SKKN giải phương trình bất phương trình hệ phương trình với sự hỗ trợ của máy tính casio FX 570 VN plus

Lý do chọn đề tài - Trong chương trình môn toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các emhọc sinh đã được tiếp cận với các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình, hệphương t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮKTRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ

——————————

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA

MÁY TÍNH CASIO fx-570 VN PLUS

NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN HỮU HẢI

KRÔNG BÚK, THÁNG 2 NĂM 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮKTRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO fx-570 VN PLUS

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Hữu Hải

Krông Búk, tháng 2 năm 2016

MỤC LỤC

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Phạm vi áp dụng 3

2 NỘI DUNG 3 2.1 Một số kiến thức cơ sở 3

2.1.1 Định lý Vi-ét 3

2.1.2 Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản 3

2.1.3 Các dạng bất phương trình vô tỉ cơ bản 3

2.2 Một số bài toán 4

2.3 Bài tập 13

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 15 3.1 Kết luận 15

3.2 Kiến nghị 15

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

- Trong chương trình môn toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các emhọc sinh đã được tiếp cận với các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình, hệphương trình và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bàitoán cơ bản đơn giản Tuy nhiên trong thực tế các bài toán đó trong các đề thi tuyểnsinh ĐH-CĐ rất phong phú và đa dạng, mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giảinhưng trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, sáng sủa thậm chí còn mắc một sốsai lầm không đáng có , Tại sao lại như vậy?

- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trìnhbày đang còn đơn giản về nội dung, giới thiệu sơ lược một số ví dụ và đưa ra cách giảikhá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạnchế Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quátrình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng đểhình thành kỹ năng giải cho học sinh Nhưng trong thực tế, để giải được các bài toánnày đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao vàphải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục

- Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ về Công nghệ thông tin, Máy tính bỏ túi(MTBT) là công cụ rất hữu hiệu hỗ trợ học sinh trong quá trình học và giáo viên trongquá trình dạy Có nhiều bài toán khó nhưng với chiếc MTBT chúng ta có thể tìm đượcphương pháp giải

- Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong các đề thiĐH-CĐ là tương đối khó, với mục đích giúp học sinh có thêm kỹ năng giải quyết bàitoán nên tôi xin trình bày một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệphương trình với sự hỗ trợ của MTBT CASIO fx-570 VN PLUS

1.2 Mục đích nghiên cứu

• Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích trang bị thêm cho học sinh phươngpháp giải toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và kỹ năng sửdụng MTBT để hỗ trợ tìm kiếm lời giải

• Giúp học sinh tự tin hơn khi tiếp cận bài toán, khi bên cạnh các em có thêm phươngtiện học tập đắc lực là MTBT, qua đó nâng cao hiệu quả hơn trong các kỳ thi, đặcbiệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia

• Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân, cho đồng nghiệp, tạo cảm hứng chohọc sinh trong quá trình học tập

• Hướng ứng phong trào thi đua viết SKKN của tập thể giáo viên trường THPTNguyễn Văn Cừ năm học 2015 - 2016

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành bài viết với đề tài này tôi đã nghiên cứu kỹcác phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và kỹ năng

sử dụng máy tính cầm tay để giải toán

• Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là nội dung chương trình môntoán THPT đặc biệt là các chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình và hệ bất phương trình và kiến thức về ứng dụng của máy tính bỏ túi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận

• Sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm thực tiễn

t 1 = 0, 618 lưu t 1 vào biến A

t 2 = 3, 58 lưu t 2 vào biến B

t 3 = −1, 618 lưu t 3 vào biến C

t4= −2, 089 lưu t4vào biến D

Bảng 1:

A + B = 4, 20748 A.B = Nhân tử: Không xác định được

A + C = −1 A.C = −1 Nhân tử là t 2 + t − 1

A + D = −1, 47142 A.D= Nhân tử: Không xác định được

B + C = 1, 97142 B.C = Nhân tử: Không xác định được

C + D = −3, 70748 C.D = Nhân tử: Không xác định được

Bảng 2:

Vì vậy phương trình (2) tương đương 2(t2+ t − 1)



t2−3

2t −

152

t = 3 −

√129

Nếu phương trình (2) có nhân tử chung thì ta sẽ tìm quy luật bằng cách nhập phươngtrình (2) vào màn hình máy tính, rồi dùng chức năng dò SHIFT SLOVE, nhưng mặcđịnh máy tính chỉ hiểu x là biến còn y là tham số Do đó máy yêu cầu nhập y và máy

sẽ tìm x, ta nhập vài giá trị y đơn giản để tìm giá trị x tương ứng, qua đó ta tìm ra quyluật biểu diễn giữa x và y

Kết quả được thể hiện qua bảng sau

y 1 2 3 4

Bảng 3:

Nhìn vào bảng ta nhận thấy các cặp số (2; 0.5); (3; 1), (4; 1.5) có quy luật biểu diễn

là y = 2x + 1 Do đó ta dự đoán nhân tử chung của phương trình là 2x + 1 − y

Giải: Phương trình (2) tương đương x2(2x − y + 1) + y(y − 2x − 1) = 0



, (1; 1) Nhận xét: Chúng ta cũng có thể giải bài toán trên bằng phương pháp rút thế, sau đó sửdụng máy tính trong việc hỗ trợ giải phương trình bậc cao, được trình bày sau

Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên từ phương trình (1) ta có

(x2+ x − 1)(x2+ x + 2) = 0 ⇔ x2+ x − 1 = 0, phương trìnhx2+ x + 2 = 0 vô nghiệm.



−1 +√5

√5

Giải: Điều kiện của bất phương trình: x ≥ 1 +√

(II)

Giải hệ (I) và kết hợp với điều kiện (∗) ta có tập nghiệm T1 =1 +√

3; 2 +√

6
Giải hệ (II): Bất phương trình x2−4x−2 ≥ 0 ⇔ x ∈ −∞; 2 −√6∪2 +√

6; +∞
, (∗∗).Bây giờ ta cần đến sự hỗ trợ của máy tính để giải bất phương trình

x(x + 1)(x − 2) ≥ (x2− 4x − 2)2 ⇔ x4− 9x3+ 13x2+ 18x + 4 ≤ 0 (2)

Nhập vế trái của bất phương trình vào máy tính, dùng chức năng SHIFT SLOVE ta dòđược 4 nghiệm

x 1 = −0.65 Lưu x 1 vào biến A

x2= −0.32 Lưu x2vào biến B

x 3 = 3.20 Lưu x 2 vào biến C

x 4 = 6.50 Lưu x 4 vào biến D

Bảng 5:

Thử tổng và tích các nghiệm ta có A + D = 6; A.D = −4 và B + C = 3; B.C = −1.Nên bất phương trình (2) tương đương (x2− 6x − 4)(x2− 3x − 1) ≤ 0

Giải bất phương trình này bằng phương pháp lập bảng xét dấu ta có nghiệm x ∈



3 −√

13;3 −

√132



∪



3 +√13

2 ; 3 +

√13

Nhận xét: Cách giải thứ hai trình bày gọn gàng hơn cách thứ nhất nhưng học sinh sẽkhó lòng thực hiện khi tạo nhân tử chung bằng cách này.

Bài toán 4

Giải phương trình √3

12x2+ 46x − 15 −√3

x3− 5x + 1 = 2(x + 1), (1) trên tập số thực.Phân tích và lời giải: Nhập phương trình (1) vào máy tính Dùng chức năng SHIFTSLOVE ta dò được ba nghiệm

x1= 2 Lưu x1vào biến A

x2= −2.41 Lưu x2vào biến B

x 3 = 0.414 Lưu x 3 vào biến C

x2− 2xy − y2 = 2, (2)Phân tích: Phương trình (2) đơn giản nhưng dùng máy tính ta không phát hiện ra quyluật biểu diễn giữa x và y, nhưng với phương trình (1) ta lại tìm ra quy luật biểu diễngiữa x và y.

x 0.5 0 -0.5 -1 Bảng 7:

Từ bảng ta dự đoán cách biểu diễn là y = 1 − 2x Do đó phương trình (1) sẽ có nhân

tử chung là 2x + y − 1, từ đó ta có cách điều chỉnh để xuất hiện biểu thức này

Giải: Điều kiện của hệ là 2x + y ≥ 0

Phương trình (1) tương đương

2(√

2x + y − 1) + 2 = 3 − 2x − y

⇔ 2√2x + y − 1

2x + y + 1 + 2x + y − 1 = 0

x = 1 ⇒ y = −1, thỏa mãn điều kiện

x = −3 ⇒ y = 7, thỏa mãn điều kiện

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; −1), (−3; 7)

Ta dự đoán được mối liên hệ giữa x và y là: x.y = 1, tức nhân tử chung là xy − 1.Giải: Phương trình (2) ⇔ xy(x2+ y2) + 2 = x2+ y2+ 2xy

5 ;

2√25

Ta dự đoán nhân tử chung là x = y +1

3, nên ta sẽ sử dụng phương pháp liên hợp "épxuất hiện nhân tử chung" là 3y − 3x + 1

Giải: Điều kiện x ≥ y ≥ 0

Nếu x = y thì phương trình (2) vô nghiệm, suy ra x > y, do đó từ phương trình (2)

9 Ta lại tiếp tục ép để xuất hiện nhân tử chung là 4x − 9

Phương trình (∗∗) tương đương

⇔ 2x(9x − 4) + 2

3(9x − 4) + 3(

√9x − 3 − 1) = 0

√55

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Mặc dù chương trình SGK hiện hành đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thituyển sinh vào đại học cao đẳng, kỳ thi tốt nghiệp THPT hiện nay thì câu giải phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình vẫn thuộc dạng câu khó có tính phân loại

Do vậy nếu học sinh chỉ nắm vững kiến thức phương pháp giải toán trong SGK thì sốlượng học sinh giải được câu này là không nhiều Do vậy để học sinh đạt kết quả caohơn ngoài việc giáo viên trang bị thêm kiến thức phương pháp giải toán bổ trợ thì việcdạy cho các em có kỹ năng sử dụng và khai thác những thế mạnh mà MTBT mang lại

là điều hết sức cần thiết

Trong phạm vi bài viết này tôi xin giới thiệu một số bài toán về phương trình, hệphương trình, bất phương trình mà việc phân tích tìm kiếm lời giải được hỗ trợ bởiMTBT, có thể cách thực hiện mà tôi trình bày không gọn gàng nhưng với cách này họcsinh dễ dàng hơn trong việc xử lí và giải quyết một bài toán

Trong điều kiện đơn vị nơi tôi công tác số lượng và chất lượng học sinh còn rất hạnchế thì việc ứng dụng công nghệ thông tin vào quá trình học tập là rất cần được pháthuy

Mặc dù đã cố gắng nghiên cứu tham khảo nhiều tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạytrên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song với năng lực và thời gian có hạn, rất mong sựđóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, những người yêu thích môn toán để đề tàimang lại hiệu quả thiết thực hơn cho nhà trường, góp phần nâng cao hiệu quả giảngdạy của bản thân và chất lượng học tập cho học sinh

3.2 Kiến nghị

• Đối với hội đồng khoa học cấp trường:

Có giải pháp khuyến khích giáo viên tích cực trong việc tự nghiên cứu bồi dưỡng

nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ.

• Đối với sở giáo dục Đào tạo

- Cần tổ chức các buổi hội thảo chuyên môn thiết thực hơn trong việc trao đổinâng cao hiệu quả dạy học các chuyên đề

- Gửi các chuyên môn chất lượng và các SKKN đạt giải cao và có ứng dụng thựctiễn về các đơn vị để giáo viên có cơ hội trao đổi và học hỏi kinh nghiệm để nângcao hiệu quả dạy học và giáo dục

Krông Búk, tháng 2 năm 2016Người thực hiện

Nguyễn Hữu Hải

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thái Sơn, (2014), Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO

f x − 570V N P LU S, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Hà Nội

[2] Nguyễn Phú Khánh và cộng sự, Bí quyết đạt điểm 10 môn toán, (2014), Nhàxuất bản đại học quốc gia Hà Nội

[3] Nguyễn Hữu Biển, Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình