GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở MÔ HÌNH ANDERSON – HUBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA

Họ đã chỉ ra rằng tại độ lấp đầy đặc biệt bằng nồng độ pha tạp x hoặc bằng x + 1, sự tương hỗ giữa các hiệu ứng tách vùng do mất trật tự và chuyển pha Mott do tương quan điện tử dẫn đến

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS.TS Hoàng Anh Tuấn

Hà Nội- 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy PSG.TS Hoàng Anh Tuấn Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên

Vũ Thị Vân

Lời cảm ơn

Sau một thời gian học tập, nghiên cứu với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn, động viên của Quý thầy giáo, cô giáo cùng sự chia sẽ giúp đỡ của các bạn trong lớp cao học, tôi đã hoàn thành luận văn của mình

Để hoàn thành luận văn cao học và trở thành người biết phương pháp nghiên cứu khoa học, tôi xin gởi đến thầy hướng dẫn trực tiếp tôi PGS.TS Hoàng Anh Tuấn lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý cũng như lòng kính trọng của mình Thầy không chỉ trang bị thêm cho tôi những kiến thức mới mà còn giảng lại cho tôi những kiến thức tôi chưa hiểu kĩ, thầy tận tình chỉ tôi bước đầu phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi làm quen

và có thể độc lập ứng dụng trong quá trình làm việc sau này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Tôi chân thành cảm ơn tới Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giải quyết kịp thời các công văn, thủ tục cần thiết tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và bảo vệ thành công luận văn của mình

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các bạn lớp cao học K2017A – Viện Vật

lý đã đồng hành, giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp, bạn bè

đã động viên, chia sẻ với tôi trong suốt thời gian tôi làm việc, học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

MIT Chuyển pha kim loại – điện môi

DMFT Lý thuyết trường trung bình động

TDOS Mật độ trạng thái điển hình

TMT Lý thuyết môi trường điển hình

L-DMFT Lý thuyết trường trung bình động tuyến tính hóa LDOS Mật độ trạng thái địa phương

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng……… 6

Hình 1.2 Bức tranh về phân vùng năng lượng trong hai trường hợp……… 8 Hình 1.3 Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp lấp đầy một nửa……….9 Hình 1.4 Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái tại mức Fermi vào tỷ số U/T……… 9 Hình 1.5 Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự……… 10 Hình 1.6 Độ dẫn của hệ mất trật tự (a) kết quả từ thực nghiệm sử dụng bán dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai (b) Sơ đồ dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 8……….11 Hình 1.7 Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự E c ký hiệu biên linh động ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ……… 12 Hình 1.8 Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, W c (E), hay là đường cong biên linh động của mô hình Anderson 9………13 Hình 2.1 Trong lý thuyết trường trung bình, môi trường của một nút nhất định được biểu diễn bằng một môi trường hiệu dụng, được biểu thị bằng

“hàm phổ hốc của nó” i () Trong một hệ mất trật tự, i () cho các nút khác nhau có thể khác nhau, phản ánh hiệu ứng định xứ Anderson………….21 Hình 2.2 a) Mật độ trạng thái  ( )=−Im G Kết quả của DMFT cho

d →  , tại nhiệt độ T = và với tỉ số 0 U t*=1,2.5,3,4 ( từ trên xuống) b)

Đồ thị của DMFT cho mô hình Hubbard trong hệ lấp đầy một nửa T t là *

nhiệt độ, U t là thế Coulomb trên nút * 14………24 Hình 2.3 Sơ đồ pha cho mô hình “bán tròn”17……… 28 Hình 3.1 Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối Chọn W = 1 làm đơn vị năng lượng…… 40 Hình 3.2 Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của  khi

U = 0.5……… 41 Hình 3.3 Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của  khi

