Bài tập Vật lý thống kê (Có lời giải chi tiết) Lê Anh

Tài liệu cung cấp với hơn 30 bài tập có kèm theo hướng dẫn giải chi tiết. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức môn Vật lý thống kê.

Cho hệ ba mức năng lượng = , = 2 , = 3 , có các bậc suy biến lần lượt là = 1,

= 2, = 3 Những hạt không phân biệt được và được phân bố trên ba mức năng lượng này

Hệ có năng lượng toàn phần là = 3 , và có số hạt không xác định Gọi trạng thái vĩ mô là trạng thái được đặc trưng bởi năng lượng = 3 , và số hạt trên mỗi mức năng lượng là như nhau Hãy vẽ sơ đồ phân bố các hạt trên các mức năng lượng và đếm số trạng thái vĩ mô cũng như số trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với số trạng thái vĩ mô trên

Vi mô: Ω = 6

Vĩ mô: Ω = 3

Một hệ gồm hai dao động tử điều hòa lượng tử độc lập, phân biệt được có tần số lần lượt là và

3 Tìm số trạng thái vi mô khả dĩ của hệ ứng với trạng thái vĩ mô có năng lượng 10

Năng lượng dao động tử điều hòa ứng với tần số và 3 là:

= +1

2 3 Năng lượng toàn phần = 10 :

2 ℏ =

Trong đó, là số lượng tử của dao động tử điều hòa thứ Số lượng tử của mạng tinh thể được giữ ở = ∑

a Tính số trạng thái vi mô khả dĩ dứng với năng lượng và số lượng tử

b Hãy tìm hàm entropy theo nhiệt độ và số nút mạng

a Số trạng thái vi mô khả dĩ ứng với năng lượng và số lượng tử cũng giống như cách sắp xếp hạt vào 3 cái hộp Ta biểu diễn 3 cái hộp từ 3 + 1 vạch thẳng đứng, còn các hạt biểu diễn bằng các ngôi sao (*), chẳng hạn như:

│**│*│***│****││*│

Như vậy, ở ngoài cùng luôn là 2 vạch thẳng đứng, bên trong còn lại 3 − 1 vạch và hạt

Ta có số cách sắp xếp khác nhau bằng số cách chọn phần tử trong 3 − 1 + phần tử bên trong:

32Thay vào ∗, ta được:

Thay vào ∗, ta được đáp số:

a Một hệ có ba hạt đặt vào trong từ trường ⃗ Các hạt là phân biệt được Các trạng thái vĩ

mô có cùng tổng năng lượng được xem là cùng một trạng thái vĩ mô Hãy tính số trạng thái vi mô và số trạng thái vĩ mô tương ứng

b Xét hệ hạt phân biệt được Hãy tính số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô được xác định bởi năng lượng

+ 2 hạt có spin cùng chiều ⃗ và 1 hạt có spin ngược chiều ⃗ (− )

+ 1 hạt có spin cùng chiều ⃗ và 2 hạt có spin ngược chiều ⃗ (+ )

+ 3 hạt có spin ngược chiều ⃗ (+3 )

Gọi là số hạt có spin hướng lên ↑ (cùng chiều ⃗)

số hạt có spin hướng xuống ↓ (ngược chiều ⃗) là

Ta có: = − và = +

−2

Số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô được xác định bởi năng lượng E cũng chính là cách sắp xếp hạt trong vị trí

Biểu thức này là entropy trung bình trên mỗi hạt trong hệ đơn vị hằng số Boltzmann

a Số trạng thái vi mô ứng với bộ 3 số ( , , ) với = + − là:

Số trạng thái ứng với năng lượng và số ion :

= ln Ω = ln 2 − 1 − ln 1 − − ln

Hãy vẽ quỹ đạo pha trong mỗi trường hợp sau:

a Chất điểm khối lượng m chuyển động theo quán tính

b Chất điểm khối lượng m rơi tự do không vận tốc đầu ở nơi có gia tốc trọng trường g

c Dao động tử điều hòa một chiều

d Chất điểm M khối lượng m mang điện tích –e (e > 0), chuyển động trong điện trường của một điện tích điểm +e đứng yên Cho biết vị trí và vận tốc lúc đầu của M là r 0 và v 0 = 0

a Chất điểm khối lượng m chuyển động theo quán tính

d Chất điểm M khối lượng m mang điện tích –e (e > 0), chuyển động trong điện trường của một điện tích điểm +e đứng yên Cho biết vị trí và vận tốc lúc đầu của M là r0 và v0 = 0

