Hình học phẳng Oxy ôn thi THPT Quốc gia chi tiết và đầy đủ

Viết phương trình chính tắc của elip E, biết rằng E có ñộ dài trục lớn bằng 8 và E cắt C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông.. Viết phương trình ñường tròn có

Trang 1

2

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

http://megabook.vn/

Trang 2

3

Trang 3

4

B CÁC BÀI TOÁN

BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM

ðể hiểu rõ hơn cho 4 hướng tư duy tương ứng với 4 TH của Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ðiểm” thầy sẽ

dùng 6 bài thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa

1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho

  và ñường thẳng AN có phương trình 2 x y− − =3 0 Tìm tọa ñộ ñiểm A

2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + =y2 8 Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có

ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt ( )C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông

3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn ( ) : C 1 x 2 + =y2 4 , ( ) : C 2 x 2 + − y 2 12 x+ = 18 0 và ñường thẳng d x y: − − = 4 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc ( )C2 , tiếp xúc với d và cắt ( )C1 tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d

4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương

trình x 2 + =y2 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox

5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + = 3 y 0 và

4 0

x y− + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1

( ;1) 3

M − Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD

6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : 2 x y− + = 3 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox

tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2

Trang 4

+) Ta có { }A = AN ∩AM nên Theo hướng tư duy 1 (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM

+) Biết M nhưng chưa biết A (chính là ñáp số ta cần tìm) nên ta phải ñi tìm thêm vtpt hoặc vtcp

+) Bài toán không có yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt hoặc vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng +) Yếu tố ñịnh lượng: cos ∠MAN= cos (n AM ,n AN)

uuuur uuur

AM n

⇒uuuur⇒ phương trình AM → tọa ñộ ñiểm A

Trang 5

  cố ñịnh Nếu AM h const= = ( ta sẽ tìm cách ñi tính AM )

Nên Theo hướng tư duy 3 (TH3) : { }A = AN ∩( )C với ( )C là ñường tròn tâm M bán kính R h=

Trang 6

Cách 4: (Các em có thể tham khảo thêm cách giải của Bộ Giáo Dục nhưng vì cách giải này theo thầy không ñược

“tự nhiên” nên thầy không trình bày ở ñây)

2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + =y2 8 Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có

a + =b như vậy ta cần tìm a b; +) (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8⇒2 a = 8 ⇒a=4

+) Theo Hướng tư duy 4 (TH4) ta gọiA x y( ; ) (x>0) là một giao ñiểm của (E) và ( )C : A ∈ ( ) C ⇒x 2 + =y2 8

và dữ kiện (E) cắt ( )C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông giúp ta thiết lập thêm phương trình: y = x (4 ñỉnh nằm trên hai ñường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai – nhưng vì ta chọn ñiểm ( ; )

A x y (x>0) thuộc góc phần tư thứ nhất) ⇒ tọa ñộ ñiểm A +) Mà A ∈ ( )E ⇒b→ phương trình (E)

Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip ( )E có dạng:

+) GọiA x y( ; ) (x>0) là một giao ñiểm của (E) và ( )C Ta có: A ∈ ( ) C ⇒x 2 + =y2 8 (1)

Mặt khác: (E) cắt ( )C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông ⇒ y x= (2)

x y

+ =

Trang 7

8

3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn ( ) : C 1 x 2 + =y2 4 , ( ) : C 2 x 2 + − y 2 12 x+ = 18 0 và ñường thẳng d x y: − − = 4 0

Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc ( )C2 , tiếp xúc với d và cắt ( )C1 tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB

vuông góc với d

Phân tích:

Muốn viết phương trình ñường tròn ta cần:

+) Xác ñịnh tâm I (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) Khi ñó theo Hướng tư duy 2 (TH2) ta gọi I t ( ) ∈II1

(Trước ñó ta ñi lập phương trình II1 ñi qua I1 vuông góc với AB (tính chất ñường nối tâm) hay song song với d)

Và dữ kiện I ∈ ( )C2 giúp ta thiết lập ñược phương trình : f t ( ) 0 = → = →t ? tọa ñộ ñiểm I

( Ta có thể làm theo Hướng tư duy 3 (TH3) với { }I = ∩II 1 ( )C2 → tọa ñộ I - cách trình bày khác của TH2)

trình x 2 + =y2 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox

+) Khai thác dữ kiện: AC = 2BD → f a b1( , ) 0 = (1)

+) Khai thác dữ kiện: ñường tròn x 2 + =y2 4 tiếp xúc với các cạnh của hình thoi → f a b2( , ) 0 = (2)

Từ (1) và (2) → =a2 ? và b2 = ? → phương trình (E)

Trang 8

9

Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip ( )E : x 2 y2 1

a + =b

( với a b> >0 )

Vì (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D và A Ox∈ nên không mất tính tổng quát giả sử: A a( ; 0) và B (0; )b

Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2 OA = 4 OB ⇔ OA =2OB ⇔ =a 2b (vì a b> >0) hayA b(2 ; 0) ,B (0; )b

Gọi H là hình chiếu của O lên AB

2

OH R

⇒ = = ( vì ñường tròn x 2 + =y2 4 tiếp xúc với các cạnh của hình thoi)

Xét tam giác OAB ta có: 1 2 1 2 12

5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + = 3 y 0

và x y− + = 4 0; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1

( ;1) 3

Cách 1:

Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) : { }A = AC ∩AD→ tọa ñộ ñiểm A

+) Theo Hướng tư duy 2 (TH2) : D ∈AD, B AB∈ nên ta gọi D t B t( ), ( )1 2 (trước ñó ta ñi lập pt AB) +) Gọi { }I = AC BD∩ ( I là trung ñiểm của AC và BD) ⇒I t t( , )1 2 mà I ∈ AC ⇒ f t t1 1 ( , ) 02 = (1)

Vì MB MD,

uuur uuuur

cùng phương ⇒ f t t2 ( , ) 01 2 = (2) +) Từ (1) và (2) 1

2

?

t t

x y

Trang 9

10

5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + = 3 y 0

và x y− + = 4 0; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1

( ;1) 3

Cách 2:

Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) : { }A = AC AD∩ → tọa ñộ ñiểm A

+) Do trong bài toán có nhiều tính chất ñối xứng nên ta nghĩ tới việc tìm các ñiểm phụ liên quan Cụ thể:

+) Ta tìm ñiểm N ñối xứng với M qua ñường trung trực d của AD bằng cách viết pt d' ñi qua M song

song với AD và { }N = ∩d ' AC ⇒ pt trung trực d của AD ⇒ tọa ñộ trung ñiểm I J, của AC và AD

x y

( 1) 0 3 3 4 03

x + − − = ⇔ − + =y x y Gọi { }N = ∩ d ' ACnên ta xét hệ:

x y

= −

 + =

Gọi d là ñường trung trực của AD cắt MN AC AD, , lần lượt tại H I J, ,

⇒H I J, , lần lượt là trung ñiểm MN AC AD, , 5 5;

6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : 2 x y− + = 3 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox

Trang 10

11

Phân tích: Muốn viết phương trình ñường tròn ta cần:

+) Xác ñịnh tâm I (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) Khi ñó theo Hướng tư duy 2 (TH2) ta gọi I t ( ) ∈d

Và dữ kiện AB CD= giúp ta thiết lập ñược phương trình : f t ( ) 0 = → = →t ? tọa ñộ ñiểm I

Vậy phương trình ñường tròn: ( x + + − = 1) 2 ( y 1) 2 2

CHÚ Ý: Trước khi vào phần BÀI TOÁN 2 chúng ta có một số quy ước sau:

+) M t( ) ∈ ∆ : ta ràng buộc ñiểm M theo một ẩn là t

+) M t t( , )1 2 : ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn t1và t2

+) M t t( ; )1 2 : ñiểm M có tọa ñộ : 1

2

M M

BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN BÀI TOÁN 1

Dạng 1: Các bài toán trong tam giác, tứ giác

Loại 1: Các bài toán về ðịnh Tính

Loại 1.1: Các bài toán về ñường trung tuyến, ñường cao, trung trực

Bài 1: Biết ñỉnh A của tam giác ABC và 2 trung tuyến BM, CN Viết phương trình các cạnh của ∆ABC

Cách giải:

Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 1 ñể giải các ví dụ sau)

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) và phương trình hai ñường trung tuyến BM: 8x – y – 3 = 0,

CN: 14x – 13y – 9 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh B, C (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5))

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñường trung tuyến BM và CN lần lượt là

x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0 Tính diện tích tam giác ABC (ðs: S∆ABC = 16 (ñvdt))

Trang 11

12

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là

4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0 Viết phương trình BC (ðs: x – 2y – 1 = 0 ; với B ( 3; 2)− − , C (1; 0)

)

Ví dụ 4: Cho hai ñường thẳng d : x – y + 1 = 0, 1 d : 2x + y – 1 = 0 và ñiểm P(2; 1) Viết phương trình 2

ñường thẳng d qua P và cắt 3 d , 1 d lần lượt tại A và B sao cho P là trung ñiểm của AB (ðs: 4x – y – 7 = 0) 2

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trung ñiểm của AB là I(1; 3), trung ñiểm AC là J(-3; 0) ðiểm A thuộc Oy và

ñường BC qua gốc tọa ñộ O Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC (ðs: A 0;9

( Các em tham khảo phần giải mẫu qua các Ví dụ 2 , Ví dụ 3, Ví dụ 5 )

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñường trung tuyến BM và CN lần lượt là

x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0 Tính diện tích tam giác ABC

A B N

x x t x

y y t x

Trang 12

4 2

x y

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trung ñiểm của AB là I(1; 3), trung ñiểm AC là J(-3; 0) ðiểm A thuộc Oy và

ñường BC qua gốc tọa ñộ O Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết ñỉnh A(1; –3); phương trình hai ñường cao xuất phát từ B và C lần lượt là

x+ 2y – 8 =0 và 3x + 5y – 1 = 0 Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x – 2y – 8 = 0)

Ví dụ 2 (A – 2004): Cho hai ñiểm A (0; 2) và B(− 3 ; − 1 ) Tìm tọa ñộ trực tâm và tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp

của tam giác OAB (ðs: H( 3; 1) − , I ( − 3;1) )

Trang 13

Bài 3: Cho ñỉnh A và hai ñường trung trực d d1 , 2 của cạnh AB và AC (hoặc BC).Viết phương trình các cạnh

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2) và hai ñường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt là x – 2y – 2 = 0

và x – y + 5 = 0 Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC (ðs: y = 2)

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có ñiểm M(0; 3) thuộc ñoạn AC; hai ñường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt có

phương trình là x – 2y – 2 = 0 và x – y + 5 = 0 Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết AC = 4AM

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(–4; – 5) và phương trình ñường cao BH: x + 2y – 2 = 0, ñường trung tuyến

 thuộc ñoạn BC và ñỉnh C thuộc ñường thẳng d: x + y – 3 = 0 Viết phương trình

ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC không song song với hai trục tọa ñộ (ðs:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2;1) , ñường cao qua ñỉnh B có phương trình là : x – 3y – 7 = 0 và ñường trung

tuyến qua ñỉnh C có phương trình : x + y + 1 = 0.Xác ñịnh tọa ñộ của B và C (ðs: B ( 2; 3), (4; 5) − − C − )

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A có trọng tâm 4 1

Ví dụ 5:Cho tam giác ABC có ñỉnh A thuộc ñường thẳng d : x – 4y – 2 = 0 , cạnh BC song song với ñường thẳng d

Phương trình ñường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung ñiểm của cạnh AC là M(1;1) Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C

Trang 14

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A(5; 13) Phương trình ñường trung trực cạnh BC, ñường trung tuyến CC’

(C’ thuộc AB) lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 1 = 0 Viết phương trình cạnh BC (ðs: x – y + 2 = 0)

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có ñường trung trực của cạnh BC cắt ñương thẳng ñi qua AB tại ñiểm M(1; 2) và

song song với ñường thẳng 2 x y− + 2013 0 = biết uuurAB = 2MAuuur và ñường trung tuyến xuất phát từ ñỉnh C có

phương trình 11 x + + = 7 y 11 0 Tìm tọa ñộ 3 ñỉnh của tam giác ABC (ðs: 2 11

Ví dụ 1: Tam giác ABC có ñường trung tuyến AN : x – y + 1 = 0, ñường cao BH : x + 2y – 1= 0, ñoạn AB có trung

ñiểm M(1; 1) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC (ðs: AB: x = 1; AC: 2x – y = 0; BC: 3x – y – 3 = 0)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ñiểm M(0; 3) là trung ñiểm của AB Phương trình trung tuyến AN: 2x – y – 2 = 0,

ñường cao BH: x – 3y + 14 = 0.Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ðs: ( x + 3) 2 + + ( y 3) 2 = 50 )

Trang 15

16

Bài 7: Biết ñỉnh A (hoặc ñường cao xuất phát từ A ñi qua ñiểm N và trọng tâm G thuộc một ñường thẳng…)

của tam giác ABC và trung tuyến BM, ñường cao BH Viết phương trình các cạnh

TH1 TH2

Cách giải:

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC biết ñỉnh A(1; – 1), ñường cao và trung tuyến cùng xuất phát từ B lần lượt có phương

trình: x + 2y – 3 = 0 và x + 3y – 5 = 0 Viết phương trình BC (ðs: x – 4y + 9 = 0)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết ñường cao BH và trung tuyến BM lần lượt có phương trình: 4x + 3y + 2 = 0; x – 1 =

0 Tính diện tích tam giác ABC biết rằng trọng tâm G của tam giác thuộc ñường thẳng d: 2x + 3y – 1 = 0 và ñường cao

xuất phát từ ñỉnh A có hoành ñộ âm ñi qua ñiểm N(3; –3) (ðs: S∆ABC = 5 (ñvdt))

Ví dụ 3 (D – 2009): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung ñiểm của cạnh AB ðường trung tuyến và ñường cao qua

ñỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình ñường thẳng AC

(ðs: 3x – 4y + 5 = 0)

Ví dụ 4 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , ∠ BAC= 900 Biết M(1; -1) là trung ñiểm cạnh BC và G 2

; 0 3

Ví dụ 5 (A – 2009): Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm I(6; 2) là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD ðiểm

M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng ∆ : x + y – 5 = 0 Viết phương trình

ñường thẳng AB (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)

Bài 8: Sử dụng ñiều kiện vuông góc (trường hợp riêng của Bài 19 ) ñể giải bài toán

Cách giải:

*) Gọi tọa ñộ các ñiểm (nếu chưa biết) liên quan tới yếu tố vuông góc theo một ẩn nhờ vào:

+) ñiểm thuộc ñường thẳng

+) ñiểm có mối liên hệ với ñiểm khác: trung ñiểm, trọng tâm, thỏa mãn hệ thức véctơ…

Trang 16

*) “Cắt nghĩa” ñiều kiện vuông góc:

0

0 0

( ) 0 ?

f t t

⇒ = ⇒ = ⇒tọa ñộ các ñiểm

Ví dụ 1 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m ≠ 0 Tìm tọa ñộ trọng tâm G của

tam giác ABC theo m Xác ñịnh m ñể tam giác GAB vuông tại G (ðs: (1; ), 3 6

3

m

G m = ± )

Ví dụ 2 (D – 2008): Cho (P): y 2= 16xvà ñiểm A(1; 4) Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao

cho ∠ BAC= 90 0 Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4))

Ví dụ 3 (A – 2009): Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm I(6; 2) là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD ðiểm

M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng ∆ : x + y – 5 = 0 Viết phương trình

ñường thẳng AB (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)

Ví dụ 4: Cho ñiểm M(3; 3), viết phương trình ñường thẳng ñi qua I(2; 1) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam

giác AMB vuông tại M (ðs: x + 2y – 4 = 0 và x + y – 3 = 0)

CHÚ Ý:

Qua các bài toán trên liên quan tới yếu tố trung tuyến và ñường cao, ñường trung trực các em có thể rút ra ñược một

vài ñiều như sau (tuy ñơn giản nhưng hướng tư duy này sẽ giúp chúng ta giải quyết tốt những bài toán dạng trên):

+) Nếu M là trung ñiểm của AB 2

+) AH là ñường cao của BC: giúp chúng ta biết ñược phương của ñường này nếu biết ñường kia

+) d là trung trực của BC: nghĩa là B ñối xứng với C qua d

Loại 1.2: Các bài toán về ñường phân giác trong

Bài 9: Biết ñỉnh A và hai ñường phân giác trong BB’ và CC’ Lập phương trình BC.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 1), phương trình ñường phân giác trong góc B,

góc C lần lượt là BD: 2x + y + 4 = 0; CE: x + 3y + 1 = 0 Lập phương trình cạnh BC (ðs:x + 23y + 46 = 0)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ñường phân giác trong góc B, góc C lần

lượt là BD: 6x + 8y – 17 = 0; CE: x – 2y + 3 = 0, ñiểm M 17

3

  lần lượt thuộc cạnh AB, AC Tìm tọa

ñộ các ñỉnh của tam giác ABC (ðs:A(0; – 1), B 7

;3 6

−

 , C(3; 3))

Trang 17

Bài 10: Biết ñỉnh A và trung tuyến BM, phân giác trong BD Viết phương trình các cạnh.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ ñỉnh B lần lượt có

phương trình 2x + y – 1 = 0 và 2x + 3y – 3 = 0 Tìm tọa ñiểm D là chân ñường phân giác trong của góc B xuống AC

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0 và phân

giác trong CD: x + y – 1 = 0 Viết phương trình ñường thẳng BC (ðs: 4x + 3y + 4 = 0)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chân ñường trung tuyến kẻ từ B xuống AC là M(1; – 1), ñường phân giác trong của

góc C là x + y – 2 = 0 Viết phương trình cạnh AC biết ñiểm N(–7; 7) thuộc cạnh BC (ðs: 5x + 3y – 2 = 0)

Ví dụ 3 (D – 2011 ): Cho tam giác ABC có ñỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và ñường thẳng chứa phân giác trong

của góc A có phương trình x – y – 1 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh A và C (ðs:A (4;3), (3; 1)C − )

Trang 18

Ví dụ : Tam giác ABC có A(-3;1), ñường cao BH, phân giác trong BD lần lượt có phương trình: x + 7y + 32 = 0 và

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có C(–2; 3) ðường cao của tam giác kẻ từ ñỉnh A và ñường phân giác trong của góc B

lần lượt là: 3x – 2y – 25 = 0; x – y = 0 Viết phương trình cạnh AC của tam giác (ðs: 8x + 7y – 5 = 0)

Ví dụ 2 (B – 2008): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, hãy xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình

chiếu vuông góc của C trên ñường thẳng AB là ñiểm H(– 1; – 1), ñường phân giác trong của góc A có phương trình

x – y + 2 = 0 và ñường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0 (ðs: 10 3

Như vậy qua các bài toán liên quan ñến ñường phân giác trong của tam giác các em sẽ nhận thấy ta luôn tìm thêm

ñiểm ñối xứng với ñiểm ñã biết tọa ñộ trên cạnh kề của góc chứa phân giác qua phân giác ñó , và ñiềm ñó sẽ thuộc

cạnh kề còn lại (ñây là ñặc ñiểm luôn ñược khai thác khi có bài toán chứa phân giác)

Trang 19

20

Loại 2: Các bài toán về ðịnh Lượng

Bài 14: Biết ñỉnh A hoặc trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một ñường thẳng d cho trước

Biết tọa ñộ ñỉnh B, C và diện tích tam giác ABC( hoặc diện tích của 1 trong 3 tam giác ABG, BCG, CAG) Tìm

tọa ñộ ñỉnh A.(Nếu biết thêm trung tuyến AM thì thay dữ kiện biết tọa ñộ B, C bởi biết ñường thẳng BC và câu hỏi là

(trường hợp riêng của Bài 16)

Ví dụ 1 (B – 2004): Cho hai ñiểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm ñiểm C thuộc ñường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(2; –1), B(1; –2), trọng tâm G của tam giác nằm trên ñường thẳng x + y – 2 = 0

Tìm tọa ñộ ñỉnh C biết tam giác ABC có diện tích là 13,5 (ðs: C(15; –9) hoặc C(–12;18))

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(–2; 5), trọng tâm G thuộc ñường thẳng ∆1: 2x + 3y – 1 = 0, ñỉnh C thuộc

ñường thẳng ∆2: x + y – 1 = 0 Tính diện tích tam giác ABC (ðs:S∆ABC = 6 (ñvdt))

CHÚ Ý: Tam giác ABC có G là trọng tâm thì: 1

3

ABG BCG CAG ABC

S ∆ = S ∆ = S ∆ = S∆

Trang 20

21

Bài 15: Biết ñỉnh A và phương trình ñường thẳng BC và hình chiếu H của A xuống BC chia theo BH k HCuuur= uuurvà biết

diện tích tam giác ABC (hoặc biết ñộ dài ñoạn BC) Tìm tọa ñộ B, C

Cách giải:

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; – 2) và phương trình ñường thẳng BC là 3x – 4y + 1 = 0 và hình chiếu H của

A xuống BC thỏa mãn HC uuur= −6BHuuur Tìm tọa ñộ các ñiểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 7,5

(ðs: B(1; 1), C(5; 4))

Ví dụ 2 (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân tại A có ñỉnh A(–1;4) và các ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng

∆: x – y – 4 = 0 Xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18

TH1: Biết ñỉnh A và phương trình ñường thẳng BC, ñường thẳng d ñi qua ñiểm H thuộc BC thỏa mãn BH k HCuuur= uuur

và biết diện tích tam giác ABC (hoặc biết ñộ dài ñoạn BC) Tìm tọa ñộ B, C

TH2: Biết phương trình AC và biết phương trình ñi qua A căt BC tại H (biết A), biết B ( hoặc C) và thỏa mãn

Trang 21

Cách giải:

Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 1), cạnh BC có phương trình 3x – 4y + 6 = 0 ðường thẳng d cắt ñoạn BC tại

ñiểm H sao cho HC = 3BH Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm B, C biết ñường thẳng d có phương trình x – 4y + 8 = 0 và tam giác

ABC có diện tích bằng 1,5 (ðs: B(2; 3), C(-2; 0) )

Ví dụ 2 (B – 2011): Cho hai ñường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm N thuộc ñường thẳng

d sao cho ñường thẳng ON cắt ñường thẳng ∆ tại ñiểm M thỏa mãn OM.ON = 8 (ðs: N(0; 2) − hoặc 6 2

Trang 22

23

Ví dụ (B – 2010): Cho tam giác ABC vuông tại A có ñỉnh C(– 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình

x + y – 5 = 0 Viết phương trình ñường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và ñỉnh A có hoành ñộ dương

Bài 18: Tam giác ABC cân tại A, biết AB và BC nằm lần lượt trên 2 ñường thẳng d d1 , 2 Biết M ( ; )x y0 0 ∈ AC Tìm tọa ñộ các ñỉnh

+) Viết phương trình d3qua M song song với d2

+) Tìm { }N =d 1 Id3⇒phương trình trung trực d4của MN⇒{ }A =d 4 Id1

+) Viết phương trình AM ⇒ {C} =AM Id2

NHẬN XÉT: C2 hay hơn C1

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình hai cạnh BC, AB lần lượt là: x – 3y – 1 = 0 và x – y – 5 = 0

ðường thẳng AC ñi qua M(–4; 1) Tìm tọa ñộ ñỉnh C (ðs: 8 1

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A Biết rằng cạnh

huyền nằm trên ñường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, ñiểm N(7; 7) thuộc ñường thẳng AC, ñiểm M(2; –3) thuộc AB và

nằm ngoài ñoạn AB (ðs:A ( 1;1), ( 4;5), (3; 4) − B − C )

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình AB, BC lần lượt là y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0 Tính diện tích

Trang 23

tam giác ABC biết AC ñi qua ñiểm M(–1; 2) (ðs: S∆ABC = 8 )

Ví dụ 4 (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân tại A có ñỉnh A(6; 6); ñường thẳng ñi qua trung ñiểm của các cạnh

AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh B và C, biết ñiểm E(1; - 3) nằm trên ñường cao ñi qua

ñỉnh C của tam giác ñã cho (ðs: B (0; 4), ( 4; 0) − C − hoặc B ( 6; 2), (2; 6) − C − )

Ví dụ 5 (B – 2007): Cho ñiểm A(2; 2) và các ñường thẳng d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0 Tìm tọa ñộ các ñiểm

B và C lần lượt thuộc d1và d2sao cho tam giác ABC vuông cân tại A (ðs:B ( 1;3), (3;5) − C hoặc B (3; 1), (5;3) − C )

Ví dụ 6 (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có ñỉnh B 1

;1 2

  ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các

cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các ñiểm D, E, F Cho D(3; 1) và ñường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa

ñộ ñỉnh A, biết A có tung ñộ dương ( ðs: 13

+) Khai thác dữ kiện bài toán ñể chuyển các ñiểm về 1 ẩn t (nhờ thuật toán tìm ñiểm)

+) Thiết lập phương trình: f t ( ) 0 = ⇒t= ? ⇒các ñiểm cần tìm

CHÚ Ý: Bài 8 là trường hợp ñặc biệt của Bài 19 khi ñiều kiện ñịnh lượng là ñiều kiện góc 900(vuông góc).

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A Hai ñiểm A, B thuộc trục hoành Phương trình cạnh BC là 4x + 3y – 16 = 0

Xác ñịnh tọa ñộ trọng tâm G của tam giác ABC, biết bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1

Ví dụ 2 (A – 2002): Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình ñường thẳng BC là 3x y − − 3 0 = , các ñỉnh A và B

thuộc trục hoành và bán kính ñường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa ñộ trọng tâm G của tam giác ABC

Ví dụ 3 (D – 2008): Cho (P): y 2= 16xvà ñiểm A(1; 4) Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao

cho góc ∠ BAC= 900 Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4))

Ví dụ 4 (A – 2006): Cho các ñường thẳng: d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M

nằm trên ñường thẳng d3sao cho khoảng cách từ M ñến ñường thẳng d1bằng hai lần khoảng cách từ M ñến ñường

thẳng d2 (ðs:M( 22; 11) − − hoặc M (2;1))

Ví dụ 5 (B – 2005): Cho hai ñiểm A(2;0) và B(6;4) Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại

ñiểm A và khoảng cách từ tâm của (C) ñến ñiểm B bằng 5

(ðs: ( ) : ( C x − 2) 2 + − = ( y 1) 2 1hoặc ( ) : ( C x − 2) 2 + − ( y 7) 2= 49)

Ví dụ 6 (A – 2005): Cho hai ñường thẳng d1 : x – y = 0 và d 2 : 2x + y – 1 = 0 tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông

ABCD biết rằng ñỉnh A thuộc d 1 , ñỉnh C thuộc d 2 và các ñỉnh B, D thuộc trục hoành

(ðs:A (1;1), (0; 0), (1; 1), (2; 0)B C − D hoặc A (1;1), (2; 0), (1; 1), (0; 0)B C − D )

Ví dụ 7 (D – 2006): Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + − − + =y 2 2 x 2 y 1 0 và ñường thẳng d: x – y + 3 = 0 Tìm tọa ñộ

ñiểm M nằm trên d sao cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc ngoài với ñường

tròn (C) ( ðs:M(1; 4) hoặc M( 2;1) − )

Ví dụ 8 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m ≠0 Tìm tọa ñộ trọng tâm G của

Trang 24

tam giác ABC theo m Xác ñịnh m ñể tam giác GAB vuông tại G (ðs: (1; ), 3 6

 , phương trình ñường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và

AB = 2AD Tìm tọa ñộ các ñiểm A, B, C, D biết rằng A có hoành ñộ âm (ðs: A ( 2; 0), (2; 2), (3; 0), ( 1; 2) − B C D − − )

Dạng 2: Các bài toán về ñường thẳng

Loại 1: ði qua một ñiểm và thỏa mãn một yếu tố ñịnh lượng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm M(1; 4) và N(6; 2) Lập phương trình ñường thẳng ∆ qua M sao

cho khoảng cách từ N tới ∆ bằng 5 (ðs: 21 x − 20 y+ = 59 0 và x = 1)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm A(1; 2) và B(5; –1) Viết phương trình ñường thẳng qua M(3; 5)

và cách ñều A và B (ðs: 3x + 4y – 29 = 0 và x = 3)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(1; 2) Viết phương trình ñường thẳng qua M cắt Ox, Oy lần lượt tại hai

ñiêm A, B sao cho OAB là tam giác vuông cân (ðs: x + y – 3 = 0 và x – y + 1 = 0)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(4; 3) Viết phương trình ñường thẳng qua M sao cho nó tạo với hai trục

tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 3 (ðs: 3 x − − = 2 y 6 0 và 3x – 8y + 12 = 0)

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 1), B(1; 7) và C(-1; 0) Viết phương trình ñường thẳng ñi

qua C và chia tam giác thành hai phần bằng nhau, phần chứa ñiểm A có diện tích gấp ñôi phần chứa ñiểm B

(ðs: 6x – 5y + 6 = 0)

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba ñiểm A( - 1; 2), B(5; 4) và M(2; 5) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M

và cách ñều hai ñiểm A và B (ðs: 5x – 3y + 13 = 0 và x = 2)

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho ñiểm M(9; 4) Viết phương trình ñường thẳng qua M, cắt hai tia Ox và tia Oy tại

A và B sao cho:

1) tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất (ðs: 4x + 9y – 72 = 0)

2) OB + OC nhỏ nhất (ðs: 4x + 9y – 72 = 0)

Ví dụ 8 : Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh AB nằm trên ñường thẳng x – 2y + 5 = 0 và ba ñiểm

M(–1; 4), N(1; 1), P(–3; 3) lần lượt thuộc các cạnh BC, CD và AD Viết phương trình cạnh AD

(ðs: x + − = 2 y 3 0 hoặc 11 x − + = 2 y 39 0)

Trang 25

Loại 2: Cắt ñường tròn, Elip (xem Dạng 3, Dạng 4)

Dạng 3: Các bài toán về ñường tròn

Loại 1: Viết phương trình ñường tròn và xác ñịnh các yếu tố của ñường trònBài 1: Thiết lập phương trình ñường tròn

Cách giải chung:

C2: +) Gọi phương trình ñường tròn có dạng x 2 + + + + =y 2 ax by c 0

+) Tìm a, b, c nhờ “cắt nghĩa” dữ kiện bài toán

Bài tập áp dụng

Ví dụ 1: Viết phương trình ñường tròn:

) ñường kính AB với A(3; 1) và (B(2; – 2)

) Có tâm I(1; – 2) và tiếp xúc với ñường thẳng d: x + y – 2 = 0

) Có bán kính bằng 5, tâm thuộc trục hoành và ñi qua A(2; 4)

4) Có tâm I(2; – 1) và tiếp xúc ngoài với ñường tròn: ( x − 5) 2 + − ( y 3) 2 = 9

) có tâm nằm trên ñường thẳng ∆ và tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy

) qua A(–2; –1), B(–1; 4) và C(4; 3) (ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

) qua A(0; 2), B(–1; 1) và có tâm nằm trên ñường thẳng 2x + 3y = 0

) qua A(5; 3) và tiếp xúc với ñường thẳng d: x + 3y + 2 = 0 tại ñiểm T(1; –1)

) Nội tiếp tam giác OAB biết A(3; 0) và B(0; 4)

Ví dụ 2(A – 2007): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2; – 2) và C(4; – 2) Gọi H

là chân ñường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB và BC Viết phương trình ñường tròn ñi

Trang 26

trong ñó h>0: ðiều kiện tồn tại ñường tròn

*) Lập phương trình tiếp tuyến của ñường tròn

C1: Nếu biết tiếp ñiểm M ⇒phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M nhận IMuuurlàm véc tơ pháp tuyến

C2: Nếu không biết tiếp ñiểm thì dùng ñiều kiện : ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d I ( , ) ∆ =R

) Cho d: 3x – 4y = 0 Chứng minh d cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt M, N và sau ñó tính MN

Ví dụ 2(Các bài toán cơ bản: Viết phương trình tiếp tuyến tại một ñiểm cho trước, có phương cho trước và qua 1 ñiểm cho trước) Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn:

1) ( x − + + = 3) 2 ( y 1) 2 25 tại ñiểm có hoành ñộ bằng – 1

2) x 2 + + − − =y 2 4 x 2 y 5 0 tại ñiểm ñường tròn cắt trục Ox

3) x 2 + =y2 2 có hệ số góc bằng 1

4) x 2 + − − =y 2 2 y 24 0 biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 3x – 4y + 2012 = 0

5) có tâm I(2; 1), bán kính R = 3 và ñi qua ñiểm A(–1; 2).

Loại 2: Sự tương giao

Loại 2.1: Sự tương giao giữa ñường thẳng và ñường tròn

Trang 27

Ví dụ 1: Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + − + − =y 2 6 x 4 y 12 0 Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(1; 3) cắt (C) theo dây cung AB có ñộ dài bằng 2 (ðs: x – y + 2 = 0 và x + 41y – 124 = 0)

Ví dụ 2 (A – 2009 – NC): Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + + + + =y 2 4 x 4 y 6 0 và ñường thẳng ∆ : x my + − 2 m+ = 3 0 ,

với m là tham số thực Gọi I là tâm của ñường tròn (C) Tìm m ñể ∆ cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho

diện tích tam giác IAB lớn nhất (ðs: m= 0 hoặc 8

15

m= )

Ví dụ 7: Cho ñường tròn (C) : x 2 + =y2 1 ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) tại 2 ñiểm A,B sao cho AB = 2

Viết phương trình ñường thẳng AB ( ðs: x y+ + = 1 0 hoặcx y+ − = 1 0 )

Trang 28

+) Gọi A x y B x y ( ; ), ( ; ) 1 1 2 2 ⇒x x1 , 2là nghiệm của phương trình (2*) Nếu x x1 , 2biểu diễn theo m :

Ví dụ 1(D – 2011 – NC): Cho ñiểm A(1; 0) và ñường tròn (C): x 2 + − + − =y 2 2 x 4 y 5 0 Viết phương trình ñường thẳng ∆cắt (C) tại hai ñiểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A (ðs:y= 1 hoặc y= − 3 )

Ví dụ 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm ñường tròn ngoại tiếp là I(–2;

0) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết C có hoành ñộ dương (ðs: C ( 2 − + 65;3))

Ví dụ 3: Cho ñường tròn ( ) : ( C x − 2) 2 + − ( y 3) 2= 10 Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông ngoại tiếp ñường tròn, biết cạnh AB ñi qua ñiểm M( 3; 2) − − và ñỉnh A có hoành ñộ dương ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7))

Bài 3: Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng ∆và cách một ñiểm cố ñịnh I một khoảng không ñổi (MI = R)

+)Với C1 chúng ta không cần quan tâm tới bài toán về sự tương giao giữa ñường thẳng và ñường tròn

(ñề cập ở C2) và giải theo phương pháp ñại số thông thường

+) Với C2 ta thấy rõ hơn bản chất của bài toán

+) C1 và C2 là hai cách trình bày khác nhau của cùng một phương pháp thế trong giải hệ phương trình

+) Có thể chúng ta chưa nhìn thấy luôn ñiểm I Khi ñó ñề bài thường cho biết ñiểm M nhìn ñoạn AB cố ñịnh dưới một góc vuông (I lúc này là trung ñiểm của AB), và có thể phải thông qua một vài khâu cắt nghĩa về yếu tố ñịnh lượng thì ta mới có ñược MI = R = const…

+) Ý tưởng của Bài toán này xuất hiện rất nhiều trong các kì thi ðại Học các năm qua

Trang 29

Ví dụ 1 (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao

M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 (ðs :M(2; 4) − hoặc M( 3;1) − )

Ví dụ 3 (A – 2010 – CB): Cho hai ñường thẳng d 1: 3 x y+ =0và d 2: 3 x y− =0 Gọi (T) là ñường tròn tiếp xúc với d1tại A, cắt d2tại hai ñiểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác

Ví dụ 5 (D – 2010 – NC): Cho ñiểm A(0; 2) và ∆là ñường thẳng ñi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

∆ Viết phương trình ñường thẳng ∆, biết khoảng cách từ H ñến trục hoành bằng AH

(ðs : ( 5 1) − − x 2 5 2 − =y 0 hoặc ( 5 1) − + x 2 5 2 − =y 0 )

Ví dụ 6 (B – 2009 – CB ): Cho ñường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = 4

5 và hai ñường thẳng ∆ 1 : x – y = 0 và ∆ 2 : x – 7y = 0 Xác ñịnh toạ ñộ tâm K và bán kính của ñường tròn (C 1 ); biết ñường tròn (C 1 ) tiếp xúc với các ñường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 và

tâm K thuộc ñường tròn (C) (ðs : 8 4

R = )

Ví dụ 8 (D – 2007): Cho ñường tròn ( ) : ( C x − + + 1) 2 ( y 2) 2 = 9 và ñường thẳng d: 3x – 4y + m = 0 Tìm m ñể trên d

có duy nhất một ñiểm P mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp ñiểm) sao cho tam

giác PAB ñều (ðs : m= 19 hoặc m= − 41 )

Ví dụ 9 (D – 2006): Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + − − + =y 2 2 x 2 y 1 0 và ñường thẳng d: x – y + 3 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên d sao cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc ngoài với ñường

tròn (C) (ðs :M(1; 4) hoặc M( 2;1) − )

Ví dụ 10 (B – 2005): Cho hai ñiểm A(2;0) và B(6;4) Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại

ñiểm A và khoảng cách từ tâm của (C) ñến ñiểm B bằng 5

(ðs : ( x − 2) 2 + − = ( y 1) 2 1 hoặc ( x − 2) 2 + − ( y 7) 2= 49 )

Ví dụ 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC= 900 Biết M(1; -1) là trung ñiểm cạnh BC và G 2

; 0 3

là trọng tâm của tam giác ABC Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C (ðs : A (0; 2), (4; 0), ( 2; 2)B C − − )

Ví dụ 12 (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 1

; 0 2

 , phương trình ñường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và

AB = 2AD Tìm tọa ñộ các ñiểm A, B, C, D biết rằng A có hoành ñộ âm (ðs : A ( 2; 0), (2; 2), (3; 0), ( 1; 2) − B C D − − )

Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có trực tâm là H(–1; 4), tâm ñường tròn ngoại tiếp là I(–3; 0) và trung ñiểm của cạnh

Trang 30

31

Ví dụ 14: Cho ba ñiểm I(1; 1), M(–2; 2) và N(2; –2) Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm của

hình vuông, M thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD và A có hoành ñộ dương (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1))

Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm là G 1 1

c a cạnh BC là M(–1; 2) Viết phương trình ñường thẳng AC, biết B có hoành ñộ âm (ðs: 3x + y – 6 = 0)

Ví dụ 16: Cho ñường tròn ( C ) : x 2 + − + + =y 2 8 x 6 y 21 0 và ñường thẳng d : x + y – 1 = 0.Xác ñịnh tọa ñộ các

ñỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d và hoành ñộ của ñiểm B lớn hơn hoành ñộ của ñiểm D)

(ðs :A (6;5), (6; 1), (2;1), (2; 5)B − C D − hoặc A (2;1), (6; 1), (6;5), (2; 5)B − C D − )

Bài 4: Qua ñiểm M( ; )x y0 0 nằm ngoài ñường tròn (C) có tâm I bán kính R

1) Viết phương trình tiếp tuyến MT MT1 , 2 ñến ñường tròn

2) Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua T T1 , 2

3) Tính diện tích tứ giác MT IT1 2

Cách giải:

Cách viết tổng quát về phương trình tiếp tuyến:

TH1: Nếu biết tiếp ñiểm T ⇒ tiếp tuyến ∆ của (C) ñi qua T nhận IT

uur

làm vtpt ⇒phương trình ∆

TH2: Nếu không biết tiếp ñiểm thì dùng ñiều kiện : ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ d I ( , ) ∆ =R

) Như vậy với bài toán này ta sẽ làm theo TH2 :

+) Gọi ∆ ñi qua ñiểm M ( ; )x y0 0 có vtpt n r= ( ; )a b ( a 2 + ≠b2 0 ) có dạng:

Trang 31

Ví dụ 1(B – 2006): Cho ñường tròn: ( ) : C x 2 + − − + =y 2 2 x 6 y 6 0 và ñiểm M(– 3; 1) Gọi T1và T2là các tiếp ñiểm

của các tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) Viết phương trình ñường thẳng T1T2 (ðs: 2 x y+ − = 3 0 )

Ví dụ 2: (A – 2011 – CB): Cho ñường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và ñường tròn (C): x 2 + − − =y 2 4 x 2 y 0 Gọi I là tâm

của (C), M là ñiểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB ñến (C) (A và B là các tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ ñiểm

M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 (ðs : M(2; 4) − hoặc M( 3;1) − )

Bài 5:Cho ñường thẳng ∆ , ñường tròn (C) có tâm I và hai ñiểm M N, nằm ngoài ñường tròn

