Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất và bán được ?? = 10 đơn vị sản phẩm là: Câu 2.. Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ?? = 800 − 4??.. Khi tìm cực tr
Trang 1Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
2 BỘ CÂU HỎI
40 CÂU CHUẨN CẤU TRÚC
ĐỀ MINH HỌA
NEU – Spring 2020
NGƯỜI VIẾT: HOÀNG BÁ MẠNH
Kênh học tập trực
ế
Trang 2EUREKA UNI: https://www.facebook.com/EurekaUni.No1 HOÀNG BÁ MẠNH: https://www.facebook.com/lnd9492
MỤC LỤC
1 Đề 1 1
2 Đề 2 5
🔺🔺 KÊNH HỌC TẬP ONLINE FREE EUREKA ! UNI:
https://www.youtube.com/EurekaUni
▶ HỆ THỐNG GROUP THẢO LUẬN, HỎI ĐÁP CÁC MÔN HỌC:
✅ Group Toán cao cấp: https://fb.com/groups/toancaocap.neu
✅ Group Xác suất thống kê: https://fb.com/groups/xacsuatneu
✅ Group Kinh tế lượng: https://fb.com/groups/kinhteluong.neu
✅ Group Kinh tế vi mô: https://fb.com/groups/microeconomics.neu
✅ Group Kinh tế vĩ mô: https://fb.com/groups/macroeconomics.neu
🔴🔴 Fanpage của Eureka! Uni: https://fb.com/eurekauni.no1
🔷🔷 Website Eureka! Uni: https://eurekauni.wordpress.com
Trang 3Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Nhóm Toán cao cấp https://fb.com/groups/toancaocap.neu
1 Đề 1
Câu 1 Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất một sản phẩm có hàm tổng chi phí ở mỗi mưc
ssarn lượng 𝑄𝑄 là 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 3𝑄𝑄3− 𝑄𝑄2+ 100𝑄𝑄 + 50 và giá bán mỗi sản phẩm trên thị trường là 𝑝𝑝 =
450 Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất và bán được 𝑄𝑄 = 10 đơn vị sản phẩm là:
Câu 2 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 3 − 4𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 1
√2𝑥𝑥 + 2 3
, 𝑥𝑥 > 1; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = �32𝑥𝑥2+132 , 𝑥𝑥 ≤ 0
√1 + 𝑥𝑥3, 𝑥𝑥 > 0 Giá trị 𝑓𝑓�𝑔𝑔(2)� bằng:
Câu 3 Giới hạn lim2 sin 3
x
x x x
→∞
− có giá trị là:
Câu 4 Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �ln (𝑥𝑥 − 1), 𝑥𝑥 > 2 liên tục tại 𝑥𝑥 = 2 thì giá trị của 𝑎𝑎 là: 𝑎𝑎 + 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 2
Câu 5 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2𝑥𝑥−𝑥𝑥2 Khi đó, đạo hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tại 𝑥𝑥 = 1 là:
Câu 6 Biểu thức vi phân cấp 1 của hàm số 𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥 + 1) log3(𝑥𝑥 + 1) là:
A 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 2 log3(𝑥𝑥 + 1) 𝑑𝑑𝑥𝑥 C 𝑑𝑑𝑦𝑦 = (2𝑥𝑥 + 1) ln 3 𝑑𝑑𝑥𝑥
B 𝑑𝑑𝑦𝑦 =(𝑥𝑥+1) ln 31 𝑑𝑑𝑥𝑥 D 𝑑𝑑𝑦𝑦 = �2 log3(𝑥𝑥 + 1) +(𝑥𝑥+1) ln 32𝑥𝑥+1 � 𝑑𝑑𝑥𝑥
Câu 7 Cho hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 1 Khi đó khai triển Taylor hàm số 𝑦𝑦 tại 𝑥𝑥 = 0 thì hệ số của 𝑥𝑥3 là:
Câu 8 Giới hạn ( )sin
0
x→ x có giá trị là:
Câu 9 Hàm số 𝑦𝑦 = �(𝑥𝑥3 2− 1)2 đạt cực đại tại:
Câu 10 Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu 𝑄𝑄 = 800 − 4𝑝𝑝
Khi doanh nghiệp sản xuất và bán được 𝑄𝑄 = 250 đơn vị sản phẩm, doanh thu cận biên của doanh nghiệp là:
Đáp án: 75
Câu 11 Cho hàm cầu đối với một loại sản phẩm là 𝑄𝑄 = 100 − 2𝑝𝑝 Cầu co giãn đơn vị tại mức
giá 𝑝𝑝0 Giá trị 𝑝𝑝0 là:
Đáp án: 𝑝𝑝0= 25
Câu 12 Cho hàm cầu và hàm chi phí của một doanh nghiệp độc quyền lần lượt có phương trình
𝑄𝑄 = 1200 − 5𝑝𝑝; 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑄𝑄3− 8𝑄𝑄2+ 160𝑄𝑄 + 100 Lợi nhuận của doanh nghiệp tại mỗi mức sản lượng là:
Đáp án: 𝜋𝜋(𝑄𝑄) = −𝑄𝑄3− 8,2𝑄𝑄2+ 80𝑄𝑄 − 100
Câu 13 Miền xác định của hàm số 𝑢𝑢 =ln(1+𝑥𝑥)+ln(𝑦𝑦−1)√1−𝑥𝑥2 là:
Đáp án: 𝐷𝐷 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2: −1 < 𝑥𝑥 < 1, 𝑦𝑦 > 1}
Câu 14 Hàm số 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢𝑣𝑣 Khi đó, biểu thức của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2, 𝑥𝑥𝑦𝑦) là:
Đáp án: (𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2)𝑥𝑥𝑦𝑦
Trang 4Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Câu 15 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ln �𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 Khi đó, 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑥𝑥′′ =
Đáp án: −(𝑥𝑥22𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦2)2
Câu 16 Cho hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑣𝑣, trong đó 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) và 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥) là các hàm khả vi trên ℝ Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: 𝑤𝑤𝑥𝑥′ =
Đáp án: 𝑢𝑢′ 𝑒𝑒𝑣𝑣+ 𝑣𝑣′ 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑣𝑣
Câu 17 Vi phân toàn phần của hàm số 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 là:
Đáp án: 𝑑𝑑𝑢𝑢 = (3𝑥𝑥2+ 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦2)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (2𝑥𝑥2+ 6𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦
Câu 18 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 10𝐾𝐾0,5𝐿𝐿0,5 với 𝐾𝐾, 𝐿𝐿 tương ứng là lượng vốn và lao động được sử dụng Khi 𝐾𝐾 = 16 và 𝐿𝐿 = 25, sản phẩm hiện vật cận biên của vốn có giá trị là:
Đáp án: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝐾𝐾(16,25) = 25/4
Câu 19 Cho hàm ẩn 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) xác định bởi phương trình 𝑦𝑦3+ 4𝑦𝑦 − 3 sin 𝑥𝑥 = 0 Giá trị 𝑦𝑦′�𝜋𝜋2� bằng:
Đáp án: 0
Câu 20 Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) có các đạo hàm riêng 𝑢𝑢𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 1, 𝑢𝑢𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 3 và điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) là điểm dừng của hàm số Giá trị 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥0− 𝑦𝑦0 là:
Đáp án: −1
Câu 21 Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) có 𝑤𝑤𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧; 𝑤𝑤𝑦𝑦′ = 2𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 1; 𝑤𝑤𝑧𝑧′= 4𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 − 4 Khi tìm cực trị của hàm số, tổng các phần tử trên cột thứ nhất của ma trận Hess là:
Đáp án: 4
Câu 22 Khi giải bài toán: “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 với điều kiện 𝑥𝑥2+ 2𝑦𝑦2 = 10” bằng phương pháp nhân tử Lagrange thì hàm Lagrange là:
A 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥2− 2𝑦𝑦2)