Tính thể tích pha trong các trường hợp sau:

a Dao động tử điều hòa

b Hạt chuyển động phi tương đối tính trong thể tích V

c Hạt chuyển động tương đối tính trong thể tích V

d Hạt chuyển động siêu tương đối tính trong thể tích V

a Dao động tử điều hòa: Thể tích pha = diện tích elip

p

r0

b Hạt chuyển động phi tương đối tính trong thể tích V:

=

2 ⇒ = √2Thể tích pha:

Trong thể tích V có N hạt khí lí tưởng tuân theo phân bố vi chính tắc với năng lượng E Tính thể tích pha, entropy S và nhiệt độ T đối với hệ đã cho, tìm phương trình trạng thái

=

2 ⇒ = √2Thể tích pha:

Ω( ) = 4

∗ = 23

Áp suất:

∗ = ∗

∗

= ∗Phương trình trạng thái:

Xét vector ⃗= ⃗ có độ lớn không đổi, quay đều quanh gốc O của trục ⃗ theo chiều dương của vòng trong lượng giác

a Tính xác suất để góc ⃗; ⃗ có giá trị trong khoảng và +

b Tính mật độ xác suất ( ) để hình chiếu của ⃗ có giá trị là trên trục ⃗ Vẽ đường biểu diễn của ( ) theo

a Xác suất để góc ⃗; ⃗ có giá trị trong khoảng và +

−

Xét hàm phân bố có dạng hàm mũ ( )= với > 0, ≥ 0 (Hàm phân bố này đặc trưng cho quá trình phân rã phóng xạ, sự biến thiên của số phân tử khí theo độ cao,…)

a Hãy chuẩn hóa ( )

b Hãy tính trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng của

Cho phân bố chuẩn một chiều (phân bố Gauss):

c Cho = 0, chứng minh rằng entropy của phân bố trên là √2

d Chứng tỏ rằng nếu trung bình = 0 và phương sai là những hằng số thì entropy thu được ở câu trên chính là entropy cực đại

Chứng minh cực đại khi x0, là hằng số bằng phương pháp Larange

Xét phân bố Lorentz:

( ) =( − ) +

a Chứng minh rằng phân bố trên đã được chuẩn hóa

b Gọi Độ rộng của nửa độ cao (FWHM – full width half maximum) là giá trị của ∆ tại đó ( ) có giá trị bằng 1/2 giá trị cực đại của ( ) Chứng minh rằng ∆ = 2 và các tiếp tuyến ở độ nửa cao (cực đại) cắt nhau tại đỉnh của phân bố

−∞=

1

2+2 = 1 Phân bố đã được chuẩn hóa

b Ta có:

( )

=[ ( )] .

∆

Khi ( )= [ ( )] thì:

121

= ( − )( − + ) + ( − ) Phương trình tiếp tuyến tại điểm + ; ( + ) là:

Xét phân bố nhị thức:

! ( − )!

Trong trường hợp rất lớn, rất lớn và được xem như biến thiên liên tục trong vùng gần và đủ

xa , tức là hàm ( , ) biến thiên chậm trong khoảng giữa và − 1:

| ( , ) − ( , − 1)| ≪ ( , )

a Xác định giá trị cái nhiên nhất của Cho biết ! ≅

b Tính giá trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng của phân bố nhị thức

c Khai triển Taylor của hàm ( , ) quanh giá trị Suy ra rằng ở trong những điều kiện đã cho ở trên, phân bố nhị thức tương đương với phân bố Gauss Hãy chuẩn hóa hàm phân bố này

a Ta có:

ln ( , ) = 0

⇒ [ln ! − ln ! − ln( − )! + ln + ( − ) ln ] = 0

⇒ [ ln − − ln + − ( − ) ln( − ) + − + ln+ ( − ) ln ] = 0

ln(1 − ) = − −1

1

3 − ⋯ Vì: → = ⇒ ⟶ 0, suy ra:

ln ( , ) = −( + ) ln 1 + + ( − ) ln 1 −

12

Phân bố Poisson được định nghĩa bởi xác suất để một biến ngẫu nhiên có những giá trị n (nguyên, dương, hay bằng không) và

Theo định luật Maxwell, số phân tử khí có vận tốc ở trong khoảng [ , + ] được phân bố theo công thức: = ( ) , với ( )= , trong đó, là động năng của mỗi phân tử,

là nhiệt độ của khối khí, và là hằng số Boltzmann là tổng số phân tử khí

= 1

a Chứng minh rằng, tuân theo phân bố nhị thức:

Trong đó, 〈 〉 là số hạt trung bình chứa trong thể tích

Cho biết các công thức:

→ 1 − = ; ! ≅ ( − )! ℎ ≪

a Xác suất để 1 phân tử nằm trong vùng thể tích :

= Xác suất để 1 phân tử không nằm trong vùng thể tích :

b Xét tập hợp thống kê của nhiều dao động tử điều hòa tuyến tính có cùng tần số góc và

có cùng năng lượng toàn phần Giả sử rằng các giá trị của pha ban đầu đều đồng xác suất trong khoảng 0 và 2 (giả thiết vi chính tắc)

Trị trung bình trên tập hợp của một đại lượng được tính theo công thức:

̅ = 1

Hãy tính ̅ và Suy ra rằng hệ các dao động tử này là tập hợp ergodic

a Trị trung bình theo thời gian:

2 sin

2

Một cylinde chứa khí hydro ở điều kiện tiêu chuẩn Hãy ước tính:

a Mật độ phân tử hydro trong bình

b Số va chạm trong 1 giây trên một đơn vị diện tích thành cylinde

c Quãng đường tự do trung bình của một phân tử hydro

a Mật độ phân tử hydro trong bình:

22,4=

6,023 1022,4 = 2,689 10 ℎạ / = 2,689 10 ℎạ /

b Số va chạm trong 1 giây trên một đơn vị diện tích:

Một khí lý tưởng trong giếng thế điều hòa Hệ N hạt khí lý tưởng không phân biệt được, khối lượng mỗi hạt là m 1 chuyển động trong giếng thế:

( ) =2

a Xác định hàm tổng thống kê

b Viết phương trình trạng thái

Năng lượng của 1 hạt:

=

2Hàm tổng thống kê 1 hạt:

!

= 1(2 ℏ) √2

Một zipper (dây khóa kéo) có N liên kết Mỗi liên kết chỉ có thể ở một trong hai trạng thái: đóng

có mức năng lượng 0, mở có mức năng lượng Zipper chỉ có thể mở từ một phía (quy ước bên trái) Liên kết thứ n chỉ mở được nếu các liên kết trái nó đều mở

a Tìm hàm tổng thống kê trên

b Tìm số liên kết được mở trung bình

c Ở nhiệt độ thấp ( → 0), trạng thái của zipper như thế nào?

a Ta có:

Trạng thái 0 có 0 liên kết mở, năng lượng: = 0

Trạng thái 1 có 1 liên kết mở, năng lượng: =

…

Trạng thái có liên kết mở, năng lượng: =

a CMR: = ( ⁄ ) − ( ), trong đó ( ) là hàm chỉ phụ thuộc nhiệt độ

b Bình thứ hai cùng loại khí, cùng số hạt và nhiệt độ ở áp suất p 2 Viết biểu thức tổng entropy của 2 bình

c Rút vách ngăn để khí trong 2 bình trộn lẫn mà không sinh công Viết biểu thức độ biến thiên entropy trước và sau khi rút vách ngăn

d Xét trường hợp p 1 = p 2 , tìm độ biến thiên entropy

( ) = (2 )

(2 ℏ)

Năng lượng tự do:

a Tính giá trị cực đại của ⁄

b Tính entropy trung bình của N hạt

=

Khi đó:

=2

b Năng lượng tự do:

(1 + )

Xét một khối khí lý tưởng đặt trong trọng trường đều g Các hạt xem như không phân biệt được

1 Chứng minh rằng ở trạng thái chính tắc, hàm phân bố mật độ phân tử theo độ cao z có dạng:

= 1(2 ℏ) √2

Xác suất để hạt ở trong khoảng ⃗ → ⃗ + ⃗; ⃗ → ⃗ + ⃗ là:

1(2 ℏ) √2

Một hệ khí lý tưởng cân bằng nhiệt độ T gồm các hạt độc lập có khối lượng m, chuyển động trong thế năng ( )= , với 0 ≤ ≤ ∞, > 0 và > 0

1 Tìm hàm tổng thống kê của hệ

2 Tìm năng lượng trung bình của một hạt

3 Tìm lại kết quả trên trong trường hợp hạt chuyển động trong trọng trường đều

3 Hạt chuyển động trong trọng trường đều:

Xét một hệ khí gồm N hạt không phân biệt Mỗi hạt khí được xem là một quả cầu có thể tích là , với khối tâm có thể chuyển động trong vùng có thể tích là ≫ Các hạt khí xem như không tương tác với nhau, ngoại trừ khi va chạm

