SKKN PHÁT TRIỂN bài TOÁN NÂNG CAO từ bài TOÁN cơ bản BAN đầu

PHẦN MỘTĐẶT VẤN ĐỀ BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Trong sách giáo khoa, hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn chọn lọc và sắp xếp một cách công phu, có dụng ý rất sư phạm, phù hợp với trìn

PHẦN MỘT

ĐẶT VẤN ĐỀ

BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI

Trong sách giáo khoa, hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn chọn lọc và sắp xếp một cách công phu, có dụng ý rất sư phạm, phù hợp với trình độ kiến thức của học sinh, phản ánh phần nào thực tiễn đời sống xã hội

và học tập gần gũi với học sinh, phù hợp với tâm lý lứa tuổi học sinh

Tuy nhiên, SGK và SBT là tài liệu dành cho tất cả học sinh thành thị cũng như nông thôn, miền núi cũng như miền xuôi, vùng kinh tế phát triển cũng như vùng sâu vùng xa… với các đặc trưng khác nhau Vì vậy, để có những bài tập phù hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng đối tượng học sinh của mình, phù hợp với hoàn cảnh thực tế địa phương nơi công tác, ngoài việc khai thác triệt để các bài tập trong SGK, SBT thì GV cần phải tự mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới

Trong việc ra đề kiểm tra ở các thời điểm : chất lượng đầu năm – kiểm tra học kỳ - thi chọn học sinh giỏi …thì GV cần phải có tính sáng tạo

các đề toán mới vừa đáp ứng được yêu càu đợt kiểm tra, đánh giá , vừa đảm bảo tính khách quan, công bằng bí mật ( vì các đề mà GV tự soạn không nằm trong bất cứ tài liệu nào đã có )

Hơn nữa, “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực tự giác

chủ động tư duy sáng tạo của người học : Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên “ ( Luật GD 1998 – Chương I- Điều 4 )

Đây là một trong những định hứơng quan trọng đối với phương pháp dạy học Toán là rèn luyện cho HS năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề Muốn được như thế thì GV phải bồi dữơng cho HS phải có kỹ năng tự học độc lập, thực chất là thói quan độc lập suy nghĩ, sáng tạo Đặc biệt đối với bộ môn Toán thì yếu tố sáng tạo là vô cùng cần thiết, nó không những đòi hỏi phải nắm chắc, vận dụng kiến thức cơ bản làm các bài toán có tính tương tự mà nó còn yêu cầu HS phải vận dụng tổng hợp các kiến thức nhằm tìm ra các đơn vị kiến thức chưa có sẵn cũng như khi giải Toán thì HS không được tụ thỏa mãn với phương pháp, cách giải mà phải đào sâu, suy nghĩ tìm ra một lời giải khác tốt hơn

Một hình thức cao của công việc học tập đòi hỏi nhiều sáng tạo là việc HS tự ra đề toán Vấn đề này yêu cầu HS phải nắm vững kiến thức ,

phải có thực tế, phải có trình độ phân tích – tổng hợp cao để làm sao vừa đặt vấn đề vừa giải quyết vấn đề một cách trọn vẹn

Việc yêu cầu HS tự ra lấy đề Toán là một trong những biện pháp gắn liền nhà trừơng với cuộc sống , tạo điều kiện cho các em sau này có khả năng vận dụng kiến thức

Toán học để giải quyết thành thạo những vấn đề trong cuộc sống đặt ra Đây là biện pháp bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình

đi tìm cái mới , các phẩm chất tư duy sáng tạo được phát triển và nảy nở

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Là một GV dạy bồi dữơng HSG cho HS lớp 8, lớp 9 nhiều năm, bản thân nhận thấy một điều là rất nhiều bài không có một dạng cụ thể nào hoặc nếu có thỉ giải theo dạng đó mất rất nhiều thời gian nên không đáp ứng được yêu cầu , tính chất của cuộc thi Do vậy, sự sáng tạo về cách giải trong cuộc thi này là rất quan trọng

Đối với công tác bồi dữơng HSG môn Toán thì GV không những làm cho các em nắm chắc kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng vào các dạng Toán là điều quan trọng mà người GV cần phải khơi dậy niềm đam mê học Toán, tính phát triển của bài toán theo dạng tương tự hóa, phát huy được

sự độc lập, sáng tạo trong cách học Toán đối với các em học sinh

Đa số HS khi giải một bài toán nâng cao ở các phân môn

( Số học, đại số, hình học ) thì các em lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức gì để giải quyết

Đối với một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau , xuất phát từ những góc độ nhìn nhận của HS cũng như khả năng vận dụng các kiến thức nào đó mà đi đến lời giải đẹp cho một bài toán Điều này giúp HS thấy được tính sáng tạo và có sự lựa chọn cách giải bài toán phù hợp với mình

Với những suy nghĩ trên, bản thân mong rằng sẽ giúp cho HS một phần nào cảm nhận đựoc nét đẹp trong suy nghĩ tìm ra lời giải bài toán , ngày càng yêu thích môn Toán hơn thấy được sự muôn màu của Toán học và nó không khô khan như các em thừơng nghĩ Chúng ta sẽ tìm hiểu :

PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN NÂNG CAO

TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU

PHẠM VI ĐỀ TÀI

- Một số bài toán số học lớp 6, lớp 7 ( về phân số, số hữu tỉ) nâng dần lên bài toán nâng cao tổng quát

ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- HS lớp 6, lớp 7

PHẦN HAI

NỘI DUNG

I – TẠO RA BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Bài Toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là mở rộng đào sâu những bài toán đã biết Thực chất là khó có thể tạo ra một bài toán hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những bài toán đã có

Khi tạo ra một bài toán mới từ bài toán ban đầu thì phải theo các yêu cầu sau :

1- Lập bài toán tương tự

2- Lập bài toán đảo

3- Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hóa

4- Thay đổi một số yếu tố

II - PHẦN CỤ THỂ

A- TẠO RA BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Với bài toán : Cho a, b ∈ ¢ ; b > 0 So sánh hai số hữu tỉ sau

a

b và 2001

2001

a b

+ + ( Bài 9- trang 4 SBT Toán 7- Tập một NXB GD 2003)

Lời giải như sau : Xét tích : a ( b + 2001) = ab + 2001 a

b ( a+ 2001) = ab + 2001 b

Vì b > 0 nên  b +2001 > 0

Nếu a > b  ab + 2001a > ab + 2001b 2001

2001

+

⇒ >

+

Tương tự, nếu a < b 2001

2001

+

⇒ <

+

Nếu a = b thì 2001

2001

+

⇒ =

Điều này cho ta bài toán mới tưong tự bài toán trên :

Bài 1: Cho a, b ∈ ¢ ; b > 0 So sánh hai số hữu tỉ a

2010

a b

+ +

Ta sẽ đưa ra bài toán tổng quát như sau :

Bài 2: Cho a, b ∈ ¢ ; b > 0 và n ∈ ¥ (n>0) So sánh hai số hữu tỉ :

a

b và a n

b n

+ +

Xét tích a ( b +n ) = ab + an b ( a + n ) = ab + bn

Vì b > 0 và n ∈ ¥ nên : b + n > 0

Nếu a > b thì ab + an > ab + bn a a n

+

⇒ >

+

Tương tự nếu a < b a

b

⇒ < a n

b n

+ +

Nếu a = b thì rõ ràng : a

b n

+ + .

Từ kết quả này ta có một bài toán mới thành lập bài toán đảo

B – TẠO RA BÀI TOÁN ĐẢO TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Bài 3 : Cho a , b ∈ ¢ ; b > 0 và n ∈ ¥ * Chứng tỏ rằng

a) Nếu a 1

b > thì a

b > a n

b n

+ +

b) Nếu a

b < 1 thì a

b < a n

b n

+ +

GIẢI

Ta có a 1

b > ⇔ a > b

⇔ an > bn ( vì n ∈ ¥ *)

⇔ ab + an > ab + bn

⇔ a( b + n ) > b ( a + n )

⇔ a

b > a n

b n

+ +

Chứng minh tương tự như câu a

Đề xuất bài toán lạ

Bài 4 : So sánh hai phân số a) 1941

1931 và 2010

2000

b) 1930

1945 và 1995

2010

GIẢI :

Ta có : 1941

1931 > 1 nên theo bài 3 ta suy ra : 1941 1941 69 2010

1931 1931 69 2000

+

> =

+

1930

1945 < 1 nên theo bài 3 ta suy ra : 1930

1945 < 1930 65 1995

1945 65 2010

+ = +

C - THÊM MỘT SỐ YẾU TỐ RỒI ĐẶC BIỆT HÓA :

Bổ sung yếu tố lũy thừa rồi thành lập bài toán mới

Bài 5 : So sánh hai số hữu tỉ sau : M = 200920102009 1

2009 1

+ + và N =

2009 2008

2009 1

2009 1

+ +

P = 201020092010 1

2010 1

+ + và Q =

2008 2009

2010 1

2010 1

+ +

GIẢI

* Vì M > 1 ( theo bài 3) Ta có : M = 200920102009 1

2009 1

+ + >

2010 2009

(2009 1) 2008 (2009 1) 2008

+ + + +

=

2009 2008

2009(2009 1) 2009(2009 1)

+ + = N

Vậy M > N hay 200920102009 1

2009 1

+ + >

2009 2008

2009 1

2009 1

+ +

* Theo bài 3 ta có : P = 201020092010 1

2010 1

+ + < 1

Biến đổi P = 201020092010 1

2010 1

+ + <

(2010 1) 2009 2010(2010 1) (2010 1) 2009 2010(2010 1)

Suy ra : P < Q hay 201020092010 1

2010 1

+ + <

2008 2009

2010 1

2010 1

+ +

Từ cách giải của bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau

D - GIẢM MỘT SỐ YẾU TỐ RỒI ĐẶC BIỆT HÓA

Bài 6 : Cho biết m , n ∈ ¥ * So sánh hai số hữu tỉ

a) E = 1 1

1

n

n

n

n

+ +

+ và F = 1

1 1

n n

n

n −

+ +

b) G = 1 1

1

m m

m

+ + và H=

1 1 1

m m

m m

− + +

GIẢI

a) Nếu n =1 thì E = F

Nếu n > 1 thì E > 1 ( Vì nn+1 > nn + 1 )

Theo bài 3 ta được : E = 1 1

1

n n

n n

+ + + >

1

F

−

Do đó , nếu n > 1 thì E > F

b) Nếu m = 1 thì G = H

Nếu m > 1 thì G < 1 ( Vì mm + 1 < mm+1 + 1 )

Theo bài 3 ta suy ra :

G = 1 1

1

m m

m

+ + <

Do đó : G < H

E- TỪ BÀI TOÁN CƠ BẢN THAY ĐỔI MỘT SỐ YẾU TỐ

Với lời giải của bài 6 giúp ta đến với bài tập tổng quát hơn, khái quát hơn

Bài 7 : Cho a , b , m , n , x , y ∈ ¥ * thỏa mãn x ≥ a ; y ≥ b

So sánh hai số hữu tỉ sau :

a) A = x n n1 a

+ + + và B = 1

n n

+ +

b) C = 1

m m

+ + và D =

1

m m

− + + .

Lời giải của bài 7 tương tự như lời giải của bài 6 Chúng ta thử giải quyết xem

III- NHỮNG BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH

- Với bài toán ban đầu mang tính cơ bản chúng ta đă phát triển thành các bài toán khó hơn và mang tính khái quát cao Các dạng toán này đòi hỏi HS phải có lòng ham thích học toán , tìm tòi và sáng tạo HS phải có một đam mê Toán học và phát triển phép tương tự hóa trong suy nghĩ của bản thân Điều

mà người viết mong muốn là HS không nên tự thỏa mãn với cách giải của mình mà luôn trăn trở, tìm tòi, suy nghĩ để tìm ra cách giải đẹp nhất và đây chính là sản phẩm của chính bản thân các em

- Các em hãy tìm các bài toán có nội dung tương tự và giải quyết theo Các hướng suy nghĩ của 07 bài toán trên

- Mong rằng trong bài viết ngắn này giải quyết đựơc các bài toán có dạng

so sánh phân số như trên

IV – HIỆU QUẢ

Trong những năm 1988 đến 1999 , khi tôi tham gia việc bồi dữơng HSG bộ môn toán cho Thị Xã Bến Tre ( nay là Thành Phố Bến Tre) và hướng dẫn nội dung này tất cả các HSG tham gia lớp học đều giải quyết tốt các bài toán có dạng so sánh các số , đạt thứ hạng cao trong các kỳ thi HSG cấp Thị, Tỉnh … luôn là chim đầu đàn trong phong trào HSG môn Toán trong nhiều năm liên tiếp

PHẦN BA

KẾT LUẬN

Để có thể làm tốt công tác bồi dưỡng HSG thì chúng ta cần có nhiều giải pháp cụ thể , kết hợp được sự tham gia của các tầng lớp trong xã hội Tôi thiết nghĩ yếu tố con người là rất quan trọng , trong đó ngừơi GV đóng vai trò trung tâm tạo nên thành công Đối với bộ môn Toán thì sự sáng tạo là vô cùng quan trọng , người GV cần phải có phương pháp hợp lý và lu6on suy nghĩ tìm

ra một số bài toán tương tự khái quát từ cơ bản đến phức tạp Phát triển bài toán và nâng cao từ bài toán cơ bản ban đầu cũng là một phương pháp tạo nên

sự sáng tạo đó

Dù bài toán này đã được phát triển từ bài toán đã có, nhưng nó đã nâng lên một bước phát triển mới trong phương pháp giảng dạy hiện nay Khởi đầu của sự sáng tạo mới của GV bộ môn Toán mang đến cho HS tiếp thu những cái mới lạ, tạo hứng thú trong học tập và phát triển tư duy Toán học

Trên đây là nội dung sáng kiến mà bản thân đã tích lũy được trong quá trình giảng dạy Mong nhận được sự đóng góp ý kiến nhằm giúp đề tài này ngày càng phát triển hơn nữa

Bến Tre ngày 18 tháng 02 năm 2010

Người viết,

TRƯƠNG TẤN ĐẠT

Ý kiến của hội đồng chấm thi cơ sở

………

………

………

………

Chủ tịch hội đồng