SKKN vận dụng thuật toán về số nguyên tố để giải các bài toán

Trong thực tế, các thuật toán về số học được ứng dụng vào việc giải quyết rất nhiều bài toán.Một trong những thuật toán đó là thuật toán về số nguyên tố.. Nội dung của đề tài là kiến thứ

ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Số nguyên tố là một trong những vấn đề trung tâm của số học Trong thực

tế, các thuật toán về số học được ứng dụng vào việc giải quyết rất nhiều bài toán.Một trong những thuật toán đó là thuật toán về số nguyên tố Đây là thuật toánđược sử dụng nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi Tin học Do đó, việc giảngdạy để các em nắm chắc về thuật toán cũng như việc vận dụng các thuật toán đó

để giải các bài toán cụ thể là điều rất quan trọng, đó cũng là cơ sở để các em họctốt phần tin học lập trình và đạt kết quả cao trong học tập cũng như trong các kỳthi HSG

Với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi

tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Vận dụng thuật toán về số nguyên

tố để giải các bài toán”.

Nội dung của đề tài là kiến thức các thuật toán về số nguyên tố và việc vậndụng các thuật toán đó trong giải quyết các bài toán

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm sẽ là tài liệu tham khảo tốt cho các giáoviên và các em học sinh trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Rất mongđược sự góp ý từ các đồng nghiệp

2 Cấu trúc nội dung

I Các thuật toán về số nguyên tố

1. Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố

2. Thuật toán Sàng nguyên tố Eratosthenes

3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

II Bài tập vận dụng

Dạng 1: Kiểm tra tính nguyên tố

Dạng 2: Sử dụng thuật toán sàng nguyên tố

Dạng 3: Phân tích thành các số nguyên tố

3 Mục đích nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy, tôi nhận thấy việc vận dụng cácthuật toán về số nguyên tố vào việc giải một số bài toán rất hiệu quả Vì vậy, tôiviết đề tài này với mục đích:

- Thứ nhất, trao đổi cùng với các đồng nghiệp về việc vận dụng các thuật

về số nguyên tố vào việc giải một số bài toán

- Thứ hai, là tài liệu cho giáo viên phục vụ giảng dạy, bồi dưỡng học sinhgiỏi.

4 Phương pháp nghiên cứu.

Kinh nghiệm bản thân, thảo luận, sưu tầm tài liệu, thử nghiệm thực tế, rút kinh nghiệm từ các tiết dạy trên lớp

5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu của đề tài

Đề tài chủ yếu nghiên cứu vận dụng các thuật toán được ứng dụng rộng rãi

đó là tìm kiếm tuần tự và tìm kiếm nhị phân, sắp xếp lựa chọn (Selection Sort)

và sắp xếp nhanh (Quick Sort)

Đề tài có khả năng áp dụng rộng rãi vào giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏiTin học cho giáo viên và học sinh THCS, THPT trên địa bàn toàn tỉnh Nghệ An

NỘI DUNG

Việc nắm vững các thuật toán về số nguyên tố là điều rất quan trọng, đó là

cơ sở để các em học sinh vận dụng và giải quyết các bài toán cụ thể Sau đây, tôixin trình bày kiến thức các thuật toán về số nguyên tố được ứng dụng rộng rãi và

hệ thống các bài tập mà tôi đã tìm hiểu và vận dụng có hiệu quả trong quá trìnhgiảng dạy

I CÁC THUẬT TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN

TỐ 1.1 Thuật toán kiểm tra tính nguyên tố

Ta có thuật toán kiểm tra tính nguyên tố của một số n, chạy trong thờigian O(n1/2):

Function isprime (n:integer):boolean;

Begin

if n<=1 then exit(false);

for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do

if x mod i=0 then exit(false);

exit(true);

End;

1.2 Thuật toán Sàng nguyên tố Eratosthenes

Để tìm các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng số tự nhiên N bằng sàng

Eratosthenes, ta làm như sau:

4, , n)

tố Trong đó, p = 2 là số nguyên tố đầu tiên

vì không phải là số nguyên tố

và phải lớn hơn p Nếu không còn số nào, dừng tìm kiếm Ngược lại, gán cho p giá trị bằng số nguyên tố tiếp theo và quay lại bước 3

