duong thang, duong tron, elip, parabol trong đề ĐH

c Tìm phương trình đường thẳng qua A-2 ; 1 và song song với BC.. a Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC.. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoạ

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN VD1: Cho tam giác ABC với A(-2 ; 1), B(4 ; 3), C(2 ; -3).

a) Tìm phương trình tham số và tổng quát của cạnh BC

b) Tìm phương trình đường cao AH

c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(-2 ; 1) và song song với BC

Kq: a) 4

3 3

= +



 = +

 ; 3x - y - 9 = 0; b)x + 3y - 1 = 0; c) 3x - y + 7 = 0.

VD2: Cho tam giác ABC với A(1 ; -1), B(-2 ; 1); C(3 ; 5).

a) Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK

Kq: a) 4x + y - 3 = 0; b) S = 11/2(đvdt)

VD3( ĐHKA - 2002): Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (BC):

3x y− − 3 0;= A và B thuộc Ox, bán kính đường tròn nội tiếp r = 2 Tìm trọng tâm

G của tam giác ABC

Kq: G(7 4 3 6 2 3;

;

− − − − ).

VD4 (ĐHKB - 2002): Trong mặt phẳng Oxy cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/2 ;

0); (AB): x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh

A có hoành độ âm

Kq: A(-2 ; 0); B(2 ; 2); C(3 ; 0); D(-1 ; -2)

VD5 (ĐHKB 2003) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, góc BAC = 900 M(1 ; -1) là trung điểm của BC; G(2/3 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

Kq: A(0 ; 2); B(4 ; 0); C(-2; -2)

VD6 ( dự trữ ĐHKD 2003): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 0) và hai

đường thẳng lần lượt chứa các đường cao có phương trình tương ứng là: x - 2y + 1 =

0 và 3x + y - 1 = 0 tính diện tích tam giác ABC

Kq: S = 14 (đvdt)

VD7 (ĐHKA 2004) Trong mp Oxy cho A(0 ; 2); B(− 3; 1)− Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam gác OAB

Kq: H( 3; 1)− ; E(− 3;1)

VD8 (ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho A(1 ; 1); B(4 ; -3) Tìm điểm C thuộc

đường thẳng x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 Kq: C(7 ; 3) hay C(-43/11; -27/11)

VD9 (ĐHKD 2004): Trong mp Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1 ; 0); B(4 ;

0); C(0 ; m) với m ≠0 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m Xác định

m để tam giác GAB vuông tại G

Kq: G(1 ; m/3); m = ±3 6

VD10 (dự trữ ĐHKB 2004): Trong mp Oxy cho I(-2 ; 0) và hai đường thẳng d1: 2x

- y + 5 = 0; d2: x + y - 3 = 0 Viết ptđt d đi qua I và cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tai A, B sao cho: IAuur=2uurIB

Kq: y = 7

3(x + 2)

VD11 (ĐHKA 2005) Trong mp Oxy cho 2 đường thẳng d1: x - y = 0; d2: 2x + y - 1 =

0 Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2, B và D thuộc Ox Kq: A(1 ; 1); C(1 ; -1); B(2 ; 0); D(0 ; 2) hoặc D(2 ; 0); B(0 ; 2)

VD12 (ĐHKA 2006) Trong mp Oxy cho 3 đường thẳng d1: x + y + 3 = 0; d2: x y

-4 = 0; d3: x - 2y = 0 Tìm m thuộc d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d2

Kq: M(-22 ; -11) hoặc M(2 ; 1)

VD13 (ĐHKB 2007) : Trong mp Oxy,cho A(2 ; 2) và các đường thẳng d1: x + y - 2 = 0; d2: x + y - 8 = 0 Tìm các điểm b thuộc d1, C thuộc d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Kq: B(-1 ; 3); C(3 ; -5) hoặc B(3 ; -1); C(5 ; 3)

VD14 (ĐHKB 2008): Trong mp Oxy, Tìm tọa độ C của tam giác ABC biết hình

chiếu của C lên đường thẳng AB là H(-1 ; -1) Đường phân giác trong góc A: x - y +

2 = 0; đường cao kẻ từ B: 4x + 3y - 1 = 0

Hd: Gọi H’ đối xứng với H qua AD thì H’ thuộc AC H’(-3 ; 1) AC qua H’ và vuông góc với BK nên (AC): 3x - 4y + 13 = 0

A là giao của AD và AC Tìm được A(5 ; 7)

Ch qua H và có vtpt uuurAH

nên (CH): 3x + 4y + 7 = 0

C là giao của CH và AC

Kq: C(-10/3 ; 3/4)

VD15: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(1 ; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y

