Tài liệu tự học toán 9 đầy đủ lý thuyết, dạng toán, phương pháp giải

4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 322 Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn-Phép nhân liên hợp 43 3 Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài toán rút gọn và chứng minh.

4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 32

2 Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn-Phép nhân liên hợp 43

3 Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài toán rút gọn và chứng minh

7 CĂN BẬC BA - CĂN BẬCn 67

1 Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền 127

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 129

1 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn 140

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 152

3 Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn 170

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 183

I ĐẠI SỐ

CHƯƠNG 1 CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ

Tổng quát trênR:

1 Mọi số dương a> 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

p

a > 0 gọi là căn bậc hai số học hay còn gọi là căn bậc hai dương của a

−pa < 0 gọi là căn bậc hai âm của a

2 Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0

3 Số âm không có căn bậc hai

2 SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

Định lí 1 Với hai sốa, bkhông âm, ta cóa < b ⇔pa <pb.

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 VÍ DỤ MINH HỌA

16;p1,44;p(−8)2

¶2+

µ25

−

µ610

¶2

x =4

3 hoặcx = −4

3.Vậy tập nghiệm của phương trình là

¾

1 Ta có(x − 1)2=1

9(x − 1)2=

µ13

¾

2

ä

Nhận xét Như vậy, thông qua ví dụ trên chúng ta đã làm quen được với việc sử dụng khái niệm căn bậc hai

để tìm nghiệm của phương trình Tuy nhiên chúng ta chỉ mới bắt đầu với phương trình dạng x2= a2 hoặc cần biến đổi đôi chút để có được dạng này hoặc sử dụng hằng đẳng thức, cụ thể

¶ µ

x +43

2; 1

¾

µ3100

¶2

=

µ25100

¶2

·

µ1003

¶2

=

µ25

100·1003

¶2

=

µ253

x =1 −

p6

−25

4 ≥ 8.Đẳng thức xảy ra khi

µ

x +32

¶2

−25

4 ≤ 11.Đẳng thức xảy ra khi

µ

x +72

A = 5 +

µ

x −32

¶2+27

4 ≥ 5 +3

p3

¶2

−29

4 ≥ 0.Đẳng thức xảy ra khi

µ

x −72

¶2

−25

4 − 25 ≥ −25.Đẳng thức xảy ra khi

µ

x −72

VậyS = {2}

ä

BÀI 2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC p

A 2 = |A|

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Điều kiện đểp

A có nghĩap

A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0

−2x + 1 tồn tại khi và chỉ khi x ≤1

2

- Lời giải.

1 Để A có nghĩa, điều kiện là 5x+ 10 > 0 ⇔ x > −2 Vậy với x > −2 thì A có nghĩa

2 Để B có nghĩa, điều kiện là(2x + 1 ≥ 0

x 6= 1; x 6=2

3.Vậy, với x≥ −1

2 và x6= 1, x 6=2

3 thì B có nghĩa.

ä

Ví dụ 5 Tìm các giá trị củaxđể biểu thức sau có nghĩa

a) Để A có nghĩa, điều kiện là x2− 36 ≥ 0 ⇔ x2≥ 62⇔ |x| ≥ 6

Vậy, với|x| ≥ 6 thì A có nghĩa

b) Để B có nghĩa, điều kiện là

Vậy, với x≥ 3 hoặc x ≤ 1 thì B có nghĩa

c) Để C có nghĩa, điều kiện là2 − x

x − 3≥ 0 Ta lập bảng xét dấu, dựa trên

2 − x = 0 ⇔ x = 2

x − 3 = 0 ⇔ x = 3như sau

1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa

(9x2

− 6x + 1 ≥ 09x2− 1 6= 0 ⇔

((3x − 1)2≥ 0(3x − 1)(3x + 1) 6= 0⇔ x 6= ±

p

(3x − 1)29x2− 1 =

− 13x + 1 nếu3x − 1 < 0

13

− 13x + 1 nếux <

13

13

x >13

13

x <13

(3x − 1 6= 09x2− 1 < 0⇔ 9x

2− 1 < 0 ⇔ |x| <1

3⇔ −1

3< x <1

3.Vậy với−1

1 Xét bất đẳng thức, vì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được

a2+ b2+ 2pa2·pb2≥ (a + b)2⇔ 2|ab| ≥ 2ab,luôn đúng.Vậy bất đẳng thức được chứng minh và dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0, tức là khi a và b cùng dấu

2 Ta cóp(x − 3)2= 3 − x ⇔ |x − 3| = 3 − x ⇔ x − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 3

Vậy nghiệm của phương trình là x≤ 3

4! Trong lời giải câu b), chúng ta đã sử dụng tính chất

Biến đổi phương trình về dạng

x − 2 − 1 = 0⇔

"x − 2 = 0p

2 Điều kiện có nghĩa x− 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 (∗)Biến đổi bất phương trình về dạng

p

x − 1 ≤ x − 1 ⇔px − 1 ≤³px − 1´2⇔px − 1³px − 1 − 1´≥ 0

⇔ "px − 1 = 0p

x − 1 − 1 ≥ 0⇔

"x − 1 = 0p

x − 2 =

p(x − 2)(x − 3)p

x − 2 =

p

x − 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệmx = 4.

2 Biến đổi tương đương về dạng

Vậy phương trình đã cho có nghiệmx ≥ 1

4 Biến đổi tương đương về dạng

Rút gọn biểu thứcA;

1 2 Tính giá trị biểu thứcAvới x = 5;

Tìm giá trị củaxđể biểu thức A = 1

1 2 Tính giá trị biểu thứcAvới x = −1;

Tìm giá trị củaxđể biểu thức A = 0

1 Điều kiện có nghĩa2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥1

2 (∗).Biến đổi phương trình về dạng

x ≥ 34

¶2+7

2 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Vậy phương trình có một nghiệmx =1

1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1 Giải theo kiểu đặt điều kiện có nghĩa rồi biến đổi

Điều kiện∀x ∈ Rdo x2− x + 1 =

µ

x −12

¶2+3

4≥ 0

Ta cóp

x2− x + 1 = x + 1 ⇔ x2− x + 1 = (x + 1)2 x2− x + 1 = x2+ 2x + 1 ⇔ 3x = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có một nghiệmx = 0

Cách 2 Giải theo kiểu biến đổi tương đương

.Vậy phương trình có một nghiệmx = 0

2 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Đề nghị các em học sinh giải theo hai cách đã biết.

Cách 1

Giải theo kiểu đặt điều kiện có nghĩa rồi biến đổi

Cách 2

Giải theo kiểu biến đổi tương đương

Ở đây trình bày theo cách đặt ẩn phụ để các em làm quen

1 Điều kiện có nghĩax − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Viết phương trình dưới dạng

2 Điều kiện có nghĩa2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥1

2 Viết phương trình dưới dạng2x − 1 − 3p2x − 1 − 4 = 0 ⇔¡p2x − 1¢2− 3p2x − 1 − 4 = 0 (1)

Đặtt =p2x − 1, điều kiệnt ≥ 0 Khi đó phương trình(1)có dạng

BÀI 3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI

Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích các biểu thức không âm ta có thể khai

phương từng biểu thức rồi nhân kết quả với nhau.

3 NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu thức không âm

ta có thể nhân các biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó.

Nhận xét Trong câu thứ ba, nếu chúng ta vận dụng một cách máy móc quy tắc khai phương một tích sẽ

không nhận được kết quả gọn.

ä

Do đóp

a + b ≤pa +pb, với mọi a, b không âm

Nhận xét Cách đặt vấn đề của ví dụ trên, giúp chúng ta tiếp cận với bất đẳng thức trước khi đi chứng minh

nó Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề theo kiểu ngược lại, chúng ta sẽ được quyền sử dụng bất đẳng thức này để đưa ra đánh giá cho phép so sánh.

ä

Ví dụ 6.

1 Chứng minh rằng|ac + bd| ≤p(a2+ b2)(c2+ d2)(Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ki)

2 Biếtx2+ y2= 52 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thứcA = 3x + 2y

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Rút gọn biểu thứcA

1 Chứng minh rằng A =¡a +pa + 1¢2

khix =p

2x2+ 2ax − 3ax − 3a22x2− 2ax − 3ax + 3a2 =

2x(x + a) − 3a(x + a)2x(x − a) − 3a(x − a)

= (x + a)(2x − 3a)(x − a)(2x − 3a)=

ä

Ví dụ 8 Cho biểu thức A =a + b −

pab

Với giá trị nào củaxthì A = B?

3 Với giá trị nào củaxthì chỉ Acó nghĩa còn

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy (x− 1)(x − 2) ≥ 0 khi x ≤ 1 hoặc x ≥ 2

Vậy A có nghĩa khi x≤ 1 hoặc x ≥ 2

2 Biểu thức B có nghĩa khi

⇔ px − 3³px + 3 − 1´= 0

⇔ "px − 3 = 0p

Kết hợp điều kiện xác định ta được x= 3 là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét Như chúng ta đã biết, phương trình trên còn có thể được giải bằng phương pháp biến đổi tương

Với giá trị nào củaxthì A = B?

3 Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa cònB

không có nghĩa?

4

- Lời giải.

⇔ x ≥ 1.

Vậy vớix ≥ 1thìA = B

4 Dựa vào điều kiện có nghĩa củaAvàBta có ngay vớix ≤1

2 thì chỉAcó nghĩa cònBkhông có nghĩa.

x ≥ −12

⇔ x = 0.

Kết hợp điều kiện xác định, phương trình đã cho có nghiệmx = 0

ä

BÀI 4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI

B DẠNG TOÁN

1 KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG

B của hai biểu thức A≥ 0, B > 0, ta

có thể khai phương lần lượt biểu thức bị chia A và biểu thức chia B Sau đó lấy kết quả thứ nhất chia cho kếtquả thứ hai

2 CHIA HAI CĂN THỨC BẬC HAI

thức bậc hai của biểu thức dương B, ta có thể chia biểu thức A cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của thươngđó

C PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

3 ·p5+ 3

p5p

Trong câu c), chúng ta thực hiện táchp

15 =p3 ·p5 Tuy nhiên, cũng có thể thực hiện như sau:

móc sẽ không nhân được kết quả gọn.

Ví dụ 4 Rút gọn biểu thức:

a +pb −(

p

a −pb)2p

x +py) − y(py +px)

p

x +py)2(p

x +py)(x − y) =

(p

x +py)(p

Trong lời giải câu 1 , chúng ta đã lựa chọn cách đơn giản từng biểu thức, dựa trên việc phân tích tử

số thành các hằng đẳng thức Tất nhiên, biểu thức cũng có thể được đơn giản bằng quy đồng mẫu số, xong cách giải này phức tạp hơn.

Trong lời giải câu 2 , chúng ta đánh giá được tử số là một hằng đẳng thức, tuy nhiên mẫu số không phải là hằng đẳng thức, dó đó chúng ta sử dụng phương pháp nhóm số hạng để phân tích nó thành tích.

Nhận xét Cách đặt vấn đề của ví dụ trên, giúp chúng ta tiếp cận với bất đẳng thức trước khi đi chứng minh

nó Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề theo kiểu ngược lại, chúng ta sẽ được quyền dùng bất đẳng thức này để đưa

x − 1 .

1 Tìm điều kiện để biểu thứcAcó nghĩa

x − 1 −px)(p

x − 1 +px) +|x|(

p

x − 1)p

Trong lời giải câu 3 A = 7, chúng ta đã phải thực hiện hai công việc:

làm này được gọi là “Phép nhân liên hợp” và chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ trong chủ đề sau.

nhị thức bình phương, từ đó khử được căn thức.

x − 3.

TìmxđểAcó nghĩa

1 2 TìmxđểBcó nghĩa

Với giá trị nào củaxthì A = B?

3 Với giá trị nào củaxthì chỉ Acó nghĩa, còn

Bkhông có nghĩa?

4

- Lời giải.

1 Để A có nghĩa điều kiện là x − 1

Vậy, với x≤ 1 hoặc x > 3 thì A có nghĩa

2 Để B có nghĩa điều kiện là:

2 +p3

p

7 − 4p3p

3 − 2 .

6

- Lời giải.

1 Ta có:A = 3 −

p3p

p2

a − 1)(pa + 1) =

−(pa − 1)(1 +pa + a)(p

a − 1)(pa + 1) =

−(1 +pa + a)p

a + 1 .

4 Ta có:D =

p

6 + 2p5p

5 + 1 =

p

6 + 2p5p

5 + 1 =

»

¡p5 + 1¢2p

5 + 1 = 1.

5 Ta có:E =

p

5 + 2p6p

2 +p3 =

p

2 + 2p6 + 3p

2 +p3 =

p

(p

2 +p3)2p

2 +p3 = 1

6 Ta có:F =

p

7 − 4p3p

3 − 2 =

p

3 − 2 · 2p3 + 4p

3 − 2 =

p

(p

3 − 2)2p

…

ab(a − b)2

¶

Rút gọn biểu thứcA

1 2 Chob = 1, tìmađể biểu thứcA = 2

- Lời giải.

1 Ta có:

A =

Ã

…ab

µa

b−ba

µa

b−ba

µa

b−ba

!:

!#

=… 1a

b+

…

ba

=

pab

a + b.

2 Vớib = 1được A = 2, vậy:

1p

a +p1a

= 2 ⇔

pa

2p2

¶2+17

µ1p

x + 1−

2p

x − 2p

x(x − 1) + (x − 1)

¶:

µ1p

x − 1−

2(p

x − 1)(px + 1)

¶

=

µ1p

x + 1−

2p

x − 2(x − 1)(px + 1)

¶:

p

x + 1 − 2(p

x − 1)(px + 1)

= x − 1 − 2px + 2(x − 1)(px + 1) :

p

x + 1 − 2(p

x − 1)(px + 1)=

x − 2px + 1(x − 1)(px + 1):

p

x − 1(p

x − 1)(px + 1)

p

x − 1)2(x − 1)(px + 1):

1p

x + 1=

p

x − 1(p

x + 1)2· (px + 1) =

p

x − 1p

x + 1.

2 Ta có: p

x − 1p

p

x − 1p2x − 3.

Tìmxđể Acó nghĩa.

1 2 TìmxđểBcó nghĩa

Với giá trị nào củaxthì A = B?

3 Với giá trị nào củax thì chỉ Acó nghĩa, cònB

không có nghĩa?

4

- Lời giải.

1 ĐểAcó nghĩa điều kiện là x − 1

2x − 3≥ 0ta lập bảng xét dấu, dựa trên:

x − 1 = 0 ⇔ x = 1;2x − 3 = 0 ⇔ x =3

2 như sau:

x

x − 12x − 3

x − 12x − 3

p

x − 1p2x − 3⇔







x − 1 ≥ 02x − 3 > 0⇔

x − 1

=

p

x − 1 +px + 1p

x − 1 ·

p

x − 1 = 2px

BÀI 5 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN

2 ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN

Ta có:

|A|pB =pA2B, vớiB ≥ 0 Ta có hai trường hợp:

1 Nếu A≥ 0 thì ApB =pA2B, với B ≥ 0

2 Nếu A< 0 thì ApB = −|A|pB = −pA2B, với B ≥ 0

3 KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC LẤY DẤU CĂN

4 TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

Trục căn thức ở mẫu, ta lựa chọn một trong hai cách sau:

1 Phân tích nhân tử và mẫu ra thừa số chung chứa căn rồi rút gọn thừa số đó

2 Nhân tử và mẫu với thừa số thích hợp để làm mất căn thức mẫu Có các dạng cơ bản sau:

A

p

B= A

pB

1 ĐƯA MỘT THỪA SỐ VÀO TRONG HOẶC RA NGOÀI DẤU CĂN

Ví dụ 1 Viết gọn các biểu thức sau:

A =p25 · 90

- Lời giải.

a − 2 nếua − 2 > 0

−2

p2a4· (a − 2)

a − 2 nếua − 2 < 0

=

½

2p2a4nếua > 2

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng quy tắc đưa một thừa số vào trong dấu căn

b2 ·|a| · b2

|a − b|=

a − b

b2 ·|a| · b2(a − b)= |a|.

ä

được đẳng thức Ngoài ra, nó còn rất cần thiết trong các phép tính toán, thí dụ:

số không bị nhân lên3lần như làm cách trên.

2 KHỬ MẪU CỦA BIỂU THỨC DƯỚI DẤU CĂN-PHÉP NHÂN LIÊN HỢP

Ví dụ 5 Khử mẫu số của các biểu thức dưới dấu căn:

Nhận xét Trong lời giải câu 2

theo chiều ngược lại.

ä

một nhịp cầu để nối nối bài toán cần tìm ra cách giải với bài toán đã biết cách giải và ở đây chúng ta có thể khẳng định thêm rằng việc đưa yếu tố phụ còn có tác dụng như một chiếc đòn bẩy, giúp ta giải bài toán nhẹ nhàng hơn.

3 SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI CHO BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Nhận xét Nếu thực hiện theo phương pháp"quy đồng mẫu số", ta được:

Nhận xét Trong lời giải trên, chúng ta dựa trên hằng đẳng thức để phân tích tử số ra thừa số chung từ đó

rút gọn được căn thức ở mẫu Tất nhiên, chúng ta có thể lựa chọn phép nhân liên hợp xong cách giải này phức tạp hơn.

Nhận xét Trong lời giải trên, để chứng minh đẳng thức chúng ta lựa chọn phép nhân liên hợp để khử căn

thức ở mẫu cho từng phân số Và ở đây chúng ta sử dụng phép biến đổi cục bộ.

Tính giá trị của Akhix =

p3

Vậy, điều kiện tồn tại của A là−1 < x < 1

2 Biến đổi biểu thức về dạng:

1 − x2 =

p

1 − x2+ 3p

1 + x ·

p

1 − x2p

1 Tìm điều kiện đểAcó nghĩa

2 Rút gọn rồi tính giá trị biểu thứcAkhix = 1

.Lập bảng xét dấu từ đó thu được x< −3 hoặc 0 ≤ x < 3

Vậy, điều kiện tồn tại của A là x< −3 hoặc 0 ≤ x < 3

2 Từ kết quả câu a), suy ra x− 3 < 0, do đó:

…

x(3 − x)

3 + x .Thay x= 1 vào A, ta được: A = −

2 .

ä

sai lầm trong quá trình biến đổi.

2 .

4 SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Vậy, với x≥ 0 ta có đẳng thức đã cho

2 Ta biến đổi tương đương:

p4x − 8 − 9

Nhận xét Như vậy, với phương trình trong câu trên, chúng ta sử dụng quy tắc đưa một thừa số ra ngoài

dấu căn để biến đổi nó về dạngpf = g Tất nhiên, chúng ta cũng có thể sử dụng quy tắc đưa một thừa số vào trong dấu căn để giải, cụ thể:

Ví dụ 15 Giải các phương trình sau:

1p

x2+ 1 + x−

1p

x2+ 1 − x+ 2 = 0.

1 2 2x − 5apx − a + 2a2− 2a = 0, vớia > 0

- Lời giải.

1 Biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có nghiệm x= 1

2 Đặt t=px − a, điều kiện t ≥ 0 Suy ra t2= x − a ⇔ x = t2+ a

⇔

"

t = 2a

t =a2

⇔

" p

x − a = 2ap

Vậy, phương trình có hai nghiệm x= 4a2+ a và x =a

2+ 4a

4 .

ä

Nhận xét Như vậy

1 Với phương trình trong câu a), chúng ta sử dụng phép quy đồng cục bộ vì nhận thấy mẫu số của phân

số thứ nhất là liên hợp của mẫu số của phân số thứ hai.

2 Với phương trình trong câu b), chúng ta sử dụng phép đặt ẩn phụ để nhận được một phương trình bậc hai, từ đó sử dụng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi nó về dạng tích và nhận được hai nghiệmt = 2avà t =a

2 (lưu ý rằng cả hai nghiệm này đều thỏa mãnt ≥ 0do giả thiếta > 0).

6 −p3.

1 A =1 − a

pa

a + 3 −pa − 3.

4 D =

p2

1 +p2 −p3.

- Lời giải.

1 Ta có:A = 1 − a

pa

7 − 4 · 3= −

2p75

2 Ta có:

B =

p

2 + 1 +p2 − 2p

2 − 1 =

2p

2 − 1p

Vậy, vớix ≤ 0ta có được đẳng thức đã cho

2 Ta biến đổi tương đương:

4x − 16 +px − 4 −1

3

p9x − 36 = 4

x =52

x + 1

Tìm điều kiện đểAcó nghĩa

1 2 Rút gọn A 3 So sánh|A|với A, biếtx > 1.Tìmxđể A = 2

x −12

¶2+3

BÀI 6 RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Để rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai ta thực hiện theo các bước:

1 Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn

2 Đưa một thừa số vào trong dấu căn

3 Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn

=11

p2

3 − 1=

¡p3 − 1¢¡p3 + 1¢p

Nhận xét Như vậy, với yêu cầu "Thực hiện phép tính" của các biểu thức chứa căn bậc hai chúng ta cần

linh hoạt sử dụng bốn quy tắc biến đổi đã biết, cụ thể:

8, p

18,p

50 Còn

2 ·p2=2

p2

¶

 p

7 −p6p

7 +p6−

 p

7 +p6p

¶

= 15

µ15

p

15 +13

p15

¶

= 15 · 815

7 +p6−

sp

7 +p6p

7 +p6−

sp

7 +p6p

Nhận xét Các em học sinh cần phải linh hoạt trong việc lựa chọn cách biến đổi Trong nhiều bài toán việc

trục căn thức ở mẫu sẽ làm cho các bược quy đồng đơn giản hơn nhiều.

2 Với x, y> 0 ta biến đổi:

Nhận xét Như vậy, với yêu cầu "Rút gọn" các biểu thức chứa căn bậc hai chúng ta vẫn linh hoạt sử dụng

bốn quy tắc biến đổi đã biết Tuy nhiên trong câu b) chúng ta lưu ý tớip

a2=¯¯a¯¯, từ đó thực hiện thêm việc phá dấu trị tuyệt đối.

Ví dụ 4 Chứng minh rằng:

Ã

5 + 2p6p

3 +p2

!2

=Ã ¡p3 +p2¢2p

3 −p2

!2

=Ã ¡p3 −p2¢2p

Ví dụ 5 Choa,b, c, d, A,B,C,D là các số thực dương thỏa mãn:

a

A= b

B= c

C = cD

µ

2pxp

x + 3+

pxp

x − 3−

3x + 3

x − 9

¶:

µ

2p

x − 2p