Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Ngoài ra, bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục màchỉ sử dụng phép đo trên hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc mà ta sẽ gọi làphép đo rút gọn đối với các a-mô hình vẫn còn rất ít k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

PHẠM HÀ NỘI

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐốI VỚI MỘT

CHAT LỎNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nôi - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

PHẠM HÀ NỘI

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỬ LIỆU ĐốI VỚI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Cung Thế Anh

Hà Nôi -

2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSCung Thế Anh Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Bùi Huy Bách

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo củaGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS.TSCung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ nhữngngày học cao học Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởngcủa Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, BanChủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là PGS.TS TrầnĐình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập và nghiên cứuthuận lợi cho tác giả

4

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giámhiệu trường THPT Chúc Động, các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại trườngTHPT Chúc Động đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu Tác giả xin gửi đến các anh chị em NCS chuyên ngànhPhương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội,các bạn bè gần xa, lời cảm ơn chân thành về tất cả những giúp đỡ, động viên mà tác giả đãnhận được trong suốt thời gian qua.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương,chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án

MỘT Số KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

A,B,B các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes và các

a-mô hình

D(A)' không gian đối ngẫu của không gian D(A)

(•, •)D(A)> D(A) đối ngẫu giữa D(A)' và D(A)

I • ||D(A)' chuẩn trong không gian D(A)'

Y X bao đóng của Y trong X

6

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Việc nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng có ý nghĩaquan trọng trong khoa học và công nghệ Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sựquan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bàitoán, việc nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu (data assimilation), tức là dự đoán dángđiệu của nghiệm trong tương lai từ những phép đo thu được, rất quan trọng vì nó chophép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai; điều này đặc biệt quantrọng trong các bài toán dự báo, chẳng hạn bài toán dự báo khí tượng Đây là một hướngnghiên cứu được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây

Về mặt toán học, ta có thể phát biểu bài toán đồng hóa dữ liệu như sau Giả sử mộtquá trình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) được mô tả bởi phương trình tiến hóa(nói chung rất phức tạp) có dạng

f = F (Y )'trong đó Y là vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo” Mục tiêu của chúng ta là tìm một "xấp xỉ tốt” của Y khi thời gian đủ lớn Ở đây, chúng ta không biết “dữ kiện ban đầu”

là xác định một xấp xỉ W(t) của Y(t) từ các “phép đo” đã biết,sao cho W(t) dần tới Y(t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng

ĩ

Một phương pháp cổ điển của đồng hóa dữ liệu liên tục, xem ví dụ [18], là thay cácphép đo quan sát được trực tiếp vào một mô hình sau này được lấy tích phân theo thờigian Chẳng hạn, ta có thể thay các quan sát chế độ thấp Fourier vào phương trình cho sựtiến hóa của các chế độ cao Khi đó các giá trị của chế độ thấp và chế độ cao sẽ được kếthợp để tạo ra một xấp xỉ đầy đủ cho trạng thái của hệ Cách tiếp cận này đã được thựchiện cho hệ Navier-Stokes hai chiều trong [31, 46] và một số hệ khác trong cơ học chấtlỏng [2, 21, 22, 28, 40] Về mặt toán học, cách tiếp cận này dựa trên sự tồn tại tập húttoàn cục hữu hạn chiều và tính chất các mode xác định (determining modes) của hệNavier-Stokes [38], một tính chất khá phổ biến cho các hệ tiêu hao mạnh, nhưng cónhược điểm là không áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo khônggian, vì ta không thể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó Một cáchtiếp cận hiệu quả khác áp dụng cho các hệ tiến hóa tuyến tính được đề xuất bởi J.P Pueltrong [48] Cách tiếp cận này dựa trên các bất đẳng thức kiểu Carleman, tỏ ra rất hứa hẹn

và hiệu quả, trên cả phương diện lí thuyết và tính toán số, nhưng có hạn chế là chỉ ápdụng được cho các bài toán tuyến tính

Năm 2014, Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới [5] khắc phục đượcnhược điểm của các phương pháp nói trên Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một

số hạng điều khiển phản hồi chứa dữ liệu quan sát được đưa vào trong hệ ban đầu để được

một hệ mới gọi là hệ phương trình đồng hóa dữ liệu Sau đó ta sẽ thiết lập các điều kiện

để đảm bảo hệ đồng hóa dữ liệu này có một nghiệm toàn cục duy nhất và nó hội tụ vềnghiệm khảo sát của hệ gốc ban đầu Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu bằng phương phápnày mới chỉ có ở bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho cho hệ Navier-Stokes hai chiều[5] và một vài a-mô hình ba chiều [2, 1]; trong trường hợp rời rạc thì mới chỉ có kết quảđối với hệ Navier-Stokes hai chiều [27]

Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng trong cơ học chất lỏng Tuy nhiên, trongtrường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) thì tính đặt đúng toàn cục vàviệc tính toán số nghiệm của hệ này vẫn còn là những vấn đề mở lớn và tỏ ra rất khó Mộttrong những cách tiếp cận để vượt qua những khó khăn này là sử dụng những hệ chỉnhhóa của hệ Navier-Stokes Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường được sử dụng là cáca-mô hình trong cơ học chất lỏng, bao gồm hệ Navier-Stokes-a [25], hệ Leray-a [15], hệ

