Các bài toán liên quan đến n!, Pn, k n A và k n C : Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, chứng minh một đẳng thức,…Để giải dạng toán này ta thường sử dụng định nghĩa, cô
Trang 1VẤN ĐỀ 1
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
I)Quy tắc cộng và quy tắc nhân:
II)Các khái niệm của Đại số tổ hợp:
Hoán vị (Permutation) Chỉnh hợp (Arrangement) Tổ hợp (Combination)
Định
nghĩa
Một hoán vị của n phần tử thuộc
E (n ≥ 1) là một cách sắp xếp
n phần tử đó theo một thứ tự
nhất định
Một chỉnh hợp chập k
(1 ≤ k ≤ n) của n phần tử
thuộc E là một cách sắp
xếp k phần tử tùy ý của E theo một thứ tự nhất định
Một tổ hợp chập k (0 ≤ k ≤ n) của n
phần tử thuộc E là một tập hợp con
gồm k phần tử thuộc E
Công
!
!
k n
n A
n k
=
!
k n
n C
k n k
=
−
Tính
chất
(n 1)n
3 2 1
!
(n 1)! n
!
1
!
0 =
n
1 k 1 n
k 1 n
k
Chú ý Thứ tự là quan trọng Thứ tự là quan trọng Không quan tâm đển thứ tự
B/ CÁC DẠNG TOÁN CẦN LUYỆN TẬP:
1 Các bài toán liên quan đến n!, Pn, k
n
A và k
n
C : Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, chứng minh một đẳng thức,…Để giải dạng toán này ta thường sử dụng định nghĩa, công thức, tính chất của n!, Pn, k
n
A và k
n
C với chú ý chúng là các số tự nhiên hay nguyên dương nên phải có điều kiện
2 Các bài toán tìm số cách sắp xếp đếm số khả năng liên quan đến quy tắc cộng , quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đối với dạng toán này việc nhận định xem đề bài đề cập đến “hoán vị”, “chỉnh hợp” hay “tổ hợp” là rất quan trọng Chỉnh hợp và hoán vị gắn liền đến thứ tự còn tổ hợp thì không liên quan đến thứ tự
BÀI TẬP Bài 1: Giản ước biểu thức: 20042002!−2003! !
3
1 3
1 3
2 4
2 4
3
Bài 3: Giản ước biểu thức: 4
n
5 n
6 n
A
A A
M= + , (n ≥ 6 , n ∈ N)
Bài 4: Tính giá trị biểu thức:
2
2 3 6 11
6 10
5 10
4 8
3 7
4 7
P
A C C C 1
C C C 1
− + +
− + +
=
I) Quy tắc cộng: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1; m2
cách chọn đối tượng x2;…; mn cách chọn đối tượng xn và
nếu cách chọn đối tượng x ikhông trùng với bất kỳ cách
chọn đối tượng x j nào ( i ≠ j i , j = 1 , 2 , , n ) thì có
n 2
1 m m
m + + + cách chọn một trong các đối tượng đã
cho
II) Quy tắc nhân: Nếu một phép
chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 cách bước 2 có
m2 cách;…; bước n có mn cách thì phép chọn đó được thực hiện theo
n 2
1 m m
Trang 2Bài 5: Giải phương trình: ( )
(m 1)! 72
! 1 m
=
−
+
, trong đó m ≥ 1 , m ∈ N
Bài 6: Giải phương trình A Cx 2 14x
x
3
x + − = (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)
x 4
x x
3 1
A
24 − − =
Bài 8: Giải bất phương trình : A 14P Cx 3 (x N)
1 x 3
4 1
− +
Bài 9: Giải phương trình: 2
1 x 1
x 3
C
+ = (x ∈ N , x ≥ 1)
Bài 10: Giải hệ phương trình:
=
= +
153 C
C
C
2 x
2
y x
y x
trong đó x và y là những số tự nhiên thoả mãn điều kiện0 ≤ y ≤ x
Bài 11: Giải hệ phương trình :
=
=
−
−
−
−
4:
7 C:
C
7:
1 A :
A
3
y x5
2
y x5
2
y x5
3
y x5
k n 2 1 n k n 2 n k
+
+
1 n
k 1 n
k
−
=
Bài 14: Tính số đường chéo của đa giác lồi 20 đỉnh (Đề thi TN THPT Kì II 1996-1997)
Bài 15: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số:
1) Mỗi số gồm bốn chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 ?
2) Có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
(Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998_Đề chính thức)
Bài 16: Cho các chữ số 2, 3, 5, 7, 8 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được
tạo thành từ các chữ số đã cho? Trong đó có bao nhiêu số là số chẵn?
(Đề thi TN THPT Kì II 1998-1999)
Bài 17: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem
thư ,3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn , mỗi bì thư chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy ? (Đề thi TN THPT 1999-2000)
Bài 18: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau?
(Đề thi TN THPT 2001-2002)
Bài 19: Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau: y y 1 y 1
C + : C + : C − =6 : 5 : 2 (Đề thi TN THPT 2002 – 2003)
Bài 20: Giải bất phương trình (với hai ẩn là n, k ∈¥ ): ( n 5) k 2n 3
P
60A
n k !
+ +
+
≤
−
(Đề thi TN THPT 2003-2004)
Bài 21: Có bao nhiêu cách chọn 3 đại biểu trong số 5 người được đề cử?
Bài 22: Có 16 đội bóng tham gia thi đấu Thể lệ cuộc thi là bất kỳ hai đội nào cũng chỉ gặp nhau
một lần Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Bài 23: Từ 5 số khác nhau a, b, c, d, e có thể lập được tất cả bao nhiêu tích của:
1) hai thừa số khác nhau;
2) ba thừa số khác nhau;
3) bốn thừa số khác nhau;
Trang 34) năm thừa số khác nhau.
Trong mỗi trường hợp, hãy viết tất cả các tích tương ứng
Bài 24: Các đường chéo của một n-giác lồi gặp nhau tại bao nhiêu điểm, nếu bất kỳ 3 đường
chéo nào cũng không cắt nhau tại một điểm?
Bài 25: Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật cho 3 người, sao cho mỗi người đều nhận được ít
nhất một đồ vật?
Bài 26: Nam có bảy quyển sách toán khác nhau, Bắc có 9 quyển sách văn khác nhau Hỏi hai
bạn có thể trao đổi cho nhau mỗi lần 5 quyển theo bao nhiêu cách?
Bài 27: Từ một tập thể nhà khoa học gồm hai nhà toán học và 10 nhà kinh tế học, có bao nhiêu
cách thành lậpmột phái đoàn 8 người, trong đó có ít nhất một nhà toán học?
Bài 28: Một đội công nhân có 15 người, gồm 9 nam và 6 nữ.
1) Có bao nhiêu cách thành lập một tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ từ đội công nhân trên?
2) Trong đội có vợ chồng anh Thu và chị Chi vì có con nhỏ, nên không thể cùng tham dự một tổ được Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác như trên để chiếu cố đến tình hình này?
Bài 29: Người ta rút ra 3 quả cầu từ một cái hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen
1) Có bao nhiêu cách rút ra như thế ?
2) Có bao nhiêu cách rút ra 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen ?
3) Có bao nhiêu cách rút ra nhiều nhất 2 quả cầu trắng ?
4) Có bao nhiêu cách rút ra ít nhất 2 quả cầu đen ?
Bài 30: Tìm số đường chéo của một n-giác.
Bài 31: Trên mặt phẳng cho n điểm trong đó, ngoại trừ m(m ≥ 2)điểm nằm trên một đường
thẳng, bất kì 3 điểm nào khác cũng không thẳng hàng Hỏi :
1) Có bao nhiêu đường thẳng nối các điểm đó?
2) Có bao nhiêu tam giác khác nhau có đỉnh tại các điểm đã cho?
Bài 32: Có bao nhiêu cách phân phối 8 đồ vật khác nhau vào 3 hộp khác nhau, sao cho hộp thứ
nhất chứa 3 đồ vật, hộp thứ hai chứa 3 đồ vật và hộp thứ ba chứa 2 đồ vật?
Bài 33: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người ngồi chung quanh một bàn tròn?
Bài 34: Có thể lập bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 9 ?
Bài 35: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau , không chia
hết cho 5 ?
Bài 36: Trên giá sách có 30 quyển sách, trong đó có 27 quyển có tác giả khác nhau, và 3 quyển
có cùng một tác giả Hỏi có bao nhiêu cách sắp các sách ấy, sao cho các sách của cùng một tác giả đứng cạnh nhau?
Bài 37: Có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho:
1) Mỗi chữ số đều có mặt một lần trong các số được lập ?
2) Chữ số 0 không đứng ở vị trí thứ nhất bên trái?
Bài 38: Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người, một bí thư, một phó bí
thư và một uỷ viên, trong một chi đoàn có 20 đoàn viên?
Bài 39: Từ các số 3, 5,7, 11, 13, 17 có thể lập được bao nhiêu phân số khác nhau?
Bài 40: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong đó không có một
chữ số nào lặp lại ?
Trang 4Bài 41: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau
trong đó phải có mặt chữ số 5?
Bài 42: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và là
số chẵn?
Bài 43: Cho đa giác đều A1 , A2……A2n (n ≥ 2 , nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …….A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, ……A2n, tìm n.(ĐH KHỐI B 2002)
Bài 44: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi
trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? (ĐH KHỐI B 2004)