Giải phương trình 1 khi m3.. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB là x2y 1 0
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 12 tháng 6 năm 2020
Môn thi: Toán 10
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2 điểm): Cho hàm số 2
yx x có đồ thị là ( )P Tìm giá trị của tham số m để
đường thẳng d m:y x m cắt đồ thị ( )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 thỏa mãn
1 2
2
Câu 2 (4 điểm):
a Giải bất phương trình: 2 2
(x 3 ) 2x x 3x 1 0
b Giải hệ phương trình:
1
x x x x m , (1), (với m là tham
số)
a Giải phương trình (1) khi m3
b Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
Câu 4 (4 điểm):
a Cho cot 3, tính giá trị biểu thức: 2sin3 3cos3
cos 4sin
b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường
thẳng AB là x2y 1 0 Biết phương trình đường thẳng BD là x7y140và đường
thẳng AC đi qua điểm M(2;1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm E thỏa mãn BE3.EC0
Gọi I là giao điểm của AC và GE , tính tỉ số IA
IC
Câu 6 (2 điểm): Cho tam giác ABC có chu vi bằng 20, góc 0
60
BAC , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 3 Gọi A B C1, 1, 1 là hình chiếu vuông góc của A B C lên , , BC CA AB , ,
và M là điểm nằm trong tam giác ABC thỏa mãn ABM BCM CAM Tính cot và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C1 1 1
Câu 7 (2 điểm): Cho x, ,zy 2019;2020 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2019.2020 2019.2020 2019.2020 ( , , )
f x y z
-HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT (đối với môn Toán)
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang)
Trang 2ĐÁP ÁN THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11 – MÔN TOÁN
1) 2đ
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d m : x m x24x3
2
(*)
d m cắt đồ thị ( )P tại hai điểm phân biệt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2
13
4
Khi đó 1 2
1 2
5 3
1 2
2
x x thỏa mãn
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
2.a) 2đ
Giải bất phương trình: 2 2
(x 3 ) 2x x 3x 1 0 (**)
2
x x x
2
x nghiệm đúng
2
x : 2
(**)x 3x 0 x 3 x 0, thỏa mãn
Vậy (**) có nghiệm là: 3 x 0 1 x 1
2
x x
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
2.b) 2đ
Giải hệ phương trình:
1
2
ta có hệ pt:
2
3 2
0
a b
2
1
0
xy
3
a b
2
2
3 3
y xy
1
a b
2
x 1 0
1 1
y xy
Vậy nghiệm của hệ là : (1 ; 1) ; (0 ; -1) ; (-1 ; 3) ; (1 ; 0) ; (-1; 0)
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
3a) 2đ
x x x x : đk: x 4;5
Đặt
2
2
t
x x t x x Pttt:
2
9
3 2
t
t
0,5đ 0,5đ
Trang 3+ 2 x 4
5
x
0,5đ 0,5đ
3b) 2đ
Đặt
2
2
t
x x t x x t
Pttt:
2
2 9
2
t
t m t t m
( ) 2 ; 3;3 2 min ( ) (3) 3;max ( ) (3 2) 18 6 2
Vậy pt có nghiệm khi: 3 2 9 18 6 2 3 9 3 2
2
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
4a) 2đ
2sin 3cos 2(1 cot x) 3cot x(1 cot x) 70
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
4b) 2đ
Do BABBD nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
( ; );( 0)
AC
n a b a b là VTPT của AC,
D
3
2
AC AB B AB
a
7
b
a
+ a= -b: Chọn a = 1; b = -1 AC: x – y – 1 = 0
AABAC nên tọa độ A là nghiệm của hệ:
A 3;2
IDBAC nên tọa độ I là nghiệm của hệ:
7
I ;
2
x
y
Do I là trung điểm của AC và BD nên 14 12
C 4;3 ;D ;
5 5
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 45) 2đ
I A
B
M G
Gọi M là trung điểm BC đặt AI k CA
Do G, I, N thẳng hàng nên ta có:
IC
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
6) 2đ
c
b
a
A
B
C M
A
B
C A1
C1
B1
2
a b c 2 os60bc c a (b c) 3bc a (10a) 120 a 7
cot
23 3
0
1A1 1 1A1 1A1 1 1 60
đường tròn đường kính BC nên ta có:
1 1 0
1
7 7
sin
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 5Mà 1 1
7 3 R
2sin 60 6
B C
7) 2đ
Ta c/m: x,y2019;2020luôn có: 2019.2020 2020 2019
2
xy
4(2019.2020 xy) (x y) (2020 2019)
(2.2019.2020 2xy (x y)(2020 2019))(2.2019.2020 2xy (x y)(2020 2019)) 0
2020(2.2019 x y) x(2019 y) y(2019 x)
2019(2.2020 x y)x(2020 y) y(2020x)0 (đúng)
Vậy
xy
Dấu « = » xảy ra khi x = y = z = 2019
Áp dụng ta có :
2019.2020 2019.2020 2019.2020 ( , , )
f x y z
2.2019 2.2019 2.2019 4038
4038
0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