U = 1.5……… 42

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 8

CHƯƠNG 1 CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON 10

1.1 LÍ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN 10

1.1.1 Nguyên lí hình thành các vùng năng lượng 10

1.1.2 Cấu trúc vùng năng lượng trong bức tranh một hạt 11

1.1.3 Thành công và hạn chế của lý thuyết vùng năng lượng 13

1.2 MÔ HÌNH HUBBARD VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI 8 ………… 13

1.3 CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON 16

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON 21

2.1 SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN 11 21

2.1.1 Định nghĩa hàm Green trễ Gr và hàm Green sớm Ga 21

2.1.2 Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động 23

2.1.3 Ví dụ: Tính hàm Green của hệ điện tử không tương tác từ phương trình chuyển động 24

2.1.4 Tính chất của hàm Green không phụ thuộc vào thời gian 25

2.2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH 26

2.2.1 Lý thuyết trung bình động cho hệ đồng nhất 26

2.2.2 Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson 31

CHƯƠNG 3 GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSON – HUNBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA 35

3.1 MÔ HÌNH VÀ HÌNH THỨC LUẬN 35

3.2 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 46

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN ……… 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

Sự phát triển của lý thuyết lượng tử vật lý hệ cô đặc đã phát hiện ra nhiều cơ chế khác nhau gây ra chuyển pha kim loại – điện môi Những cơ chế quan trọng nhất có thể kể đến đó là cấu trúc vùng của chất rắn, sự có mặt của mất trất tự và tương quan mạnh giữa các điện tử Chuyển pha kim loại – điện môi do sự tương quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott Và mô hình chủ yếu để mô tả hệ điện tử tương quan và chuyển pha Mott là mô hình Hubbard Mặt khác, mất trật tự trong vật rắn, chẳng hạn như tạp chất và nút trống, gây ra sự thay đổi lớn so với tiên đoán của lý thuyết vùng năng lượng Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại – điện môi, gọi là chuyển pha Anderson Mặc dù từng hiện tượng được kể đến ở trên, tương quan và mất trất tự, tự bản thân nó là những thách thức cho các nhà nghiên cứu thực nghiệm cũng như lý thuyết và vẫn đang là đối tượng được nghiên cứu tích cực, nhưng rõ ràng là mô hình thực tế của vật liệu đòi hỏi phải xem xét đồng thời cả hai hiệu ứng này Mô hình tổng quan để nghiên cứu ảnh hưởng của mất trật tự và tương quan điện tử gọi là mô hình Anderson – Hubbard (AHM)

Ở mô hình này chuyển pha kim loại – điện môi (MIT ) tại lấp đầy không nguyên đã phát hiện bởi Byczuk và các cộng sự 1,2 bằng lý thuyết trường trung bình động (DMFT) Họ đã chỉ ra rằng tại độ lấp đầy đặc biệt bằng nồng độ pha tạp x hoặc bằng x + 1, sự tương hỗ giữa các hiệu ứng tách vùng do mất trật tự và chuyển pha Mott do tương quan điện tử dẫn đến một kiểu chuyển pha kim loại – điện môi mới Kết quả tương tự cũng thu được bằng phương pháp mô phỏng Monte – Carlo và chéo hóa chính xác 3 Giản

đồ pha kim loại – điện môi như là hàm của  và U, trong đó  là độ chênh lệch năng lượng ở hai loại nút trong mô hình, tại T = 0K đã được nghiên cứu bằng sự kết hợp của hai phương pháp lý thuyết trường trung bình động và gần đúng thế kết hợp CPA 4 Tuy nhiên, giản đồ pha thu được trong các công trình trên được cho là không đầy đủ vì kiểu lấy trung bình số học của các đại lượng ngẫu nhiên một hạt trong các gần đúng DMFT và CPA không thể phân

biệt được trạng thái định xứ và trạng thái lan truyền và do vậy không thể mô

tả được chuyển pha Anderson

Việc tìm kiếm thông số trật tự có thể phân biệt được trạng thái định xứ

và trạng thái lan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức chủ yếu khi nghiên cứu hệ điện tử không trật tự Trái với trung bình cộng (arithmetic average), trung bình nhân (geometrical average) đưa ra một xấp xỉ tốt hơn cho giá trị khả dĩ nhất của mật độ trạng thái định xứ Dobrosavljevic và các cộng

sự 18 đã phát triển lý thuyết môi trường điển hình (TMT) để nghiên cứu các

hệ không trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được xấp xỉ bằng cách lấy trung bình hình học theo các cấu hình không trật tự, thay cho mật độ trạng thái lấy trung bình số học TDOS triệt tiêu một cách liên tục khi

độ lớn của mất trật tự tiến đến giá trị tới hạn và nó có thể dùng làm thông số trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha Anderson Giản đồ pha (U, ) tại

T = 0K đối với mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa thu được từ lý thuyết môi trường điển hình cho định sứ Anderson (TMT) cho trường hợp V i

tuân theo phân bố đều trên đoạn − 2, 2 bao gồm 3 pha: kim loại, điện môi Mott (có khe cấm) và điện môi Anderson (không có khe cấm) đã được thực hiện trong khuôn khổ của TMT với các phương pháp giải khác nhau đối với bài toán tạp ở các công trình 5-7 Bản luận văn này có mục đích tìm hiểu

về định xứ Anderson đồng thời dẫn giải chi tiết các công thức thu nhận được trong công trình 7, cũng như kiểm tra lại tính chính xác của DMFT tuyến tính hóa được sử dụng trong công trình này

Bản luận văn của em có tiêu đề “Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa” Ngoài phần mở đầu và kết luận, bản luận văn gồm ba chương như sau:

Chương 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson

Chương 2: Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson Chương 3: Giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa

CHƯƠNG 1 CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ

ANDERSON

1.1 LÍ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN

1.1.1 Nguyên lí hình thành các vùng năng lượng

Theo lý thuyết lượng tử về cấu tạo nguyên tử (mẫu nguyên tử Bohr) Theo mẫu này thì trong một nguyên tử riêng biệt:

Các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lượng gián đoạn nhất định nào đó gọi là các mức năng lượng nguyên tử

Mỗi nguyên tử phải nằm trên một mức năng lượng khác nhau (nguyên

Thực tế cho thấy rằng vị trí năng lượng của một mức chủ yếu chỉ do n

quyết định, do đó người ta đưa ra khái niệm lớp ( các mức có cùng một giá trị

của m) và kí hiệu các lớp bằng K (n = 1), L (n = 2), M ( n= 3),…Ngoài ra, trong tất cả các lớp người ta cũng thấy rằng các mức năng lượng có cùng giá

trị của l bao giờ cũng nằm rất gần nhau, do đó nên người ta đưa ra thêm khái niệm lớp con (các mức có cùng giá trị của n và cùng giá trị của l ) và ký hiệu

các lớp con này bằng cách viết giá trị bằng số của n (1, 2, 3…) kèm theo giá

trị của l ký hiệu bằng chữ: s(l = 0), p(l =1), d(l =2)… và tùy chọn có thể kèm thêm số điện tử thuộc lớp con này viết dưới dạng số mũ của l

Để có một vật liệu có thể xét bức tranh tưởng tượng về N nguyên tử giống hệt nhau đang ở cách xa vô tận tiến lại gần nhau, khi đó:

Khi các nguyên tử nằm xa nhau đến mức có thể coi chúng là hoàn toàn độc lập với nhau thì vị trí các mức năng lượng của chúng hoàn toàn trùng nhau

Khi các nguyên tử nằm gần nhau cỡ A0 (cỡ 10-10m) thì các hàm sóng của các điện tử trong các nguyên tử có sự chồng phủ lên nhau và ta không thể tiếp tục coi chúng là độc lập nữa Kết quả là các mức năng lượng nguyên tử thôi không còn trùng chập nữa mà bị tách ra thành các vùng năng lượng

Mỗi một mức năng lượng tách ra thành một vùng

Mỗi vùng gồm N mức con nằm sít nhau và có thể coi như phổ năng lượng của chúng phân bố gần như liên tục

Sự tách một mức năng lượng nguyên tử ra thành một vùng năng lượng rộng hay hẹp phụ thuộc vào sự phủ hàm sóng giữa các diện thuộc các nguyên

tử khác nhau với nhau nhiều hay ít

Giữa các điện tử nằm trên các lớp ngoài của nguyên tử, nhất là các điện

tử hóa trị, có sự phủ hàm sóng mạnh, do đó vùng năng lượng lúc này rộng

Các điện tử nằm trên các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì sự phủ hàm sóng càng yếu đi bấy nhiêu (do bị các điện tử bên ngoài che chắn và vùng năng lượng đối với các lớp càng nằm sâu bên trong thì càng hẹp lại)

Xen giữa các vùng năng lượng được phép (vùng dẫn) là vùng cấm, nói chung không có các điện tử có các giá trị năng lượng nằm trong vùng cấm này

1.1.2 Cấu trúc vùng năng lượng trong bức tranh một hạt

Theo nguyên lý năng lượng tối thiểu thì trong nguyên tử các mức năng lượng thấp hơn bao giờ cũng được lấp đầy trước Do đó các vùng năng lượng tương ứng với các mức năng lượng của các điện tử nằm bên trong nguyên tử (có mức năng lượng thấp hơn) bao giờ cũng được lấp đầy trước, chỉ còn vùng ngoài (vùng hóa trị) là có thể chưa được lấp đầy hoàn toàn Từ đó dựa trên cơ

sở vùng hóa trị được lấp đầy bao nhiêu, người ta phân loại các chất rắn thành kim loại, bán dẫn, điện môi và bán kim loại như hình 1.1

Nếu vùng hóa trị được điện tử lấp đầy hoàn toàn và nằm cách xa vùng năng lượng được phép tiếp theo, thì ta có chất điện môi, tức là chất cách điện

Nếu vùng hóa trị mới chỉ được các điện tử lấp đầy một phần hoặc vùng hóa trị đã được lấp đầy hoàn toàn nhưng lại chồng lên hoặc liền ngay với vùng năng lượng tiếp theo (thường được gọi là vùng dẫn) thì ta có chất dẫn điện hay ta gọi là kim loại hoặc bán kim loại

Trong trường hợp tuy vùng hóa trị cũng đã được các điện tử lấp đầy hoàn toàn nhưng vùng này lại khá gần với vùng dẫn, chỉ cách vùng dẫn bằng một vùng cấm tương đối hẹp để sao cho về nguyên tắc các kích thích nhiệt cũng có thể kích thích điện tử từ vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn (Eg  0,3  3eV) thì ta có chất bán dẫn

Hình 1.1 Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng

Các chất rắn về mặt độ dẫn điện được phân loại như trên do hiện tượng dẫn điện xảy ra trong chất rắn như sau:

Sự dẫn điện về bản chất là chuyển động của các điện tử trong tinh thể Nếu xét theo bức tranh vùng năng lượng thì đó là hiện tượng điện tử nhảy từ mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao hơn

Vì các vùng bên trong đều bị lấp đầy nên trong các vùng này các điện

tử không thể nhảy lên các mức cao hơn được Do đó chỉ có vùng ngoài cùng (vùng hóa trị) là quan trọng nhất xét về tính chất dẫn điện

1.1.3 Thành công và hạn chế của lý thuyết vùng năng lượng

*) Thành công

+ Giải thích được tại sao chất rắn là chất dẫn điện, chất bán dẫn hoặc chất cách điện

+ Thiết lập quan hệ giữa các tính chất của vật liệu và nguyên tử

+ Giải thích sự tồn tại của các hạt có điện tích dương (lỗ trống) và giải thích khái niệm khối lượng hiệu dụng

+ Phép gần đúng một electron không thể tính đến các hiệu ứng tập thể như hiện tượng sắt từ, siêu dẫn và sự chuyển pha do năng lượng toàn phần của electron

*) Hạn chế: Khi số điện tử ngoài cùng là lẻ thì mức trên cùng không được lấp đầy và theo lý thuyết vùng năng lượng thì đó là kim loại Nhưng trên thực tế ở một số chất, như NiO2, hoặc hợp chất khác mặc dù lớp electron ở ngoài cùng

là lẻ mà chúng lại là điện môi Điều này chứng tỏ sự hạn chế của lý thuyết này

1.2 MÔ HÌNH HUBBARD VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN

MÔI [8]

Trong mục này chúng ta xem xét chuyển pha kim loại - điện môi trong

mô hình Hubbard Ở đây MIT được chia thành hai loại: Chuyển pha do hệ số lấp đầy và chuyển pha do độ rộng vùng

Để hình dung cơ chế của chuyển pha kim loại – điện môi Mott chúng ta khảo sát các phân vùng Hubbard tạo bởi Hamiltonian

.2

Ở đây c i+,( )c j, là toán tử sinh (hủy) electron tại nút i với spin ,

U là tương tác Coulomb của 2 electron cùng nằm trên 1 nút mạng

* Trường hợp 1: U = 0 Hamiltonian có dạng H=i j, ,T c c ij i+, j,

Bài toán chuyển về giới hạn khảo sát chuyển động của electron trong trường tinh thể Bài toán này có thể giải bằng phương pháp gần đúng liên kết mạnh trong vật lí chất rắn

và T0 + U Khi xét đến sự nhảy nút thì các mức năng lượng này bị nhòe và

mở rộng thành các vùng năng lượng với độ rộng ZT0 Các vùng này gọi là

phân vùng (hay vùng con) Hubbard Ta có thể mô tả chuyển pha kim loại – điện môi Mott ở trạng thái lấp đầy một nửa như sau:

Khi U > UC hai phân vùng tách nhau, xuất hiện khe năng lượng giữa hai phân vùng, mật độ trạng thái tại mức Fermi ρ(εF) = 0, vật liệu là điện môi (Hình 1.3.a)

Khi U = UC = ZT0, hai phân vùng chạm nhau, xuất hiện chuyển pha kim loại – điện môi (Hình 1.3.b)

Khi U < UC có sự chồng lấn của hai phân vùng, ρ(εF) ≠ 0, vật liệu là kim loại (Hình 1.3.c)

* Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào tỷ số U/T như hình 1.4

Hình 1.3 Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp lấp đầy một nửa

Khi U tăng thì ρ giảm từ một giá trị hữu hạn đến không Như vậy, hàm

ρ liên tục tại điểm chuyển pha Vì vậy mô hình suy ra từ Hamiltonian Hubbard như trên cho ta chuyển pha liên tục hay chuyển pha bậc 2 Tuy nhiên, điều này chỉ đúng tại nhiệt độ bằng 0K

1.3 CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON

Không cần bất cứ tương tác nào, bất trật tự tự nó cũng có thể dẫn tới chuyển pha kim loại – điện môi, và nó được gọi là chuyển pha kim loại - điện môi Anderson, hay là định xứ Anderson Chúng ta có thể hình dung về điều này như sau: Khi không có bất trật tự, tinh thể tuần hoàn và trạng thái riêng của điện tử là các trạng thái Bloch, độ dẫn là đạn đạo Nếu bất trật tự xuất hiện ở mức độ yếu, độ dẫn trở thành khuếch tán do sự tán xạ, và lý thuyết Drude thông thường hữu dụng Tuy nhiên, nếu bất trật tự đủ lớn, nó có thể bẫy các điện tử nhờ tán xạ nhiều lần, dẫn tới không còn sự dẫn điện nữa Bằng cách như vậy, bất trật tự có thể tạo nên MIT Vì rằng các điện tử là các sóng lượng tử, sẽ thích hợp khi cho rằng định xứ Anderson là một hiệu ứng giao thoa hơn là một sự va chạm nhiều lần giữa các hạt Ta cũng có nhận xét thêm rằng cách thức trên có thể được áp dụng không chỉ cho các điện tử mà còn cho bất kỳ một loại sóng khác Sự sắp xếp ngẫu nhiên của các điểm mạng có thể được xem như một thế ngẫu nhiên bổ sung vào thế tuần hoàn ban đầu của tinh thể (Hình 1.5)

Hiệu ứng tương tự có thể được thực hiện qua việc bơm các tạp chất mà

ở đó sự sai khác giữa thế do các nguyên tử tạp phân bố ngẫu nhiên và do các

Hình 1.5 Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự

Bất trật tự

nguyên tử của mạng tinh thể có thể được xem như thế bổ sung ngẫu nhiên Nếu nồng độ pha tạp thấp, và do vậy thang năng lượng của thế bổ sung ngẫu nhiên nhỏ, thì hiệu ứng của nó có thể tính theo nhiễu loạn, và mô hình Drude

mô tả sự khuếch tán áp dụng rất tốt Mặt khác, khi nồng độ pha tạp đủ lớn, thang năng lượng của thế ngẫu nhiên lớn hơn động năng, thì các điện tử sẽ bị bẫy bởi các tạp Trong một hệ cô đặc tất nhiên các kích thích nhiệt có thể bứt các điện tử khỏi bẫy, vì thế hiện tượng này chỉ dẫn đến chuyển pha thực sự sắc nét tại nhiệt độ không tuyết đối Tại nhiệt độ hữu hạn ta chỉ có thể tìm thấy sự xuyên chéo (crossover) (Hình 1.6.b)

Phân loại chuyển pha Mott rõ ràng không phải là vấn đề tầm thường Vào cuối những năm 1970 Mott cho rằng nếu mô hình Drude hữu dụng thì bất trật tự chỉ làm giảm quãng đường tự do trung bình mà nó không thể nhỏ hơn hằng số mạng a Điều này dẫn tới độ dẫn Drude tối thiểu, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại một Tuy nhiên, một vài năm sau, độ dẫn nhỏ hơn giới hạn Mott đã được tìm thấy ở bán dẫn pha tạp, Si: P Trên hình 1.6.a chỉ ra rằng độ dẫn giảm rất nhanh ở gần nồng độ pha tạp tới hạn, và nó có thể nhỏ hơn hai bậc so với giới hạn Mott, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại hai Hình 1.6.b

Hình 1.6 Độ dẫn của hệ mất trật tự (a) kết quả từ thực nghiệm sử

dụng bán dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai (b) Sơ đồ

dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 9

chỉ ra sơ đồ hành xử của độ dẫn như là hàm của trật tự Nếu bất trật tự, W, nhỏ (miền kim loại), tại T=0 ta thấy độ dẫn giảm khi bất trật tự tăng Độ dẫn tiến tới không tại giá trị bất trật tự tới hạn Wc, và với W > Wc nó vẫn bằng không, nghĩa là ta có miền điện môi

Một trong những mô hình đơn giản nhất mô tả hệ mất trật tự là mô hình liên kết chặt được Anderson xem xét sau đây:

Nếu W đủ lớn, số hạng chéo của Hamiltonian chiếm ưu thế, và các trạng thái định xứ tại nút mạng Nếu W nhỏ, các yếu tố không chéo (động năng) chiếm ưu thế, và các trạng thái lan truyền khắp cả hệ Tuy nhiên, trong trường hợp này cũng có những trạng thái định xứ trong hệ được ngăn cách với trạng thái lan truyền bởi ngưỡng linh động Ec (Hình 1.7)

Lý do tồn tại ngưỡng linh động có thể được giải thích như sau: Giả sử

có trạng thái định xứ trong miền năng lượng của các trạng thái lan truyền Theo lý thuyết nhiễu loạn, với sự thay đổi vô cùng bé của bất trật tự ngẫu

Hình 1.7 Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự E c ký hiệu biên linh động ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ

nhiên thì trạng thái định xứ sẽ lại (kết hợp) với các trạng thái lan truyền để tạo nên một trạng thái lan truyền mới Thậm chí không có một chứng minh chặt chẽ đối với các trạng thái định xứ nằm gần đuôi vùng và các trạng thái lan truyền nằm ở giữa vùng, nhưng hầu như điều đó đã xảy ra Mặt khác, tiếp cận mỗi đuôi vùng, khi vượt quá năng lượng tới hạn E, ta có gọi là đuôi Lisfschitz chứa các trạng thái định xứ mạnh Trong miền này mật độ trạng thái giảm nhanh, điển hình theo hàm mũ

về tâm vùng, và nó đạt tới giá trị năng lượng kiểm định tại một giá trị của năng lượng, Wc(E) Đường cong Wc(E) thường được gọi là đường cong ngưỡng linh động, và với mô hình mô tả bởi Hamiltonian nó được cho trên hình 1.8

Hình 1.8 Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, W c (E), hay

là đường cong biên linh động của mô hình Anderson 10.

Khi bất trật tự tăng ngưỡng linh động chuyển động ra xa tâm vùng, tuy nhiên trong lúc đó vùng cũng mở rộng ra khi bất trật tự tăng Sau đó nó trở lại, và chuyển động nhanh, dẫn tới trong một khoảng rộng, 0  E  4.0, ngưỡng linh động gần như không đổi Tại giá trị tới hạn, Wc  16.5, ngưỡng linh động đạt giá trị 0 Điểm này thường được gọi là điểm tới hạn của hệ, vì khi bất trật tự vượt giá trị này, W > Wc, toàn vùng chỉ chứa các trạng thái định

xứ Quỹ đạo của ngưỡng linh động là liên tục, do vậy số trạng thái lan truyền thay đổi một cách liên tục theo bất trật tự nếu như mật độ trạng thái là liên tục Bởi vì các trạng thái lan truyền gắn liền với độ dẫn của hệ, từ đó suy ra rằng độ dẫn cũng thay đổi liên tục theo bất trật tự, nghĩa là một lần nữa ta có chuyển pha kim loại hai

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH

XỨ ANDERSON

2.1 SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN [11]

2.1.1 Định nghĩa hàm Green trễ G r và hàm Green sớm G a

Với  = tương ứng với giao hoán tử 1 A B, =AB−BA Trong đó A, B

là các toán tử boson hay có dạng boson( toán tử có dạng boson là toán tử có dạng là tích số của các toán tử boson hay có dạng là tích số của số chẵn lần các toán tử fermion)

Với  = − tương ứng với phản hoán tử 1 A B, = AB+BA Trong A, B

là các toán tử fermion hay có dạng fermion (toán tử có dạng fermion là toán

tử có dạng là tích số của số lẻ lần các toán tử fermion)

Từ định nghĩa ta thấy hàm Green trẽ luôn bằng 0 khi t t và hàm  Green sớm luôn bằng 0 khi t t  

Hàm Green trễ và hàm Green sớm còn được ký hiệu như sau:

Như vậy hàm Green trễ (2.1.6) chỉ phụ thuộc vào hiệu t−t Tương tự như vậy cho hàm Green sớm

Như vậy đối với hệ cân bằng thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian G t t( ),  =G t( −t)

Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch

2.1.2 Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green

G r r z

Vì trị riêng của H là E n trong tổng và E trong tích phân luôn là thực,

do đó hàm Green G z giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những ( )

điểm z trùng với trị riêng của H trên trục thực

Nếu z trùng với trị riêng gián đoạn E n của H thì hàm G z không xác ( )

định Tuy nhiên tại các lân cận z= E i thì hàm Green luôn giải tích với mọi  dù nhỏ Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn 0

  có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái

Đó là đại lượng quan trọng nhất trong vật lý chất rắn

Sử dụng đồng nhất thức ta được:

2.2 LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH

2.2.1 Lý thuyết trung bình động cho hệ đồng nhất

Lý thuyết trung bình động được phát biểu vào cuối những năm 1980 tới đầu những năm 1990 Những công trình tiên phong do Metzer và Vollhard

12 và Miiller – Hartmann 13 thực hiện Các bước phát triển tiếp theo thuộc

về Georges và Kotliar 14 và Jarrel 15

Ý tưởng chính của lý thuyết trường trung bình động (DMFT) được trình bày như sau: Dựa vào hình 2.1