Luận văn Thạc sĩ Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ Số hiệu 1.1 Mạch kiến thức PT, HPT, BPT trong chương trình SGK môn 1.4 Các kỹ năng cần thiết để HS có thể giải được bài toán hình học và lượng giác bằng cách s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

HOÀNG THỊ HOA

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HẢI PHÒNG – 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

HOÀNG THỊ HOA

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CHUYÊN NGÀNH : LL & PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

HẢI PHÒNG – 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan luận văn “Rèn luyện kỹ năng sử dụng PT, HPT, BPT cho học sinh THPT trong dạy học giải bài toán hình học và lượng giác” là công trình nghiên cứu của riêng tác giả Các kết quả nghiên cứu và các số liệu nêu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác trước đó

Hải Phòng, ngày 30 tháng 9 năm 2018

Tác giả luận văn

Hoàng Thị Hoa

LỜI CẢM ƠN

Tác giả luận văn xin bày tỏ tình thầy trò sâu sắc và biết ơn tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn đã hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để luận văn sớm hoàn thành

Tác giả trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, ban chủ nhiệm Khoa Toán, các phòng ban chức năng và các đồng nghiệp trong Trường Đại học Hải Phòng đã cho phép, tạo điều kiện và động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu

Trân trọng cảm ơn các nhà khoa học, các bạn đồng nghiệp, các em học sinh

và các thầy cô giáo ở trường phổ thông đã giúp đỡ và cộng tác với tôi trong quá trình điều tra, đánh giá và thực nghiệm khoa học các vấn đề liên quan đến đề tài luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Khoa Toán, các phòng ban chức năng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong các thủ tục để hoàn thiện luận văn này

Hải phòng, ngày 30 tháng 9 năm 2018

Tác giả

Hoàng Thị Hoa

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ vi

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Một số vấn đề lý luận về kĩ năng và việc rèn luyện kĩ năng trong dạy học Toán5 1.1.1 Khái niệm kĩ năng và việc hình thành kĩ năng 5

1.1.2 Kĩ năng giải toán 7

1.2 Nội dung và vai trò của chủ đề nội dung PT, HPT, BPT trong môn Toán THPT .10

1.2.1 Mạch kiến thức PT, HPT, BPT được đưa vào chương trình SGK môn Toán THPT 10

1.2.2 Vai trò ý nghĩa của PT, HPT, BPT trong môn Toán ở trường phổ thông 19

1.2.3 Một số dạng bài toán hình học, lượng giác hiện nay trong chương trình sách giáo khoa THPT 21

1.3 Những kỹ năng giải bài toán hình học, lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT và biểu hiện ở HS .22

1.4 Thực trạng tình hình dạy học giải bài toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT 25

1.5 Kết luận chương 1 31

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG PT, HPT, BPT CHO HS THPT TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC 32

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp 32

2.1.1 Các biện pháp đưa ra phải phù hợp với lý luận và thực tiễn 32

2.1.2 Các biện pháp đề xuất cần làm rõ mối quan hệ - lợi ích - tác dụng của công cụ PT, HPT, BPT khi giải bài toán hình học, lượng giác .32

2.1.3 Giúp phân loại, bổ sung hệ thống các bài toán Hình học, Lượng giác có sử dụng PT, BPT, HPT .33

2.1.4 Góp phần làm rõ và khắc phục những khó khăn sai lầm thường gặp ở HS khi

giải các bài toán hình học và lượng giác bằng công cụ của PT, BPT, HPT 33

2.2 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng phương trình, hệ phương trình, bất phương trình cho học sinh THPT trong dạy học giải bài toán hình học và lượng giác 34

2.2.1 Biện pháp 1: Phân tích làm rõ vai trò của công cụ PT, HPT, BPT để giải bài tập hình học và lượng giác trong quá trình dạy học môn Toán THPT 34

2.2.2 Biện pháp 2: Phân loại một số dạng toán hình học - lượng giác có sử dụng công cụ PT, HPT, BPT và dạy các bước sử dụng PT, HPT, BPT để giải từng loại 40

2.2.3 Biện pháp 3: Tìm hiểu, sử dụng một số tình huống có chứa sai lầm khó khăn của học sinh khi giải bài toán hình học - lượng giác bằng sử dụng công cụ PT, HPT, BPT để giúp HS phát hiện, sửa chữa .66

2.3 Sử dụng các biện pháp sư phạm trong dạy học giải bài toán hình học và lượng giác có sử dụng công cụ PT, HPT, BPT 74

2.4 Kết luận chương 2 85

CHƯƠNG 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Error! Bookmark not defined 3.1 Mục đích thực nghiệm 86

3.2 Nội dung thực nghiệm 86

3.3 Tổ chức thực nghiệm 87

3.3.1 Về quy trình thực nghiệm 87

3.3.2 Cách thức triển khai nội dung thực nghiệm 87

3.3.3 Phương pháp đánh giá kết quả của các đợt thực nghiệm 88

3.4 Kết quả thực nghiệm 89

3.4.1 Nội dung 1 89

3.4.2 Nội dung 2 94

3.5 Kết luận thực nghiệm 94

3.6 Kết luận chương 3 95

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 86

1 Kết luận 96

2 Một số đề nghị sau nghiên cứu 96

Tài liệu tham khảo 97

Phụ lục 99

DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU ĐỒ

Số hiệu

1.1 Mạch kiến thức PT, HPT, BPT trong chương trình SGK môn

1.4 Các kỹ năng cần thiết để HS có thể giải được bài toán hình học

và lượng giác bằng cách sử dụng công cụ PT, HPT, BPT 23 1.5 Vai trò của dạy học giải các bài toán hình học - lượng giác bằng

1.6 Các yếu tố ảnh hưởng tích cực đến quá trình cho việc dạy học

giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT,

BPT

27

1.7 Các yếu tố ảnh hưởng không tốt trong quá trình dạy học giải các

bài toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT 28 1.8 Kết quả khảo sát ý kiến của GV về các kĩ năng cần có của học

sinh THPT khi giải các bài toán hình học lượng giác bằng sử

dụng PT, HPT, BPT

29

2.1 Những khó khăn, sai lầm của HS khi thực hiện giải bài toán hình

học, lượng giác có sử dụng công cụ PT, HPT, BPT 68 3.1 Thống kê số điểm bài kiểm tra lớp TN và lớp ĐC 91 3.2 Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra của lớp TN và ĐC 91 3.3 Biểu đồ cột so sánh kết quả học tập của lớp TN và ĐC 91 3.4 Thống kê số điểm bài kiểm tra lớp TN và lớp ĐC 93 3.5 Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra của lớp TN và ĐC 94 3.6

Biểu đồ cột so sánh kết quả học tập của lớp TN và ĐC 94

Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khóa VII đã chỉ rõ nhiệm vụ quan trọng của ngành Giáo dục và Đào tạo là “Phải khuyến khích học sinh tự học, phải áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.” Với mục tiêu

đó thì đổi mới phương pháp dạy và học giáo dục diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học và cấp học Do vậy, bản thân mỗi giáo viên cũng cần hiểu rõ những thay đổi đó

để phát huy năng lực dạy học của mình, phù hợp với công cuộc đổi mới CNTT 4.0

Tầm quan trọng của giáo dục và đào tạo trong sự nghiệp của dân tộc đặt lên vai đội ngũ những người làm công tác giáo dục nhiều trách nhiệm nặng nề Đặc biệt trong dạy học ở trường THPT, môn Toán được coi là một trong những môn học công cụ giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic cho học sinh.Việc học tập môn Toán được diễn ra trong nhà trường phổ thông chủ yếu là hoạt động giải toán Trong quá trình đi tìm tòi lời giải cho bài toán và trình bày lời giải đó, học sinh thường mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai lầm từ đâu giáo viên chưa nhấn mạnh đến việc khắc phục sai lầm và rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh Trên thực tế

số lượng các bài tập của từng chương, từng chuyên đề cũng rất nhiều Trong quá

trình học tập học sinh không thể giải từng bài một mà phải học các dạng bài tập lớn, mỗi dạng bài tập lớn đó đều có phương pháp và kĩ năng giải khác nhau, trong đó

PT, HPT, BPT là nội dung quan trọng trong môn Toán, giúp cho học sinh giải quyết được nhiều bài toán, trong đó có các bài tập hình học và lượng giác Nhiệm vụ của mỗi giáo viên là phải tổng hợp kiến thức, phân dạng bài tập và đưa ra phương pháp chung để giải các dạng bài tập này

Thực tiễn dạy học Toán hiện nay ở trường THPT cho thấy GV chưa nắm vững và khai thác tốt mối quan hệ giữa Đại số và Hình học, Lượng giác Đặc biệt là việc sử dụng PT, HPT, BPT trong dạy học để giải những bài toán Hình học và Lượng giác Mặc dù trong chương trình toán ở bậc trung học đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình cùng các phương pháp giải Tuy nhiên, các dạng toán sử dụng phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vào giải một số bài toán hình học và lượng giác chưa được

đề cập thành một chuyên đề trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo dành cho học sinh trung học cũng chưa có, mà nó chỉ nằm rải rác trong chương trình toán phổ thông Chính vì vậy, giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi gặp rất nhiều khó khăn, lúng túng khi dạy đến chuyên đề này và thường lướt qua bằng một số ví dụ minh họa chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các bài toán này

Mặt khác, yêu cầu đổi mới nội dung và cách thức kiểm tra đánh giá hiện nay dẫn đến việc giáo viên cần chú trọng phát triển năng lực và kỹ năng giải bài toán Hình học, Lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT cho học sinh THPT

Là một giáo viên trung học phổ thông, thực hiện phong trào đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy năng lực người học, mặt khác bản thân rất tâm đắc với vấn đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán hình học lượng giác bằng sử dụng PT, BPT, HPT Xuất phát từ tất cả những lý do trên, tôi lựa chọn vấn

đề nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng sử dụng PT, HPT, BPT cho học sinh THPT trong dạy học giải bài toán hình học và lượng giác”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng biện pháp dạy học để rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng kiến thức về PT, HPT, BPT để giải một số bài toán hình học và lượng giác ở trường THPT, góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung này

3 Khách thể nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy học lượng giác và hình học cho học sinh ở trường THPT 3.2 Đối tượng nghiên cứu

Kỹ năng giải bài toán hình học, lượng giác bằng sử dụng phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ở trường THPT và biện pháp rèn luyện kỹ năng này cho HS

3.3 Phạm vi nghiên cứu

Xây dựng những biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng PT, HPT, BPT cho học sinh THPT trong dạy học giải bài toán hình học và lượng giác

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được những biện pháp dạy học tác động đến những thành phần của kỹ năng sử dụng PT, HPT, BPT để giải một số bài toán hình học và lượng giác thì sẽ rèn luyện được kỹ năng này cho học sinh THPT, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học giải toán bằng cách công cụ PT, HPT, BPT ở trường phổ thông

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng và việc rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán

- Tìm hiểu mối liên hệ giữa công cụ PT, HPT, BPT với bài toán hình học và lượng giác

- Điều tra thực trạng dạy và học, kỹ năng của HS khi giải bài toán hình học

và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT ở trường THPT

- Xác định, lựa chọn một số kỹ năng cần thiết để HS giải bài toán hình học, lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT

- Xây dựng những biện pháp dạy học nội dung này nhằm rèn luyện cho HS những kỹ năng đã chỉ ra

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tài liệu (sách, giáo trình, bài báo, .) về PPDH Toán phương pháp luận nghiên cứu khoa học, về Tâm lý học, Giáo dục học, Triết học, liên quan đến kỹ năng và biện pháp rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán, mối liên hệ giữa Đại số, Hình học, Lượng giác trong toán học và những biểu hiện trong chương trình SGK môn Toán phổ thông, các phương pháp sử dụng PT, HPT, BPT để giải bài toán hình học và lượng giác ở trường THPT

6.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

+ Phương pháp điều tra quan sát:

Tìm hiểu thực trạng của dạy học PT, HPT, BPT, nói riêng là dạy giải bài toán bằng công cụ PT, HPT, BPT ở trường phổ thông trung học, thăm dò thái độ của giáo viên và học sinh sau khi thực nghiệm ứng dụng của các biện pháp này

Tiến hành dự giờ, quan sát việc dạy và học giải bài toán hình học, lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT ở một số trường THPT thuộc địa bàn

+ Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia về các vấn

đề cần nghiên cứu

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Kiểm nghiệm tính khả thi và chỉnh lý nhằm hoàn thiện các biện pháp đưa ra, xử lý kết quả điều tra bước đầu đánh giá kết quả thu được

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, đề tài dự kiến được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng sử dụng PT, HPT, BPT cho học sinh THPT trong dạy học giải bài toán hình học và lượng giác

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề lý luận về kĩ năng và việc rèn luyện kĩ năng trong dạy học Toán

1.1.1 Khái niệm kĩ năng và việc hình thành kĩ năng

1.1.1.1 Khái niệm kĩ năng

Theo tác giả Nguyễn Minh Hạc: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [9, tr.149]

Theo tác giả Hoàng Phê: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [23, tr.426]

Theo giáo trình tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm thì ‘’ Kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp để giải quyết một nhiệm vụ mới’’ [10, tr.131]

Từ các định nghĩa trên, tôi thấy tuy nội dung các định nghĩa không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều thể hiện những điểm chung sau đây:

- Kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, định lý, tính chất, cách thức, phương pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

- Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã định Cơ sở của kĩ năng là kiến thức, người có kĩ năng thực hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm

và những kiến thức đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể, phải biết tri thức một cách đúng đắn và hợp lý, phù hợp với mục tiêu của hành động

- Trong thực tế dạy học, HS thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ) vào giải quyết các bài tập cụ thể Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện ra những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kĩ năng

1.1.1.2 Sự hình thành kĩ năng

Để hình thành kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu đặt ra Do kiến thức là cơ sở của kĩ năng cho nên tùy theo kiến thức mà học sinh cần nắm được mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các yếu tố như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn kĩ năng, mức độ chủ động tích cực của học sinh Có hai con đường hình thành kĩ năng cho học sinh đó là:

- Truyền thụ cho HS những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho HS những bài toán vận dụng tri thức đó Từ đó, HS sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những thủ thuật biến đổi

- Dạy cho HS nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối sáng tạo đó vào từng bài toán cụ thể

Khi giúp HS hình thành kĩ năng, GV cần tiến hành các hoạt động:

- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải những bài toán cùng dạng

- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tồng quát và kiến thức tương ứng

- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng

- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kĩ năng, vì vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kĩ năng

1.1.1.3 Điều kiện để có kĩ năng

Muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần:

- Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đạt được kết quả

- Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó

- Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra

- Có thể hành động một cách hiệu quả trong những điều kiện khác nhau

- Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải cần thời gian đủ dài

1.1.2 Kĩ năng giải toán

1.1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán

Theo quan niệm của tác giả Hoàng Chúng: “Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán (bằng tìm tòi, suy luận, chứng minh)” [5, tr.12]

Theo G.Polya: “Kĩ năng giải toán là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được

Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn” [8, tr.99]

Có thể hiểu, kĩ năng giải toán là cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bài toán cần giải về dạng tương đương đơn giản Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách cho học sinh Khi học môn Toán, kĩ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt cần thiết, bởi vì nếu không có kĩ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kĩ năng giải toán: + Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải xong HS tự rút ra những quy tắc cho riêng mình Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

+ Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về những kĩ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao

độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

Kiến thức và kĩ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn kĩ năng thực hiện một loạt loại hoạt động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc Ngược lại, việc rèn luyện kĩ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố

và mở rộng kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn

Vị trí của bài tập toán trong dạy và học toán: Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài toán ở phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định tới chất lượng dạy học toán Trong thực tiễn dạy học bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để củng cố hoặc để kiểm tra Như vậy, việc dạy giải một bài tập cụ thể, thường không chỉ nhằm vào dụng ý đơn nhất nào đó, mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu

1.1.2.2 Vai trò của kĩ năng giải toán

Việc rèn luyện kĩ năng hoạt động nói chung, kĩ năng toán học nói riêng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái niệm, định nghĩa, định

lý mà học sinh không thực sự nắm được bản chất của các phát biểu đó nên không biết vận dụng hay vận dụng không thành thạo vào việc giải bài tập Có thể nói, bài tập toán chính là “chìa khóa” để rèn luyện kĩ năng giải toán Do đó, để rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt động giải toán

1.1.2.3 Các mức độ của kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:

- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu

- Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo

1.1.2.4 Những kỹ năng liên quan đến đến quá trình giải bài tập toán

Trong dạy học giải toán cho HS, cần chú ý đến những kỹ năng sau đây:

- Phân tích cấu trúc (giả thiết, kết luận) để nhận dạng bài toán, đưa về dạng quen thuộc;

- Nhận dạng và thể hiện khái niệm, định lý, quy tắc - phương pháp trong quá trình giải bài toán;

- Tìm ra đường lối, hướng giải bài toán;

- Thực hiện các bước giải bài toán;

- Kiểm tra lại quá trình giải bài toán để phát hiện những sai sót và chỉnh sửa, hoàn thiện lời giải;

- Nghiên cứu sâu lời giải để mở rộng bài toán, tìm cách giải khác,

Chẳng hạn, xét bài toán "Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC

thỏa mãn hệ thức tan sin

tan sin

C = C thì tam giác ABC vuông hoặc cân" Xuất phát từ chỗ quan sát thấy vai trò của các góc B và C bình đẳng với nhau trong đẳng thức đã cho, ta có thể dự đoán rằng: nếu tam giác ABC là tam giác cân thì B = C; còn nếu tam giác ABC vuông thì phải vuông ở A, bởi vì, nếu vuông ở B thì do vai trò của B

và C như nhau, cũng sẽ vuông ở C, đó là điều vô lí Như vậy, ta đã định hướng mục tiêu của phép chứng minh là B = C hoặc A = 90°

Xét một ví dụ khác, học sinh được học về đẳng thức tam giác giữa các vecto:

"Với bất kì ba điểm A, B, C ta luôn có AB BC+ =AC









Học sinh vận dụng một cách không khó khăn theo chiều thuận, chẳng hạn, để tính tổng

AB+BC+CD+DE+EF















đối với đa giác ABCDEF Nhưng nếu giáo viên không chú ý rèn luyện cho học sinh sử dụng đẳng thức tam giác trên theo chiều ngược thì

nhiều học sinh sẽ lúng túng khi giải bài toán "Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng

đó cộng theo từng vế rồi giản ước

1.2 Nội dung và vai trò của chủ đề nội dung PT, HPT, BPT trong môn Toán THPT

1.2.1 Mạch kiến thức PT, HPT, BPT trong chương trình SGK môn Toán phổ thông được tôi hệ thống trong bảng 1.1 sau đây:

Bảng 1.1 Mạch kiến thức PT, HPT, BPT trong chương trình SGK

môn Toán phổ thông Chương

- Dạng bài toán giải có lời văn

Ví dụ: Có 10 cây cam và 8 cây

chanh Hỏi có tất cả bao nhiêu

cây?

- Mức độ yêu cầu thấp

- Chưa xuất hiện yếu tố lượng giác

- Yếu tố hình học: Nhận biết hình tam giác , hình vuông, hình tròn, đo độ dài đoạn thẳng…

- Xuất hiện yếu tố PT trong tìm lời giải của các bài toán hình học:

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AC có B nằm trên đoạn thẳng AC biết AB = 8cm, BC= 6cm Hỏi độ dài đoạn thẳng AC bằng bao nhiêu?

8cm 6cm

A B C ?cm

Độ dài đoạn thẳng AC= 8 + 6 = 14cm

Lớp 2

- Tìm ẩn x

Ở lớp 2 HS được làm quen và mở

rộng các bài toán về phép tính

nhân và chia và yếu tố PT được

- Chưa xuất hiện yếu tố lượng giác

- Yếu tố hình học: Nhận biết thêm hình tứ giác, hình chữ nhật, đường thẳng, 3 điểm thẳng hàng, đường gấp khúc…

thể hiện dưới dạng: A.X=B;

A:X=B

Ví dụ: Nam có 10 viên bi, Bảo có

nhiều hơn Nam 5 viên bi Hỏi

Bảo có bao nhiêu viên bi?

- Xuất hiện yếu tố PT trong tìm lời giải của các bài toán hình học:

Ví dụ: Cho tam giác ABC hãy đo độ dài ba cạnh Tính chu vi tam giác đó?

A 4cm 6cm

B C 8cm

Khi đó chu vi tam giác ABC bằng:

AB + BC + CA = 4+ 8 + 6 =18cm

Lớp 3

- Giải bài toán có 2 bước tính với

các mối liên hệ trực tiếp và đơn

giản Bài toán cũng chỉ thể hiện

dưới dạng ẩn thông qua các PT

bậc nhất một ẩn dạng: A.X=B;

A:X=B; A+X=B; A-X=B

- Bài toán nâng dần độ khó và

mở rộng theo từng lớp:

Ví dụ: Thùng thứ nhất đựng 18 lít

dầu, thùng thứ hai đựng nhiều

hơn thùng thứ nhất 6 lít dầu Hỏi

cả 2 thùng đựng bao nhiêu lít

dầu?

- Chưa xuất hiện yếu tố lượng giác

- Yếu tố hình học: Nhận biết đặc điểm một

số hình, quan hệ vuông góc, không vuông góc, tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông…

- Xuất hiện yếu tố PT trong tìm lời giải của các bài toán hình học:

Ví dụ: Cho hình tam giác ABC, có

AB = 4m, AC = 6m, chu vi hình tam giác là 14m Tìm độ dài cạnh AC?

Lớp 4

- Giải các bài toán có hai đến ba

bước tính có sử dụng phân số

- Giải các bài toán liên quan đến:

Tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu

và tỉ số của chúng, tìm hai số khi

biết tổng và hiệu, tìm số trung

bình cộng

* Đối với bài toán: Tìm hai số khi

biết tổng và hiệu của hai số đó

Yếu tố HPT được thể hiện:

được 600 cây Lớp 4A trồng được

ít hơn lớp 4B là 50 cây Hỏi mỗi

lớp trông được bao nhiêu cây?

* Đối với bài toán: Tìm hai số khi

biết tổng và tỉ (hiệu và tỉ) của hai

- Chưa xuất hiện yếu tố lượng giác

- Yếu tố hình học: Nhận biết thêm về góc nhọn, bẹt, tù Nhận biết hai đường thẳng vuông góc, song song Tính chu vi diện tích hình thoi, hình bình hành…

Xuất hiện yếu tố PT trong tìm lời giải của các bài toán hình học:

Ví dụ: Quãng đường từ nhà An đến trường học dài 840m gồm hai đoạn đường (như hình vẽ), đoạn đường từ nhà An (A) đến hiệu sách (B) bằng 3

5 đoạn đường từ hiệu sách đến trường học (C) Tính độ dài mỗi đoạn đường đó

840 m

A B C Hướng dẫn:

Gọi đoạn đường từ A đến B là x(m) Theo như đầu bài, ta tìm được:

+ Mối liên hệ giữa quãng đường từ nhà An, hiệu sách, trường học như sau:

Quãng đường B đến C bằng 840 – x (m) + Đoạn đường từ A đến B bằng 3

2 Các bài toán đơn giản về

chuyển động đều, chuyển động

cùng chiều và chuyển động ngược

chiều: tìm vận tốc, thời gian,

quãng đường

Ví dụ: Một máy bay bay được

1800 km trong 2,5 giờ Tính vận

tốc của máy bay

- Chưa xuất hiện yếu tố lượng giác

- Yếu tố hình học: Nhận biết và biết chu vi, diện tích hình thang hình tròn

- Bước đầu nhận biết hình học không gian như: hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình trụ, hình cầu…

Xuất hiện yếu tố PT trong tìm lời giải của các bài toán hình học:

Ví dụ: Cho tam giác MNP, F là điểm chính giữa cạnh NP E là điểm chính giữa cạnh

MN Hai đoạn MF và PE cắt nhau tại I

Hãy tính diện tích tam giác IMN? Biết SMNP = 180 cm2

Lời giải:

2 SMNE = SPMF (Vì có cùng chiều cao hạ từ M xuống NP, mà SINF = SIFP (vì có cùng chiều cao hạ từ I xuống NP, đáy FN = FP)

Do đó SIMN = SIMP (Giải thích như trên)

Lớp 6,7

1 PT được ẩn thông qua “Tính

chất của dãy tỉ số bằng nhau”:

Đặc biệt là các bài toán liên quan đến tìm số

đo các cạnh, chu vi, diện tích tam giác, tứ giác, ngày càng xuất hiện nhiều hơn

Ví dụ: Biết các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2:3:4 và chu vi của nó là 45cm Tính các cạnh của tam giác đó

Hướng dẫn:

Gọi độ dài các cạnh của tam giác lần lượt là

x, y, z cm Biết các cạnh tỉ lệ với 2:3:4 nên ta có

x y z

= =

Theo đề bài cho chu vi tam giác là 45 cm nên ta lại lập được PT: x + y + z = 45

Từ mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác

3 PT chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Xuất hiện PT một ẩn trong hình học

Ví dụ: Viết PT ẩn x rồi tính x (mét) trong hình sau đây (S là diện tích )

x 2m

S = chiều dài x chiều rộng Từ đó ta có: 9( x + x +2) = 144

1 PT bậc nhất đối với sinx, cosx, tanx

2 PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác: at2+bt+ =c 0 (a≠0)

Trong đó a, b, c là các hằng số ( a ≠ 0) và t

là một trong các hàm số lượng giác

Ví dụ: 2 sin2x+3sinx−2=0

x x

a

+ = −

3 PT bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c Đưa về PT bâc 2 ẩn t bằng phương pháp đặt

5 Giải bài toán hình học liên qua đến đường tròn, hình trụ, hình nón bằng cách lập PT, HPT

4 PT, BPT chứa ấn dưới dấu căn,

chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối

5 HPT bậc nhất nhiều ẩn

1 Áp dụng lượng giác: định lý sin ,cosin… vào việc giải tam giác, diện tích tam giác

2 Công thức lượng giác

3 PT không chỉ có trong lượng giác mà nó còn có mối liên hệ chặt chẽ với hình học thông qua các bài toán về PT đường thẳng trong mặt phẳng:

+ PT tham số của đường thẳng:

+ PT đường tròn có tâm và bán kính cho trước trong mặt phẳng:

2 2 2(x a− ) +(y b− ) =R Với tâm I (a; b), bán kính R + PT tiếp tuyến của đường tròn:

(x0– a)( x – x0) + (y0–b)(y – y0) = 0 Với tâm I (a; b), bán kính R

+ PT chính tắc của elip x22 y22 1

a +b =

Ví dụ: Lập PT tham số của đường thẳng d

đi qua điểm M (2;1) và có vecto chỉ phương (3; 4)

u =

Hướng dẫn: Áp dụng công thức

x= 2 3( ) :

y=1 4

td

t

+



+

t =

4 PT đẳng cấp bậc 2, bậc 3

1 PT không chỉ có trong lượng giác mà nó còn có mối liên hệ chặt chẽ với hình học thông qua các bài toán về phép biến hình, bài toán về góc và khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa hai mặt phẳng…

2 Mối quan hệ giữa hình học và lượng giác cũng thể hiện rất sâu sắc

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và

AD, MN = a 3 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Lời giải:

2a

a 3

I N

M

C

A

5 PT đối xứng với sinx và cosx

6 Một vài PT lượng giác khác

Hình 1.2 Gọi I là trung điểm của BD

2 Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa và lượng giác hóa

3 Viết PT đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz như sau:

+ PT tổng quát của mặt phẳng:

A( x – x0) + B(y – y0) + C (z – z0) = 0 Trong đó, mặt phẳng đi qua điểm

M (x0; y0;z0) và nhậnn=( ; ; )A B C

+ PT chính tắc của đường thẳng + PT chính tắc của mặt cầu, hình cầu

1.2.2 Vai trò ý nghĩa của PT, HPT, BPT trong môn Toán ở trường phổ thông 1.2.2.1 Vai trò vị trí và ý nghĩa của PT, HPT, BPT đối với môn Toán

Chủ đề về PT, HPT, BPT có vị trí quan trọng trong chương trình toán phổ thông Kiến thức và kĩ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về PH, HPT, BPT còn là chìa khóa đề giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các lĩnh vực Đại số, Giải tích, Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề PT, BPT, việc rèn luyện các kĩ năng giải PT, BPT, HPT có ý nghĩa nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường PT

1.2.2.2 Vai trò vị trí và ý nghĩa của PT, HPT, BPT đối với Đại số

Là một trong bốn nội dung quan trọng của chương trình toán phổ thông Dạy nội dung này giúp nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới quan Đó là những mối quan hệ số lượng như: quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng, hai số lượng PT, BPT, HPT được coi như đóng vai trò đắc lực và sử dụng phổ biến nhất trong Toán học vì chỉ cần học xong chương trình cấp hai ta đã có thể có kĩ năng giải phương trình bậc hai ứng dụng trong đời sống Phương trình, BPT, HPT cũng là lý thuyết trọng tâm của Đại số và

có thể nói không có phương trình thì không có Đại số

1.2.2.3 Mối liên hệ giữa công cụ PT, HPT, BPT với bài toán hình học và lượng giác Chủ đề PT, HPT, BPT đóng vai trò rất quan trọng trong dạy học hình học, giúp các bài toán hình học được giải quyết một cách đơn giản nhờ việc lập ra được các đại lượng liên quan tạo ra được những PT, HPT, BPT như: PT đường thẳng, PT đường tròn, Elíp, đường Côníc, PT đường thẳng trong không gian, PT mặt phẳng…

Trong dạy học Lượng giác, chủ đề PT, HPT, BPT được xuất hiện tường minh trong chương các dạng PT lượng giác thường gặp: PT bậc nhất đối với sinx, cosx, tanx; PT bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, PT thuần nhất đối với sinx, cosx, Đối với các PT lượng giác hầu hết ta đều dùng phương pháp đạt ẩn phụ để đưa PT, HPT lượng giác cần giải về PT bậc nhất, PT bậc hai, PT trùng phương, PT tích của các PT bậc nhất hoặc bậc hai

Các dạng bài toán giải tam giác cũng xuất hiện rải rác trong chương Hàm số lượng giác, các bài toán giải tam giác xuất hiện trong hình học sử dụng công cụ của

PT, BPT, HPT rất hữu hiệu

Các bài toán hình học không gian lớp 12 sử dụng công cụ PT, BPT, HPT trong việc thiết lập mới quan hệ giữa việc tính độ dài đoạn thẳng, đường cao, đường sinh của hình chóp, hình lăng trụ, với các yếu tố đã biết, đã cho giúp cho việc giải quyết bài toán được dễ dàng hơn

Bảng 1.2 Một vài ví dụ thể hiện yếu tố PT, HPT, BPT trong

chương trình Toán THPT

(gắn liền biểu thức, giá trị của biểu thức, tìm những giá trị của chữ thỏa mãn)

1 - Véc tơ trong mặt phẳng Thể hiện ở yêu cầu tính toán độ dài,

2 - Tích vô hướng của hai véc tơ Thể hiện ở yêu cầu tìm tọa độ điểm, tính độ dài,

diện tích, thể tích

3 - Tìm cực trị trong hình học Thể hiện ở việc thiết lập biểu thức tính toán các

yếu tố độ dài, đường thẳng từ đó đưa về hàm số 4- Tìm cực trị trong lượng giác Thể hiện ở việc biến đổi biểu thức lượng giác cần

tìm cực trị về hàm số

5 - Tọa độ hóa hình học không

gian

Thể hiện ở việc chúng ta chọn hệ trục gắn các điểm , véc tơ theo tọa độ rồi viết PT đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu … dựa vào các yếu tố liên quan của bài toán

Thông qua các chủ đề trên, chúng tôi nhận thấy: Bản chất của PT, HPT, BPT nằm ở chỗ:

+ Nhu cầu tìm giá trị của chữ để đẳng thức, bất đẳng thức (phương trình, bất phương trình thực chất là những hàm mệnh đề) trở thành mệnh đề đúng Khi đó, mọi tình huống mà ở đó có mặt biểu thức chứa chữ đều liên quan đến nhu cầu tìm giá trị (tập xác định, tập giá trị, tập nghiệm ) biểu thức + hàm số + PT, HPT, BPT liên quan chặt chẽ với nhau

+ Hình học gắn với nhu cầu định lượng, định tính (quy về định lượng), yếu

tố hình học gắn với "biến và ẩn" khi tình huống thay đổi dẫn đến hàm số và PT, HPT, BPT

+ Lượng giác cuối cùng là nhu cầu "giải tam giác" tìm số đo độ dài, số đo góc dẫn đến giải PT, HPT, BPT tìm chúng dưới dạng một mối quan hệ đẳng thức - biểu thức

1.2.3 Một số dạng bài toán hình học, lượng giác hiện nay trong chương trình sách giáo khoa THPT

a) Các dạng bài toán về hình học hiện nay trong chương trình THPT

Dạng 1: Véc tơ trong mặt phẳng Oxy

Dạng 2: Tích vô hướng của hai véc tơ

Dạng 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dạng 4: Quan hệ song song, vuông góc trong không gian

Dạng 5: Dạng toán về cực trị hình học

Dạng 6: Tính thể tích, diện tích của hình chóp, hình trụ, hình nón, hình cầu Dạng 7: Phương pháp tọa độ trong không gian

Dạng 8: Tọa độ hóa hình học phẳng và hình học không gian

b) Các dạng bài toán về lượng giác hiện nay trong chương trình THPT Dạng 9: Công thức lượng giác và phương trình lượng giác

Dạng 10: Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Dạng 11: Dạng toán về cực trị hàm số lượng giác

Dạng 12: Bài toán thực tế chuyển về hình học, lượng giác có sử dụng PT, BPT, HPT Trong luận văn này, tôi không xét những dạng bài toán hình học và lượng giác có ngay yếu tố phương trình bất phương trình Mà chỉ tìm hiểu nghiên cứu những bài toán hình học lượng giác không có yếu tố phương trình từ đề bài Chỉ sau khi phân tích định hướng cách giải mới sử dụng đến công cụ PT, HPT, BPT

Bảng 1.3 Một vài ví dụ về hai kiểu bài tập có ngay ở dạng PT

và bài tập chưa có ngay ở dạng PT Một vài dạng

pháp tọa độ trong

mặt phẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0

đi qua điểm A(4;1)

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và vuông góc

A IB = 90 Chân đường cao kẻ từ

A đến BC là D(-1; -1), đường thẳng AC đi qua điểm M(-1; 4) Tìm toạ độ A, B biết đỉnh A có hoành độ dương

( )β : 2x− 4y+ 4z+ 3 = 0 và cách điểm A(2; 3; 4 − ) một khoảng k =3 Viết PT của mặt phẳng ( )α là:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD) song song với nhau Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này b) Chứng minh A’C vuông góc với mặt phẳng (AB’D’) và A’C vuông góc với IJ (I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’ và AD)

1.3 Những kỹ năng giải bài toán hình học, lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT và biểu hiện ở HS

Trên cơ sở phân tích các khái niệm về kĩ năng, về vai trò của kĩ năng, mạch kiến thức về PT, BPT thể hiện trong chương trình THPT, về các dạng bài toán hình học lượng giác có thể sử dụng được công cụ PT, HPT, BPT để giải trong mục 1.2.3 Chúng tôi rút ra các kỹ năng cần thiết để HS có thể giải được bài toán hình học và lượng giác bằng cách sử dụng công cụ PT, HPT, BPT:

Bảng 1.4 Các kỹ năng cần thiết để HS có thể giải được bài toán hình học và

lượng giác bằng cách sử dụng công cụ PT, HPT, BPT Các bước giải bài toán

Kĩ năng 1: Nhận dạng các bài toán tình huống thực tế có yếu

tố hình học và lượng giác (đọc và phân tích, tìm kiếm các yếu

tố có liên quan đến hình học và lượng giác hoặc có thể dùng hình học lượng giác để giải)

Kĩ năng 2: Chuyển đổi bài toán từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ của hình học và lượng giác bằng cách xây dựng mô hình toán học dưới dạng bài toán hình học lượng giác

Hoạt động 2: Nhận dạng

những yếu tố của công cụ

PT, HPT, BPT để dùng

phương pháp Đại số giải

bài toán hình học và lượng

giác

Kĩ năng 3: Vẽ hình (nếu có), ghi rõ giả thiết, kết luận (hình vẽ hình học cần sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt, hoặc dùng màu trong hình vẽ, cảm nhận trực quan trên hình vẽ giúp học sinh nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán)

Kĩ năng 4: Từ giả thiết và yêu cầu của bài toán (định lượng, định tính) khoanh vùng phạm vi kiến thức, phương pháp hình học và lượng giác có liên quan cần huy động

+ Nếu cần đến phương pháp tọa độ thì phải tọa độ hóa mô hình hình học

+ Nếu dùng phương pháp tổng hợp thì gắn yêu cầu với yếu

tố của mô hình (đưa về độ dài, khoảng cách, góc, trong các tam giác)

Kĩ năng 5: Từ việc xác định rõ: ẩn (cái cần tìm), dữ kiện (cái

đã cho), điều kiện ràng buộc của bài toán để chuyển sang định lượng và tìm mối quan hệ giữa các đại lượng để làm cơ

sở chuyển về bài toán PT, HPT, BPT

Hoạt động 3: Chuyển bài

toán hình học, lượng giác

về bài toán đại số (biểu đạt

bởi PT, HPT, BPT)

Kĩ năng 6: Diễn đạt bài toán hình học, lượng giác về dưới dạng đại số (chuyển từ yêu cầu ban đầu về mặt hình học, lượng giác dưới dạng định tính sang yêu cầu về mặt lượng - dưới dạng đại số)

- Sử dụng phương pháp giải các dạng PT, HPT, BPT đã biết

để tìm nghiệm

Hoạt động 5 : Chuyển kết

quả từ đại số về câu hỏi

của bài toán hình học,

lượng giác

- Kĩ năng 9: Sử dụng kết quả tập hợp nghiệm của PT, HPT, BPT để trả lời, kết luận theo yêu cầu của bài toán hình học, lượng giác: Đối chiếu kết quả của PT, HPT, BPT với điều kiện ban đầu của của bài toán hình học, lượng giác để rút ra kết quả cho bài toán ban đầu

Hoạt động 6: Nghiên cứu

sâu lời giải bài toán Kỹ năng 10: Phát hiện sai sót và chỉnh sửa (nếu có), xây

dựng bài toán tương tự; mở rộng bài toán

1.4 Thực trạng tình hình dạy học giải bài toán hình học và lượng giác

bằng sử dụng PT, HPT, BPT

a) Mục đích khảo sát

Với mục đích tìm hiểu thực trạng dạy và học, kỹ năng, nhận thức, thái độ, khó

khăn khi dạy học giải bài toán hình học lượng giác bằng công cụ PT, HPT, BPT của giáo

viên và học sinh ở THPT nhằm tìm kiếm đề xuất các biện pháp dạy học giải bài toán

hình học lượng giác bằng công cụ PT, HPT, BPT cho học sinh THPT

b) Đối tượng khảo sát

Chúng tôi đã khảo sát từ 68 giáo viên và 328 học sinh khối 11, 12 của trường

THPT Hải An, THPT Trần Nguyên Hãn, THPT Lê Quý Đôn – Thành phố Hải

Phòng.(Mẫu khảo sát tác giả trình bày ở phụ lục 1, 2, 3, 4, 5)

c) Phương pháp khảo sát

- Sử dụng PP điều tra bằng phiếu hỏi

- Sử dụng PP nghiên cứu sản phẩm, phân tích, đánh giá vở bài tập toán

- Phương pháp xử lý số liệu: tính tỉ lệ phần trăm

d) Nội dung và kết quả khảo sát

Về vị trí vai trò ý nghĩa của dạy học giải bài toán hình học - lượng giác bằng

công cụ PT, HPT, BPT, đa số giáo viên và học sinh được hỏi ý kiến đều khẳng định

việc sử dụng PT, BPT, HPT vào giải một số dạng bài toàn về hình học, lượng giác

rất hiệu quả, nên được áp dụng thường xuyên trong hoạt đông giải toán Các hoạt

động giải giải bài toán hình học - lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT là một

quá trình tư duy tổng hợp, phân tích, so sánh, tìm tòi, khai thác khám phá, sáng tạo

để tìm ra cách giải bài toán Thông qua quá trình này rèn luyên các phẩm chất nhân

cách của học sinh như chủ động, sáng tạo, linh hoạt vân dụng kiến thức và kĩ năng

đã học vào quá trình tìm cách giải bài toán Bồi dưỡng cho học sinh năng động sáng

tạo và năng lực giải quyểt vấn đề trong cuộc sống

Ý kiến của giáo viên và học sinh về vai trò dạy học giải bài toán hình học và

lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT được tổng hợp trong bảng sau:

Bảng 1.5 Vai trò của dạy học giải các bài toán hình học - lượng giác

Giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử

dụng PT, HPT, BPT giúp học sinh rèn luyện kĩ

năng nhận dạng và giải PT, BPT, HPT

95,3% 94,7%

2

Giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử

dụng PT, HPT, BPT giúp học sinh rèn luyện các

thao tác tư duy phân tích, tổng hợp

99,5% 90,5%

3

Giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử

dụng PT, HPT, BPT giúp học sinh rèn luyện

chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học, lượng giác sang

ngôn ngữ PT, BPT, HPT

99,4% 90%

4

Giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử

dụng PT, HPT, BPT giúp học sinh vận dụng tri

thức về PT, HPT, BPT vào việc khám phá, tìm tòi,

phát hiện cách giải quyết bài toán hình học và

lượng giác

95,5% 94,5%

Số liệu ở bảng trên cho thấy:

- Đối với giáo viên: Các thầy đánh giá rất cao về ý nghĩa của sử dụng PT, BPT, HPT trong dạy học giải các bài toán hình học và lượng giác

- Đối với học sinh: Hầu hết học sinh đề nhận thức khá đầy đủ về ý nghĩa của việc sử dụng PT, BPT, HPT, trong dạy học giải các bài toán hình học và lượng giác Bên cạnh đó còn có một số học sinh chưa thấy hết được ý nghĩa của sử dụng PT, BPT, HPT trong giải các bài toán hình học và lượng giác nhất là đối với các học sinh lớp 10 và lớp 11 vấn đề này chưa thể hiện rõ trong sách giáo khoa, sách bài tập

và sách tham khảo, phải đến lớp 12 thì các vấn đề này mới thể hiện rõ trong chương

2 sách giả tich lớp 12 Có trên 90% học sinh cho rằng: Giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT giúp học sinh rèn luyện tốt quá trình chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học và lượng giác sang ngôn ngữ PT, BPT, HPT Bảng 1.6 Các yếu tố ảnh hưởng tích cực đến quá trình cho việc dạy học giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT

1 Học sinh hứng thú với các bài toán hình học và

lượng giác giải bằng sử dụng PT, HPT, BPT 95,5% 90,5%

2

Giáo viên giao nhiệm vụ tìm tòi các dạng bài

toán về hình học và lượng giác có sử dụng PT,

HPT, BPT phù hợp cho từng đối tượng học

Giáo viên thường xuyên tạo cơ hội cho học

sinh sử dụng công cụ của PT, HPT, BPT trong

dạy học giải toán

85,5% 84,5%

5

Giáo viên khéo léo dẫn dắt học sinh chuyển đổi

từ ngôn ngữ của hình học, lượng giác sang

ngôn ngữ của PT, BPT, HPT giúp học sinh

không cảm thấy khó khăn khi giải các bài toán

dạng này

88,5% 90,5%

Qua số liệu ở bảng trên và qua việc quan sát dự giờ học sinh và giáo viên, ghi chép cho thấy: Các yếu tố ảnh hưởng nhiều đến việc sử dụng của PT, BPT, HPT vào giải các bài toán hình học lượng giác là: hứng thú của học sinh với các dạng bài toán vừa sức mình, các hoạt động có tính khám phá và dẫn dắt của giáo viên giúp học sinh vượt qua khó khăn ban đầu

Bảng 1 7 Các yếu tố ảnh hưởng không tốt trong quá trình dạy học giải các bài toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT

1

Thiếu các tài liệu, dụng cụ, mô hình liên quan đến

giải các dạng bài toán hình học và lượng giác

bằng sử dụng PT, BPT, HPT

89,5% 90,5%

2

Giáo viên chưa thực sự tích cực trong việc khai

thác các dạng bài này Chưa chỉ rõ cho HS thấy

được mối quan hệ giữa đại số và hình học, lượng

giác cho học sinh khi dạy học lý thuyết

8,4% 81,6%

3

Học sinh chưa phát hiện được mối quạn hệ giữa

đại số và hình học, lượng giác trong khi giải các

bài toán dạng này

87.5% 82,5%

4

Trình độ học sinh không đồng đều đẫn đến không

đảm bảo cho việc hoàn thành các nhiệm vụ được

giao trong quá trình tìm lời giải các bài toán

95,5% 94,5%

5 GV chưa phân loại đầy đủ các dạng toán hình học

và lượng giác có sử dụng PT, HPT, BPT để giải 92% 80%

Qua kết quả khảo sát cho thấy:

- Đối với giáo viên: Phần lớn giáo viên và học sinh đều cho rằng hiện nay có nhiều yếu tố ảnh hưởng chưa tốt đến việc dạy học: Trình độ học sinh không đồng đều;

Về nội dung các bài toán về hình học và lượng giác có thể giải bằng sử dụng PT, HPT, BPT trong SGK còn nằm rải rác trong toàn bộ chương trình toán phổ thông Tâm lý giáo viên ngại tìm tòi sưu tầm hệ thống bài tập liên quan đến vấn đề này

- Đối với học sinh: Một số học sinh chưa thực sự hứng thú với các dạng bài tập này vì cho rằng là những bài tập khó, đòi hỏi HS cần tư duy linh hoạt, sáng tạo;

HS thường trông chờ vào kết quả hoạt động của giáo viên và của các bạn khác

- Nguyên nhân: một phần do bản thân học sinh chưa có động cơ, mục đích và phương pháp học tập tích cực, một số học sinh trình độ còn yếu chưa nắm vững các kiến thức cơ bản nên tâm lý ngại tiếp cận với các dạng bài toán mới Một phần do

giáo viên chưa có nhiều tài liệu tập trung cho vấn đề này, ngại đổi mới, tìm tòi, sáng tạo, chưa khai thác sử dụng hết ứng dụng công nghệ thông tin vào trong giảng dạy Bảng 1 8 Kết quả khảo sát ý kiến của GV về các kĩ năng cần có của học sinh THPT khi giải các bài toán hình học lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT

STT

Các kĩ năng cần thiết để giải bài toán hình

học, lượng giác bằng công cụ

và lượng giác hoặc có thể dùng hình học lượng giác để giải)

98,4% 89,1%

Kĩ năng 2

Chuyển đổi bài toán từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ của hình học và lượng giác bằng cách xây dựng mô hình toán học dưới dạng bài toán hình học lượng giác

99,5% 90,5%

Kĩ năng 3

Vẽ hình (nếu có), ghi rõ giả thiết, kết luận (hình vẽ hình học cần sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt, hoặc dùng màu trong hình vẽ, cảm nhận trực quan trên hình vẽ giúp học sinh nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán)

98,4% 91,6%

Kĩ năng 4

Từ giả thiết và yêu cầu của bài toán (định lượng, định tính) khoanh vùng phạm vi kiến thức, PP hình học và lượng giác có liên quan cần huy động

+ Nếu cần đến phương pháp tọa độ thì phải tọa độ hóa mô hình hình học

+ Nếu dùng phương pháp tổng hợp thì gắn yêu cầu với yếu tố của mô hình (đưa về độ dài, khoảng cách, góc, trong các tam giác)

100% 92,5%

Kỹ năng 5

Từ việc xác định rõ: ẩn (cái cần tìm), dữ kiện (cái đã cho), điều kiện ràng buộc của bài toán

để chuyển sang định lượng và tìm mối quan

hệ giữa các đại lượng để làm cơ sở chuyển về bài toán PT, HPT, BPT

- Biết chọn ẩn số phù hợp với bài toán và đặt điều kiện cho ẩn số

- Căn cứ vào mối tương quan giữa cái cần tìm và cái chưa biết để thiết lập PT, BPT, HPT

97,5% 90,4%

Kỹ năng 8

Giải thành thạo các dạng PT, BPT, HPT thiết lập được thông qua bài toán hình học và lượng giác:

- Kĩ năng biến đổi bài toán về một trong các dạng PT, BPT, HPT đã biết cách giải

- Xác định nhận dạng đúng loại PT, BPT, HPT mà HS vừa thiết lập được từ bài toán hình học, lượng giác

- Sử dụng phương pháp giải các dạng PT, HPT, BPT đã biết để tìm nghiệm

97,6% 91,2%

Kỹ năng 9 Sử dụng kết quả tập hợp nghiệm của PT, 96,5% 91,6%

HPT, BPT để trả lời, kết luận theo yêu cầu của bài toán hình học, lượng giác: Đối chiếu kết quả của PT, HPT, BPT với điều kiện ban đầu của của bài toán hình học, lượng giác để rút ra kết quả cho bài toán ban đầu

Kỹ năng 10 Phát hiện sai sót và chỉnh sửa (nếu có), xây

dựng bài toán tương tự; mở rộng bài toán 97,6% 91,2%

Qua kết quả khảo sát cho thấy:

Đa số các giáo viên đều nhất trí với các kĩ năng cần có của một học sinh để giải các bài toán về hình học và lượng giác có sử dụng công cụ PT, BPT, HPT Một

số học sinh chưa nhận thức đầy đủ về các kĩ năng giải toán này nên chưa thực sự tự tin trong việc giải quyết các vấn đề liên quan

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng và việc rèn luyện kỹ năng trong dạy học Toán nói chung

- Tìm hiểu mối liên hệ giữa PT, HPT, BPT với bài toán hình học và lượng giác

- Điều tra thực trạng dạy và học, kỹ năng của HS khi giải bài toán hình học

và lượng giác bằng sử dụng PT, HPT, BPT ở trường THPT

Hơn nữa, qua phần điều tra thực nghiệm đã trình bày ở trên, chúng tôi thấy cần thiết phải đưa ra những biện pháp cụ thể hơn trong dạy học toán hình học và lượng giác bằng sử dụng PT, BPT, HPT Những kết quả trên làm cơ sở đề xuất các biện pháp để dạy học giải bài toán Hình học và Lượng giác bằng sử dụng công cụ

PT, BPT, HPT Góp phần thực hiện mục tiêu dạy học phát huy năng lực người học, phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập, đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao cho địa phương và cho đất nước trong công cuộc đổi mới toàn diện giáo dục hiện nay

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

SỬ DỤNG PT, HPT, BPT CHO HS THPT TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI

TOÁN HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp

Các biện pháp rèn luyện kĩ năng sử dụng PT, HPT, BPT cho HS THPT trong dạy học giải bài toán Hình học và Lượng giác ở chương này được xây dựng và thực hiện theo những định hướng sau:

2.1.1 Các biện pháp đưa ra phải phù hợp với lý luận và thực tiễn

Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện kĩ năng sử dụng PT, HPT, BPT cho HS THPT trong dạy học giải bài toán Hình học và Lượng giác đã được trình bày trong chương 1 của đề tài

Về cơ sở lý luận: Các biện pháp phải bám sát những kĩ năng sử dụng PT, HPT, BPT để giải bài toán hình học và lượng giác; sử dụng đúng đắn những lý luận dạy học bộ môn Toán, trong đó tôn trọng con đường, quá trình rèn luyện kỹ năng trong dạy học giải toán, thể hiện được quy trình dạy học giải bài toán

Về tính thực tiễn: Các biện pháp phải phù hợp với trình độ của GV & HS cùng với những điều kiện dạy học toán hiện nay ở các trường THPT Những ví dụ minh họa trong mỗi biện pháp nằm trong chương trình môn Toán THPT, nhằm vào khắc phục điểm hạn chế trong dạy học giải bài toán hình học, lượng giác

2.1.2 Các biện pháp đề xuất cần làm rõ mối quan hệ - lợi ích - tác dụng của công cụ PT, HPT, BPT khi giải bài toán hình học, lượng giác

Làm rõ mối quan hệ - lợi ích - tác dụng của công cụ PT, HPT, BPT khi giải bài toán hình học, lượng giác: Các dạng bài toán về hình học, lượng giác rất đa dạng, phong phú và nằm rải rác trong chương trình toán THPT Đối với các dạng bài toán này cũng có rất nhiều phương pháp giải Trong chương trình toán ở bậc trung học

đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về PT, HPT, BPT cùng các phương pháp giải Tuy nhiên, các dạng toán vận dụng phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vào giải một số bài toán Hình học và Lượng giác chưa được đề cập thành một chuyên đề trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo dành cho học sinh trung học cũng chưa có, mà nó chỉ nằm rải rác trong chương