B 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥2− 2𝑦𝑦2)
C 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2− 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
D 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝜆𝜆) = 𝑥𝑥2+ 2𝑦𝑦2+ 𝜆𝜆(10 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
Câu 23 Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥(𝑦𝑦 + 5) với điều kiện 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 5” bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm dừng của hàm số Lagrange là 𝑀𝑀(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0, 𝜆𝜆0) Khi đó, giá trị của 𝜆𝜆0 xác định bởi:
A 𝜆𝜆0 = 𝑥𝑥0
𝑦𝑦 0 B 𝜆𝜆0 = 𝑥𝑥2
0 +5 D 𝜆𝜆0 = 𝑥𝑥3
0
Câu 24 Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) với điều kiện 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑏𝑏” bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được:
𝑔𝑔𝑥𝑥′ = 5; 𝑔𝑔𝑦𝑦′ = 4; 𝐿𝐿𝑥𝑥𝑥𝑥′′ = −3; 𝐿𝐿𝑦𝑦𝑦𝑦′′ = −1; 𝐿𝐿𝑥𝑥𝑦𝑦′′ = 𝐿𝐿𝑦𝑦𝑥𝑥′′ = 1 Tổng các phần tử trên đường chéo chính (nối góc trên bên trái tới góc dưới bên phải) của ma trận Hess là:
Đáp án: 0 − 3 − 1 = −4
Câu 25 Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng là 𝑈𝑈 = 𝑥𝑥0,4𝑦𝑦0,6, trong đó 𝑥𝑥 là lượng hàng hóa thứ nhất, 𝑦𝑦 là lượng hàng hóa thứ hai Biết giá hàng hóa thứ nhất và thứ hai lần lượt là 4 và
6 Để xác định cơ cấu mua sắm tối thiểu hóa chi phí đảm bảo mức lợi ích 𝑈𝑈0 = 500, ta cần giải bài toán cực trị:
A Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối đa 𝑈𝑈 = 𝑥𝑥0,4𝑦𝑦0,6 trong điều kiện 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 500
B Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối thiểu 𝑈𝑈 = 𝑥𝑥0,4𝑦𝑦0,6 trong điều kiện 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 500
C Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối đa 𝑇𝑇 = 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 trong điều kiện 𝑥𝑥0,4𝑦𝑦0,6 = 500
Trang 5Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Nhóm Toán cao cấp https://fb.com/groups/toancaocap.neu
D Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sao cho tối thiểu 𝑇𝑇 = 4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 trong điều kiện 𝑥𝑥0,4𝑦𝑦0,6 = 500
Câu 26 Một doanh nghiệp canh tranh sản xuất hai loại sản phẩm kết hợp với hàm tổng chi phí
là 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 30𝑄𝑄 + 500, 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄1+ 𝑄𝑄2 Giá bán sản phẩm thứ nhất và thứ hai lần lượt là $80 và
$130 Khi đó, hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
A 𝜋𝜋 = 80𝑄𝑄1+ 130𝑄𝑄2− 500 C 𝜋𝜋 = 30𝑄𝑄1+ 80𝑄𝑄2− 500
B 𝜋𝜋 = 80𝑄𝑄1+ 80𝑄𝑄2− 500 D 𝜋𝜋 = 30𝑄𝑄1+ 130𝑄𝑄2− 500
Câu 27 Một hãng sản xuất sản phẩm với hàm lợi nhuận 𝜋𝜋(𝑄𝑄1, 𝑄𝑄2) có các đạo hàm riêng là 𝜋𝜋𝑄𝑄′1 =
200 − 10𝑄𝑄1− 10𝑄𝑄2; 𝜋𝜋′= 300 − 20𝑄𝑄2− 10𝑄𝑄1 Biết rằng (𝑄𝑄1, 𝑄𝑄2) là mức sản lượng kết hợp cho lợi nhuận tối đa, khi đó 𝑄𝑄1+ 𝑄𝑄2 bằng:
Đáp án: 10 + 10 = 20
Câu 28 “Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 𝑓𝑓(𝐾𝐾, 𝐿𝐿) Cho biết giá thuê mỗi đơn
vị tư bản và mỗi đơn vị lao động lần lượt là $𝑤𝑤𝐾𝐾, $𝑤𝑤𝐿𝐿 Khi ngân sách sản xuất cố định là $𝐵𝐵, hãy xác định cơ cấu đầu vào để doanh nghiệp tối đa hóa sản lượng” Khi giải bài toán trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm cực đại 𝑀𝑀0(𝐾𝐾0, 𝐿𝐿0) và 𝜆𝜆0 = 2,5 Nếu ngân sách dành cho sản xuất tăng thêm $1 thì sản lượng cực đại tăng xấp xỉ là:
Câu 29 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên [−2; 3] Khi đó, tích phân ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−20 + ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−13 =
A ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−23 C 2 ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−10 + ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−23
B ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−10 + 2 ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−23 D ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−10 + ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−23
Câu 30 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm liên tục trên ℝ và một số giá trị của hàm số được cho
trong bảng sau:
Tích phân ln 4 ( )
0
x x
f e
dx e
−
′
Câu 31 Biết rằng ( ) 1
1
x
−
∫ Khi đó, tích phân ∫2+∞ f x dx( ) bằng:
Câu 32 Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 50 − 2𝑄𝑄 Khi đó, hàm tổng
doanh thu là:
Đáp án: 𝑇𝑇𝑀𝑀 = 50𝑄𝑄 − 𝑄𝑄2
Câu 33 Cho biết hàm cung (ngược) đối với một loại sản phẩm là:
𝑝𝑝 = 𝑆𝑆−1(𝑄𝑄) = 0,1𝑄𝑄2+ 2𝑄𝑄 + 10 Biết rằng điểm cân bằng của thị trường là (𝑀𝑀0, 𝑄𝑄0) = (90,20) Thặng dư của nhà sản xuất là:
A 𝑀𝑀𝑆𝑆 = 1800 − ∫ (0,1𝑄𝑄020 2+ 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑥𝑥
B 𝑀𝑀𝑆𝑆 = 1800 − ∫ (0,1𝑄𝑄090 2+ 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑥𝑥
C 𝑀𝑀𝑆𝑆 = ∫ (0,1𝑄𝑄020 2+ 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑥𝑥− 1800
D 𝑀𝑀𝑆𝑆 = 1800 + ∫ (0,1𝑄𝑄020 2+ 2𝑄𝑄 + 10)𝑑𝑑𝑥𝑥
Trang 6Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Câu 34 Phương trình 𝑦𝑦′− 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 = (𝑥𝑥2+ 2𝑥𝑥)𝑦𝑦3 là
A Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
B Phương trình vi Bernoulli
C Phương trình vi phân toàn phần
D Phương trình phân li biến
Câu 35 Để đưa phương trình 𝑦𝑦′ =𝑥𝑥2𝑥𝑥𝑦𝑦−3𝑦𝑦22 về dạng phân li biến số, ta chọn cách đặt:
A 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 B 𝑦𝑦 =𝑧𝑧𝑥𝑥 C 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧𝑥𝑥 D 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 + 𝑥𝑥
Câu 36 Cho phương trình vi phân tuyến tính 𝑦𝑦′−𝑥𝑥+12 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 có một nghiệm riêng là 𝑦𝑦0(𝑥𝑥) Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân này là:
Đáp án: 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦0(𝑥𝑥) + 𝑇𝑇(𝑥𝑥 + 1)2
Câu 37 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 𝑦𝑦′= 3𝑦𝑦2sin 4𝑥𝑥 là:
Đáp án: 𝑦𝑦 =3 1
4 cos 4𝑥𝑥+𝐶𝐶
Câu 38 Cho phương trình �2𝑥𝑥𝑦𝑦2+𝑒𝑒𝑥𝑥+𝑦𝑦𝑥𝑥 � 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Nếu đây là phương trình vi phân toàn phần thì 𝑁𝑁𝑥𝑥′(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) bằng:
Đáp án: 4𝑥𝑥𝑦𝑦 +𝑒𝑒𝑥𝑥+𝑦𝑦𝑥𝑥
Câu 39 Cho hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 Khẳng định nào sai?
A Hàm số không đạt cực trị tại (0; 0)
B Hàm số đạt cực tiểu tại �32; 2�
C (1,1) không phải điểm dừng của 𝑤𝑤
D Hàm số đạt cực đại tại (1,1)
Câu 40 Cho bảng các giá trị của các hàm số 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓′𝑔𝑔′ như sau:
𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
Nếu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓[𝑔𝑔(𝑥𝑥)] thì 𝑦𝑦′(0) nhận giá trị bằng bao nhiêu?
Trang 7Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Nhóm Toán cao cấp https://fb.com/groups/toancaocap.neu
2 Đề 2
Câu 1 Một doanh nghiệp cạnh tranh bán sản phẩm trên thị trường với mức giá 𝑝𝑝0 = 20 Doanh nghiệp sản xuất được 𝑄𝑄 = 60√𝐿𝐿3 đơn vị sản phẩm khi sử dụng 𝐿𝐿 đơn vị lao động Nếu giá thuê mỗi đơn vị lao động là 𝑤𝑤𝐿𝐿 = 5, chi phí cố định bằng 500, thì lợi nhuận của doanh nghiệp khi sử dụng 27 đơn vị lao động là:
Câu 2. Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �arcsin(1 − 𝑥𝑥), 𝑥𝑥 ∈ [0; 2]3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 ∉ [0; 2]; 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = �√4 + 𝑥𝑥2𝑥𝑥 + 1, 𝑥𝑥 ≤ 03, 𝑥𝑥 > 0 Giá trị 𝑔𝑔[𝑓𝑓(1)] bằng:
Câu 3 Giới hạn lim 2( 4 2 ) 5
x→+∞ x− x −ax = thì giá trị của 𝑎𝑎 là:
Câu 4 Hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �√𝑥𝑥 − 2 sin𝑎𝑎 + 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≤ 21
2−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 2 liên tục trên ℝ thì giá trị của 𝑎𝑎 là:
Câu 5 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 sin(4 − 𝑥𝑥2) Khi đó, đạo hàm của hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tại 𝑥𝑥 = −2 là:
Câu 6 Biểu thức vi phân cấp 1 của hàm số 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 + 2)𝑥𝑥+2 tại 𝑥𝑥 = 1 và Δ𝑥𝑥 = 0.01 là:
Đáp án: 0,027(1 + ln 3)
Câu 7 Cho hàm số 𝑦𝑦 = ln(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 3) Khi đó khai triển Taylor hàm số 𝑦𝑦 tại 𝑥𝑥 = 4 thì hệ số của (𝑥𝑥 − 4)3 là:
A 1251 B 252125 C 12542 D 12552
Câu 8 Giới hạn 3
0
sin lim
x
x
→
−
có giá trị là:
Câu 9 Hàm số 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 �(1 − 𝑥𝑥)3 2 đạt cực đại tại:
Câu 10 Một doanh nghiệp độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu 𝑄𝑄 = 800 − 4𝑝𝑝
Khi doanh nghiệp sản xuất và bán được 𝑄𝑄 = 200 đơn vị sản phẩm, doanh thu trung bình từ mỗi sản phẩm là:
Đáp án: 150
Câu 11 Cho hàm cầu (ngược) đối với một loại sản phẩm có phương trình 𝑝𝑝 = 150 − 0,5𝑄𝑄 Mức
giá tại đó co giãn của cầu theo giá bằng −12 là:
Đáp án: 𝑝𝑝 = 50
Câu 12 Hàm sản xuất của một doanh nghiệp cạnh tranh có phương trình 𝑄𝑄 = 150√𝐿𝐿, mức giá sản phẩm trên thị trường là 𝑝𝑝0 = 5, giá thuê mỗi đơn vị lao động là 𝑤𝑤𝐿𝐿 = 25 Mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa là:
Đáp án: 𝐿𝐿 = 225
Câu 13 Miền xác định của hàm số 𝑢𝑢 = ln(1 + sin2𝑥𝑥) − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑦𝑦 là:
Đáp án: ℝ2
Câu 14 Hàm số 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢𝑒𝑒𝑣𝑣 Khi đó, biểu thức của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑦𝑦, 𝑥𝑥 − ln 𝑦𝑦) là:
Trang 8Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
A 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥−ln 𝑦𝑦 B 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥−ln𝑦𝑦 C 𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥 D 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥
Câu 15 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = arcsin𝑦𝑦𝑥𝑥 Khi đó, 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑥𝑥′′ =
Đáp án:
x
−
Câu 16 Cho hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 𝑢𝑢𝑣𝑣, trong đó 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) và 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) là các hàm khả vi trên ℝ Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, ta có: 𝑤𝑤𝑦𝑦′ =
Đáp án: 𝑢𝑢𝑦𝑦′ 𝑣𝑣 𝑢𝑢𝑣𝑣+ 𝑣𝑣𝑦𝑦′ 𝑢𝑢𝑣𝑣ln 𝑢𝑢
Câu 17 Vi phân toàn phần của hàm số 𝑢𝑢 = arctan𝑥𝑥𝑦𝑦 là:
Đáp án: 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑢𝑢𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑢𝑢𝑦𝑦′𝑑𝑑𝑦𝑦 =𝑥𝑥2+𝑦𝑦𝑦𝑦 2𝑑𝑑𝑥𝑥 −𝑥𝑥2+𝑦𝑦𝑥𝑥 2𝑑𝑑𝑦𝑦
Câu 18 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 90√𝐾𝐾 √𝐿𝐿3 2 với 𝐾𝐾, 𝐿𝐿 tương ứng là lượng vốn và lao động được sử dụng Khi 𝐾𝐾 = 16 và 𝐿𝐿 = 27, giữ nguyên vốn đồng thời tăng sử dụng thêm 1 đơn vị lao động, thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ:
Đáp án: 80
Câu 19 Cho hàm ẩn 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑥𝑥) xác định bởi phương trình 𝑦𝑦2+ ln(𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦) = 0 Giá trị 𝑦𝑦′(1) bằng:
Đáp án: 𝑦𝑦′(1) = −13
Câu 20 Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) có các đạo hàm riêng 𝑢𝑢𝑥𝑥′ = 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1, 𝑢𝑢𝑦𝑦′ = −𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3
và điểm 𝑀𝑀(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) là điểm dừng của hàm số Giá trị 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥02+ 𝑦𝑦02 là:
Đáp án: 2
Câu 21 Cho hàm số 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) có 𝑤𝑤𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧; 𝑤𝑤𝑦𝑦′ = 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 1; 𝑤𝑤𝑧𝑧′= 3𝑧𝑧 + 𝑥𝑥 − 4 Khi tìm cực trị của hàm số, tổng các phần tử trên dòng thứ 2 của ma trận Hess là:
Đáp án: 3 + (−4) + 0 = −1
Câu 22 Khi giải bài toán: “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥3 + 2𝑦𝑦3 với điều kiện 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 30” bằng phương pháp nhân tử Lagrange thì hàm Lagrange là:
Đáp án: 𝐿𝐿 = 𝑥𝑥3+ 2𝑦𝑦3 + 𝜆𝜆(30 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦)
Câu 23 Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 5 với điều kiện 2𝑥𝑥2+ 3𝑦𝑦2 = 5” bằng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm dừng của hàm số Lagrange là 𝑀𝑀(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0, 𝜆𝜆0) Khi đó, giá trị của 𝜆𝜆0 xác định bởi:
Đáp án: 𝜆𝜆0 = 4𝑥𝑥1
0
Câu 24 Giải bài toán “Tìm cực trị của hàm số 𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) với điều kiện 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑏𝑏” bằng
phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được:
𝑔𝑔𝑥𝑥′ = 1; 𝑔𝑔𝑦𝑦′ = 2; 𝐿𝐿𝑥𝑥𝑥𝑥′′ = −3; 𝐿𝐿𝑦𝑦𝑦𝑦′′ = −4; 𝐿𝐿𝑥𝑥𝑦𝑦′′ = 𝐿𝐿𝑦𝑦𝑥𝑥′′ = 2 Tổng các phần tử trên cột đầu tiên của ma trận Hess là:
Đáp án: 0 + 1 + 2 = 3
Câu 25 Cho biết hàm lợi ích của một người tiêu dùng là 𝑈𝑈 = 60√𝑥𝑥 �𝑦𝑦3 2, trong đó 𝑥𝑥 là lượng hàng hóa thứ nhất, 𝑦𝑦 là lượng hàng hóa thứ hai Biết giá hàng hóa thứ nhất và thứ hai lần lượt là
$3 và $6 Để xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích với ngân sách tiêu dùng 𝑚𝑚 = $1800, ta cần giải bài toán cực trị:
Đáp án: Tìm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) để tối đa 𝑈𝑈 = 60√𝑥𝑥 �𝑦𝑦3 2 trong điều kiện 3𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 1800
Trang 9Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Nhóm Toán cao cấp https://fb.com/groups/toancaocap.neu
Câu 26 Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và bán trên hai thị trường khác nhau với
các đường cầu 𝑄𝑄1 = 120 − 𝑝𝑝1 và 𝑄𝑄2 = 150 − 2𝑝𝑝2 Biết hàm tổng chi phí là 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑄𝑄12+ 2𝑄𝑄22+ 30𝑄𝑄1+ 50𝑄𝑄2+ 500 Khi đó, hàm lợi nhuận của doanh nghiệp là:
Đáp án: 𝜋𝜋(𝑄𝑄1, 𝑄𝑄2) = −2𝑄𝑄12− 2,5𝑄𝑄22+ 90𝑄𝑄1+ 25𝑄𝑄2− 500
Câu 27 Một hãng sản xuất sản phẩm với hàm lợi nhuận 𝜋𝜋(𝑄𝑄1, 𝑄𝑄2) có các đạo hàm riêng là 𝜋𝜋𝑄𝑄′1 =
150 − 20𝑄𝑄1− 5𝑄𝑄2; 𝜋𝜋𝑄𝑄′2 = 225 − 20𝑄𝑄2− 5𝑄𝑄1 Biết rằng (𝑄𝑄1, 𝑄𝑄2) là mức sản lượng kết hợp cho lợi nhuận tối đa, khi đó 𝑄𝑄1+ 𝑄𝑄2 bằng:
Đáp án: 15
Câu 28 “Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất 𝑄𝑄 = 𝑓𝑓(𝐾𝐾, 𝐿𝐿) Cho biết giá thuê mỗi đơn
vị tư bản và mỗi đơn vị lao động lần lượt là $𝑤𝑤𝐾𝐾, $𝑤𝑤𝐿𝐿 Với kế hoạch sản xuất 𝑄𝑄0 đơn vị sản lượng, hãy xác định cơ cấu đầu vào để doanh nghiệp tối thiểu hóa chi phí sản xuất” Khi giải bài toán trên bằng phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm được điểm cực tiểu 𝑀𝑀(𝐾𝐾0, 𝐿𝐿0) và 𝜆𝜆0 Nếu muốn sản xuất thêm 1% sản lượng thì chi phí tối ưu (tối thiểu) sẽ tăng thêm:
Q
w K w L
λ
Câu 29 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) liên tục trên [−3; 5] Khi đó, tích phân ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−33 + ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥05 =
A ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−33 C 2 ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥03 + ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−35
B ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−35 − ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥30 D ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−30 − ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−35
Câu 30 Cho hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm liên tục trên ℝ và một số giá trị của hàm số được cho
trong bảng sau:
1
2ln
e f x
dx x
′
Đáp án: 32
Câu 31 Biết rằng ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 − 2)𝑒𝑒2𝑥𝑥+ 𝑇𝑇 Khi đó, tích phân ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥−∞0 bằng:
Đáp án: −2
Câu 32 Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lượng 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 0,3𝑄𝑄2 Khi đó, giá giảm 2% thì lượng cầu tăng xấp xỉ:
Đáp án: 1%
Câu 33 Cho biết hàm cầu (ngược) đối với một loại sản phẩm là:
𝑝𝑝 = 𝐷𝐷−1(𝑄𝑄) = −0,1𝑄𝑄2− 2𝑄𝑄 + 100 Biết rằng điểm cân bằng của thị trường là (𝑀𝑀0, 𝑄𝑄0) = (70,10) Thặng dư của nhà sản xuất là:
Đáp án: 𝑇𝑇𝑆𝑆 = ∫ (−0,1𝑄𝑄020 2− 2𝑄𝑄 + 100)𝑑𝑑𝑥𝑥− 700 =19003
Câu 34 Phương trình 𝑦𝑦′− 𝑒𝑒𝑥𝑥(𝑦𝑦2− 𝑦𝑦3) = 0 là
A Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất C Phương trình vi phân toàn phần
B Phương trình vi Bernoulli D Phương trình phân li biến
Câu 35 Để đưa phương trình 𝑥𝑥𝑦𝑦′= 𝑦𝑦 ln 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ln 𝑦𝑦 về dạng phân li biến số, ta chọn cách đặt:
Đáp án: Đặt 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑧𝑧
Câu 36 Cho phương trình vi phân tuyến tính 𝑦𝑦′+ 2𝑦𝑦 tan 𝑥𝑥 = −sin 2𝑥𝑥 có một nghiệm riêng là
𝑦𝑦0(𝑥𝑥) Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta tìm được 𝑦𝑦0(𝑥𝑥) =
Trang 10Trang Eureka Uni https://www.fb.com/EurekaUni.No1
Đáp án: 2 ln|cos 𝑥𝑥|
Câu 37 Tích phân tổng quát của phương trình vi phân 𝑦𝑦′= 3𝑥𝑥2�𝑦𝑦2+ 1 là:
Đáp án: ln�𝑦𝑦 + �𝑦𝑦2+ 1� = 𝑥𝑥3+ 𝑇𝑇
Câu 38 Tích phân tổng quát của phương trình vi phân (𝑥𝑥𝑦𝑦2+ 𝑒𝑒𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 +12𝑥𝑥2𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 là:
Đáp án: 1 2 2
2
x
Câu 39 Cho hàm số 𝑤𝑤 = −2𝑥𝑥2− 3𝑦𝑦2− 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Giá trị cực trị của 𝑤𝑤 là:
Đáp án: Giá trị cực đại 𝑤𝑤𝑐𝑐đ = 𝑤𝑤 �1110; −15� =2110
Câu 40 Cho bảng các giá trị của các hàm số 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, 𝑓𝑓′, 𝑔𝑔′ như sau:
𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)
Nếu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓[𝑔𝑔(𝑥𝑥 − 2)] thì 𝑦𝑦′(2) nhận giá trị bằng bao nhiêu?
Đáp án: 𝑦𝑦′= 𝑔𝑔′(𝑥𝑥 − 2) 𝑓𝑓′[𝑔𝑔(𝑥𝑥 − 2)] ⇒ 𝑦𝑦′(2) = 𝑔𝑔′(0) 𝑓𝑓′[𝑔𝑔(0)] = 2(−2) = −4