Khi giải thuật kết thúc, tất các số chưa bị đánh dấu trong danh sách là các số nguyên tố cần tìm

while (j<=n) dobegin

Ta có mảng P, P[i]=true (i>1) nếu I là số nguyên tố và ngược lại

Thuật toán này chỉ có độ phức tạp là O(n) thế nên ta có thể hoàn

toàn thực hiện với n=108

1.3 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.

coso[t]:=i; somu[t]:=x;

inc(i);

end;

If (n>1) then

Begininc(t);

coso[t]:=n; somu[t]:=x;

end;

end;

Thông tin được trả về trong mảng coso[i] và somu[i] lần lượt là cơ số và số

mũ của thừa số thứ I trong phép phân tích của n ra thừa số nguyên tố Trong trường hợp xấu nhất, với n là số nguyên tố thì thuật toán chạy trong thời gian

là O(n1/2)

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dạng 1: Kiểm tra tính nguyên tố

Bài 1 Viết chương trình nhập vào từ bàn phím số nguyên N (N>10), in

ra màn hình các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến N.

Hướng dẫn:

Nhận xét: Học sinh sẽ áp dụng thuật toán kiểm tra tính nguyên tố của một số để giải quyết bài toán Ta chỉ cần dùng thêm một vòng lặp chạy từ 2 đến N đặt ngoài vòng lặp kiểm tra số nguyên tố

Cho dãy số nguyên a1, a2, …, an với a i 109 , n 105

1 Tìm số nguyên tố lớn nhất của dãy

2 Số nào xuất hiện nhiều nhất trong dãy

Đầu ra cho bởi tệp: primemax.out

- Dòng thứ nhất là số nguyên tố lớn nhất của dãy, nếu không có số

- Có 70% số test ứng với 70% số điểm của bài có

- Có 30% số test ứng với 30% số điểm của bài có

n 

10 n

 10

3 5

for i:=2 to trunc(sqrt(x)) do

if x mod i=0 then exit(false);

Một số được gọi là đẹp nếu tổng bình phương các chữ số của nó

(trong dạng biểu diễn thập phân) là một số nguyên tố

Dữ liệu: Vào từ file BEAUTY.INP

Gồm nhiều tests, mỗi test cho trên một dòng chứa một số nguyên N

Kết quả: Ghi ra file BEAUTY.OUT

Mỗi test đưa ra trên một dòng là kết quả số đẹp tìm được tương ứng của mỗi test từ file dữ liệu vào

Bài này chỉ yêu cầu tính tổng các chữ số sau đó kiểm tra xem tổng đó

có phải là số nguyên tố không

for i:=2 to 810 do if ktr1 then c[i]:=true;

for i:=1 to n do if max<a[i] then max:=a[i];

if ktr(i) thenbegin

Bài 4 Nguyên tố cùng nhau

Juggernaut được cô giáo Disruptor dạy toán, cô giáo định nghĩa một

Dòng đầu tiên chứa số bộ test T (T <= 10)

Mỗi test gồm một dòng chứa số x (1 <= x <= 10^5)

Giải thích khái niệm

- Nguyên tố cùng nhau của 2 số a và b là UCLN của a và b bằng 1

for i:=2 to trunc(sqrt(x)) do

if x mod i=0 thenexit(0);

a:=b;

for j:=1 to k do

if ucln(k,j)=1 theninc(dem);

và q>1 Thầy sẽ cho em một số N bất kỳ và em hãy cho biết đó có phải là lũy thừa cao của một số nguyên tố hay không?” Không phải lúc nào cũng mang theo máy tính bên mình, đây là lúc TMB cần bạn

Yêu cầu: Cho số N, hãy giúp TMB trả lời câu đố của thầy giáo, nếu N là lũy thừa cao của một số nguyên tố thì in ra 2 số p và q tương ứng, nếu không

for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do

if n mod i=0 thenexit(false);

exit(true);

trong đó K là một số nguyên dương.

Phương trình này có thể có vô số nghiệm Tuy nhiên, ở đây người ta chỉ quan tâm đến các nghiệm (x,y,z) mà trong đó các số x,y,z đều là các số

Dữ liệu vào cho trong file văn bản EQUA.INP trong đó chứa duy nhất số KKết quả ghi ra file văn bản EQUA.OUT chứa N + 1 dòng (N là số nghiệm tìmđược), trong đó:

 Dòng thứ i trong N dòng đầu tiên chứa 3 số nguyên cho biết

bộ nghiệm thứ i tìm được

 Dòng thứ N + 1 chứa 3 số 0 cho biết điểm kết thúc file output

 Các số trên cùng một dòng cách nhau bởi khoảng trắng

Ví dụ:

for i:=2 to MAXK do

if (nguyento(i)) then begin

Là một người yêu thích số học anh ta thường chọn mật khẩu P là một sốnguyên tố và đem dấu vào một xâu ký tự T sao cho P chính là số nguyên tố

có giá trị lớn nhất trong số các số nguyên tố tạo được từ các xâu con của T(xâu con của một xâu ký tự T là một chuỗi liên tiếp các ký tự trong T)

Ví dụ: xâu T=”Test1234#password5426” chứa mật khẩu là 23 vì T chứa các xâu con ứng với các số nguyên tố 2,3,23 và 5

Yêu cầu: Cho một xâu ký tự T chiều dài không quá 250 ký tự Tìm mật khẩu

P đã dấu trong xâu T biết P có giá trị nhỏ hơn 105 Dữ liệu cho đảm bảo T

chứa ít nhất 1 số nguyên tố

Dữ liệu: Vào từ file văn bản PASSWORD.INP gồm 1 dòng duy nhất là xâu T Kết quả: Ghi ra file văn bản PASSWORD.OUT chứa số P tìm được.

Ta duyệt qua tất cả các xâu con của xâu T mà có thể tạo thành một số

và kiểm tra số đó có phải số nguyên tố hay không

Để duyệt qua các xâu con, ta duyệt qua vị trí đầu:

for i:=1 to length(t) do {i là vị trí đầu của xâu con} Với mỗi

vị trí đầu i, ta duyệt qua vị trí cuối của xâu con: j:=i;

Dạng 2: Sử dụng thuật toán sàng nguyên tố

Bài 1 HSPC14J-Sàng ( http://vn.spoj.com/problems/HSPC14J/ )

Sàng của Eratosthenes là thuật toán nổi tiếng để tìm tất cả các số

nguyên tố nhỏ hơn N Thuật toán như sau:

1. Ghi ra tất cả các số nguyên giữa 2 và N

2. Tìm số nhỏ nhất chưa bị gạch và gọi nó là P (P là số nguyên tố)

3. Gạch bỏ P và tất cả các bội số của nó mà chưa bị gạch

4. Nếu còn số chưa bị gạch bỏ, chuyển sang bước 2

Viết một chương trình, cho N và K, tìm số nguyên thứ K bị gạch

Ta sử dụng thuật toán sàng nguyên tố và các bước thực hiện như đề

bài , thêm một biến đếm để biết thứ tự số nguyên bị gạch bỏ

if (p[i*j]) then inc(k);

Vườn quốc gia Xuân Sơn, tỉnh Phú Thọ nổi

tiếng với vẻ đẹp hoang sơ tự nhiên, có hệ sinh

thái phong phú và đa dạng Du khách khi tới đây

có thể tận mắt chiêm ngưỡng khu rừng chò trỉ

đẹp nhất miền bắc cùng một số loài thực vật số

lượng lớn như cây rau sắng, dẻ, mộc lan…

Ngoài

sức hấp dẫn của hệ động thực vật phong phú, Xuân Sơn còn có nhiều cảnh quanthiên nhiên kỳ thú thu hút khách du lịch như núi Voi, núi Ten và núi Cẩn Cùngvới các con suối như suối Lấp, suối Thang; với nhiều thác nước có độ cao trên50m Màu thác bạc hoà quyện với màu xanh của rừng già làm cho phong cảnhnơi đây vừa hùng vĩ vừa thơ mộng.

Tại đây, các nhà khảo cổ học đã phát hiện ra một số kho báu bí mậtcủa được các vua Hùng xây dựng rất kiên cố và không thể phá bỏ Họ cho rằng trong đó có thể là những khối tài sản về lịch sử và văn hóa rất có giá trị và

họ tìm cách mở cánh cửa của những kho báu đó

Trên cửa mỗi kho báu có một bảng gồm 2 hàng, hàng 1 đã N

ghi sẵn số nguyên dương N (≤106), hàng 2 chứa 2 khoá số K1 và K1 K2K2 như hình bên

Trong khi khảo sát, các nhà khảo cổ đã phát hiện một phiến đá có ghi cách để mở khoá như sau: cửa có bảng chứa số N sẽ tương ứng với K1 và K2 là:

- Điều chỉnh khoá số K1 về số bằng số lượng ước nguyên tố của N;

- Điều chỉnh khoá số K2 về số bằng tổng các ước nguyên tố của N thì cánh cửa sẽ tự động mở ra và nhà khảo cổ có thể vào bên trong kho báu một cách

dễ dàng

Ví dụ: Ở nhà kho trên cửa ghi số N=12, có các ước của N là 1, 2, 3, 4, 6,

12 chỉ có 2 ước nguyên tố là 2 và 3 nên K1=2 và K2=5

Dữ liệu: vào từ filevăn bản PASS.INPchứa duy nhất một số nguyên dương

 Có 30% số các test ứng với 30% số điểm của bài có ≤ 1000;

 Có 40% số test khác ứng với 40% số điểm của bài có ≤ 10 4 ;

 Có 30% số test còn lại ứng với 30% số điểm của bài có ≤ 10 6

.

Hướng dẫn:

Bài này yêu cầu chỉ đơn giản là xây dựng sàng lọc ra các số nguyên tốnhỏ hơn hoặc bằng N Đếm số lượng các số nguyên tố và tính tổng các sốnguyên tố đó

25

for j:=1 to (n div i) do p[j*i]:=false;

end;

end;

writeln(g,k,' ',s )end;

Một số nguyên dương N được gọi là số "gần hoàn hảo" nếu thỏa

mãn điều kiện: 2* N ≤ A, với A là tổng các ước số của N.

Chẳng hạn: 12 là một số "gần hoàn hảo" vì: 2*12 < 1+2+3+4+6+12.

Yêu cầu: Với K số nguyên dương, hãy kiểm tra xem các số nguyên

dương đó có phải là số "gần hoàn hảo" hay không?

Dữ liệu vào: Từ tệp GHH.INP có cấu trúc như sau:

- Dòng đầu tiên chứa số nguyên dương K (K ≤ 100).

- Dòng thứ hai chứa K số nguyên dương A 1 , A 2 ,…, A K (A i ≤ 10 9 với 1≤ i ≤ K).

Dữ liệu ra: Ghi vào tệp GHH.OUT gồm K dòng, dòng thứ i ghi số 1 nếu A i

là số "gần hoàn hảo", ngược lại ghi số 0.

Ta phân tích các số nguyên dương N thành tích các thừa số nguyên tố, sau

đó áp dụng công thức để tính tổng các ước của nó

Để thuật toán nhanh hơn có thể áp dụng sàng số nguyên tố

Nói số a tốt hơn b nếu tổng bình phương các chữ số của a (trong hệ cơ số

10) lớn hơn tổng bình phương các chữ số của b hoặc các tổng này bằng

nhau nhưng a < b.

Yêu cầu: Cho hai số nguyên l và r (2 ≤ l ≤ r ≤ 50 000) Hãy tìm số nguyên

tố tốt nhất trong khoảng [l, r] Nếu trong khoảng này không có số nguyên tố

NT[1]:=1;

i:=1;

repeat

repeat inc(i) until (i>trunc(sqrt(n))) or

(nt[i]=0); if i<=trunc(sqrt(n)) then

Số nguyên dương n ( 1 < n < 10 )

Output

Dòng đầu tiên ghi ra số k là số cách tìm được

K dòng tiếp theo mỗi dòng ghi ra 1 cách điền các số vào các vòng tròn nhỏ Cách điền nào có thứ tự từ điển nhỏ hơn thì xếp trước Nếu K > 10000 thì chỉ cần ghi ra 10000 cách đầu tiên

Ví dụ

for j:=2 to 50 div i dosnt[i*j]:=false;

for i:=1 to tam do

beginwrite(f,luutru[i],' ');

if i mod (2*n) = 0 then writeln(f);

Yêu cầu: Cho một số nguyên N, hãy giúp Tuấn đưa ra số chính phương lớn nhất là tích của một tập các số tự nhiên phân biệt từ 1 đến N Số đó có thể

rất lớn nên chỉ cần xuất ra phần dư khi chia số đó cho 1000000007

Dữ liệu: Từ file văn bản SOCP.INP có cấu trúc:

Một dòng duy nhất chứa số nguyên dương N (N ≤ 4.104)

Kết quả: Ghi vào file văn bản SOCP.OUT có cấu trúc:

Một dòng duy nhất là kết quả bài toán sau khi đã mod

1000000007 Ví dụ

 Subtask 1 (2 điểm): Giả thiết N≤ 10 2

 Subtask 2 (2 điểm): Giả thiết N≤ 10 3

 Subtask 3 (2 điểm): Giả thiết N≤ 4.10 4

Thuật toán:

- Phân tích số N! thành tích các thừa số nguyên tố, ghi nhận số lượng mỗi

số bằng cách dùng sàng nguyên tố Giả sử các thừa số đó là P1, P2, …, Pk vớicác số mũ tương ứng là a1, a2, …, ak

- Nếu ai lẻ thì giảm ai một đơn vị với mọi i = 1, 2, …, k

- Số chính phương lớn nhất cần tìm là tích các thừa số nguyên tố của

các các số nguyên tố có số mũ chẵn lớn hơn 0 Chú ý khi tính ta mod với

if odd(a[i]) then dec(a[i]);

if a[i]>0 then kq:=(kq*mu(p[i],a[i])) mod

Kết quả ghi ra tệp văn bản PHANTICH.OUT gồm các dòng, mỗi dòng

ghi một thừa số nguyên tố tiếp đến là số mũ tương ứng Các số trên cùng

dòng cách nhau qua dấu cách

for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do

if n mod i=0 then exit(false);

Bài 2 Biểu diễn số

Cho một số nguyên k, hãy tìm cách biểu diễn k thành tổng 3 số nguyên

Bài 3 Dãy nguyên tố

Cho số tự nhiên k và dãy A gồm N (N < 104) số tự nhiên không vượt

quá 32000

Yêu cầu: Tìm k số nguyên tố nhỏ nhất khác nhau xuất hiện trong dãy A.

Dữ liệu vào từ file văn bản DAYNT.INP:

 Dòng đầu tiên chứa một số tự nhiên k (1< k < N)

 N dòng tiếp theo, mỗi dòng chứa một số tự nhiên là một phần tử của dãy A

Kết quả ghi ra file văn bản DAYNT.OUT: Đưa ra trên cùng một dòng k số

nguyên tố tìm được theo thứ tự tăng dần, các số cách nhau ít nhất một ký

Var D : Array[2 32000] of byte;

for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do

if n mod i =0 then exit(false);

for i :=1 to 32000 do

if d[i]<> 0 thenbegin write(i,' ');

Với số nguyên dương x, gọi f(x,k) là số cách phân tích số x thành tổng các

số nguyên tố mà mỗi số nguyên tố có trong tổng không quá k lần

Cho một dãy số nguyên dương a1,a2,…,aN và số nguyên dương k( 1≤ N,k

≤ 100) Hãy tính các f(ai,k) (với mọi i=1,2,…,N)

Dữ liệu vào: Từ file văn bản KSNT.INP có cấu trúc như sau:

Dòng đầu tiên ghi 2 số nguyên dương theo thứ tự N, k Dòng thứ 2 ghi N số nguyên dương a1, a2,…, aN.( 1 < aI ≤ 100)

Kết quả: Ghi ra file văn bản KSNT.OUT, gồm N số nguyên viết trên một dòng, số thứ i là f(ai,k)

Cả 2 file dữ liệu thứ tự các số trên một dòng tính từ trái qua phải và cách nhau một dấu cách

Ví dụ:

if j*NTO[1]>100 then break;

Bài 5 Số ước

Cho số nguyên dương N Giai thừa của N, kí hiệu là N!, là tích của các số

tự nhiên từ 1 đến N Gọi T là số lượng ước lớn hơn 1 của N! Ví dụ với N = 4, ta

có 4! = 24 Như vậy 4! có 7 ước lớn hơn 1 là: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24



Yêu cầu: Cho N, hãy xác định T.

Dữ liệu: Vào từ file văn bản DIVISORS.INP trong đó chứa duy nhất số N (N 20, trong đó 50% số test có N  10)

Kết quả: Ghi ra file văn bản DIVISORS.OUT số T tìm được.

for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do

if n mod i = 0 then exit;