Leray-a cải biên [34] và hệ Bardina đơn giản hóa [42], Về mặt hình thức, nếu cho a =

0 trong các a-mô hình này ta sẽ thu lại được hệ Navier-Stokes cổ điển Trong vài năm gầnđây, đã có một số kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho các a-mô hình, baogồm hệ Navier-Stokes-a [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-a [24], Tuy nhiên,theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối

8

với các a-mô hình trong cơ học chất lỏng Ngoài ra, bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục màchỉ sử dụng phép đo trên hai trong số ba thành phần của vectơ vận tốc (mà ta sẽ gọi làphép đo rút gọn) đối với các a-mô hình vẫn còn rất ít kết quả; mới chỉ có kết quả gần đâytrong [24] đối với hệ Leray-a.

Từ những phân tích trên ta thấy rằng mặc dù đã có một số kết quả ban đầu nhưng cáckết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu đối với các a-mô hình trong cơ học chất lỏng, đặcbiệt trong trường hợp đồng hóa dữ liệu rời rạc hoặc chỉ sử dụng phép đo trên hai thànhphần của vectơ vận tốc, vẫn còn ít và đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thựctiễn, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Vì vậy, chúng tôi

chọn vấn đề "Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ

học chất lỏng" làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Từ cuối những năm 1960s, các vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu được các dữ liệu về thờitiết gần như liên tục theo thời gian Charney, Halem và Jastrow đã chỉ ra trong [12] một

số phương trình về khí quyển được dùng để xử lí các dữ liệu đó và thu được các đánh giátrước về trạng thái của khí quyển Phương pháp của họ, được gọi là đồng hóa dữ liệu liêntục, đó là đưa các dữ liệu đo đạc thu thập được một cách trực tiếp vào trong một mô hình

và sau đó tích phân lại theo thời gian Một tổng hợp về việc sử dụng đồng hóa dữ liệu liêntục trong thực tế dự báo thời tiết cũng được nêu bởi Daley [18]

Bằng việc sử dụng cách tiếp cận cổ điển và số mode xác định, Titi và cộng sự đãnghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ Navier-Stokes hai chiều, trong cả hai trườnghợp là dữ liệu thu thập được liên tục theo thời gian [46] và rời rạc theo thời gian [31].Phương pháp này có ưu điểm là đơn giản về mặt khái niệm, nhưng có nhược điểm làkhông áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì khôngthể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó

Nhằm khắc phục những nhược điểm trên, năm 2014 Titi và cộng sự đã đề xuất mộtphương pháp mới để nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu [5] Ý tưởng của phương phápnày là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi đưa vào trong phương trình để được mộtphương trình mới, gọi là phương trình đồng hóa dữ liệu Phương pháp này còn được gọi

là phương pháp nudging Newton hay phương pháp giãn động lực (dynamic relaxation)[32]

9

Nội dung của phương pháp đồng hóa dữ liệu trong [5] như sau: Giả sử rằng một hệphương trình có dạng

£=F,(r) (1) (với điều kiện biên đã biết) và không biếtđiều kiện ban đầu Y (t0 ) = Y0 Bằng cách sử dụng các thiết bị đo đạc, ta biết một phần củanghiệm trong khoảng thời gian [t0, T] (bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục) hoặc tại các thờiđiểm tn với n = 1, 2 , , trong đó t i < tj, Vi < j và tn ^ TO khi n ^ TO (bài toán đồng hóa dữliệu rời rạc) Vì không biết chính xác điều kiện ban đầu nên ta không thể tính được Y(t)

Do đó, thay vì đi tính Y(t), ta đi tìm W(t), là nghiệm của một phương trình mới gọi là

phương trình đồng hóa dữ liệu, sao cho W(t) hội tụ về Y(t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng Khi đó, W(t) gọi là nghiệm xấp xỉ và nghiệm Y(t) gọi là

nghiệm khảo sát Kí hiệu Ih (Y(t)) là phần của nghiệm mà ta đo đạc được tại thời điểm t.

ở đây, tham số h đặc trưng cho độ phân giải không gian của phép đo Toán tử quan sát Ih,với các điều kiện thích hợp, là một toán tử khá tổng quát, chứa cả trường hợp các modexác định (determining modes), cũng như các nút xác định (determining nodes) và cácphần tử thể tích xác định (determining finite volume) (xem [2])

Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục, phần đo đạc Ih (Y(t)) của nghiệm thu được

trên [to , T], ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu

với điều kiện ban đầu W(t0) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý) ở đây, số dương / đượcgọi là tham số giãn Ta sẽ tìm các điều kiện đủ của các tham số / và h (h đủ nhỏ, / đủ lớn)

để hệ (2) có nghiệm toàn cục duy nhất W(t) và W(t) hội tụ tới Y(t) khi thời gian t tiến tới

vô cùng Theo quan điểm vật lí, độ phân giải không gian h của phép đo thường là khó vàtốn kém để thay đổi, trong khi tham số giãn / là tham số toán học có thể dễ dàng thay đổi,

do đó ta tập trung vào việc tìm điều kiện của h để tồn tại một giá trị / đảm bảo cho sựthành công của thuật toán Sau khoảng thời gian T > 0 đủ lớn, nghiệm W(T) có thể được

sử dụng làm điều kiện ban đầu trong hệ (1) để đưa ra dự đoán trong tương lai của nghiệmtham chiếu Y(t) khi t > T hoặc ta có thể tiếp tục với chính hệ đồng hóa dữ liệu (2), nếu dữliệu đo vẫn tiếp tục được cung cấp

10

Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc, tình huống gần với thực tiễn hơn, khi mà phần đo đạc Ih(Y (t)) của nghiệm thu được tại các thời điểm rời rạc tn

thay cho hệ

11

(2), ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu sau

Phương pháp đồng hóa dữ liệu chỉ áp dụng được cho các mô hình đặt đúng, nói riêng

là các hệ mà đã chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm Chính vì lí do đó,kết quả đồng hóa dữ liệu đối với hệ Navier-Stokes mới chỉ có trong trường hợp hai chiều[5, 27], còn trong trường hợp ba chiều ta chưa chứng minh được các kết quả tương tự Đểnghiên cứu các tính chất nghiệm nói chung và bài toán đồng hóa dữ liệu nói riêng của hệNavier-Stokes ba chiều, một cách làm phổ biến là nghiên cứu trên các a-mô hình, đượccoi như là những xấp xỉ của hệ Navier-Stokes khi tham số a nhỏ Gần đây đã có một sốkết quả đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho các a-mô hình như hệ Navier-Stokes-a [2], hệ Bardina đơn giản hóa [1], hệ Leray-a [24],

Rất gần đây một hướng nghiên cứu mới, đó là giảm số chiều phép đo xuống thấp hơn

số chiều không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học [23, 24] Bàitoán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn số chiều phép đo về cơ bản vẫn được thiết lập nhưtrường hợp đầy đủ số chiều phép đo, nhưng các số liệu phép đo thay vì được biểu diễn bởicác toán tử nội suy Ih(Y (t)), ví dụ như đối với không gian ba chiều là bao gồm cả bathành phần Ih (Y1 (t)), Ih(Y2(t)) và Ih(Y3(t)) (với t G [t0,T]), thì giờ đây chỉ được biểu diễnbởi số thành phần ít hơn, ví dụ như đối với không gian ba chiều là hai thành phần (bất kì)trong số ba thành phần này, chẳng hạn chỉ bởi Ih (Y1 (t)) và Ih (Y2 (t)) Việc không có dữliệu nào đối với thành phần phép đo bị thiếu dẫn tới khó khăn trong việc xây dựngnghiệm xấp xỉ và chứng minh sự hội tụ của nghiệm

lal12

xấp xỉ tới nghiệm khảo sát theo thuật toán đồng hóa dữ liệu liên tục Khó khăn này đãđược khắc phục trong một số mô hình cụ thể, đó là hệ Navier-Stokes hai chiều [2a] và hệLeray-a ba chiều [24], bằng cách sử dụng điều kiện không nén được V • Y = 0 để biểudiễn các số hạng ứng với thành phần chưa biết thông qua các số hạng ứng với các thànhphần đã biết Tuy nhiên, "chìa khóa" này chưa thể khẳng định luôn dùng được cho mọi

mô hình nói chung và các a-mô hình nói riêng Đó là trong trường hợp bài toán đồng hóa

dữ liệu liên tục, còn theo hiểu biết của chúng tôi bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc vớiphép đo rút gọn cho đến nay vẫn chưa được thiết lập và nghiên cứu

Từ những phân tích trên, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:

• Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với một số a-mô hình trong không gian bachiều

• Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục đối với một số a-mô hình trong không gian bachiều, trong đó chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc

• Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với một số a-mô hình trong không gian bachiều, trong đó chỉ sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc

3 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích của luân án: Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu, cả trong trường hợp

liên tục và trường hợp rời rạc, đối với một số a-mô hình trong cơ học chất lỏng

Đối tương nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất toàn cục và

đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa dữ liệu (gọi là nghiệm xấp xỉ) với nghiệm khảo sát của hệ gốc (nói riêng là

sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát khi thời gian ra vô cùng nếu phép đokhông có sai số), đối với một số a-mô hình trong cơ học chất lỏng.

• Phạm vi nghiên cứu: Trong các mô hình dưới đây v = u — a 2Au Các mô hình đượcxét trên khoảng [t0, to), với điều kiện biên tuần hoàn trên hình hộp ^ = [o, L]3 và điềukiện ban đầu u(t0) = u0 chưa biết

o Nội dung i: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-a ba chiều:

o Nội dung a:Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục chỉ sử dụng phép đo

hóa ba chiều:

rạc: sử dụng phương pháp đề xuất trong [2ĩ] bởi E Titi và các cộng sự

• Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục: sử dụng phương pháp đề xuất trong[5, 2a, 24] bởi E Titi và các cộng sự

5 Kết quả của luân án

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và đánh giá được tiệm cậntheo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát cho bài toán đồnghóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-a ba chiều và hệ Navier-Stokes-a ba chiềutrong trường hợp phép đo có thể có sai số Đặc biệt, khi không có sai số ta thuđược sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát khithời gian tiến tới vô cùng Đây là nội dung chính của Chương 2 và Chương a

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theo tốc độ

mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liêntục đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà chỉ sử dụng phép đo trên haithành phần của vectơ vận tốc Đây là nội dung chính của Chương 4

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theo tốc độ

mũ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát cho cả bài toán đồng hóa dữ liệu liêntục và rời rạc đối với hệ Leray-a cải biên ba chiều mà chỉ sử dụng phép đo trên haithành phần của vectơ vận tốc Đây là nội dung chính của Chương 5

Các kết quả của luận án là những đóng góp có ý nghĩa cho Lí thuyết các phương trình đạo

hàm riêng trong cơ học chất lỏng và Lí thuyết đồng hóa dữliệu; góp phần vào việc hoàn thiện các lí thuyết này và giải quyết một số vấn đề mở đượcnhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm

Các kết quả chính đạt được đã được công bố hoặc đang gửi đăng trên một số tạp chíchuyên ngành quốc tế (xem phần Danh mục công trình khoa học) và đã được báo cáo tạicác hội thảo và seminar khoa học sau:

• Hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 8, Nha Trang, tháng 8/2018;

• Hội nghị nghiên cứu khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các năm 2017 và 2018;

• Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

i4

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận

án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 5 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2 Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-a.

• Chương 3 Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Navier-Stokes-a.

• Chương 4. Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Bardina đơn giản hóa

• Chương 5 Bài toán đồng hóa dữ liệu rút gọn đối với hệ Leray-a cải biên.

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẲN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về các a-mô hình trong

cơ học chất lỏng, toán tử nội suy Ih, tập hút toàn cục, các không gian hàm, toán tử, và cácbất đẳng thức được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận án ở cácchương sau

Một lớp hệ chỉnh hóa phổ biến và thường gặp của hệ Navier-Stokes ba chiều là các a-môhình trong cơ học chất lỏng Các a-mô hình này thu được bằng cách thay v = u — ữ2Au

và thay số hạng phi tuyến (v • V)v trong hệ Navier-Stokes

-7 — VAv + (v • V)v + Vp = f, ơt

V • v = 0,lần lượt bởi (u • V)v, —u X (V X (u — a2 Au)), (u • V)u và (v • V)u Mặc dù xuất phát từmục đích ban đầu là dùng để mô phỏng số cho hệ Navier-Stokes, nhưng các a-mô hìnhcũng đã được chỉ ra là có mối liên hệ giữa các nghiệm của chúng với các dòng chảy hỗnloạn trên các kênh và các đường ống (xem [13]) Về mặt hình thức, trong các a-mô hình

i4

này nếu thay a bằng 0 ta sẽ thu được hệ Navier-Stokes Dưới đây ta liệt kê các a-mô hình

được nghiên cứu trong luận án

Trong tất cả các hệ trên, u = u(x,t) biểu diễn cho vận tốc của dòng chảy, v = u — a2Au và

a > o là một tham số cho trước Ở đây, p là một hàm vô hướng, biểu thị cho áp suất và f làhàm ngoại lực

Trong những năm gần đây, đã có nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm toàncục và dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cụccho các a-mô hình; xem, chẳng hạn, [10, 11, 15, a4, 40, 41, 42, 55] Xin xem thêm bàibáo [aa] về một số a-mô hình quan trọng khác trong cơ học chất lỏng và kết quả toán họcliên quan đến chúng

i4

1.2 Toán tử nôi suy Ih

Trong luận án này ta xét toán tử nội suy Ih là một toán tử tuyến tính thỏa mãn một tronghai trường hợp sau, lần lượt gọi là toán tử nội suy loại I và toán tử nội suy loại II

Trường hợp 1 Ih : H1 (^) ^ L 2 (^) và

IIp — I h(^)IIỈ2(Q) < Yoh2IMlH 1 (Q),V^ e H1 (^)

i4

Trường hợp 2 Ih : H2(^) ^ L2(^) và

IIP - I h (^)IIỈ2 (0) < Y1 h2 IMIH 1(0)+Y2 h4 IMIỈP(0), Vp e h2(^

Dưới đây ta trình bày một số ví dụ về các toán tử nội suy Ih thường gặp (xem thêm trong [2, 5])

Ví dụ 1 (toán tử nội suy Ih loại I): Phép chiếu Fourier

Trên miền L-tuần hoàn ^ = [0, L]3, giả sử hàm ^ có biểu diễn Fourier

Khi đó, ta có thể kiểm tra được

IIP- Ih O^IIL (0) < Yo h2iMiH 1 (0), eH1 (fi)

Ví dụ 2 (toán tử nội suy Ih loại I): Các phần tử thể tích

Chia miền tuần hoàn ^ = [0, L]3 thành các khối lập phương ^k, k = 1, , N, có độ dàicạnh bằng -3^ và thể tích l^k | = Lv Trung bình địa phương của u trên ^k được địnhnghĩa bởi

i4

^IIl2 (0) = L , IMIh^O) = L lk|2|^k|2

i4

Ta xây dựng toán tử nội suy Ih như sau

N

k=1

với h = -3^, XQk (x) là hàm đặc trưng trên ũ k theo nghĩa XQk (x) = 0 với x Ệ ^k và XQk

(x) = 1 với x E ^k ở đây ta giả sử rằng giá trị trung bình của ^ trên mỗi hình lập phươngcon ^k là cho trước Người ta chứng minh được (xem [37]):

11^—ih^yi2(Q) < 3 h2 iiV^yi2 (fi)

Ví dụ 3 (toán tử nội suy Ih loại II): Dựa trên việc sử dụng các đo đạc tại một tập hợp rờirạc các điểm nút

Tương tự như Ví dụ 2, chia miền tuần hoàn ^ = [0,L] 3 thành các khối lập phương ^k, k =

1, , N, có độ dài cạnh bằng -3 ^ và thể tích |^k | = N Giả sử điểm Xj bất kì thuộc Q.j là

điểm mà dữ liệu đo đạc của vận tốc dòng chảy được thu thập Ta định nghĩa toán tử Ih nhưsau

Đinh nghĩa l.l Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một không gian Banach X và một họ

các ánh xạ S(t) : X ^ X, t > o, thỏa mãn:

1) S(o) = I ;

2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s); a) với

mọi t > o, S(t) e C0(X, X);

4) với mọi u e X, ánh xạ t ^ S(t)u thuộc C0((o, +to),X)

Họ các ánh xạ S(t) : X ^ X, t > o thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một nửa

nhóm liên tục trên X Không gian X được gọi là không gian pha (hay không gian trạng

thái)

Đinh nghĩa l.2 Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao bị chăn (gọi tắt là tiêu hao) nếu tồn tại một

tập bị chặn B0 C X sao cho với mọi tập bị chặn B C X, tồn tại T = T(B) > o sao cho S(t)B

C B0, V t > T Tập B0 như vậy được gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).

Đinh nghĩa l.3 Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa

nhóm S(t) nếu:

1) A là một tập compact;

2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > o; a) A hút

mọi tập con bị chặn B của X, tức là

lim dist(S(t)B, A) = o

Định lí dưới đây mô tả cấu trúc của tập hút toàn cục

Đinh lí l.l ([50]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Khi đó A

là hơp của mọi quỹ đạo đầy đủ bị chăn (nói riêng là các điểm dừng và các quỹ đạo tuần hoàn, nếu có, đều nằm trên A)

2l

Kết quả dưới đây chỉ ra rằng các quỹ đạo trên tập hút toàn cục sẽ quyết định các dángđiệu tiệm cận có thể có của các quỹ đạo riêng lẻ, nghĩa là sau một thời điểm đủ lớn, bất kìmột quỹ đạo nào của phương trình gốc trông sẽ giống như một quỹ đạo nào đó trên tậphút trong một khoảng thời gian đủ dài.

Đinh lí 1.2 ([50]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A Cho trước một quỹ đạo u(t) = S(t)u 0 , một sai số £ > 0 và một khoảng thời gian T > 0 Khi đó tồn tại một thời điểm T = T(£, T) và một điểm v 0 e A sao cho

||u(t +t) — S(t)v0II < £ với mọi 0 < t < T.

Trong trường hợp điều kiện biên tuần hoàn, A = — A|d(a) Toán

tử Stokes A là toán tử tuyến tính dương tự

23

liên hợp với nghịch đảo compact Do đó tồn tại một tập hợp các hàm riêng lập thành một

cơ sở trực chuẩn đầy đủ |wj }°= 1 C H, sao cho Awj = Aj wj và

o < A1 ^ A2 < • • • , Aj —y 00 khi j —y 00.Với mỗi m e N, kí hiệu Pm là phép chiếu trực giao từ H lên không gian con

Hm — span|wl, , wm} và Qm — I P m.

3-tuyến tính liên tục từ V x V vào V'

thể được tìm thấy trong [ÖO, Öi] Với u, v, w e V, ta có

(B(uw)VZ,V = — (B(u, w^ v)VZ,V ,

và hệ quả là

Hơn nữa (xem [ÖO, Öi]),

I (B(u,v),w)V, V I < c011u\1/21Au11/21vI\w\, Vu e D(A),v e H, w e V, (i.2)

I (B(u,v),w)V, V I < c3IuI1/2||u||1/2I I v w \ , Vu,v,w e V, (i.a)

I (B(u,v),w)D(A), D(A) I < c4Ịuị\v\\w\1/2IAwI1/2, Vu e H,v e V,w e D(A)

Toán tử B là một toán tử 3-tuyến tính liên tục từ V x V vào V' ,

và từ H x V vào D(Aỵ Nói riêng B thỏa mãn đẳng thức sau (xem

[26]):

2a

< co|u|1/2|u|1/2||v|| IIw|, Vu,v,w G V, (1.10)

< co||u|| IlvI lwl1/2 IIw11/2, Vu,v,w G V (1.11)

Ta cũng có với mọi v G V, u, w G D(A):

+ |Au| Ilv| IIw|1/2|Aw|1/2)

Thật vậy, lấy tích phân từng phần, ta có

< 2||Vu||L3 ||Vw||L6 ||Vv||L2 + ||u||l~ ||Aw||L2 ||Vv||L2

Sử dụng phép nhúng Sobolev H1 (^) ^ L6(Œ), bất đẳng thức Ladyzenskya và bất đẳng thức Agmon trong không gian ba chiều, ta thu được (1.12) từ (1.13) Từ (1.9) và (1.12)

ta có

IB(u, v)IId(A)' < coA- 1/4||u|| |v|, Vu G V, v G H,

(1.7)

V',V25

(1.8)

— 0

(b(u, Av), w^ <

1/2 1Au|1/2IIv| |Aw|

(1.14)

||£>(u, Av)||D(A)/ < 2c0A-1/4|Au| ||v||, Vu G D(A),v G V (1-15)Cuối mục này ta nhắc lại một số bất đẳng thức giữa các không gian hàm, thường xuyên được sử dụng trong luận án.

Ta có các phiên bản sau của bất đẳng thức Poincaré (xem [50, 51]):

và bất đẳng thức Sobolev (xem [50, 51]):

26

thì

Chương 2 BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIÊU RỜI RẠC ĐốI VỚI HÊ LERAY-a

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ Leray-a bachiều, khi phép đo thu được dưới dạng rời rạc theo thời gian và có thể chứa sai số Dướinhững điều kiện thích hợp của hệ số giãn, độ phân giải không gian của phép đo và khoảngcách giữa các lần đo, ta thu được một đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữanghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát tương ứng với các dữ liệu phép đo thu thập được, theomột chuẩn thích hợp Nói riêng, trong trường hợp sai số bằng o, ta có sự hội tụ với tốc độ

mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát

Nội dung của chương này dựa trên công trình [CT1] trong Danh mục công trình khoahọc của tác giả liên quan đến luận án

Trong những năm gần đây, những vấn đề toán học liên quan tới hệ Leray- a, bao gồm

sự tồn tại, tính chính quy của nghiệm, sự hội tụ và dáng điệu của nghiệm theo thời gian đãthu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học [a, 11, 14, 15, 19, 29, 49, 5a] Bài toán đồng hóa

dữ liệu cho hệ Leray-a ba chiều mới đây đã được nghiên cứu trong trường hợp dữ liệu thuthập là liên tục theo thời gian và không có sai số [24]

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một trường hợp mang tính thực tế hơn, khi mà các

dữ liệu thu thập được là rời rạc theo biến thời gian và có thể chứa sai số Dưới đây, ta sẽgiải thích rõ về vấn đề sẽ được nghiên cứu

28

Giả sử rằng sự tiến hóa của u được mô tả bởi hệ Leray-a ba chiều với điều kiện biên tuần hoàn trên miền ^ = [0, L]3:

(2.1)

trên khoảng [t0, ro), với điều kiện ban đầu u(t0) = Uo chưa biết ở đây u = u(x, t) biểu diễncho vận tốc của dòng chảy, v = u — a2Au, V > 0 là hệ số nhớt và a > 0 là một tham số cho

trước, p là một hàm vô hướng biểu thị cho áp suất và f là hàm ngoại lực, với giả thiết f

không phụ thuộc thời gian

Ta giả sử {tn|„eN là một dãy tăng các thời điểm trong [t0, ro) mà tại đó các số liệu được thu thập Ta giả thiết rằng

t n < tn+1, Vn E N và tn ^ ro khi n ^ ro.

Hơn nữa, ta kí hiệu khoảng cách lớn nhất giữa hai lần đo liên tiếp bởi tham số dương K,tức là

|tn+1 — tn | < K, Vn e N

Ta kí hiệu nn là sai số của phép đo tại thời điểm tn Do đó các số liệu đo đạc tại thời điểm tn

được biểu diễn bởi

v(tn) = Pm (v(tn )) + Vn,

trong đó v là nghiệm khảo sát chưa biết của hệ Leray-a ba chiều (2.1), Pm : H ^ span{w1, ,

wm} là phép chiếu trực giao của H lên không gian con Hm = span{w1, , wm} sinh bởi mvectơ riêng đầu tiên của toán tử Stokes A và nn là sai số của phép đo tại thời điểm tn Ta giả

sử {nn }neN bị chặn trong H bởi hằng số E0 Chú ý rằng Pmu(tn) là chưa biết và ta chỉ biếtu(tn)

Bây giờ, dựa trên cách tiếp cận trong [27] ta giới thiệu thuật toán đồng hóa dữ liệu rời rạc nhằm đi tìm một nghiệm xấp xỉ z của nghiệm khảo sát v:

29

VAv + (u • V)v + Vp = f,

V • u = V • v = 0,

(2.2)

Cho trước một dữ liệu ban đau tùy ý z0 E V, ta đi tìm một hàm z thỏa mãn z(t 0) = z0, vớicùng điều kiện biên như của v, và thỏa mãn hệ sau:

đề cập đến trong [27], một ưu điểm của thuật toán này là dữ kiện ban đau z0 của nghiệmxấp xỉ có thể được chon một cách tùy ý

Sử dụng định nghĩa của -ữ(tn) cho ở (2.2) và các toán tử định nghĩa ở Chương 1, ta cóthể viết lại hệ (2.3) dưới dạng tương đương sau

Ta sẽ chỉ ra rằng với moi giá trị ban đau z0 E H, hệ phương trình đồng hóa dữ liệu (2.4) có

duy nhất một nghiệm z xác định trên toàn khoảng [t0, to), và dưới các điều kiện thích hợpcủa !, K, E0 và m, ta sẽ chỉ ra rằng tiệm cận theo thời gian của giới hạn của hiệu giữa

nghiệm xấp xỉ z và nghiệm khảo sát v thỏa mãn ( 2.1) là bị chặn trên bởi tích của giá trịcực đại của các sai số với một hằng số dương Nói riêng, kết quả thu được chỉ ra rằng sẽkhông có sự tích lũy của các sai số theo thời gian Đồng thời, trong trường hợp không cósai số, ta thu được sự hội tụ mũ của z tới v, tương tự như kết quả thu được trong trườnghợp đồng hóa dữ liệu liên tục trong [24]

Vì mục tiêu của chúng ta là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm,

30

(2.3)

nên trong chương này ta giả thiết nghiệm khảo sát v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàncục A của hệ Leray-a ba chiều Tuy vậy, các kết quả này vẫn đúng nếu ta giả thiết rằng v

là một nghiệm của hệ Leray-a ba chiều xuất phát từ v(t0) — v0 G H với t0 đủ lớn sao chođánh giá của v ở (2.7) dưới đây được thỏa mãn, sai khác một hằng số dương Tất cả cáckết quả này vẫn đúng nếu ta giả thiết ngoại lực f G LTO(t0, to; h)

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề sau đối với hệ đồng hóa dữ liệu rời rạc (2.4):

• Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm xấp xỉ (tức là nghiệm của hệ đồng hóa dữliệu (2.4));

• Đánh giá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sát;nói riêng là sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát khi phép đo không cósai số

2.2 Sự tồn tại duy nhất và sự hôi tụ của nghiêm xấp xỉ tới nghiêm khảo sát

Ta viết lại hệ Leray-a ba chiều dưới dạng

dt + vAv + B(u, v) — P f,

với v — u + a2Au, và điều kiện ban đầu v(0) — v0 G H

Trước tiên ta nhắc lại kết quả về tính đặt đúng của hệ Leray-a ba chiều đã được chứng minh trong [15]

Đinh lí 2.1 ([15]) Giả sử f G H và v 0 G H Khi đó hệ Leray-a (2.5) có duy nhất mọt nghiệm toàn cục v thỏa mãn

v G C([to, TO); H) n ¿L(fo, TO; V), dv G ¿foc(to, TO; V') (2.(5)

Hơn nữa, nửa nhóm tương ứng S(t) : H ^ H có một tập hút toàn cục A trong H Hơn nữa, với mọi v G A, ta có

(2.7)al

với Gr = V 2 A - 3 / 4 if i là số Grashof.

31

(2.5)

Sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán giá trị ban đầu đối với hệ đồng hóa

dữ liệu (2.4) được cho bởi định lí sau đây

Đinh lí 2 2 Giả sử z o e H, f e H và v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-a ba chiều Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm z của hệ đồng hóa dữ liệu (2.4) trên khoảng [t o , to) thỏa mãn z(t o ) = z o và

dz

Chứng minh. Xét ho = f — ^(Pm(zo) — 'ũ(to)) Vì zo e H và ho e H, theo Định lí 2.1, tồn tạiduy nhất một nghiệm zo của hệ Leray-a ba chiều trên khoảng [to, to) tương ứng với hàmngoại lực ho và thỏa mãn zo (to) = zo

Khi đó, xét h1 = f — ^(Pm(zo(t1)) — 'ữ(t1 )) e H và lại áp dụng Địnhlí

[t1, to) tương ứng với hàm ngoại lực h1 và thỏa mãn z1 (t1) = vo(t1 ) e H

Tiếp tục thực hiện theo quy nạp, ta có với mọi n e N tồn tại duy nhất một nghiệm zn

của hệ Leray-a ba chiều trên khoảng [tn, to) tương ứng với hàm ngoại lực hn = f — ^(Pmz

Để chứng minh tính duy nhất nghiệm, giả sử rằng z là một nghiệm khác của

(2.4) trên khoảng [to, ro) thỏa mãn z(to) = zo Suy ra z|[to tl) là một nghiệm của hệLeray-a trên [to, ti) tương ứng với ngoại lực h0 thỏa mãn z|[to tl)(to) = zo = z|

[to,ti)(to), do đó z|[to,ti) = z|[to,ti) Nhưng vì z,z e C([to, ro); H) nên chúng phải

trùng nhau trên khoảng đóng [to,t1 ] Khi đó, ta có thể áp dụng lại lập luận nàytrên khoảng tiếp theo [t1,t2) và tiến hành quy nạp cho mọi khoảng con [tn, tn+ 1),

Đặt

Bh (Mo):= {z e H : |z| < Mo}

Định lí sau đây là kết quả chính của chương này

Đinh lí 2.3 Giả sử v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệ Leray-a ba chiều và giả sử M o là hằng số dương trong đánh (giá nghiệm v cho ở (2.7) Xét z o E

B H (M o ) và giả sử z là nghiệm duy nhất của hệ đồng hóa dữ liệu (2.4) trên khoảng [t o , ro) thỏa mãn z(t o ) = z o Giả sử rằng IneN là một dãy bị chăn trong H, tức là tồn tại một hằng

lim sup |z(t) — v(t)| < eE0.t—— ^TO

Hơn nữa, nếu E 0 = 0 thì z(t) — v(t) trong H, với tốc đọ mũ, khi t —— TO.

ở đây, hằng số c 0 cho ở ( 1 2 ) và e là mọt hằng số dương không phụ thuộc vào các tham số của hệ.

Chứng minh. Kí hiệu ơ = w — u, ỏ = z — v với z = w + a2Aw, v = u + a2Au, suy ra ỏ = ơ+ a2Aơ Lấy (2.4) trừ (2.5) ta thu được

-^ỏ + vAỏ + B (ơ, ỏ ) + B (ơ, v) + B (u, ỏ) dt

ở đó ta đã sử dụng đẳng thức

B(w, z) — B (u, v) = B (ơ, ỏ) + B(ơ, v) + B (u, ỏ)

Nhân (2.13) với ỏ rồi lấy tích phân trên ^ và sử dụng tính chất (1.1) ta có

< — mIỏ'|2 + T^-l^l2 < —Mi^i2 + 8yỏll2.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết (2.9), ta có

Mi(nn ,<S)| < Minn ||ỉ i < MEo |<S| < M Eo2 + M |á|2 (2.17)

Hơn nữa,

Mi(Pm(^(tn) — ố(t)),ố(t))| < Mi(^(tn) — ¿(t),PmÆ(t))|

dố(s)ds,Pmố(t)

I0 H

í' i M.

ỉií(t)ii

v '

ds ||ố(t)|| 2

ds) + 4 !l^(t)H2 (2.18)dố,

dĩ(s)

r I

Từ (2.la) ta thu được

< V||ố(s)|| + ||B(ơ-,ố)||v' + l|B(ơ,v)||v' + l|B(u,ố)||v'

Hdn ntfa, stf dung bat dang thtfc Poincare (1.16) va (2.9), ta co

^||Pm (i(tn ) — i(s))||v' + ^||Pm (i(s))||v' + ^ll^n ||V ' di

r ()d

l dT(T)dT

t, n

+ ^lli ( s )llv' + ^ll^n IIV'V'

'>s di, x

dT(T) dT + ^A- 1/2 |i(s)| + ^A- 1/2 Eq

V'n

Thay cac danh gia tti (2.20) den (2.23) vao trong (2.19), ta suy ra

f di(s) ds < i (v||i(s)H + M - 1/2 +2 -1/4Cqa-3/2 (|i| + 2Mq) |5(s)|^ ds Jin ds V' Jt n ^

a4

Thay đánh giá (2.15) vào (2.18) và (2.24) vào (2.14), ta nhận được

|ỏ(to)| < |z(to)| + |v(to)| < 2Mo < R, tồn

tại T G (t0, to) sao cho

hay nói riêng, ta có

ta suy ra từ (2.26) rằng với mọi í £ [t0, ỉ:

(2.32)

Hơn nữa, sử dụng bất đẳng thức Poincaré (1.17), từ (2.29) ta suy ra

p(s) < (v2 + ụ2Ạ-2 + -0a-3Ạ-1 (E2 + M0 )) ||í(s)||2.Thế (2.31) vào (2.32) ta có

dí lí | 2 + (VẠ1 + f)| í I2

< ụ - 2 ^ (v2 + ụ2Ạ-2 + cỌq 3Ạ- 1 (Eg + Mọ2 )) ( |í(t )| 2 + E2)

+ ụ(1 + S)

ES-(2.33)

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall cho (2.33) trong [t0,t],t < í, ta nhận được |ố(t)|2 < |ố(to)|2e-

|ố(t)|2 < R2e-(vAl +M/2)(t-to) + (1 — e -(v ^ 1 +m/2)(í-ío^ (71R2 + y2E + 2E2)

Sử dụng điều kiện của K cho ở (2.12) với hằng số c thích hợp, ta có Y1+Y2 < 1/2, dẫntới

Y 1R2 + Y2E2 + 2E^ < R2.Suy ra

|ố(t)| < R, Vt £ [to,í]

Nói riêng, |ố(í)| < R và từ định nghĩa của ĩ trong (2.27) ta suy ra ĩ > t1 Do đó, ta cũng có

|ố(t1 )| < R và có thể áp dụng lại lập luận như trên để thu được ĩ > t2 và |ố(t2)| < R Tiếptục bằng quy nạp, ta có ĩ > tn, với mọi n > 0 Hơn nữa, ta thu được giống như ở (2.34)rằng