đường thẳng d Trong ví dụ này, đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên có

vectơ chỉ phương là u d  AB , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến nd của đường thẳng d Như vậy ta đã có đủ các yếu tố để lập phương trình tổng quát và phương

trình tham số của đường thẳng

Bước 2 Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng  d  , u d  AB  

6; 4; Bước 3 Từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến nd  4; 6;

d .

Bước 4 Phương trình của đường thẳng  d  đi qua điểm M  x0; y0 và có vectơ pháp tuyến n a; b có dạng  d  : a  x  x0  b  y  y0  0. Từ đó, ta viết phương trình tổng quát của đường thẳng  d 

Phương trình tham số

Bước 1 Xác định điểm A  2;1  hoặc B  4;5  thuộc đường thẳng  d  ;

Bước 2 Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d , u d  AB   6; 4; Bước 3 Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm Mx0;y0 và nhận vectơ

u1 ;u2làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là

Ta có: vectơ chỉ phương ud  AB   6; 4  vectơ pháp tuyến nd  4; 6

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  d  là  d  : 2 x  3 y  7  0

2.2.2 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  đi qua M  2; 4  và có hệ

Bước 1 Xác định một điểm M 2; 4 thuộc đường thẳng  d  và hệ số góc k 

2 ; Bước 2 Lập phương trình đường thẳng  d 

A2;1

Vậy phương trình đường thẳng  d  là 2 x  y  4  0

2.2.3 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông

góc với một đường thẳng cho trước

Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ

pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

Viết phương trình đường thẳng Ví dụ

1.  d biết  d đi qua A1;2 và song songvới đường thẳng    : 2 x  3 y  1  0

Phân tích

Đường thẳng d song song với đường thẳng  nên hai đường thẳng có cùng vectơ

pháp tuyến Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳng d kết hợp

với giả thiết  d

 đi qua A  1; 2  ta lập được phương trình đường thẳng  d 

Các bước giải

Bước 1 Vì đường thẳng  d  song song với đường thẳng    nên phương trìnhđường thẳng

 d  có dạng 2 x  3 y  m  0  m 1  ;Bước 2 Giả thiết điểm A  1; 2  thuộc đường thẳng  d  Thay tọa độ điểm

A  1; 2  vào phương trình2x3ym 0, ta tìm đượcm;

Bước 3 So điều kiện m1 với giá trị m vừa tìm được Nếu m1, ta nhận giátrị m và thay m vào phương trình 2x 3 ym0 , ta tìm được phương trình đường thẳng

d thỏa yêu cầu bài toán Nếum1 , ta loại giá trịmnày vì với m1 ta tìm được

phương trình đường thẳng d : 2 x  3 y  1  0 trùng với phương trình đường thẳng

   không thỏa yêu cầu bài toán

Thay m4 vào 2 x  3 y  m  0 , ta được 2 x  3 y  4  0.

Vậy phương trình đường thẳng  d  : 2 x  3 y  4  0

Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng  d  biết  d  đi qua B  3; 2  và vuông góc với đường thẳng    : x  2 y  3  0

Bước 2 Giả thiết điểm B 3; 2 thuộc đường thẳng

B 3; 2 vào phương trình 2 x  y  m  0 , ta tìm được m ;

Bước 3 Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình 2 xy m0 , ta tìm được phương trình đường thẳng  d  thỏa yêu cầu bài toán

Bài giải

 d  Thay tọa độ điểm

d .

Vì d vuông góc với  nên d có dạng 2xym

0 Ta có: B3;2 d2.32m0m4

Thay m4 vào 2xym0 , ta được 2 x  y  4

 0 Vậy phương trình đường thẳng 2 x  y  4  0

Ví dụ 3 Viết phương trình đường trung trực  d  của đoạn thẳng MN biết

M  1; 1 và N  1;9 

Phân tích

Đường thẳng  d  là đường trung trực của đoạn thẳng MN nên đường thẳng  d  điqua trung điểm của đoạn MN và vuông góc với MN Do đó, vectơ pháp tuyến của  d  là vectơ chỉ phương của đường thẳng MN Để lập phương trình đường thẳng ta cần thêm mộtđiểm thuộc đường thẳng  d  , điểm đó là trung điểm của MN

Các bước giải

Bước 1 Gọi I là trung điểm của MN , tìm tọa độ điểm I bằng công thức tính tọa

độ trung điểm;

Bước 2 Tìm vectơ chỉ phương MN Suy ra vectơ pháp tuyến nd  MN ;

Bước 3 Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua I và có vectơ pháp tuyến

Bài giải

Gọi I  xI; yIlà trung điểm của MN.

 x  x M  x N  11  0Tọa độ điểm I thỏa  I 2 2  I 0;4 

Vậy phương trình đường thẳng  d  : x  5 y  20  0

2.2.4 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc

khoảng cách Phương pháp

Đường thẳng  d  đi qua M  x0 ; y0 và có vectơ pháp tuyến nA; B có dạng

A  x  x0  B  y  y0  0 với A2  B2  0 ;

Từ điều kiện của góc hay khoảng cách được cho trong giả thiết bài toán, ta tìm

ra một phương trình với hai ẩn A và B Tìm A , suy ra B hoặc ngược lại Thay A và B

vừa tìm được vào phương trình A  x  x0  B  y  y0  0 , ta được phương trình đường thẳng  d  cần tìm.

Ví dụ 1 Cho hai điểm M 1; 2 và N 3;5 Viết phương trình đường thẳng  d

 đi qua M biết rằng khoảng cách từ N đến đường thẳng  d  bằng 3

Phân tích

Giả sử đường thẳng  d  có phương trình là A  x  xM  B  y  yM  0

A2  B2  0 Từ giả thiết khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  d  bằng 3 , ta sử

dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trìnhhai ẩn là A, B , giải phương trình đó ta tìm được vectơ pháp tuyến nd của đường thẳng

 d  Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng  d đi qua điểm M và có vectơ pháp

Thay A0;B 1 vào d : Ax  By  A  2 B  0 , ta được phương trình

Giả sử phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm P có dạng

A  x  x P  B  y  y P  0,  A2  B2  0 Giả thiết đường thẳng d cách đều hai điểm M

và N , điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d  bằng vớikhoảng cách từ điểm N đến đường thẳng d Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một

điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn là A và B , giải phương trình tìm được vectơ pháp tuyến nd của đường thẳng  d  Khi đó, ta lập được phương trìnhđường thẳng  d  đi qua điểm P và có vectơ pháp tuyến nd

0 và N cùng phía với đường thẳng  d  mà hai điểm M , N cách đều đường thẳng

d nênMN song song với đường thẳng d  Kết hợp với giả thiết đường thẳngd đi

qua điểm P , ta lập được phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm P và song song với

MN

Trường hợp 2

M,N,P

0 và N khác phía với đường thẳng  d  mà hai điểm M , N cách đều đường thẳng

d nênd đi qua trung điểm củaMN Vậy đường thẳng d đi qua điểmPvà trung

d3

d2

điểm của MN

Ví dụ 3 Cho hai đường thẳng  d1 : x  y  1  0 và  d2 : 2 x  y  2 

0 Viết phương trình đường thẳng  d3 đối xứng với  d2 qua  d1

  d1, ta có dM,d 3  dM ,d2 , giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp

tuyến nd của đường thẳng  d3 Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳng  d3

đi qua giao điểm của hai đường thẳng  d1 ,  d2 và có vectơ pháp tuyến nd

Các bước giải

Bước 1 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  d1 và  d2, ta được hai đường thẳng  d1 và  d2cắt nhau;

Bước 2 Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2, tìm tọa độ điểm I

bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng d1 và d2 Suy ra I

cũng thuộc đường thẳng

tuyến

Bước 3 Viết phương trình của đường thẳng d3 đi qua điểm I và có vectơ pháp

n  A; Bcó dạngd : A  x  x A  B  y  y A   0 A2 B2 0;

Bước 4 Tìm điểm M  0;1  thuộc đường thẳng  d1;

Bước 5 Vì đường thẳng  d3 đối xứng với đường thẳng  d2 qua đường thẳng

d1nêndM ,d3 dM ,d2  Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến n 

Gọi I   d1   d2 Tọa độ điểm

Trường hợp 2 A0 Chia hai vế phương trình * cho A2

2.2.5 Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một

điều kiện về khoảng cách hoặc góc Phương pháp

Nếu giả thiết cho vectơ pháp tuyến na; b, ta gọi phương trình

d : ax  by  c  0 ;

Nếu giả thiết cho hệ số góc k , ta gọi phương trình  d  : y  kx 

m ; Từ điều kiện về khoảng cách hoặc góc, ta suy ra c hoặc m

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng  d  song song với đường thẳng

  : x  y  2  0 và cách  một khoảng bằng 3 2

Phân tích

Vì đường thẳng  d  song song với đường thẳng    nên vectơ pháp tuyến của

   cũng là vectơ pháp tuyến của  d  Phương trình đường thẳng  d  có dạng

d : x  y  m  0 , m2 Đường thẳngd song song với đường thẳng nên khoảngcách từ    đến  d  bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng   

đến đường thẳng  d  Ta dễ dàng tìm được một điểm M thuộc đường thẳng   , khi đó

khoảng cách từ M đến  d  bằng 3 2 , sửdụng công thức tính khoảng cách, ta lập được

một phương trình có ẩn m , giải phương trình này ta tìm được m Như vậy, ta tìm được

phương trình đường thẳng  d  thỏa yêu cầu bài toán

Giả sử cần lập phương trình đường thẳng  d  Gọi M x; y là điểm bất kì thuộc đường thẳng  d  Từ giả thiết bài toán đưa ra, ta tìm được phương trình với hai ẩn x và

y Đó chính là phương trình của đường thẳng  d 

Ví dụ Cho hai đường thẳng  d1 : x  2 y  1  0 và  d2 : x  2 y  3 

0 Viết phương trình đường thẳng    cách đều  d1 và  d2

Phân tích

Đường thẳng    cách đều hai đường thẳng  d1 ,  d2 nên khoảng cách từ mộtđiểm bất kì thuộc đường thẳng  đến hai đường thẳng d1,d2 là bằng nhau Từ đó, sửdụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta tìm được một

phương trình hai ẩn x và y Đó chính là phương trình đường thẳng    cần tìm

Các bước giải

Bước 1 Gọi điểm M bất kì thuộc   ;

Bước 2 d   , d1   d    ,d 2   d M, d1    d M, d2  ,biến đổi ta được một phương trình hai ẩn x và y Đây là phương trình đường thẳng   thỏa yêu cầu bài toán

Vậy phương trình đường thẳng    là x  2 y  2  0

Nhận xét

Bài toán trên có thể đưa về bài toán lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điều kiện về khoảng cách Dễ thấy  d1 song song  d2,    cách đều hai đường thẳng  d1 ,  d2 nên    có cùng vectơ pháp tuyến với  d1 ,  d2 Từ

đó, lập phương trình đường thẳng    khi biết vectơ pháp tuyến    : x  2 y  m  0

m  1, m  3, sử dụng giả thiết bài toán tìmm Như vậy, ta tìm được phương trình

đường thẳng    thỏa yêu cầu bài toán

2.2.7 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt

nhau

quát các đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE của góc BAC Trong đó,

D,E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài trên BC.

Phân tích

Hai đường thẳng  AB  ,  AC  cắt nhau có phương trình lần lượt là

AB  : A1 x  B1 y  C1  0 và AC : A2 x  B2 y  C2  0 Khi đó, phương trình hai đường

phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng  AB  ,  AC  có dạng

Bước 1 Viết phương trình đường thẳng  AB  và phương trình đường thẳng  AC

; Bước 2 Lập phương trình các đường phân giác của góc A ;

Bước 3 Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C với hai đường phân giác, ta suy ra

phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc A

Bài giải

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng  AB  là uAB4;3

B , C nằm khác phía so với đường thẳng d1 

 d1 là đường phân giác trong  AD 

 d2là đường phân giác ngoài  AE 

Nhận xét

Ngoài cách giải như trên, ta có thể giải bài toán bằng cách dựa vào tính chất đường phân giác trong của tam giác để tìm tọa độ chân đường phân giác trong Khi đó, bài toán tìm phương trình đường phân giác trong trở thành bài toán viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm Như vậy ta tìm được phương trình đường phân giác trong Đồng thời ta sửdụng tính chất hai đường phân giác trong và ngoài vuông góc với nhau để lập phương trình đường phân giác ngoài

Bước 3 Viết phương trình đường phân giác ngoài đi qua A và vuông góc với đường

phân giác trong

2.2.8 Các ví dụ tổng hợp

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC , biết A  1; 1  , B  2;1  , C  3;5 

Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB , BC , AC

Viết phương trình đường cao  AH  của tam giác ABC

Viết phương trình đường trung tuyến  AM  của tam giác ABC

Phân tích

Đường thẳng đi qua hai điểm cho trước nhận vectơ tạo bởi hai điểm đó làm

VTCP

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AHBC , suy ra VTCP của

BC là VTPT củaAH  Bài toán trở thành viết ptđt qua điểmAvà có VTPT

n

 AH  uBC.

Vì M là trung điểm của BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm M bằng

công thức tính tọa độ trung điểm Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm A và M

Bước 3 Viết ptđt  AH  đi qua A  1; 1  và có VTPT nAH

Bước 1 Gọi M là trung điểm của BC , tìm tọa độ điểm M bằng công thức

tìm tọa độ trung điểm;

2 có dạng  AC  : 3 x  y  4  0

Đường thẳng  BC  có VTCP u BC5; 4 VTPT nBC   4;5 