+ 1 = 0, đường phân giác CD: x + y - 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC HD: M(m ; -2m -1) suy ra C(2m - 1; -4m - 4) mà C thuộc CD, tính được C(-7; 8) A’ đối xứng với A qua CD; Tìm được A’(-1 ; 0) BC đi qua C và A’

Kq: 4x + 3y + 4 = 0

VD16: trong mp Oxy cho tam giác ABC có M(-1 ; 1) là trung điểm của một cạnh, hai

cạnh còn lại có phương trình 2x + y - 2 = 0; 3x + 2y - 1 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Hd: Không mất tính tổng quát ta cho M l;à trung điểm của BC (AB) : 2x + y - 2 = 0; (BC): 3x + 2y - 1 = 0 Khi đó A(-3; -4)

B(b, 2 - 2b); C(c ; (1 - 3c)/2), dùng giả thiết M là trung diểm của BC, suy ra b = 7; c = -9 Do đó B(7 ; -12); C(-9 ; 14)

VD17: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(3 ; 1); B(1 ; -5), trực tâm H(1 ; 0) Xác định

tọa độ đỉnh C Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hd: Gọi C(x0; y0) Từ 0

0

CH AB

BH AC





=



uuuruuur uuuruuur suy ra C(-2 ; 1)

Gọi phương trình đường tròn x2+y2−2ax−2by c+ =0 Giải hệ 3 pt 3 ẩn được a = 1/2; b = -3/2; c = -10 Vậy ptđtròn x2+y2+ +x 3y− =10 0

VD18: Trong mp Oxy cho A(-2 ; 0); B(0 ; 4)

a) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm O, A, B

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại A và B

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M(4 ; 7)

HD: a) x2 + y2+ 2x - 4y = 0

b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A: x + 2y + 2 = 0, Tại B: x + 2y - 8 = 0

c) (C) có tâm I(-1 ; 2) Bán kính R = 5

Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = -1 ± 5 Hai tiếp tuyến này không qua M(4

; 7)

Do đó phương trình tiếp tuyến qua M(4 ; 7) có dạng: y 7 = k(x 4) tức kx y + 7 -4k = 0 (d).(d) tiếp xúc với (C) ⇔d(I ; d) = R ⇔ 2 7 42 5

1

k

− − + −

= 1/2 Từ đó tìm ra (d): 2x - y - 1 = 0 hoặc (d): 1/2 x - y + 5 = 0

VD19 (ĐHKD - 2003): Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2

= 4, và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua d Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’)

Kq: (C’): (x - 3)2 + y2 = 4

Giao điểm của (C) và (C’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2)

VD20 (ĐHKB 2005): Trong mp Oxy, cho A(2 ; 0); B(6 ; 4 ) Viết phương trình

đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5

HD: (C) tiếp xúc với Ox tại A nên IA iuur r⊥ (1;0) từ đó tìm được tọa độ tâm I của đường tròn

Kq: (C): (x - 2)2 + (y - 7)2 = 49 hoặc (C): (x - 2)2 + (y - 1)2 = 1

VD21 (Dự bị KA - 2002): Trong mp Oxy cho hai đường tròn:

(C1): x2 + y2 - 10x = 0; (C2): x2 + y2 + 4x -2y - 20 = 0;

1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng x + 6y - 6 = 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2)

HD: 1) Phương trình đường tròn có dạng:

m(x2 + y2 - 10x ) + n(x2 + y2 + 4x -2y - 20) = 0 với m2 + n2 > 0

Xác định tâm theo m,n Mặt khác tâm thuộc x + 6y - 6 = 0 chọn m tùy ý và suy ra n Kq: x2 + y2 - 24x + 2y + 20 = 0;

2)C1(I1 ; R1); C2(I2 ; R2) suy ra I1I2 < R1+ R2 nên (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm > có

2 tiếp tuyến chung

Nhận thấy x = x0 không phải là tiếp tuyến chung nên tt có dạng : y = ax + b hay ax - y + b = 0 (∆)

Sử dụng d(I1; ∆) = R1 = 5 d(I12; ∆) = R2 = 5

Kq: x + 7y - 5 ±25 2 = 0

Cách khác: R1 = R2 = 5 nên tiếp tuyến song song với I Iuuur1 2

và sử dụng d(I1; ∆) = R1 =

5 ta cũng có kq như trên

VD22 (DỰ BỊ KB - 2005)Trong Oxy cho 2 đường tròn (C1): x2 + y2 = 9; (C2): x2 + y2

- 2x - 2y - 23 = 0; Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khoảng cách từ K đến tâm của (C1)nhỏ hơn khoảng cách từ K đến tâm của (C2)

Hd: Trục đẳng phương (d): (x2 + y2 - 9) - (x2 + y2 - 2x - 2y - 23) = 0 hay x + y + 7 = 0 Gọi K(xK ; yK) thuộc d ta chứng minh được IK2 - OK2 > 0;

VD23:(ĐỀ 13 - 2010) Trong mp Oxy, cho (C): x2 + y2 + 2x - 4y + 2 = 0 và đường thẳng (d) : x - y + 1 = 0 Tìm tọa độ M thuộc (d) mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) tại 2 tiếp điểm A, B sao cho ∠AMB = 1200

Kq: M1(-1 ; 0); M2(1 ; 2)

VD24: (ĐỀ 14 - 2010): Trong mp Oxy cho (C): x2 + y2 - 6x + 5 = 0 Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600

Kq: M1(0 ; 7); M2 (0 ; - 7)

VD25: (ĐỀ 16 - 2010): Trong mp Oxy, cho (C): (x - 1)2 + y 2 = 1 và 2 điểm A(1 ; 1); B(1 ; -3/4) Viết phương trình đường thẳng d đi qua B và cắt (C) tại M, N sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất

Hd: Tâm đường tròn I(1 ; 0) Gọi (d): a(x - 1) + b( y + 3/4) = 0

SAMN = 7/3 SIMN = 7/6 IM IN sin ∠MIN 7

6

≤ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∠MIN=

900 d(I ; d) = 2

2 ⇔ = ±b 2 2a Chon a = 1 suy ra b

Kq: (d1): 2 2 3 2 1 0

2

(d2): 2 2 3 2 1 0

2

ELIP

• Chú ý về tiếp tuyến của (E):

+ Tiếp tuyến với (E) tại tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình 0

o

+ Nếu không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất (∆) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E):

a +b = ⇔a A2 2+b B2 2 =C(*)

Hướng dẫn chứng minh (*) Ta đưa (E) về dạng phương trình đường tròn bằng cách đặt X = x/a; Y = y/b Bài toán đưa về tìm điều kiện để (∆) : AaX + BbX + C

= 0 tiếp xúc với X2 + Y2 = 1, Tức d(O, ∆) = 1 hay a A2 2+b B2 2 =C

Thường ta viết phương trình (∆)theo hệ số góc dạng : kx - y + c = 0 và lưu ý trường hợp (∆) ⊥x’x tức (∆): x = ±a.

VD1: Cho (E) : x2 + 4y2 - 40 = 0

a) Xác định tiêu điểm, Hai đỉnh trên trục lớn, 2 đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai của (E) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0(-2 ; 3)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết nó xuất phát từ M(8 ; 0)

d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E)biết nó vuông góc với đường thẳng (d) : 2x -3y + 1 = 0 Tính tọa độ tiếp điểm

Hd: a) (E): 2 2 1

40 10

x + y = Hai tiêu điểm nằm trên trục lớn F1(− 30;0); F2( 30;0) Hai đỉnh nằm trên trục lớn A1( 2 10;0)−

; A2(2 10;0)

; Trục nhỏ nằm trên Oy vớ 2 đỉnh là B1(0;− 10); B2(0; 10);

Tâm sai của (E) là e = c/a = 3

2 b) Dễ thấy M0 thuộc (E) Kq: x - 6y + 20 = 0

c) Phương trình tiếp tuyến với (E) xuất phát từ M(8 ; 0)

(E) có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = ±2 10 Hai tiếp tuyến này không đi qua M Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k(x - 8) hay kx - y - 8k = 0 (∆) (

∆) tiếp xúc với (E): 2 2 1

40 10

x + y = ⇔40k2+ =10 60k2 15

6

k

⇔ = ± Kq: 15x−6y−8 5 0= ; 15x+6y−8 5 0=

d) phương trình tiếp tuyến vuông góc với (d) có dạng: (d’): 3x + 2y + c = 0

(d’) tiếp xúc với (E) nên: 40.9 + 10 4 = C2 ⇔ = ±C 20 Gọi M0(x0 ; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến (d’) với (E) thì (d’) : 0 1

40 10

o

+ = ⇔x0x + 4y0y - 40 = 0

Với C = 20 thì (d’): 3x + 2y + 20 = 0 Do đó 0 0 0

0

6

1

x

y

= −



−

⇒ = = ⇔  = −

 hay M0(-6

; -1) Tương tự với C = -20 thì M0(6 ; 1)

VD2 (ĐHKD - 2002): Cho (E):

1

16 9

+ = Cho M di chuyển trên Ox N di chuyển trên Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với(E) Tìm tọa độ M, N sao cho độ dài đoạn Mn ngắn nhất, Tìm độ dài đoạn ngắn nhất đó

Hd: M(m , 0); n(0 ; n) MN: nx + my - nm = 0; MN tiếp xúc với (E) nên

16n2 + 9m2 = m2n2

Ta có MN2 = m2 + n2 theo bunhia 7 = 2 2

MN nhỏ nhất khi và chỉ khi

4 3

, kết hợp m2 + n2 = 49 ta tìm được m

= 2 7;n= 21 (Vì m, n > 0)

VD3 (ĐHKD - 2005): Trong mp Oxy cho C(2 ; 0) và (E): 2 2 1

x + y = Tìm tọa độ các điểm A., B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành

và tam giac ABC là tam giác đều

HD: A( , 4 2)

2

a

2

a

a − − với -2 < a < 2 Sử dụng CA2 = AB2 tìm được a = 2(loại), a = 2/7

Kq: A(2 4 3;

7 7 ) và B(2; 4 3

7 − 7 ) hoặc A(2; 4 3

7 − 7 ) và (2 4 3;

7 7 )

VD4 (ĐHKD - ): Trong mp Oxy, cho (E): 2 2 1

x + y = và đường thẳng dm: mx - y - 1

= 0

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng dm luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuến đó đi qua N(1 ; -3)

HD: a) (E): 4x2 + 9y2 - 36 = 0 dm: y = mx -1 Phương trình hoành độ giao điểm của (dm) và (E): (4 + 9m2)x2 - 18mx - 25 = 0 Có ∆’ > 0 (đpcm)

b) ∆1: x + 2y + 5 = 0; ∆2: 5x - 4y - 17 = 0

VD5 (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (E):

1

+ = M(-2 ; 3); N(5 ; n) Viết phương trình đường thẳng d1, d2 qua M và tiếp xúc với (E) Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1 hoặc d2.

Kq: a) d1: x = -2; d2: 2x + 3y - 5 = 0

b) Dễ thấy tiếp tuyến qua N(5 ; n) không song song với x = -2 Kq: N(5 ; -5)

VD6 (ĐHKA - 2008): Trong mp Oxy, lập phương trình chính tắc của (E) có tâm sai

bằng 5

3 và hình chử nhật cơ sở có chu vi 20

HD: e = c/a = 2 2 5

3

a

− = ; 2(2a + 2b) = 20 Kq: (E): 2 2

1

VD7: Trong Oxy cho (E):

1

x + y = Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB

HD: M là trung điểm của AB: xA + xB = 2; yA + yB = 2 nên xA2 = (2 - xB)2;

yA2 = (2 - yB)2; Ví A, B thuộc (E) nên

( 1)

⇔ + − + = suy ra 4xB + 9yB = 13 Tương tự 4xA + 9yA =

13 Vậy phương trình cần tìm là : 4x + 9y - 13 = 0

PARABOL

*) Chú ý về phương trình tiếp tuyến của (P): y2 = 2px

+ Tiếp tuyến với (P) tại tiếp điểm M0(x0 ; y0) có phương trình yy0 = p(x + x0) + Nếu không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất (∆) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (P): y2 = 2px ⇔ pB2 =2AC(*) Hd chứng minh (*): Từ (P) suy ra x = y2/2p Thay vào phương trình đường thẳng và cho ∆ = 0

VD1: cho (P): y2 - 8x = 0

1) Xác định tiêu điểm F và đường chuẩn (∆) của (P)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại M(2 ; 4)

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết nó song song với đường thẳng (d): 2x - y + 5 = 0 Suy ra tọa độ tiếp điểm

4) Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết nó xuất phát từ I(-3 ; 0), suy ra tọa độ tiếp điểm

Hd: 1) F(2 ; 0); (d): x = -2

2) x + y + 2 = 0

3)tiếp tuyến có dạng(d’) : 2x - y + c = 0 (d’) tiếp xúc với y2 = 8x nên

4.(-1)2 = 2.2c do đó c = 1

Kq: (d’) : 2x - y + 1 = 0 Tiếp tuyến tại tiếp điềm Gọi M0(x0 ; y0) có phương trình trình yy0 = 4(x + x0) ⇔ 4x - yy0 + 4x0 = 0 mà (d’): 2x - y + 1 = 0 ta có được tỉ lệ

4

= = Kq: M0(1/2 ; 2)

4) tiếp tuyến với (P) và cùng phương với Oy: x = 0 không đi qua I Do đó tiếp tuyến (d’’) đi qua I có dạng : y - 0 = k(x + 3)

Kq: (d’’): 6x−3y+3 6 0= khi đó tiếp điểm (3; 2 6)

hoặc (d’’): 6x+3y+3 6 0= khi đó tiếp điểm (3; 2 6)−

VD2: (DỰ TRỮ KA - 2003): Trong mp Oxy cho (P): y2 = x và I(0 ; 2) Tìm tọa độ

hai điểm M, N thuộc (P) sao cho IuuurM =4INuur

Kq: M1(4 ; -2); N1(1 ; 1); M2(36 ; 6); N2(9 ; 3)