SKKN khai thác vẽ đường phụ trong giải toán hình học THCS

Trongquá trình tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay củamột bài toán hình học việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giảthiết đến kết luận c

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI

TOÁN HÌNH HỌC THCS

Tháng 04, năm 2019

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập - Tự do - Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học là một trong những lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học, cùng với

số học đã xuất hiện trong thời kì sơ khai của loài người Hình học có một vẻ đẹp

kì diệu làm say mê từ những nhà toán học đến những em học sinh THCS Trongquá trình tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay củamột bài toán hình học việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giảthiết đến kết luận của bài toán được dễ dàng hợn, thuận lợi hơn Tuy nhiên việc

vẽ thêm hình phụ như thế nào để có lời giải hay là vấn đề khiến chúng ta phảiđầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽthêm hình phụ khi giải các bài toán hình học Tùy từng bài toán cụ thể mà chúng

ta có những cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để có thể đến với lời giải của bài toán

Sự xuất hiện của hình phụ đã thổi hồn vào bài toán mà chắc hẳn cũng đã có lầnchúng ta lúng túng, chật vật trước một bài toán hình học và rồi sẽ giật mình khiphát hiện ra rằng chỉ cần vẽ thêm một yếu tố là đã đến được với lời giải bài toán

Vẽ thêm hình phụ là một sự sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu củamột bài toán cụ thể Bởi vì việc vẽ thêm hình phụ cần đạt được mục đích là tạođiều kiện để giải được bài toán thuận lợi chứ không phải là công việc tùy tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm hình phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản vàcác bài toán dựng hình cơ bản Vẽ thêm hình phụ nhằm giúp 3 vấn đề cơ bảnsau:

1 Giúp giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm hìnhphụ sẽ bế tắc

2 Trình bày lời giải một số bài toán hình học được gọn hơn, nhanh hơn

3 Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thứchạn chế mà mặc dầu sau này các vấn đề đó khi học đến đều có thể đơngiản

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toánkhó đối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉyêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ

năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Để tạo ra được một đườngphụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giảthiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tưduy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cáchkhác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ, là một biểuhiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp vớimột định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen Ở đó khoảngcách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt cácbài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việcphát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải córất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi cáccách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với

đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụcũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế

Chính vì những lý do trên, tôi mạnh dạn thực hiện đề tài : “Khai thác vẽ

đường phụ trong giải toán hình học THCS”, nhằm mang lại kết quả dạy và

học tốt hơn cho giáo viên, học sinh Mong rằng với một số kinh nghiệm củamình, tôi hy vọng đề tài này sẽ góp một phần nhỏ vào việc giảng dạy hình học ởtrường THCS đạt hiệu quả hơn

1.2 Phạm vi của đề tài:

Nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A năm học 2018 - 2019 của trườngnơi tôi đang công tác

1.3 Điểm mới của đề tài:

Trong quá trình giảng dạy môn hình học ở trường THCS tôi nhận thấynhiều học sinh còn lúng túng khi làm bài tập chứng minh hình học, nhất lànhững bài tập cần phải vẽ thêm đường phụ Khi gặp bài tập dạng này, hầu hếthọc sinh hoặc là không nghĩ gì đến việc vẽ thêm đường phụ, hoặc là vẽ đườngphụ một cách mò mẫm, thậm chí còn có học sinh còn vẽ thêm đường phụ sai cơbản Bên cạnh đó dù đang áp dụng phương pháp dạy học mới nhưng đa số giáo

viên vẫn còn mang nặng phương pháp dạy học truyền thống và thêm lí do nữa là

vì thời gian trên không nhiều nên giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh vẽ cácđường phụ mà không giải thích rõ lí do vì sao lại làm như vậy dẫn đến học sinhkhông hiểu hết vai trò của đường phụ và không phát huy được khả năng tư duy,sáng tạo của bản thân

Chính vì thế điểm mới của đề tài này là giúp học sinh khắc phục đượcnhững yếu điểm đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toánnói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung Xây dựng đượcmột phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành đượcmột hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹnăng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệuquả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

Nội dung của đề tài được chia ra từng dạng và hướng dẫn cụ thể từng bài,học sinh dễ dàng tiếp cận gây nên tạo sự hứng thú trong học tập cho học sinh,kích thích cho các em sự ham học, ham hiểu biết và lòng say mê học Toán, tạonền tảng vững chắc cho các em tiếp cận kiến thức về tính toán sau này

2.

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu

Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiềucác thao tác tư duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hìnhhọc thuật phát triển Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minhđịnh lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cậpđến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạngnày Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này

và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bàitoán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bàitập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng

quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Việc “Khai thác vẽ đường

phụ trong giải toán hình học THCS” là một yếu tố rất quan trọng của phân

môn hình học đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh phát triển

tư suy hình học, đặt điểm cao đối với các đề bài có câu hỏi khó về kiểu chứngminh này và học tiếp sau này Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhậnthức của học sinh mà chương trình chỉ đề cập đến một số bài toán quá ít chưa đủ

để cho học sinh nhận được dạng cũng như hiểu được hết các phương phápchứng minh nó

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh “Khai thác vẽ đường phụ trong

giải toán hình học THCS” một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả

cao Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinhnhững kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giảitoán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xâydựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giảikhác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

Tồn tại nhiều học sinh còn hạn chế kĩ năng phân tích nhận xét, nhậndạng và thực hành giải toán, phần lớn do chưa nắm vững các định lý và liên kếtcác kiến thức về hình học, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương

Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu

và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinhnhư sau:

- Đối tượng điều tra lần 1: Học sinh lớp 8A, năm học 2018-2019.

- Tổng số học sinh được điều tra: 25 em

- Thống kê điều tra như sau:

- Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụngtrong giải Toán THCS có: 2 em chiếm tỉ lệ 8 %

- Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụngtrong giải toán THCS có: 1 em chiếm tỉ lệ 4%

- Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một sốbài toán trong chương trình toán lớp 8 gồm có: 1 em chiếm tỉ lệ 4%

- Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽthêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 20 em chiếm tỉ lệ 80 %

- Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được cácbài toán tương đối khó: 1 em chiếm tỉ lệ 4%

2.2 Các giải pháp

2.2.1 Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.

a) Vẽ đường phụ phải có mục đích:

Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán Muốn vậy

nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoántheo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có vớiđiều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không được vẽ đườngphụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không

giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêmcho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câuhỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?" Nếu

"không" nên loại bỏ ngay

b) Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.

c) Lựa chọn cách dựng đường phụ thích hợp:

Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đườngphụ là rất quan trọng Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cáchdựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

d) Các kĩ thuật vẽ thêm đường phụ :

* Kĩ thuật 1 : Điểm

* Kĩ thuật 2 : Đường thẳng, đoạn thẳng

+ Vẽ thêm đường vuông góc

+ Vẽ thêm đường song song

+ Vẽ thêm tia phân giác của một góc

+ Vẽ thêm đường kính của đường tròn

+ Vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn

+ Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau

+ Vẽ thêm dây chung của hai đường tròn cắt nhau

* Kĩ thuật 3: Tam giác vuông cân, tam giác đều, hình bình hành, đường tròn+ Vẽ thêm tam giác vuông cân, tam giác đều

C M

D

B E

- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý

để giải quyết bài toán

- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mốiquan hệ để giải quyết bài toán

- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

- Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đềtương đương để giải quyết bài toán

2.2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:

2.2.3.1 Dựa vào các bài toán đã biết:

Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, họcsinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồngrồi từ đó vẽ đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quenthuộc

Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài mộtđoạn BD = AB Gọi CE là trung tuyến của tam giác

ABC

CMR: CE = CD

Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ

Phân tích:

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD

Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trongcác cách làm cơ bản là chia đôi đoạn thẳng kia và chuyển về bài toán chứngminh hai đoạn thẳng bằng nhau

Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh

CE = CM hoặc CE = DM Chọn CE = CM

Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được

∆EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh

Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆

MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c

Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta

có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:

- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnhcủa tam giác nào?

- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứngminh điều gì?

- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM taphải chứng minh điều gì?

2.2.3.2 Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán:

Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minhcác đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến củamột tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến

Ví dụ 2: Bài toán: Cho hình chữ nhật

ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD và N là

một điểm trên đường chéo AC sao cho

C

M

D A

I K

F N

Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các

em có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy Liệu BF có là đường cao của ∆ BNCđược không?

Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh

BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?

Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC

Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E

Gọi giao điểm của NE với BF là I Ta suy ra rằng nếu chứng minh được

CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là mộtđường cao của ∆ BNC Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK) Do đósuy ra điều phải chứng minh là: BF ⊥ AC

Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF

để chứng minh I là trực tâm của ∆ BNC

Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi

mở cho học sinh tự giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn có thể sử dụngnhững câu hỏi như:

- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF làđường gì của ∆ BNC?

- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải cóđiểm nào?

- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với mộtđường cao của ∆ BNC?

- Với NE là đường cao của ∆ BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng minh

I là điểm có tính chất gì?

Ví dụ 3: Cho ∆ABC M là một điểm bất kỳ trong tam giác Nối M với cácđỉnh A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳngsong song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H

Chứng minh rằng: MK = MH

- Ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ ?

- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?

- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC

Ta có lời giải như sau

Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q Theo định lý Talét

2.2.3.3 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ

Ví dụ 4: Cho ∆ABC có µA=2µB Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB

Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đếncông thức cần chứng minh ?

Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với côngthức này, ở đây GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý

K H

M A

A'

B' C'

Pitago vì không tạo ra được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả bacạnh ngay được

- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?

Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng

- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắnvào tam giác đồng dạng

- Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạnbằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB

? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào để vận dụng được giảthiết µA=2Bµ ?

Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB

Từ đó ta có lời giải

Giải:

Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB

Khi đó ∆ABC cân tại A nên:

AB AC AC AD AC AC CD AC BC

( ) (