1 Hãy viết biểu thức entropy S của hệ dưới dạng hàm của năng lượng E

Trong bài này, ta sử dụng phép gần đúng

( − )( − ( − ) ) ≃ −

2

2 Viết phương trình trạng thái cho hệ khí này

3 Chứng tỏ rằng hệ số nén đẳng nhiệt của hệ luôn dương

Hệ số nén đẳng nhiệt được tính theo công thức:

( − )( − ( − ) ) ≃ −

2

Xét một hệ khí gồm N hạt không phân biệt được chứa trong thể tích V Thế năng tương tác giữa hai hạt có dạng:

( ) =

∞ ; <

− ; >

Với là khoảng cách giữa hai hạt, và là các hằng số

1 Giả sử mỗi phân tử có thể xem là chuyển động trong thế năng hiệu dụng (giống nhau cho mỗi phân tử) do tất cả các phân tử khác sinh ra Chứng tỏ rằng ta có thể viết hàm tổng thống kê của hệ dưới dạng:

43

Với :

= 23Vậy :

! (2 ℏ) ( − )

Phương trình trạng thái :

= 1 ln = 1 ln (2 )

1 Hãy vẽ đồ thị ( , ) của khí thực ứng với các giá trị khác nhau của nhiệt độ

2 Từ phương trình Van der Waals đối với khí thực, hãy chứng minh các đẳng thức sau cho các giá trị tới hạn :

= 3

= 827

Xét một khối khí tuân theo phương trình trạng thái Dietrici:

= 2

Động năng trung bình của các nguyên tử Hidro trong khí quyển của một ngôi sao nào đó (giả thiết là ở trạng thái cân bằng nhiệt) là 1.0 eV

1 Nhiệt độ của khí quyển đó tính bằng độ Kelvin là bao nhiêu?

2 Tỉ lệ của số nguyên tử ở trạng thái kích thích thứ hai (n = 3) đối với số nguyên tử ở trạng thái cơ bản là bao nhiêu?

2 Xác suất để 1 hạt ở mức năng lượng :

1 Tìm biểu thức năng lượng của hệ

= ∞ ; à ℎì ℎ ụ

0 ; ℎì ℎ ụ

Năng lượng của hệ:

=

2 Hàm tổng thống kê 1 hạt:

(2 ℏ)Với:

1 Xác định giá trị trung bình của dao động tử, , xem như là một hàm của T

2 Xác định giá trị của ∆ , tức độ thăng giáng năng lượng

3 Xác định giá trị của và ∆ ở các giới hạn ≪ ℏ và ≫ ℏ

Năng lượng trung bình 1 hạt:

Nhiệt dung riêng đẳng tích:

−

= 12

+12

−

=

2 coth 2Phương trình trạng thái:

1 Viết biểu thức của entropy dưới dạng hàm của năng lượng tổng cộng

2 Từ kết quả trên, hãy tìm năng lượng của hệ dưới dạng hàm của nhiệt độ

3 Tìm hàm tổng thống kê cho một dao động tử, từ đó tìm năng lượng trung bình của một dao động tử

1 Entropy:

= ln Ω Với

Ω =(2 ℏ) =

(2 ℏ)

Năng lượng của hệ:

2

= 1N!

2

Vậy:

= ln Ω = ln

1N!

2(2 ℏ) = ln

2(2 ℏ)

Ω , =

1( − 1)!

2 ( − )(2 ℏ)

( , ) =

1( − 1)!

2 ( − )(2 ℏ)

1N!

2(2 ℏ)

2 ℏ =

2 ℏ2

Xét một hệ gồm N dao động tử điều hòa lượng tử có biểu thức năng lượng:

2 ℏ

Với = 0,1,2, … là số lượng tử của dao động tử thứ

1 Viết biểu thức của entropy dưới dạng hàm của năng lượng tổng cộng

2 Từ kết quả trên, hãy tìm năng lượng của hệ dưới dạng hàm của nhiệt độ

3 Tìm hàm tổng thống kê cho một dao động tử, từ đó tìm năng lượng trung bình của một dao động tử

4 Nhận xét về các kết quả của dao động tử điều hòa cổ điển và lượng tử

5 Tìm lại công thức nhiệt dung chất rắn của Einstein:

1 Tìm hàm tổng thống kê của hệ này

2 Tìm nhiệt dung riêng của chất khí này

= − ln = = − ln + ln + = − ln +

+Nhiệt dung riêng: