Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi d÷îi sü h÷îng d¤ncıa GS.TS Cung Th‚ Anh.. Nghi¶n cøu sinh Bòi Huy B¡ch... Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu.. Mºt sŁ -mæ h…nh trong cì håc ch§t lä

H Nºi - 2020

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi d÷îi sü h÷îng d¤ncıa GS.TS Cung Th‚ Anh C¡c k‚t qu£ ÷æc ph¡t bi”u trong lu“n ¡n l ho n to ntrung thüc v ch÷a tłng ÷æc ai cæng bŁ trong b§t cø mºt cæng tr…nh n okh¡c

Nghi¶n cøu sinh

Bòi Huy B¡ch

L˝IC MÌN

Lu“n ¡n ÷æc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n nghi¶m kh›c, t“n t…nh, chu ¡ocıa GS.TS Cung Th‚ Anh T¡c gi£ xin b y tä lÆng k‰nh trång v bi‚t ìn s¥us›c tîi GS.TS Cung Th‚ Anh, ng÷íi Thƒy ¢ d¤n d›t t¡c gi£ l m quen vîi nghi¶ncøu khoa håc tł nhœng ng y håc cao håc Ngo i nhœng ch¿ d¤n v• m°t khoahåc, sü ºng vi¶n v lÆng tin t÷ðng cıa Thƒy d nh cho t¡c gi£ luæn l ºng lüc lîngióp t¡c gi£ say m¶ trong nghi¶n cøu

T¡c gi£ xin tr¥n trång gßi líi c£m ìn ‚n Ban Gi¡m hi»u, PhÆng Sau ⁄i håc,Ban Chı nhi»m Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi, °c bi»t l PGS.TSTrƒn …nh K‚ v c¡c thƒy gi¡o, cæ gi¡o trong Bº mæn Gi£i t‰ch, Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi ¢ luæn gióp ï, ºng vi¶n, t⁄o mæi tr÷íng håct“p v nghi¶n cøu thu“n læi cho t¡c gi£

T¡c gi£ xin ÷æc b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n Sð Gi¡o döc v o t⁄o H Nºi, Ban Gi¡mhi»u tr÷íng THPT Chóc ºng, c¡c thƒy cæ v c¡c anh chà çng nghi»p cæng t¡ct⁄i tr÷íng THPT Chóc ºng ¢ luæn t⁄o i•u ki»n thu“n læi, gióp ï v ºng vi¶n t¡c gi£trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu T¡c gi£ xin gßi ‚n c¡c anh chà emNCS chuy¶n ng nh Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n v t‰ch ph¥n cıa Khoa To¡n-Tin,Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi, c¡c b⁄n b– gƒn xa, líi c£m ìn ch¥n th nh v• t§t c£nhœng gióp ï, ºng vi¶n m t¡c gi£ ¢ nh“n ÷æc trong suŁt thíi gian qua

Líi c£m ìn sau còng, t¡c gi£ xin d nh cho gia …nh, nhœng ng÷íi luæn y¶uth÷ìng, chia s·, ºng vi¶n t¡c gi£ v÷æt qua khâ kh«n ” ho n th nh lu“n ¡n

Möc löc

Líi cam oan 1

Líi c£m ìn 2

Möc löc 3

Mºt sŁ k‰ hi»u dòng trong lu“n ¡n 6

M— U 7

1 L‰ do chån • t i 7

2 TŒng quan v§n • nghi¶n cøu 9

3 Möc ‰ch, Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu 13

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu 15

5 K‚t qu£ cıa lu“n ¡n 15

6 C§u tróc cıa lu“n ¡n 16

Ch÷ìng 1 KI N THÙC CHU N BÀ

17 1.1 Mºt sŁ -mæ h…nh trong cì håc ch§t läng 17 1.2 To¡n tß nºi suy Ih 18

1.3 T“p hót to n cöc 20

1.4 C¡c khæng gian h m 22

1.5 C¡c to¡n tß 22

1.6 Mºt sŁ b§t flng thøc sì c§p th÷íng dòng 26 Ch÷ìng 2 B I TO N ˙NG H´A DÚ LI U R˝I R C ¨I V˛I H

LERAY- 272.1 °t b i to¡n 272.2 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi nghi»m

kh£o s¡t 30Ch÷ìng 3 B I TO N ˙NG H´A DÚ LI U R˝I R C ¨I V˛I H

NAVIER-STOKES- 413.1 °t b i to¡n 413.2 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi nghi»m

kh£o s¡t 44Ch÷ìng 4 B I TO N ˙NG H´A DÚ LI U LI N TÖC RÓT G¯N ¨I

V˛I H BARDINA ÌN GI N H´A 584.1 °t b i to¡n 584.2 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi nghi»m

kh£o s¡t trong tr÷íng hæp to¡n tß ph†p o lo⁄i I 624.3 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi nghi»m

kh£o s¡t trong tr÷íng hæp to¡n tß ph†p o lo⁄i II 71Ch÷ìng 5 B I TO N ˙NG H´A DÚ LI U RÓT G¯N ¨I V˛I H

LERAY- C I BI N 875.1 B i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc rót gån Łi vîi h» Leray-

c£i bi¶n 875.1.1 °t b i to¡n 875.1.2 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi

nghi»m kh£o s¡t 905.2 B i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c rót gån Łi vîi h» Leray- c£i

bi¶n 1045.2.1 °t b i to¡n 104

5.2.2 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi

nghi»m kh£o s¡t 105

K T LU N 118

1 K‚t qu£ ⁄t ÷æc 118

2 Ki‚n nghà mºt sŁ v§n • nghi¶n cøu ti‚p theo 118

DANH MÖC C˘NG TR NH KHOA H¯C 119

T I LI U THAM KH O 120

M¸T S¨ K HI U TH×˝NG DÒNG TRONG LU N N

= [0; L]3 l h…nh hºp trong R3H; V c¡c khæng gian h m dòng ” nghi¶n cøu h» Navier-Stokes

v c¡c -mæ h…nh

V 0 khæng gian Łi ng¤u cıa khæng gian V

( ; ); j j t‰ch væ h÷îng v chu'n trong khæng gian H

(( ; )); k k t‰ch væ h÷îng v chu'n trong khæng gian V

h ; iV 0 ;V Łi ng¤u giœa V 0 v V

m gi¡ trà ri¶ng thø m cıa to¡n tß Stokes A

D(A) mi•n x¡c ành cıa to¡n tß A

D(A)0 khæng gian Łi ng¤u cıa khæng gian D(A)

h ; iD(A) 0 ;D(A) Łi ng¤u giœa D(A)0 v D(A)

S(t) nßa nhâm li¶n töc sinh bði b i to¡n ⁄o h m ri¶ng

A t“p hót to n cöc cıa nßa nhâm S(t)

tham sŁ gi¢n

M— U

1 L‰ do chån• t i

Vi»c nghi¶n cøu nhœng lîp ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trong cì håc ch§t läng

câ þ ngh¾a quan trång trong khoa håc v cæng ngh» Ch‰nh v… v“y nâ ¢ vang thu hót ÷æc sü quan t¥m cıa nhi•u nh khoa håc tr¶n th‚ giîi Sau khinghi¶n cøu t‰nh °t óng cıa b i to¡n, vi»c nghi¶n cøu b i to¡n çng hâa dœ li»u(data assimilation), tøc l dü o¡n d¡ng i»u cıa nghi»m trong t÷ìng lai tł nhœngph†p o thu ÷æc, r§t quan trång v… nâ cho ph†p ta hi”u v dü o¡n xu th‚ ph¡ttri”n cıa h» trong t÷ìng lai; i•u n y °c bi»t quan trång trong c¡c b i to¡n dü b¡o,chflng h⁄n b i to¡n dü b¡o kh‰ t÷æng ¥y l mºt h÷îng nghi¶n cøu ÷æc ph¡ttri”n m⁄nh m‡ trong nhœng n«m gƒn ¥y

V• m°t to¡n håc, ta câ th” ph¡t bi”u b i to¡n çng hâa dœ li»u nh÷ sau Gi£

sß mºt qu¡ tr…nh phøc t⁄p (chflng h⁄n dü b¡o kh‰ t÷æng) ÷æc mæ t£ bðiph÷ìng tr…nh ti‚n hâa (nâi chung r§t phøc t⁄p) câ d⁄ng

dY

dt = F (Y );

trong â Y l vectì bi”u di„n bi‚n tr⁄ng th¡i m ta muŁn dü b¡o Möc ti¶u cıachóng ta l t…m mºt "x§p x¿ tŁt cıa Y khi thíi gian ı lîn — ¥y, chóng takhæng bi‚t dœ ki»n ban ƒu cıa Y t⁄i mºt thíi i”m tr÷îc thíi i”m t0 ” t‰nh nghi»mcıa mæ h…nh dü b¡o tł thíi i”m t0 trð i, tuy nhi¶n chóng ta bi‚t ph†p o (mºtphƒn) cıa Y trong kho£ng thíi gian [t0; t0 + T ] ho°c t⁄i mºt d¢y thíi i”m ftngn2N

B i to¡n çng hâa dœ li»u l x¡c ành mºt x§p x¿ W (t) cıa Y (t) tł c¡c ph†p o ¢bi‚t, sao cho W (t) dƒn tîi Y (t) (theo mºt chu'n th‰ch hæp) khi thíi gian t ti‚ntîi væ còng

Mºt ph÷ìng ph¡p cŒ i”n cıa çng hâa dœ li»u li¶n töc, xem v‰ dö [18],

l thay c¡c ph†p o quan s¡t ÷æc trüc ti‚p v o mºt mæ h…nh sau n y ÷æc l§y t

‰ch ph¥n theo thíi gian Chflng h⁄n, ta câ th” thay c¡c quan s¡t ch‚ º th§pFourier v o ph÷ìng tr…nh cho sü ti‚n hâa cıa c¡c ch‚ º cao Khi â c¡c gi¡ tràcıa ch‚ º th§p v ch‚ º cao s‡ ÷æc k‚t hæp ” t⁄o ra mºt x§p x¿

ƒy ı cho tr⁄ng th¡i cıa h» C¡ch ti‚p c“n n y ¢ ÷æc thüc hi»n cho h» Stokes hai chi•u trong [31, 46] v mºt sŁ h» kh¡c trong cì håc ch§t läng [2, 21,

Navier-22, 28, 40] V• m°t to¡n håc, c¡ch ti‚p c“n n y düa tr¶n sü tçn t⁄i t“p hót to ncöc hœu h⁄n chi•u v t‰nh ch§t c¡c mode x¡c ành (determining modes) cıah» Navier-Stokes [38], mºt t‰nh ch§t kh¡ phŒ bi‚n cho c¡c h» ti¶u hao m⁄nh,nh÷ng câ nh÷æc i”m l khæng ¡p döng ÷æc khi c¡c dœ li»u thu ÷æc d÷îi d⁄ngríi r⁄c theo khæng gian, v… ta khæng th” l§y ⁄o h m theo bi‚n khæng gian t⁄ic¡c i”m ríi r⁄c â Mºt c¡ch ti‚p c“n hi»u qu£ kh¡c ¡p döng cho c¡c h» ti‚n hâatuy‚n t‰nh ÷æc • xu§t bði J.P Puel trong [48] C¡ch ti‚p c“n n y düa tr¶n c¡cb§t flng thøc ki”u Carleman, tä ra r§t høa hµn v hi»u qu£, tr¶n c£ ph÷ìngdi»n l‰ thuy‚t v t‰nh to¡n sŁ, nh÷ng câ h⁄n ch‚ l ch¿ ¡p döng ÷æc cho c¡c b

i to¡n tuy‚n t‰nh

N«m 2014, Titi v cºng sü ¢ • xu§t mºt ph÷ìng ph¡p mîi [5] kh›c phöc ÷æcnh÷æc i”m cıa c¡c ph÷ìng ph¡p nâi tr¶n Þ t÷ðng cıa ph÷ìng ph¡p n y l sßdöng mºt sŁ h⁄ng i•u khi”n ph£n hçi chøa dœ li»u quan s¡t ÷æc ÷a v o trongh» ban ƒu ” ÷æc mºt h» mîi gåi l h» ph÷ìng tr…nh çng hâa dœ li»u Sau â tas‡ thi‚t l“p c¡c i•u ki»n ” £m b£o h» çng hâa dœ li»u

n y câ mºt nghi»m to n cöc duy nh§t v nâ hºi tö v• nghi»m kh£o s¡t cıa h»gŁc ban ƒu Tuy nhi¶n, k‚t qu£ nghi¶n cøu b‹ng ph÷ìng ph¡p n y mîi ch¿ câ

ð b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc cho cho h» Navier-Stokes hai chi•u [5] vmºt v i -mæ h…nh ba chi•u [2, 1]; trong tr÷íng hæp ríi r⁄c th… mîi ch¿ câ k‚tqu£ Łi vîi h» Navier-Stokes hai chi•u [27]

H» Navier-Stokes âng vai trÆ quan trång trong cì håc ch§t läng Tuy

9nhi¶n, trong tr÷íng hæp ba chi•u (l tr÷íng hæp câ þ ngh¾a v“t l‰ nh§t) th… t

‰nh °t óng to n cöc v vi»c t‰nh to¡n sŁ nghi»m cıa h» n y v¤n cÆn l

nhœng v§n • mð lîn v tä ra r§t khâ Mºt trong nhœng c¡ch ti‚p c“n ” v÷æt quanhœng khâ kh«n n y l sß döng nhœng h» ch¿nh hâa cıa h» Navier-Stokes Mºt lîp h» ch¿nh hâa phŒ bi‚n v th÷íng ÷æc sß döng l c¡c -mæ h…nh trong

cì håc ch§t läng, bao gçm h» Navier-Stokes- [25], h» [15], h» c£i bi¶n [34] v h» Bardina ìn gi£n hâa [42], V• m°t h…nh thøc, n‚u cho

Leray-= 0 trong c¡c -mæ h…nh n y ta s‡ thu l⁄i ÷æc h» Navier-Stokes cŒ i”n Trong v i n«m gƒn ¥y, ¢ câ mºt sŁ k‚t qu£ v• b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc cho c¡c -mæ h…nh, bao gçm h» Navier-Stokes- [2], h» Bardina ìn gi£n hâa [1], h» Leray- [24], Tuy nhi¶n, theo hi”u bi‚t cıa chóng tæi, ch÷a câ k‚t qu£ n o v• b i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi c¡c -mæ h…nh trong cì håc ch§t läng Ngo i ra, b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc m ch¿ sß döng ph†p o tr¶n hai trong sŁ ba th nh phƒn cıa vectì v“n tŁc (m ta s‡ gåi l ph†p o rót gån) Łi vîi c¡c -mæ h…nh v¤n cÆn r§t ‰t k‚t qu£; mîi ch¿ câ k‚t qu£ gƒn ¥y trong [24] Łi vîi h» Leray-

Tł nhœng ph¥n t‰ch tr¶n ta th§y r‹ng m°c dò ¢ câ mºt sŁ k‚t qu£ ban ƒunh÷ng c¡c k‚t qu£ v• b i to¡n çng hâa dœ li»u Łi vîi c¡c -mæ h…nh trong cìhåc ch§t läng, °c bi»t trong tr÷íng hæp çng hâa dœ li»u ríi r⁄c ho°c ch¿ sßdöng ph†p o tr¶n hai th nh phƒn cıa vectì v“n tŁc, v¤n cÆn ‰t

v ang l v§n • thíi sü, câ þ ngh¾a khoa håc v thüc ti„n, thu hót ÷æc süquan t¥m cıa nhi•u nh to¡n håc tr¶n th‚ giîi V… v“y, chóng tæi chån v§n •

"B i to¡n çng hâa dœ li»u Łi vîi mºt sŁ ph÷ìng tr…nh ti‚n hâa trong cì håc ch§t läng" l m • t i nghi¶n cøu lu“n ¡n ti‚n s¾ cıa m…nh

2 TŒng quan v§n • nghi¶n cøu

Tł cuŁi nhœng n«m 1960s, c¡c v» tinh nh¥n t⁄o b›t ƒu thu ÷æc c¡c dœli»u v• thíi ti‚t gƒn nh÷ li¶n töc theo thíi gian Charney, Halem v Jastrow ¢

B‹ng vi»c sß döng c¡ch ti‚p c“n cŒ i”n v sŁ mode x¡c ành, Titi v cºng sü ¢nghi¶n cøu b i to¡n çng hâa dœ li»u cho h» Navier-Stokes hai chi•u, trongc£ hai tr÷íng hæp l dœ li»u thu th“p ÷æc li¶n töc theo thíi gian [46]

v ríi r⁄c theo thíi gian [31] Ph÷ìng ph¡p n y câ ÷u i”m l ìn gi£n v• m°t kh¡ini»m, nh÷ng câ nh÷æc i”m l khæng ¡p döng ÷æc khi c¡c dœ li»u thu

÷æc d÷îi d⁄ng ríi r⁄c theo khæng gian, v… khæng th” l§y ⁄o h m theo bi‚nkhæng gian t⁄i c¡c i”m ríi r⁄c â

Nh‹m kh›c phöc nhœng nh÷æc i”m tr¶n, n«m 2014 Titi v cºng sü ¢ • xu§tmºt ph÷ìng ph¡p mîi ” nghi¶n cøu b i to¡n çng hâa dœ li»u [5] Þ t÷ðng cıaph÷ìng ph¡p n y l sß döng mºt sŁ h⁄ng i•u khi”n ph£n hçi ÷a v o trong ph÷ìngtr…nh ” ÷æc mºt ph÷ìng tr…nh mîi, gåi l ph÷ìng tr…nh çng hâa dœ li»u.Ph÷ìng ph¡p n y cÆn ÷æc gåi l ph÷ìng ph¡p nudging Newton hay ph÷ìngph¡p gi¢n ºng lüc (dynamic relaxation) [32]

Nºi dung cıa ph÷ìng ph¡p çng hâa dœ li»u trong [5] nh÷ sau: Gi£ sß r‹ngmºt h» ph÷ìng tr…nh câ d⁄ng

dt(vîi i•u ki»n bi¶n ¢ bi‚t) v khæng bi‚t i•u ki»n ban ƒu Y (t0) = Y0 B‹ng c¡ch sßdöng c¡c thi‚t bà o ⁄c, ta bi‚t mºt phƒn cıa nghi»m trong kho£ng thíi gian [t0; T] (b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc) ho°c t⁄i c¡c thíi i”m tn vîi n = 1; 2; : : :,trong â ti tj; 8i j v tn ! 1 khi n ! 1 (b i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c) V… khængbi‚t ch‰nh x¡c i•u ki»n ban ƒu n¶n ta khæng th” t‰nh ÷æc Y (t) Do â, thayv… i t‰nh Y (t), ta i t…m W (t), l nghi»m

cıa mºt ph÷ìng tr…nh mîi gåi l ph÷ìng tr…nh çng hâa dœ li»u, sao cho W (t)hºi tö v• Y (t) (theo mºt chu'n th‰ch hæp) khi thíi gian t ti‚n tîi væ còng Khi

â, W (t) gåi l nghi»m x§p x¿ v nghi»m Y (t) gåi l nghi»m kh£o s¡t K‰ hi»u

Ih(Y (t)) l phƒn cıa nghi»m m ta o ⁄c ÷æc t⁄i thíi i”m t — ¥y, tham sŁ h °ctr÷ng cho º ph¥n gi£i khæng gian cıa ph†p o To¡n tß quan s¡t Ih, vîi c¡c i•uki»n th‰ch hæp, l mºt to¡n tß kh¡ tŒng qu¡t, chøa c£ tr÷íng hæp c¡c modex¡c ành (determining modes), công nh÷ c¡c nót x¡c ành (determining nodes)

v c¡c phƒn tß th” t‰ch x¡c ành (determining finite volume) (xem [2])

Łi vîi b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc, phƒn o ⁄c Ih(Y (t)) cıa nghi»m thu

÷æc tr¶n [t0; T ], ta x†t h» ph÷ìng tr…nh çng hâa dœ li»u

dW = F (W ) (Ih(W ) Ih(Y )) (2)dt

vîi i•u ki»n ban ƒu W (t0) = W0 do ta dü o¡n tr÷îc (l§y tòy þ) — ¥y, sŁ d÷ìng

÷æc gåi l tham sŁ gi¢n Ta s‡ t…m c¡c i•u ki»n ı cıa c¡c tham sŁ v h (h ınhä, ı lîn) ” h» (2) câ nghi»m to n cöc duy nh§t W (t)

v W (t) hºi tö tîi Y (t) khi thíi gian t ti‚n tîi væ còng Theo quan i”m v“t l‰, ºph¥n gi£i khæng gian h cıa ph†p o th÷íng l khâ v tŁn k†m ” thay

Œi, trong khi tham sŁ gi¢n l tham sŁ to¡n håc câ th” d„ d ng thay Œi, do â

ta t“p trung v o vi»c t…m i•u ki»n cıa h ” tçn t⁄i mºt gi¡ trà £m b£o cho sü th

nh cæng cıa thu“t to¡n Sau kho£ng thíi gian T > 0 ı lîn, nghi»m W (T ) câ th”

÷æc sß döng l m i•u ki»n ban ƒu trong h» (1) ” ÷a ra dü o¡n trong t÷ìng laicıa nghi»m tham chi‚u Y (t) khi t > T ho°c ta câ th” ti‚p töc vîi ch‰nh h» çnghâa dœ li»u (2), n‚u dœ li»u o v¤n ti‚p töc ÷æc cung c§p

Łi vîi b i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c, t…nh huŁng gƒn vîi thüc ti„n hìn,khi m phƒn o ⁄c Ih(Y (t)) cıa nghi»m thu ÷æc t⁄i c¡c thíi i”m ríi r⁄c tn vîi n = 1; 2;: : :, trong â ti tj; 8i j v tn ! 1 khi n ! 1, thay cho h»

(2), ta x†t h» ph÷ìng tr…nh çng hâa dœ li»u sau

Xdt

n=0

vîi i•u ki»n ban ƒu W (t0) = W0 do ta dü o¡n tr÷îc (l§y tòy þ), ð ¥y n

l h m °c tr÷ng cıa kho£ng [tn; tn+1) Gåi l kho£ng c¡ch lîn nh§t giœa hai lƒn o:

jtn+1 tnj ; 8n 2 N Công nh÷ Łi vîi h» (2), ta i t…m c¡c

i•u ki»n ı cıa h; v sao cho h» (3) câ nghi»m to n cöc duy nh§t W (t) v W (t)hºi tö tîi Y (t) khi thíi gian t ti‚n tîi væ còng

Ph÷ìng ph¡p çng hâa dœ li»u ch¿ ¡p döng ÷æc cho c¡c mæ h…nh °tóng, nâi ri¶ng l c¡c h» m ¢ chøng minh ÷æc sü tçn t⁄i v t‰nh duy nh§tnghi»m Ch‰nh v… l‰ do â, k‚t qu£ çng hâa dœ li»u Łi vîi h» Navier-Stokes mîi ch¿ câ trong tr÷íng hæp hai chi•u [5, 27], cÆn trong tr÷íng hæp

ba chi•u ta ch÷a chøng minh ÷æc c¡c k‚t qu£ t÷ìng tü ” nghi¶n cøu c¡c t‰nhch§t nghi»m nâi chung v b i to¡n çng hâa dœ li»u nâi ri¶ng cıa h» Navier-Stokes ba chi•u, mºt c¡ch l m phŒ bi‚n l nghi¶n cøu tr¶n c¡c -mæ h…nh,

÷æc coi nh÷ l nhœng x§p x¿ cıa h» Navier-Stokes khi tham sŁ nhä Gƒn ¥y

¢ câ mºt sŁ k‚t qu£ Łi vîi b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc cho c¡c -mæ h…nhnh÷ h» Navier-Stokes- [2], h» Bardina ìn gi£n hâa [1], h» Leray- [24], R§t gƒn ¥y mºt h÷îng nghi¶n cøu mîi, â l gi£m sŁ chi•u ph†p o xuŁngth§p hìn sŁ chi•u khæng gian, công ang thu hót sü quan t¥m cıa nhi•u nhkhoa håc [23, 24] B i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc rót gån sŁ chi•u ph†p ov• cì b£n v¤n ÷æc thi‚t l“p nh÷ tr÷íng hæp ƒy ı sŁ chi•u ph†p o, nh÷ng c¡c sŁli»u ph†p o thay v… ÷æc bi”u di„n bði c¡c to¡n tß nºi suy Ih(Y (t)), v‰ dö nh÷

Łi vîi khæng gian ba chi•u l bao gçm c£ ba th nh phƒn Ih(Y1(t)), Ih(Y2(t)) v

Ih(Y3(t)) (vîi t 2 [t0; T ]), th… gií ¥y ch¿ ÷æc bi”u di„n bði sŁ th nh phƒn ‰thìn, v‰ dö nh÷ Łi vîi khæng gian ba chi•u l hai th nh phƒn (b§t k…) trong sŁ

ba th nh phƒn n y, chflng h⁄n ch¿ bði Ih(Y1(t)) v Ih(Y2(t)) Vi»c khæng câ dœli»u n o Łi vîi th nh phƒn ph†p o bà thi‚u d¤n tîi khâ kh«n trong vi»c x¥y düngnghi»m x§p x¿ v chøng minh sü hºi tö cıa nghi»m

13x§p x¿ tîi nghi»m kh£o s¡t theo thu“t to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc Khâ kh«n

n y ¢ ÷æc kh›c phöc trong mºt sŁ mæ h…nh cö th”, â l h» Navier-Stokes haichi•u [23] v h» Leray- ba chi•u [24], b‹ng c¡ch sß döng i•u ki»n khæng n†n

÷æc r Y = 0 ” bi”u di„n c¡c sŁ h⁄ng øng vîi th nh phƒn ch÷a bi‚t thæng qua c¡c

sŁ h⁄ng øng vîi c¡c th nh phƒn ¢ bi‚t Tuy nhi¶n, "ch…a khâa" n y ch÷a th”khflng ành luæn dòng ÷æc cho måi mæ h…nh nâi chung v c¡c -mæ h…nhnâi ri¶ng â l trong tr÷íng hæp b i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc, cÆn theohi”u bi‚t cıa chóng tæi b i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c vîi ph†p o rót gån cho ‚nnay v¤n ch÷a ÷æc thi‚t l“p v nghi¶n cøu

Tł nhœng ph¥n t‰ch tr¶n, nhœng v§n • mð m chóng tæi quan t¥mnghi¶n cøu trong lu“n ¡n n y bao gçm:

B i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi mºt sŁ -mæ h…nh trong khæng gian ba chi•u

B i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc Łi vîi mºt sŁ -mæ h…nh trong khæng gian ba chi•u, trong â ch¿ sß döng ph†p o tr¶n hai th nh phƒn cıa vectìv“n tŁc

B i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi mºt sŁ -mæ h…nh trong khæng gian ba chi•u, trong â ch¿ sß döng ph†p o tr¶n hai th nh phƒn cıa vectìv“n tŁc

3 Möc ‰ch, Łi t÷æng v ph⁄m vi nghi¶n cøu

Möc ‰ch cıa lu“n ¡n: Nghi¶n cøu b i to¡n çng hâa dœ li»u, c£ trong tr÷íng hæp li¶n töc v tr÷íng hæp ríi r⁄c, Łi vîi mºt sŁ -mæ h…nh trong cìhåc ch§t läng

Łi t÷æng nghi¶n cøu: Nghi¶n cøu sü tçn t⁄i duy nh§t to n cöc v ¡nh gi¡ti»m c“n theo thíi gian cıa hi»u giœa nghi»m cıa h» çng hâa dœ li»u (gåi l nghi»m x§p x¿) vîi nghi»m kh£o s¡t cıa h» gŁc (nâi ri¶ng l

sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ v• nghi»m kh£o s¡t khi thíi gian ra væ còngn‚u ph†p o khæng câ sai sŁ), Łi vîi mºt sŁ -mæ h…nh trong cì håc ch§tläng.

Ph⁄m vi nghi¶n cøu: Trong c¡c mæ h…nh d÷îi ¥y v = u 2 u C¡c mæh…nh ÷æc x†t tr¶n kho£ng [t0; 1), vîi i•u ki»n bi¶n tuƒn ho n tr¶n h…

nh hºp = [0; L]3 v i•u ki»n ban ƒu u(t0) = u0 ch÷a bi‚t

Nºi dung 1: B i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi h»

5 K‚t qu£ cıa lu“n ¡n

Lu“n ¡n ¢ ⁄t ÷æc nhœng k‚t qu£ ch‰nh sau ¥y:

Chøng minh ÷æc sü tçn t⁄i duy nh§t cıa nghi»m x§p x¿ v ¡nh gi¡ ÷æc ti»m c“n theo thíi gian cıa hi»u giœa nghi»m x§p x¿ v nghi»m kh£o s¡t cho b i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi h» Leray- ba chi•u v h» Navier-Stokes- ba chi•u trong tr÷íng hæp ph†p o câ th” câ sai sŁ °c bi»t, khi khæng câ sai sŁ ta thu ÷æc sü hºi tö theo tŁc º mô cıa nghi»m x§p x¿ hºi tö tîi nghi»m kh£o s¡t khi thíi gian ti‚n tîi væ còng ¥y l nºi dung ch‰nh cıa Ch÷ìng 2 v Ch÷ìng 3

Chøng minh ÷æc sü tçn t⁄i duy nh§t cıa nghi»m x§p x¿ v sü hºi tö theo tŁc º mô cıa nghi»m x§p x¿ tîi nghi»m kh£o s¡t Łi vîi b i to¡n çng hâa

dœ li»u li¶n töc Łi vîi h» Bardina ìn gi£n hâa ba chi•u m ch¿ sß döng ph†p o tr¶n hai th nh phƒn cıa vectì v“n tŁc ¥y l nºi dung ch‰nh cıa Ch÷ìng 4

Chøng minh ÷æc sü tçn t⁄i duy nh§t cıa nghi»m x§p x¿ v sü hºi tö theo tŁc º mô cıa nghi»m x§p x¿ v• nghi»m kh£o s¡t cho c£ b i to¡n çng hâa

dœ li»u li¶n töc v ríi r⁄c Łi vîi h» Leray- c£i bi¶n ba chi•u m ch¿ sß döngph†p o tr¶n hai th nh phƒn cıa vectì v“n tŁc ¥y l nºi dung ch‰nh cıa Ch÷ìng 5

C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n l nhœng âng gâp câ þ ngh¾a cho L‰ thuy‚t c¡c ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng trong cì håc ch§t läng v L‰ thuy‚t çng hâa dœ

li»u; gâp phƒn v o vi»c ho n thi»n c¡c l‰ thuy‚t n y v gi£i quy‚t mºt sŁ v§n •

mð ÷æc nhi•u nh khoa håc trong v ngo i n÷îc quan t¥m

C¡c k‚t qu£ ch‰nh ⁄t ÷æc ¢ ÷æc cæng bŁ ho°c ang gßi «ng tr¶n mºt sŁt⁄p ch‰ chuy¶n ng nh quŁc t‚ (xem phƒn Danh möc cæng tr…nh khoa håc)

v ¢ ÷æc b¡o c¡o t⁄i c¡c hºi th£o v seminar khoa håc sau:

Hºi nghà to¡n håc to n quŁc lƒn thø 8, Nha Trang, th¡ng 8/2018;

Hºi nghà nghi¶n cøu khoa håc cıa nghi¶n cøu sinh, Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi, c¡c n«m 2017 v 2018;

Seminar cıa Bº mæn Gi£i t‰ch, Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m

H Nºi

6 C§u tróc cıa lu“n ¡n

Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, danh möc c¡c cæng tr…nh khoa håc li¶n quan ‚n lu“n ¡n v danh möc t i li»u tham kh£o, lu“n ¡n gçm 5 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng 2 B i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi h» Leray-

Ch÷ìng 3 B i to¡n çng hâa dœ li»u ríi r⁄c Łi vîi h» Navier-Stokes- Ch÷ìng 4 B i to¡n çng hâa dœ li»u li¶n töc rót gån Łi vîi h» Bardina

ìn gi£n hâa

Ch÷ìng 5 B i to¡n çng hâa dœ li»u rót gån Łi vîi h» Leray- c£i bi¶n

1.1 Mºt sŁ -mæ h…nh trong cì håc ch§t läng

Mºt lîp h» ch¿nh hâa phŒ bi‚n v th÷íng g°p cıa h» Navier-Stokes ba chi•u l c¡c -mæ h…nh trong cì håc ch§t läng C¡c -mæ h…nh n y thu ÷æc b‹ng c¡ch thay v = u 2 u v thay sŁ h⁄ng phi tuy‚n (v r)v trong h» Navier-Stokes

÷æc h» Navier-Stokes D÷îi ¥y ta li»t k¶ c¡c -mæ h…nh ÷æc nghi¶n cøutrong lu“n ¡n

> @v

< u = r v = 0:

>r

:Trong t§t c£ c¡c h» tr¶n, u = u(x; t) bi”u di„n cho v“n tŁc cıa dÆng ch£y, v =

u 2 u v > 0 l mºt tham sŁ cho tr÷îc — ¥y, p l mºt h m væ h÷îng, bi”u thà cho

¡p su§t v f l h m ngo⁄i lüc

Trong nhœng n«m gƒn ¥y, ¢ câ nhi•u k‚t qu£ v• sü tçn t⁄i duy nh§tnghi»m to n cöc v d¡ng i»u ti»m c“n nghi»m thæng qua sü tçn t⁄i v t‰nh ch§tcıa t“p hót to n cöc cho c¡c -mæ h…nh; xem, chflng h⁄n, [10, 11, 15, 34, 40,

41, 42, 55] Xin xem th¶m b i b¡o [33] v• mºt sŁ -mæ h…nh quan trång kh¡ctrong cì håc ch§t läng v k‚t qu£ to¡n håc li¶n quan ‚n chóng

1.2 To¡n tß nºi suy Ih

Trong lu“n ¡n n y ta x†t to¡n tß nºi suy Ih l mºt to¡n tß tuy‚n t‰nh thäa m¢nmºt trong hai tr÷íng hæp sau, lƒn l÷æt gåi l to¡n tß nºi suy lo⁄i I v to¡n tß nºisuy lo⁄i II

Tr÷íng hæp 1 Ih : H1( ) ! L2( ) v

k’ Ih(’)k2L 2 ( ) 0h2k’k2H 1 ( ); 8’ 2 H1( ):

19Tr÷íng hæp 2 Ih : H2( ) ! L2( ) v

k’ Ih(’)k2L 2 ( ) 1h2k’k2H 1 ( ) + 2h4k’k2H 2 ( ); 8’ 2 H2( ):

D÷îi ¥y ta tr…nh b y mºt sŁ v‰ dö v• c¡c to¡n tß nºi suy Ih th÷íng g°p (xem th¶m trong [2, 5])

V‰ dö 1 (to¡n tß nºi suy Ih lo⁄i I): Ph†p chi‚u Fourier

Tr¶n mi•n L-tuƒn ho n = [0; L]3, gi£ sß h m ’ câ bi”u di„n Fourier

V‰ dö 2 (to¡n tß nºi suy Ih lo⁄i I): C¡c phƒn tß th” t‰ch

Chia mi•n tuƒn ho n = [0; L]3

th nh c¡c khŁi l“p ph÷ìng k, k = 1; : : : ; N,

N p

tr¶n k ÷æc ành ngh¾a bði

hui = 1 Z k u(x)dx:

kj

Ta x¥y düng to¡n tß nºi suy Ih nh÷ sau

x 2= k v k (x) = 1 vîi x 2 k — ¥y ta gi£ sß r‹ng gi¡ trà trung b…nh cıa

’ tr¶n mØi h…nh l“p ph÷ìng con k l cho tr÷îc Ng÷íi ta chøng minh ÷æc

kj =L3 Gi£

3

sß i”m xj b§t k… thuºc j l i”m m dœ li»u o ⁄c cıa v“n tŁc dÆng ch£y

÷æc thu th“p Ta ành ngh¾a to¡n tß Ih nh÷ sau

trong â h = L= 3 N

1.3 T“p hót to n cöc

Gi£ sß (X; k k) l mºt khæng gian Banach v nßa kho£ng c¡ch Hausdorff distX

( ; ) giœa hai t“p con A; B cıa X ÷æc ành ngh¾a nh÷ sau

distX (A; B) := sup inf kab bk; vîi A; B X:

2 B

a2A

21ành ngh¾a 1.1 H» ºng lüc l mºt c°p (X; S(t)) gçm mºt khæng gianBanach X v mºt hå c¡c ¡nh x⁄ S(t) : X ! X, t 0, thäa m¢n:

1) S(0) = Id;

2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s);

3) vîi måi t 0; S(t) 2 C0(X; X);

4) vîi måi u 2 X, ¡nh x⁄ t 7!S(t)u thuºc C0((0; +1); X)

Hå c¡c ¡nh x⁄ S(t) : X ! X, t 0 thäa m¢n c¡c i•u ki»n tr¶n ÷æc gåi

l mºt nßa nhâm li¶n töc tr¶n X Khæng gian X ÷æc gåi l khæng gian pha(hay khæng gian tr⁄ng th¡i)

ành ngh¾a 1.2 Nßa nhâm S(t) gåi l ti¶u hao bà ch°n (gåi t›t l ti¶u hao) n‚utçn t⁄i mºt t“p bà ch°n B0 X sao cho vîi måi t“p bà ch°n B X, tçn t⁄i T = T (B) 0sao cho S(t)B B0, 8 t T T“p B0 nh÷ v“y ÷æc gåi l mºt t“p h§p thö Łi vîi nßanhâm S(t)

ành ngh¾a 1.3 Mºt t“p con kh¡c rØng A cıa X gåi l mºt t“p hót to n cöc Łivîi nßa nhâm S(t) n‚u:

1) A l mºt t“p compact;

2) A l b§t bi‚n, tøc l S(t)A = A vîi måi t 0;

3) A hót måi t“p con bà ch°n B cıa X, tøc l

lim dist(S(t)B;

! 1

ành l‰ d÷îi ¥y mæ t£ c§u tróc cıa t“p hót to n cöc

ành l‰ 1.1 ([50]) Gi£ sß nßa nhâm S(t) câ t“p hót to n cöc A Khi â A lhæp cıa måi quÿ ⁄o ƒy ı bà ch°n (nâi ri¶ng l c¡c i”m dłng v c¡c quÿ ⁄o tuƒn ho

n, n‚u câ, •u n‹m tr¶n A)

K‚t qu£ d÷îi ¥y ch¿ ra r‹ng c¡c quÿ ⁄o tr¶n t“p hót to n cöc s‡ quy‚t ành c¡cd¡ng i»u ti»m c“n câ th” câ cıa c¡c quÿ ⁄o ri¶ng l·, ngh¾a l sau mºt thíi i”m ılîn, b§t k… mºt quÿ ⁄o n o cıa ph÷ìng tr…nh gŁc træng s‡ giŁng nh÷ mºtquÿ ⁄o n o â tr¶n t“p hót trong mºt kho£ng thíi gian ı d i.

ành l‰ 1.2 ([50]) Gi£ sß nßa nhâm S(t) câ t“p hót to n cöc A Cho tr÷îcmºt quÿ ⁄o u(t) = S(t)u0, mºt sai sŁ " > 0 v mºt kho£ng thíi gian T > 0 Khi âtçn t⁄i mºt thíi i”m = ("; T ) v mºt i”m v0 2 A sao cho

ku( + t) S(t)v0k " vîi måi 0 t T:

K‰ hi»u P : (L ( )) ph†p chi‚u Leray, trong â (L ( ))

c¡c h m thuºc (L2( ))3 vîi trung b…nh b‹ng 0 v A = l to¡n tß Stokes,vîi mi•n x¡c ành D(A) = (H2( ))3 \ V Trong tr÷íng hæp i•u ki»n bi¶n tuƒn ho

n, A = jD(A) To¡n tß Stokes A l to¡n tß tuy‚n t‰nh d÷ìng tü

23li¶n hæp vîi nghàch £o compact Do â tçn t⁄i mºt t“p hæp c¡c h m ri¶ng l“p th

nh mºt cì sð trüc chu'n ƒy ı fwjg1j=1 H, sao cho Awj = jwj v

j hB(u; v); wiV 0 ;V j c3juj kuk kvkkwk; 8u; v; w 2 V;

j hB(u; v); wiD(A) 0 ;D(A) j c4jujkvkkwk1=2jAwj1=2; 8u 2 H; v 2 V; w 2 D(A):

D(A) 0 ;D(A) c0 kuk1=2jAuj1=2kvk jAwj (1.12)

Tł (1.9) v (1.12) ta câ

(1.14)

25kBe(u; Av)kD(A) 0 2c0 1 1=4jAuj kvk; 8u 2 D(A); v 2 V: (1.15)

CuŁi möc n y ta nh›c l⁄i mºt sŁ b§t flng thøc giœa c¡c khæng gian h m,th÷íng xuy¶n ÷æc sß döng trong lu“n ¡n

Ta câ c¡c phi¶n b£n sau cıa b§t flng thøc Poincar† (xem [50, 51]):

= (u; u) + 2 2(u; Au) + 4(Au; Au)

= juj2 + 2 2kuk2 + 4jAuj2:

Trong khæng gian ba chi•u, ta câ b§t flng thøc Agmon (xem [50, 51]):

kukL1( ) c1kuk1=2 Au 1=2;8u 2 D(A); (1.21)

b§t flng thøc Ladyzhenskaya (xem [50, 51]):

kukL 4 ( ) c2juj1=4kuk3=4; 8u 2 V; (1.22)

kukL 3 ( ) c3juj1=2kuk1=2; 8u 2 V; (1.23)

v b§t flng thøc Sobolev (xem [50, 51]):

kukL 6 ( ) c4kuk; 8u 2 V: (1.24)

x(t) (x(0) +

Nºi dung cıa ch÷ìng n y düa tr¶n cæng tr…nh [CT1] trong Danh möccæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n.

2.1 °t b i to¡n

Trong nhœng n«m gƒn ¥y, nhœng v§n • to¡n håc li¶n quan tîi h» Leray-,bao gçm sü tçn t⁄i, t‰nh ch‰nh quy cıa nghi»m, sü hºi tö v d¡ng i»u cıanghi»m theo thíi gian ¢ thu hót sü chó þ cıa nhi•u nh to¡n håc [3, 11, 14, 15,

19, 29, 49, 53] B i to¡n çng hâa dœ li»u cho h» Leray- ba chi•u mîi ¥y ¢

÷æc nghi¶n cøu trong tr÷íng hæp dœ li»u thu th“p l li¶n töc theo thíi gian vkhæng câ sai sŁ [24]

Trong ch÷ìng n y, ta s‡ nghi¶n cøu mºt tr÷íng hæp mang t‰nh thüct‚ hìn, khi m c¡c dœ li»u thu th“p ÷æc l ríi r⁄c theo bi‚n thíi gian v câ th” chøasai sŁ D÷îi ¥y, ta s‡ gi£i th‰ch rª v• v§n • s‡ ÷æc nghi¶n cøu

Gi£ sß r‹ng sü ti‚n hâa cıa u ÷æc mæ t£ bði h» Leray- ba chi•u vîi i•uki»n bi¶n tuƒn ho n tr¶n mi•n = [0; L]3

v > 0 l mºt tham sŁ cho tr÷îc, p l mºt h m væ h÷îng bi”u thà cho ¡p su§t v

f l h m ngo⁄i lüc, vîi gi£ thi‚t f khæng phö thuºc thíi gian

Ta gi£ sß ftngn2N l mºt d¢y t«ng c¡c thíi i”m trong [t0; 1) m t⁄i â c¡c sŁ li»u

÷æc thu th“p Ta gi£ thi‚t r‹ng

tn < tn+1; 8n 2 N v tn ! 1 khi n ! 1:

Hìn nœa, ta k‰ hi»u kho£ng c¡ch lîn nh§t giœa hai lƒn o li¶n ti‚p bði tham

sŁ d÷ìng , tøc l

jtn+1 tnj ; 8n 2 N:

Ta k‰ hi»u n l sai sŁ cıa ph†p o t⁄i thíi i”m tn Do â c¡c sŁ li»u o ⁄c t⁄i thíi i”m

tn ÷æc bi”u di„n bði

v~(tn) = Pm(v(tn)) + n; (2.2)trong â v l nghi»m kh£o s¡t ch÷a bi‚t cıa h» Leray- ba chi•u (2.1), Pm :

H ! spanfw1; : : : ; wmg l ph†p chi‚u trüc giao cıa H l¶n khæng gian con

Hm = spanfw1; : : : ; wmg sinh bði m vectì ri¶ng ƒu ti¶n cıa to¡n tß Stokes A v

n l sai sŁ cıa ph†p o t⁄i thíi i”m tn Ta gi£ sß f ngn2N bà ch°n trong

H bði h‹ng sŁ E0 Chó þ r‹ng Pmu(tn) l ch÷a bi‚t v ta ch¿ bi‚t u~(tn)

B¥y gií, düa tr¶n c¡ch ti‚p c“n trong [27] ta giîi thi»u thu“t to¡n çng hâa dœli»u ríi r⁄c nh‹m i t…m mºt nghi»m x§p x¿ z cıa nghi»m kh£o s¡t v:

Cho tr÷îc mºt dœ li»u ban ƒu tòy þ z0 2 V , ta i t…m mºt h m z thäa m¢n z(t0)

= z0, vîi còng i•u ki»n bi¶n nh÷ cıa v, v thäa m¢n h» sau:

l h m °c tr÷ng cıa kho£ng [tn; tn+1), v > 0 l tham sŁ gi¢n (h» sŁ nudging) Nh÷

¢ ÷æc • c“p ‚n trong [27], mºt ÷u i”m cıa thu“t to¡n n y l dœ ki»n ban ƒu z0 cıanghi»m x§p x¿ câ th” ÷æc chån mºt c¡ch tòy þ

Sß döng ành ngh¾a cıa v~(tn) cho ð (2.2) v c¡c to¡n tß ành ngh¾a ðCh÷ìng 1, ta câ th” vi‚t l⁄i h» (2.3) d÷îi d⁄ng t÷ìng ÷ìng sau

÷æc sü hºi tö mô cıa z tîi v, t÷ìng tü nh÷ k‚t qu£ thu ÷æc trong tr÷íng hæpçng hâa dœ li»u li¶n töc trong [24]

V… möc ti¶u cıa chóng ta l nghi¶n cøu d¡ng i»u ti»m c“n cıa nghi»m,

n¶n trong ch÷ìng n y ta gi£ thi‚t nghi»m kh£o s¡t v l mºt quÿ ⁄o n‹m trong t“phót to n cöc A cıa h» Leray- ba chi•u Tuy v“y, c¡c k‚t qu£ n y v¤n óng n‚u tagi£ thi‚t r‹ng v l mºt nghi»m cıa h» Leray- ba chi•u xu§t ph¡t tł v(t0) = v0 2 Hvîi t0 ı lîn sao cho ¡nh gi¡ cıa v ð (2.7) d÷îi ¥y ÷æc thäa m¢n, sai kh¡c mºth‹ng sŁ d÷ìng T§t c£ c¡c k‚t qu£ n y v¤n óng n‚u ta gi£ thi‚t ngo⁄i lüc f 2

2.2 Sü tçn t⁄i duy nh§t v sü hºi tö cıa nghi»m x§p x¿ tîi nghi»m kh£o s¡t

Ta vi‚t l⁄i h» Leray- ba chi•u d÷îi d⁄ng

dt + Av + B(u; v) = Pf;

vîi v = u + 2Au, v i•u ki»n ban ƒu v(0) = v0 2 H

Tr÷îc ti¶n ta nh›c l⁄i k‚t qu£ v• t‰nh °t óng cıa h» Leray- ba chi•u

Hìn nœa, nßa nhâm t÷ìng øng S(t) : H ! H câ mºt t“p hót to n cöc A trong

H Hìn nœa, vîi måi v 2 A, ta câ p

1=4 1

(2.6)

31vîi Gr = 2 1 3=4jfj l sŁ Grashof.

Sü tçn t⁄i duy nh§t nghi»m to n cöc cıa b i to¡n gi¡ trà ban ƒu Łi vîih» çng hâa dœ li»u (2.4) ÷æc cho bði ành l‰ sau ¥y.

ành l‰ 2.2 Gi£ sß z0 2 H; f 2 H v v l mºt quÿ ⁄o n‹m trong t“p hót

to n cöc A cıa h» Leray- ba chi•u Khi â, tçn t⁄i duy nh§t mºt nghi»m z cıa h»çng hâa dœ li»u (2.4) tr¶n kho£ng [t0; 1) thäa m¢n z(t0) = z0 v

dz

;1;V0): (2.8)

z 2 C([t0; 1); H) \ Lloc2(t0; 1; V ); dt 2 Lloc2(t0

Chøng minh X†t h0 = f (Pm(z0) v~(t0)) V… z0 2 H v h0 2 H, theo ànhl‰ 2.1, tçn t⁄i duy nh§t mºt nghi»m z0 cıa h» Leray- ba chi•u tr¶n kho£ng[t0; 1) t÷ìng øng vîi h m ngo⁄i lüc h0 v thäa m¢n z0(t0) = z0

Khi â, x†t h1 = f (Pm(z0(t1)) v~(t1)) 2 H v l⁄i ¡p döng ành l‰2.1 mºt lƒn nœa, ta câ mºt nghi»m duy nh§t z1 cıa h» Leray- tr¶n kho£ng

[t1; 1) t÷ìng øng vîi h m ngo⁄i lüc h1 v thäa m¢n z1(t1) = v0(t1) 2 H Ti‚p töcthüc hi»n theo quy n⁄p, ta câ vîi måi n 2 N tçn t⁄i duy nh§t

mºt nghi»m zn cıa h» Leray- ba chi•u tr¶n kho£ng [tn; 1) t÷ìng øng vîi h mngo⁄i lüc hn = f (Pmzn1(tn) v~(tn)) 2 H v thäa m¢n zn(tn) = zn1(tn) 2 H

Gi£ sß z l h m x¡c ành tr¶n kho£ng [t0; 1) nh÷ sau:

z(t) = zn(t); 8t 2 [tn; tn+1); 8n 2 N:

Tł c¡ch x¡c ành nh÷ tr¶n, ta câ z l mºt nghi»m cıa (2.4) thäa m¢n z(t0) = z0

v (2.8) Th“t v“y, flng thøc zn(tn) = zn 1(tn), thäa m¢n vîi måi n 2 N,

£m b£o r‹ng z l mºt h m li¶n töc tr¶n kho£ng [t0; 1) trong H Hìn nœa, v…

” chøng minh t‰nh duy nh§t nghi»m, gi£ sß r‹ng z~ l mºt nghi»m kh¡ccıa (2.4) tr¶n kho£ng [t0; 1) thäa m¢n z~(t0) = z0 Suy ra z~j[t 0 ;t 1 ) l mºtnghi»m cıa h» Leray- tr¶n [t0; t1) t÷ìng øng vîi ngo⁄i lüc h0 thäa m¢n z~j[t 0 ;t 1 )

(t0) = z0 = zj[t 0 ;t 1 )(t0), do â z~j[t 0 ;t 1 ) = zj[t 0 ;t 1 ) Nh÷ng v… z; z~ 2 C([t0; 1); H)n¶n chóng ph£i tròng nhau tr¶n kho£ng âng [t0; t1] Khi â, ta câ th” ¡p döng l⁄il“p lu“n n y tr¶n kho£ng ti‚p theo [t1; t2) v ti‚n h nh quy n⁄p cho måi kho£ngcon [tn; tn+1), n 2 Do â, z = z~

°t

BH (M0) := fz 2 H : jzj M0g :

ành l‰ sau ¥y l k‚t qu£ ch‰nh cıa ch÷ìng n y

ành l‰ 2.3 Gi£ sß v l mºt quÿ ⁄o n‹m trong t“p hót to n cöc A cıa h»

Leray-ba chi•u v gi£ sß M0 l h‹ng sŁ d÷ìng trong ¡nh gi¡ nghi»m v cho ð (2.7) X†t

z0 2 BH (M0) v gi£ sß z l nghi»m duy nh§t cıa h» çng hâa dœ li»u (2.4) tr¶nkho£ng [t0; 1) thäa m¢n z(t0) = z0 Gi£ sß r‹ng f ngn2N l mºt d¢y bà ch°ntrong H, tøc l tçn t⁄i mºt h‹ng sŁ E0 0 sao cho

(2.12)

lim sup jz(t) v(t)j cE0:

t!1

Hìn nœa, n‚u E0 = 0 th… z(t) ! v(t) trong H, vîi tŁc º mô, khi t ! 1

— ¥y, h‹ng sŁ c0 cho ð (1.2) v c l mºt h‹ng sŁ d÷ìng khæng phö thuºc

35Hìn nœa, sß döng b§t flng thøc Poincar† (1.16) v (2.9), ta câ

Hìn nœa, sß döng b§t flng thøc Poincar† (1.17), tł (2.29) ta suy ra

j (t)j R; 8t 2 ~

[t0; t]:

Nâi ri¶ng, j (t)j R v tł ành ngh¾a cıa t trong (2.27) ta suy ra t

â, ta công câ j (t1)j R v câ th” ¡p döng l⁄i l“p lu“n nh÷ tr¶n ” thu ÷æc

tn, vîi måi n 0 Hìn

t t2 v j (t2)j R Ti‚p töc b‹ng quy n⁄p, ta câ t

nœa, ta thu ÷æc giŁng nh÷ ð (2.34) r‹ng