Nhằm giúp các em ôn tập và củng cố lại kiến thức Toán học trước khi bước vào kì thi, giới thiệu đến các em Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2016 2017. Hy vọng đây sẽ là đề thi hay giúp các em ôn tập thật hiệu quả.
Trang 1PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2016 – 2017 - Môn: Toán 7
Thời gian: 90 phút
I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)
Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x - 1 )2 = 0,25 là:
Câu 6: Cho tam giác DEF có E = F Tia phân giác của góc D cắt EF tại I Ta có:
A ∆ DIE = ∆ DIF B DE = DF , IDE = IDF
Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là một hàm số theo số tiền gửi:
i = 0,005p Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là:
Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 20 0 Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC Số đo của góc BDC là:
II Phần tự luận (14 điểm)
Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102
B, Cho tích a.b là số chính phương và (a,b) = 1 Chứng minh rằng a và b đều là số chính phương
Câu 2.(4 điểm)
2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị của A khi x = 4 Tìm x để A = 2015
2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây Lớp 7A trồng toàn bộ 32,5% số cây Biết
số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2 Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây
Câu 3.(5 điểm) 1 Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và
By lần lượt vuông góc với AB tại A và B Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C và trêntia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 900
Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết :A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000|
PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Trang 2ĐỀ CHÍNH THỨC
I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm)
II Phần tự luận (14 điểm)
A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E
Chứng minh AOCBOE g c g AC BE CO EO ;
Chứng minh DOC DOE c g c CD ED
Trang 3Mà OE2OD2 DE2; Nên
2
2
2
2
2 ( )
2
2 2
DE OB EB DB OB EB DE BD DB DE BE OB EB DE EB BD DB DE DB BE OB EB DE DB DE BD BE 2 2 2 2 2 2 2 OB DE EB DB BD BE OB DE BD BE Suy ra 2OB2 2BD BE 0 BD BE OB 2 Mà ; 2 AB BEAC OB Vậy 2 2 2 4 AB AB AC BD (đpcm) 2 Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB tại E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) AD = HE; AE = HD Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1)
Từ đó HE BH ΔHBE vuông nên HB < BE (2)
Tương tự ta có HC < DC (3)
Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4)
Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5)
HA + HB + HC < BC + AC (6)
Từ đó suy ra HA + HB + HC < 2( )
3 AB AC BC đpcm
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
4(2
điểm)
Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000| 0
Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0
Mà A = 0 khi và chỉ khi
|7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0
Có: |7x – 5y| = 0 ó 7x = 5y ó
5 7
x y
|2z – 3x| = 0 ó
2 3
x z
|xy + yz + zx - 2000| = 0 ó xy + yz + zx = 2000
Từ đó tìm được 20; 28; 30
A 0, mà A = 0 ó (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)
Vậy MinA = 0 ó (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30)
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017
m¤N: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (5 điểm)a) Thực hiện phép tính:
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14
2 3 8 3
-+ +
b) Tính giá trị biểu thức: B = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + …+ 17.18.19
Trang 4c) Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm thêm n đơn vị đồng thờigiảm chữ số hàng chục và giảm chữ số hàng đơn vị đi n đơn vị thì được một số có 3 chữ số gấp n lần số có
Bài 3 (3 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m – 1)x
a) Tìm m biết: f(2) – f(–1) = 7 b) Cho m = 5 Tìm x biết f(3 – 2x) = 20
Bài 4 (7 điểm)Cho DABC nhọn có góc A bằng 600 Phân giác ·ABC cắt AC tại D, phân giác ·ACB cắt ABtại E BD cắt CE tại I
a) Tính số đo góc BIC
b) Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE Chứng minh DCID = DCIF
c) Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC Chứng minh DBCM là tam giác đều
Bài 5 (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 + 3.23 + 4.24 + … + n.2n = 2n+11
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7A
2 3 2 3 5 7 5 2 7125.7 5 14
-= 2 - 5.( 6)A
-= -1 10=7A
Gọi số có 3 chữ số cầìm tìm là abc (a, b, c là STN có 1 chữ số, a 0)
Theo bài ra ta có: (a+n)(b n)(c n)- - =n.abc 0.25
Trang 5Giả sử cả 3 đơn thức A, B, C cùng có giá trị âm
Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) Þ điều giả sử sai
Vậy ba đơn thức A = – ½ x2yz2, B = – ¾ xy2z2, C = x3y không thể cùng có
2 1 2
N
M
C F
a BD là phân giác của góc ABC nên B1=B2= ½ ABC
CE là phân giác của góc ACB nên C1=C2= ½ ACB 0.5
Mà tam giác ABC có A+B+C = 1800 suy ra 600 + ABC+ACB = 1800 0.5
Trang 6Þ BIC = 1200 0.5
b
BIC = 1200 Þ BIE = 600 Þ BIE = BIF = 600 0.5
CID = BIE = 600 (đ.đ) Þ CIF = CID = 600 0.5
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
HUYỆN THẠCH THÀNH MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2016 – 2017
Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề
Câu 1: (4,5 điểm). 1 Tính giá trị các biểu thức sau:
Câu 2: (4,5 điểm)1 Tìm các số x, y, z, biết: a)x y y; z
2 3 5 7 và x + y + z = 92b) (x – 1)2016 + (2y – 1)2016 + |x + 2y – z|2017 = 0
2 Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x – y = 6
Câu 3: (3,0 điểm) 1 Tìm đa thức A biết: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
2 Cho hàm số y = f(x) = ax + 2 có đồ thị đi qua điểm A(a – 1; a2 + a)
a) Tìm a b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn: f(2x – 1) = f(1 – 2x)
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và
ACE Gọi I là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) BDE là tam giác cân c) EIC 60 0và IA là tia phân giác của DIE
Câu 5: (2,0 điểm)
1 Tìm số hữu tỉ x, sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó có giá trị là một số nguyên
2 Cho các số a, b, c không âm thỏa mãn: a + 3c = 2016; a + 2b = 2017 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
Trang 73 2 1
0
2y – z
00
Câu 3: 1 Ta có: A – (3xy – 4y2) = x2 – 7xy + 8y2
A = x2 – 7xy + 8y2 + (3xy – 4y2) A = x2 – 4xy + 4y2
2 a) Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax + 2 đi qua điểm A(a – 1; a2 + a) nên:
DA = BA (GT)
Trang 8 DAC BAE (CM trên)
DAE = BAE (c – g – c) DE = BE (Hai cạnh tương ứng)
BDE là tam giác cân tại E
c) Ta có: DAC = BAE (CM câu a) E = 1 C (Hai góc tương ứng)1
I 60 E C 60 180
0 0
Trang 9Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1 b = 1 3c
2
Khi đó:
P = a + b + c = (2016 – 3c) + 1 3c
2
+ c = 2016 1 6c 3c 2c 20161 c
2 , MaxP =
12016
x
là một số nguyên
Câu 2: (5 điểm)a) Cho a > 2, b > 2 Chứng minh ab a b
b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diệntích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài vàtổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hìnhthứ ba là 24 cm Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó
Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M là
trung điểm của EF a) Chứng minh MDH E F b) Chứng minh EF - DE > DF - DH
Câu 4: (2 điểm) Cho các số 0a1a2 a3 a15 Chứng minh rằng 1 2 3 15
Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A 1200 Các tia phân giác BE, CF của ABC và ACB cắt nhau tại I (E, F
lần lượt thuộc các cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BIM CIN 300 a) Tính số đo
của MIN b) Chứng minh CE + BF < BC
x
2( 1)
1
x x
0.25 0.25 0.25
0.25 0.5
Trang 10
2 212( 1) 41421
x x x x x
Vậy ab a b
0.5 0.5 0.5 0.5
3đ
b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ
hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8,
hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là
27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là
24 cm Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó
Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S S S , chiều dài, chiều rộng1, ,2 3
tương ứng là d r d r d r theo đề bài ta có1, ; , ; ,1 2 2 3 3
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
3đ Cho ∆DEF vuông tại D và DF > DE, kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF)
Gọi M là trung điểm của EF
a) Chứng minh MDH E F
Hình vẽ đúng, chính xác
Vì M là trung điểm của EF suy ra MD = ME = MF
∆MDE cân tại M E MDE
0.25 0.25
0.25
Trang 110.5 0.5
5
(5đ)
Câu 5: (5 điểm)
Cho ∆ABC có A 1200 Các tia phân phân giác BE, CF của ABC và ACB
cắt nhau tại I (E, F lần lượt thuộc các cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M,
N sao cho BIM CIN 300
a) Tính số đo của MIN
b) Chứng minh CE + BF < BC
- Vẽ hình đúng, đủ, chính xác
a) Tính số đo của MIN
Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600
- BIC 1500 FIB EIC 300
Suy ra ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g) BF = BM
- ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g) CN = CE
Do đó CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC
Vây CE + BF < BC
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề )
Bài 1:( 4.0 điểm ) a.Tìm x; y; z biết : 2x = 3y; 4y = 5z và x - y - z = 30
b Tìm các số nguyên x để biểu thức sau có giá trị là một số nguyên y =
Bài 2:( 6.0 ) a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có 5n+2 + 3n+2 - 3n – 5n chia hếtcho 24
Trang 12b Cho các số thực a; b; c; d ; e khác 0 thỏa mãn
c Cho hai đa thức f(x) = ax + b; g(x) = x2 – x + 1 Hãy xác định a; b biết: f(1) = g(2) và f(-2) = g(1)
Bài 3: ( 4.0 điểm ) a Cho a; b; c; d là các số thực dương thỏa mãn Hãy so sánh
b Cho các số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = 2016 Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau
không phải là một số nguyên A =
Bài 4:( 6.0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB< AC ) ; đường cao AH Trên cạnh BC lấy M sao
cho BM = BA Từ M kẻ MN vuông góc với AC (N thuộc AC ) Chứng minh rằng:
a Tam giác ANH cân b B c 2AC2 – BC2 = CH2 – BH2
PHÒNG GD&ĐT TÂN KỲ HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN 7
2.c
2.0
điểm
Ta có f(1) = g(2)f(-2) = g(1)
Từ (1) và (2) suyra
0.5
0.51.0
Trang 13Mặt khác : (2)
(3)
Từ (1); (2); (3) suy ra
0.50.5
0.50.5
BC – AB > AC – AH BC + AH > AB + AC
0.50.50.50.5
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học 2015 - 2016
Trang 14Câu 1: (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
2017 2015
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1
13 2
2
0 2
2 2
4 2 4
3 Chứng minh rằng từ 8 số nguyên dương tùy ý không lớn hơn 20, luôn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba
cạnh của một tam giác
Câu 4: (5,0 điểm) 1 Cho ABC có B + C = 600, phân giác AD Trên AD lấy điểm O, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM = ABO Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN = ACO Chứng minh rằng: a AM = AN b MON là tam giác đều
2 Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M nằm giữa B và C Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của M trên AC,
AB Tìm vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1,0 điểm) Cho x + y = 1, x 0, y 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y
b x
a P
2 2
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1 2
2016
5
4 3
4 4
3 2
3 3
2 1
2 2 1
2017
2016 2017
2016 2015
2016
5
4 3
4 4
3 2
3 3
2 1
2 2
2016
2015 15
13 2
Trang 152 Ta có:
2
3 4 3
4 2 4
3429
42316
234
2
y x y
4 2 4 2 0 3
4
x z x
z y x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 9
18 4 3 2 4 3
Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.
0,50,250,250,25
0,50,25
Suy ra f(100) = 1
0,750,750,5
3 Giả sử 8 số nguyên dương tùy ý đã cho là a1, a2, a3, …, a8 với 1 a1 a2 …
a8 20
Nhận thấy rằng với ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c và b + c > a thì a, b, c
là độ dài ba cạnh của một tam giác Từ đó, ta thấy nếu trong các số a1, a2, a3, …, a8
không chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
Trang 16a3 a4 + a5 5 + 3 = 8
a2 a3 + a4 8 + 5 = 13
a1 a2 + a3 13 + 8 = 21 (trái với giả thiết)
Vậy điều giả sử trên là sai Do đó, trong 8 số nguyên trên đã cho luôn chọn được ba
số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác.
0,50,250,50,50,5
y a a y
y x b x
y x a y
b x
a y
b x
a P
2 2 2 2 2
2 2 2 2
y a
a x bx x a bx ay x b y a y
x b x
y a
b y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pab2 khi
b a
a x
và
b a
b y
0,5
0,250,25
Trang 17PHÒNG GD&ĐT VŨ THƯ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN 7
Bài 1 (5 điểm ) 1.Thực hiện phép tính:
b) Tìm hình chữ nhật có kích thước các cạnh là số nguyên sao cho số đo diện tích bằng số đo chu vi
c) Tìm các số nguyên dương x; y; z thỏa mãn: x y 3y z 22015 x z 2017
Bài 3 (3 điểm) Cho hàm số: y f x x 3 x
2
(1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1)
b) Gọi E và F là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ lần lượt là (-4) và
5
4, xác định tọa độhai điểm E, F Tìm trên trục tung điểm M để EM+MF nhỏ nhất
Bài 4 (6 điểm)1 Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là
tam giác ABD và tam giác ACE a) Chứng minh DC = BE và DCBE
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến ED và M là trung điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh A,
1008.2016
111008
7:34
3317
193.386
3193
50
1125
7:34
3334
317
1:1
2015:1
Trang 181.77.)11(7.77
1.7
1.11.7.11.7.11.7
7 9
11.7
11.7
.11
b a a
c b c
a c a
b a b
c b c
a a
b b
a c b
c b a
1
c a
(22
b c a b a c c b a c
b c a a
b a c b
c b a
122
b c b
c a
b c b
c a
8
P
0,250,25Với a,b,c 0 thì P =-1 khi a+b+c =0; P = 8 khi a+b+c 0 0,25
32
6
42
42
x
Trang 192
xy x y
4)2(2)2(
4)2)(
42
22
Trang 20Đồ thị hàm số (1) là hai tia OAvà OB 0,25
2
1
với x0Điểm E thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x= -4 <0 nên tung đô điểm E là y= ( 4) 2
5
Điểm M thuộc trục tung nên hoành độ điểm M là x = 0 0,25
Để EM+FM nhỏ nhất khi M nằm giữa E và F nên M thuộc đường thẳng y=2, nên tung độ M là y=2 0,25
1
(4,5điểm)
Trang 21a)Chứng minh DC= BE 1,5®
Ta có DAC =DAB+ BAC =900+BAC tương tự BAE = 900+BAC 0,25 DAC =BAE 0,25
Xét DAC và BAE có AD =AB (ABD vuông cân tại A)
AC=AE (AC E vuông cân tại A) 0,25
DAC =BAE(c-g-c) 0,25
DC =BE ( định nghĩa tam giác bằng nhau) 0,25
Gọi K , N lần lượt là giao điểm của DC với BE và AB
AND và KNB có AND=KNB( đối đỉnh ); 0,25 ADN=KBN (DAC =BAE) 0,25
DAN=BKN định lí tổng 3 góc trong tam giác ) 0,25
Mà DAN=900((ABD vuông cân tại A) 0,25
Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI=MA
Chứng minh ACI=EAD (c-g-c) 0,25
CAI=AED mà AED +EAH =900(AHE vuông tại H) 0,25
CAI+EAH=900 MAH=1800 M,A,H thẳng hàng 0,25
2
(1,5điểm)
Vì điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC nên I là giao điểm 3
Tam giác ABC vuông tại A nên AB2+AC2=BC2( định lý Pitago) Tính BC=5cm 0,25Chứng minh CEI=CMI (cạnh huyền- góc nhọn )
BM 2cm
2
435