Giải chi tiết các bài toán vận dụng điểm 8 – 9 – 10 trong các đề thi thử môn toán

Hướng dẫn giải Chọn D... Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị hàm số  C tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.. Tổng khoảng cách từ một điểm

Câu 1: SGD VĨNH PHÚC Cho hàm số 3

5

y x mx , m là tham số Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m0, ta có thể chọn m là một số dương như m3

để làm Tương tự ở trường hợp 3, ta chọn m 3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn

Câu 2: SGD VĨNH PHÚC Cho hàm số 2 2017 (1)

1

x y x

C.Đồ thị hàm số 1 có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y2 và không có tiệmcận đứng

D.Đồ thị hàm số 1 không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đườngthẳng x 1,x1

CT CT

Kiểm tra vớim phương trình trở thành 0  x3 x2   x 0 x 0nên chọn đáp án D

Câu 7: TRẦN HƯNG ĐẠO – NB Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại,

cực tiểu của đồ thị hàm số y x 33mx cắt đường tròn tâm 2 I 1;1 , bán kính bằng 1 tại

2 điểm phân biệt A B, sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

I

2 khi sinAIB 1 AI BI

x bx

 



  có đồ thị  C a b, là các hằng số dương, ab Biết rằng 4  C có tiệm cận ngang y c và có đúng 1 tiệm cận đứng Tính tổng T 3a b 24c

A T  1 B T  4 C T  7 D T 11

Hướng dẫn giải

Chọn D

4

x

a y

Câu 11: NGÔ GIA TỰ ‐ VP Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số





 

 Hướng dẫn giải

m m

2 2 2 4 22

2

2018 12018

Ta có: ysinxcosx mx

' cos sin

y  x x m

Hàm số đồng biến trên  y  0, x . m sinxcos ,x x  

 

 

 với   x sinxcos x

Câu 17: CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên đoạn 2; 2

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới Xác định giá trị của tham số m để phương trình f x   có số nghiệm thực nhiều nhất m

Hướng dẫn giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có đồ thị của hàm số y f x( ) là:

Từ đồ thị ta thấy rằng, với m thỏa 0  thì phương trình m 2 f x   có số nghiệm m

m m

Do y m y     2 0 suy ra phương trình y0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

m; 2 

y   2 2y 0 suy ra phương trình y0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2; 2

y   2 y M 0 suy ra phương trình y0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 2; M Vậy đồ thị hàm số y x 3ax2bx c  và trục Ox có 3 điểm chung

Câu 20: CHUYÊN ĐHSP HN Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số

x y



 đạt giá trị lớn nhất tại x khi và chỉ 1khi

Đặt xtant, ta được sin 2

11

y x

Ta có: y'm2 m x23x 4 m2 m

23 4 5

6

+

1 4 -1

-2 -

f(t) f'(t)

t

7

44

4

43

m m

m m

m

m m

2

ym m

744

32

TXĐ: D  ' 1 sin 2

2

72

Tập xác định: D  Ta có y  1 msinx

Hàm số đồng biến trên  y' 0,   x  msinx  1, x 

Trường hợp 1: m ta có 0 0 1, x    Vậy hàm số luôn đồng biến trên 

m vl m

Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  



tan

x y

x m đồng biến trên khoảng   

0;4 ?

Hướng dẫn Chọn B

Điều kiện tan x  m Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0;

142;

Hướng dẫn Chọn B

2

2

m S

Đặt t f x( ) x24x Ta có 5

2

2( )

Khi đó phương trình đã cho trở thành m t       2 t 5 t2 t 5 m 0 1

Nếu phương trình 1 có nghiệm t t1 2, thì t1  t2 1 1 có nhiều nhất 1 nghiệm t1 Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình 1 có đúng

1 nghiệmt 1; 5 Đặt g t( )  t2 t 5. Ta đi tìm m để phương trình g t( )m có đúng 1 nghiệmt 1; 5 Ta có g t     ( ) 2 1 0,t t  1; 5

t x Điều kiện: t 1Phương trình thành: t2 t 2m 2 0 (*) Khi x1;3 3 t [1; 2]

Hướng dẫn Chọn A

Ta có :y' 2 x22mx2 3 m2 1 2 x2mx3m2 , 1

g x x mx m  là tam thức bậc hai có  13m24 Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' có hai nghiệm phân biệt  g x  có hai nghiệm phân biệt

  0 

2 1313

2 1313

m m

m m

m m

m m

m m

Phương pháp tự luận

Ta có : y6x26m1x6m

1' 0 x

A.m 0 B.

0.92

m m

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp nếu có của tứ giác ABOC Do tính chất đối xứng , ta

C.m    ; 1 2; D Không tồn tại m

Hướng dẫn Chọn B

Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y mx 33mx23m có hai 3

điểm cực trị A B, sao cho 2AB2(OA2OB2) 20 Trong đó O là gốc tọa độ

m m

Cách 1

Gọi cạnh của hình chữ nhật: a, b; 0 a, b  48

Cách 2

Câu 58: Cho hàm số 2sin 1

x y

2( )

0 0

;2



 có đồ thị là  C Gọi điểm M x y 0; 0 với x0   là điểm thuộc 1

 C ,biết tiếp tuyến của  C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt ,A B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: 4x y 0 Hỏi giá trị của x02y0 bằng bao nhiêu?

 Gọi

0   

0 0

14

 



 có đồ thị là  C , đường thẳng d y:  x m Với mọi m ta luôn có

d cắt  C tại 2 điểm phân biệt ,A B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với

 C tại ,A B Tìm m để tổng k1 đạt giá trị lớn nhất k2

Hướng dẫn Chọn A

 Ta có

 2

31

y x

0 2 0

 

 

0 0





 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị hàm số  C tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị  C đến  bằng?

Hướng dẫn Chọn D

23

11

x

x x

1

x A x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của  C luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

m m

Câu 68: Cho hàm số 2 3 3

2

y x



 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc  C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

2 Hướng dẫn

d =

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3

2

32

: 2  6 0

A. 4;4 và 1; 1 B.1; 5 và 1; 1

A  0;2 B  4; 2 C 2;0 D  2;4

Hướng dẫn giải Chọn B

 Tập xác định: D\ m

12

m

m m y

m m

2

43

x

x x

02

21

x

x x

tiểu tại x nên 2 m  ta loại 1

Câu 71: CHUYÊN VINH – L2 Cho các số thực x y, thỏa mãn x y 2 x 3 y3 Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P4x2y215xy là

A minP  80 B minP  91 C minP  83 D minP  63

Hướng dẫn giải Chọn C

Nhận xét: Đồ thị hàm số y f x  gồm hai phần: m

 Phần 1 là phần đồ thị hàm số y f x m nằm phía trên trục hoành;

 Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị hàm số y f x m nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Câu 73: (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho hàm số y f x( )ax3bx2cx d có

bảng biến thiên như sau:

Khi đó | ( ) |f x m có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 1 4

d f

Bảng biến thiên của hàm số y f x( ) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình | ( ) |f x m có bốn nghiệm phân biệt

12

x x x  x khi và chỉ khi 1 1

2 m

Câu 74: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Cho hàm sốy f x( )x x( 21)(x24)(x2 Hỏi đồ thị 9)

hàm số y= f x¢( ) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?

g    nên g t 0có 3 nghiệm dương phân biệt

Do đó f x 0có 6 nghiệm phân biệt

Câu 75: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

Câu 76: (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Phương trình 2017sinx sinx 2 cos 2x có bao nhiêu

nghiệm thực trong 5 ;2017   ?

Hướng dẫn giải

Chọn D 

Ta có hàm số y2017sinxsinx 2 cos 2x tuần hoàn với chu kỳ T 2

Xét hàm số y2017sinxsinx 2 cos 2x trên 0; 2 

Ta có

Do vậy trên 0; 2 , 0 cos 0 3

Vậy trên 0; 2  phương trình 2017sinx sinx 2 cos 2x có đúng ba nghiệm phân biệt

Ta có y   0, nên trên 0; 2  phương trình 2017sinx sinx 2 cos 2x có ba nghiệm phân biệt là 0, , 2 

Suy ra trên 5 ;2017  phương trình có đúng 2017    5 1 2023 nghiệm

 

Hướng dẫn giải

Xét   22

5 11

4 4

01

_

1

1 0

4 f(t)

f'(t) t

Câu 7: LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình

u

u v v

1 2 1 2

Sử dụng công thức

1log

Câu 12: CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 2x2y  Tìm giá 4

VậyPmax 18khi x y 1

Câu 13: CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

1 16

PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt  1 có đúng 1 nghiệm t    0;1

1 1

Câu 14: CHUYÊN ĐHSP HN Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

x x

  , dấu bằng xẩy ra khi x suy ra 2 2 41 24 1 4, 0

x x

x x

Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương a b 2 ab, dấu “ ” xảy ra khi a  b

Câu 15: CHUYÊN ĐH VINH Số nghiệm của phương trình 2  2 

1



t t

 2

Cách 3: Dùng đồ thị

Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số yx2  tại hai điểm phân biệt trong khoảng x 5

1;1 khi và chỉ khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số yx2  tại hai điểm phânx 5biệt có hoành độ   1;1

Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng 1;1 khi

* Giải khi m 0, 2: không thỏaloại A, D

* Giải khi m : không thỏa 5 loại B

Câu 17: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình

m

  , thay vào PT  4 thỏa mãn

PT  4 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT 3

12

m

  , thay vào PT  3 thỏa mãn

PT  4 có hai nghiệm phân biệt và PT  3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có mộtnghiệm của hai PT trùng nhau

t 1

f(t)

13

Sử dụng    

maxfminf

Vậy phương trình  1 có nghiệm thuộc khoảng  0;1 khi m 2;4

Câu 21: CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3 Tìm m để bất phương trình

m m m m m m

000

a u a a và phương pháp hàm số như các bài trên

Câu 23: CHUYÊN BẮC GIANG Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm sốya x, yb x,

logc

y x

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

3

x

y x

Câu 24: CHUYÊN BẮC GIANG Biết rằng phương trình  log 4 2  2   3

x

6

1 thỏa x  2

2

2 3

2

m m

m m

m

m m

2 2

 2

x

   Vậy                1  C4 , 2  C1 , 3  C3 , 4  C2

Câu 40: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho phương trình 2

(Với t1log3x1 và t2log3x2 )

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình  2

Ta có: Số nghiệm của phương trình 3x 1

Ta thấy ymx1 luôn đi qua điểm cố định  0; 1 nên

+Nếu m0: phương trình có nghiệm duy nhất

+ Nếu m0 :ymx1 là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số y3x

tại một điểm duy nhất.

+ Nếu m0 :Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳngymx1 phải khác tiếp tuyến của

Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ‐ ỨNG DỤNG   Câu 1: (SGD  VĨNH  PHÚC)Gọi  S t   là  diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường 

ln 22

ln 2

ln 22

  

Hướng dẫn giải  Chọn B. 

x x

Diện tích hình phẳng:   

  2 0

Hướng dẫn giải 

1 1

f x  g x dx

Hướng dẫn giải 

[ (5 3 ) 7]dx

P f  x   

Hướng dẫn giải 

a x

11

3  

Hướng dẫn giải  Chọn A 

x x

Đặt t 1 3cos x  t2 1 3cosx2 dt t 3sin d x x  

Đổi cận: + Với x0t2 

       + Với xat 13cosa  A. 

x e



Hướng dẫn giải  Chọn D. 

n e

n n

n n

e e

Câu 21: (SỞ  GD  HÀ  NỘI) Cho  hàm  số  y f x ax3bx2 cx d a b c, , , ,a0có  đồ  thị 

 C . Biết rằng đồ thị  C  tiếp xúc với đường thẳng  y  tại điểm có hoành độ âm và 4

đồ thị hàm số y f x  cho bởi hình vẽ dưới đây: 

 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C  và trục hoành. 

Câu 24: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hàm số  y f x  liên tục trên đoạn  a b;  Gọi D là diện tích 

hình  phẳng  giới  hạn  bởi  đồ  thị  C :y f x ,  trục  hoành,  hai  đường  thẳng  x , a

x b  (như hình vẽ dưới đây). 

 Giả sử S  là diện tích hình phẳng  D D. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, 

a

S   f x x f x x. 

Hướng dẫn giải  Chọn B  

3

a a

A.k 34. 

B.k  32 1.  

C. 1

.2

k  

D.k  34 1.  

Hướng dẫn giải  Chọn D. 

Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  y 1 x y k x2,  ,   bằng diện tích hình phẳng giới 0hạn bởi : y 1 x y x2,  21,y k x ,   0.

y f x y

     

b a

y f x y

.8

V = p 

Hướng dẫn giải  Đáp án A 

ABC

sao  choO( ) ( )0;0 ,A 1;0 ,B(0;- 3)  với  O  là  trung  điểmAC  

Phương  trình  đường  thẳng AB  là y = 3(x-1),  thể  tích  khối 

tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùng Ox ) tính bởi 

x x p

-=+

Câu 31: (  CHUYÊN  QUANG  TRUNG  LẦN  3)Cho  f ,g  là  hai  hàm  liên  tục  trên  1;3   thỏa:

   3

u f x x,  3  

1d

mx y m0. Tìm giá trị của  m  để  S  3

A.  3

.2

.2

m  

Hướng dẫn giải 

thể tích của  H . 

A.   

3

23

Ta  gọi  trục  tọa  độ  Oxyz   như  hình  vẽ.  Khi  đó  phần  giao  H   là  một  vật  thể  có  đáy  là  một 

a S x dx a a x dx a  

x y

Câu 38: (CHUYÊN VINH – L2)Trong Công viên Toán học có những 

mảnh  đất  mang  hình  dáng  khác  nhau.  Mỗi  mảnh  được 

trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong 

những  đường  cong  đẹp  trong  toán  học.  Ở  đó  có  một 

mảnh  đất  mang  tên  Bernoulli,  nó  được  tạo  thành  từ 

đường Lemmiscate  có phương trình  trong  hệ tọa độ Oxy 

Vì  tính  đối  xứng  trụ  nên  diện  tích  của  mảnh  đất  tương  ứng  với  4  lần  diện  tích  của mảnh đất thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy. 

( ) 0

I

Câu 39: (CHUYÊN  VINH  –  L2)Gọi  V   là  thể  tích  khối  tròn 

xoay  tạo  thành  khi  quay  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các 

đường  y x,  y0  và  x    quanh  trục  Ox   Đường 4

thẳng  x a 0 a 4  cắt  đồ  thị  hàm  y x  tại  M  

(hình  vẽ  bên).  Gọi V   là  thể  tích  khối  tròn  xoay  tạo 1

thành khi quay tam giác  OMH  quanh trục  Ox  Biết rằng  V 2V1. Khi đó 

2

Hướng dẫn giải  Chọn D.  

Ta có  x   0 x 0. Khi đó 

4 0

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  y x 24x  và trục hoành là: 4

x  x   x  

2 0

Khi  đó 

 

2

2 2

0

d2

t J

Câu 42: (CHU VĂN AN – HN) Cho hai mặt cầu  S1 ,  S2 có cùng bán kính R thỏa mãn

tính chất: tâm của  S1 thuộc  S2 và ngược lại Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi ( )S1 và ( )S2

5

R R

R R

Câu 43: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm số y x 43x2m có đồ thị  C m với mlà tham

số thực Giả sử  C m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :

Gọi S1, S2 và S3là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ Tìm m để

Vì  z1  z2  và z1z2 nên cả hai số phức đều khác  0  Đặt  1 2

1 2

z z w

Câu 2: (TRẦN  HƯNG  ĐẠO  –  NB) Cho  số  phức z  thỏa  mãn  điều  kiện  z 3 4i 2.  Trong 

mặt phẳng  Oxy  tập hợp điểm biểu diễn số phức  w2z   là hình tròn có diện tích 1 i

A. S9 B. S12 C. S16 D. S25

Hướng dẫn giải  Chọn C. 

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức  w  là hình tròn tâm  I7; 9 , bán kính r  4.Vậy diện tích cần tìm là S .42 16   

BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8 - 9 - 10) _

Câu 3: (TRẦN  HƯNG  ĐẠO  –  NB) Trong  các  số  phức  thỏa  mãn  điều  kiện  z3i   z 2 i. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? 

Gọi z x yi với  ;x y   

Ta có 8        z 3 z 3 z 3 z 3 2z  z 4. 

  

 

10

P z

  

 

Hướng dẫn giải  Chọn D. 

Câu 9: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn  z 1. Đặt  2

2

z i A

12

y

x

Câu 11: Cho số phức  z  thỏa mãn  z   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 A 1 5i

A. Tam giác  OAB  đều.  

B.  Tam giác  OAB  vuông cân tại  O  

C. Tam giác  OAB  vuông cân tại  B  

D. Tam giác  OAB  vuông cân tại  A  

Hướng dẫn giải 

i i i

z

z    và z1z2 2 3. Tính môđun của số phức z  1

Câu 25: Cho số phức  2 6 ,

3

i z

Câu 28: Gọi  z x yi x y  ,     là  số  phức  thỏa  mãn  hai  điều  kiện  2 2

22

A. Tam giác  OAB  đều. 

B.  Tam giác  OAB  vuông cân tại  O  

C. Tam giác  OAB  vuông cân tại  B  

D. Diện tích tam giác  OAB  không đổi.