1) Tìm ñiều kiện ñể ∆ cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

2) Tìm K thuộc (C) sao cho diện tích tam giác KMN lớn nhất, nhỏ nhất

3) Tìm P thuộc ∆sao cho qua P kẻ hai tiếp tuyến PT PT1 , 2 sao cho diện tích tam giác IT T1 2 lớn nhất

TH1 TH2 TH3

Cách giải :

Ví dụ 1 : Cho ñường tròn ( ) : C x 2 − + − = 2 x y2 3 0 Gọi B, C là giao ñiểm của ñường thẳng ∆ + − = : x y 3 0 Hãy

tìm các ñiểm A trên ñường tròn (C) sao cho tam giác ABC có chu vi lớn nhất (ðs : A (1 − 2; − 2) )

Ví dụ 2 : Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + − − + =y 2 4 x 6 y 12 0 có tâm I và ñường thẳng ∆ + − = : x y 4 0 Tìm trên

ñường thẳng ∆ ñiểm M sao cho tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với (C) tại A, B mà tam giác IAB có diện tích lớn nhất

Trang 32

33

∆ : 4 x y+ − = 4 0 Tìm trên ñường thẳng ∆ ñiểm M sao cho tiếp tuyến của (C) qua M tiếp xúc với C tại N sao cho

diện tích tam giác NAB lớn nhất (ðs : 6 4

+) Cách giải trên thầy sử dụng trường hợp k> 1 ( với k< 1 các em làm tương tự)

+) Cách giải trên thầy sử dụng M x y( ; )0 0 nằm ngoài ñường tròn (C) (M x y( ; )0 0 nằm trong (C) các em làm tương tự)

Ví dụ 1 : Cho ñường tròn (C): x 2 + − + − =y 2 2 x 2 y 23 0 , ñiểm M(7; 3) Viết phương trình ñường thẳng ∆ qua M

cắt ñường tròn (C) tại A, B sao cho MA = 3MB ( ðs : y= 3 hoặc 12 x − − = 5 y 69 0 )

Ví dụ 2 : Cho ñiểm A(-1 ; 14) và ñường tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính bằng 13 Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi

qua A cắt (C) tại M, N mà khoảng cách từ M ñến AI bằng một nửa khoảng cách từ N ñến AI

(ðs : x + y – 13 = 0 và 433x – 281y +4367 = 0)

Trang 33

TH1: R r + >II' TH2: R r + =II' TH3: R r II+ < ' TH4: R r − =II'

Ngoài nhau Tiếp xúc ngoài Cắt nhau tại hai ñiểm Tiếp xúc trong

CHÚ Ý: Còn tr ườ ng h ợ p ñự ng nhau Nh ư ng tr ườ ng h ợ p này ít ñượ c khai thác nên th ầ y không ñề c ậ p ở ñ ây

Bài tập áp dụng

Ví dụ 1(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn ( ) : ( C x − + = 1) 2 y2 1 Gọi I là tâm của (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc

(C) sao cho ∠ IOM = 300 (ðs: 3 3

Ví dụ 2(D – 2003): Cho ñường tròn (C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và ñường thẳng d : x – y – 1 = 0.Viết phương trình

ñường tròn (C’) ñối xứng với ñường tròn (C) qua ñường thẳng d Tìm tọa ñộ các giao ñiểm của (C) và (C’)

(ðs: ( x − + = 3) 2 y2 4 A (1; 0), (3; 2)B )

Ví dụ 3 (D – 2006): Cho ñường tròn ( ) : C x 2 + − − + =y 2 2 x 2 y 1 0 và ñường thẳng d: x – y + 3 = 0 Tìm tọa ñộ

ñiểm M nằm trên d sao cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc ngoài với ñường

tròn (C) (ðs:M(1; 4) hoặc M( 2;1) − )

Ví dụ 4: Cho ñường tròn ( ) : C 1 x 2 + − + − =y 2 6 x 4 y 7 0 cắt ñường tròn ( ) : ( C 2 x + 6) 2 + − = ( y 1) 2 50 tại hai ñiểm

M, N biết M có hoành ñộ dương Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M lần lượt cắt ( ), ( )C 1 C2 tại các ñiểm thứ

hai A, B sao cho M là trung ñiểm của AB (ðs: 5x – 7y + 9 = 0)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm I(6; 6) và ngoại tiếp ñường tròn tâm K(4; 5), biêt ñỉnh A(2; 3)

Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x + 4y – 42 = 0)

Ví dụ 6: Cho ñường tròn (C) : x 2 + =y2 1 ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) tại 2 ñiểm A,B sao cho AB = 2

Viết phương trình ñường thẳng AB ( ðs: x y+ + = 1 0 hoặcx y+ − = 1 0 )

Dạng 4: Các bài toán về Elip

Loại 1: Viết phương trình Elip và xác ñịnh các yếu tố của Elip

Trang 34

6) Có tiêu ñiểm F 2(5; 0) và khoảng cách giữa hai ñỉnh là 9

7) Tiêu cự là 4 và khoảng cách từ một ñỉnh trên trục nhỏ ñến tiêu ñiểm bằng 5

Ví dụ 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có

phương trình x 2 + =y2 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có ñộ dài trục lớn bằng 4 2 ,các ñỉnh nằm trên trục nhỏ và các tiêu

ñiểm của (E) cùng nằm trên một ñường tròn Lập phương trình chính tắc của (E)

Ví dụ 4: Cho elip (E) có ñộ dài trục lớn bằng 6, tâm sai bằng một phần hai và khoảng cách từ một ñiểm M của (E) ñến

tiêu ñiểm F1(có hoành ñộ âm) bằng 7

) Tìm khoảng cách từ M ñến tiêu ñiểm F2 2) Viết phương trình chính tắc của elip (E) và tìm tọa ñộ ñiểm M. Loại 2: Tìm ñiểm thuộc Elip

1) Tìm tọa ñộ giao ñiểm của (E) và ñường thẳng y x= 3 2 − 2)Tìm trên (E) ñiểm M sao cho góc ∠ F MF1 2 = 900

3) Tìm trên (E) ñiểm N sao cho F N F N1 − 2 = 6

Trang 35

Ví dụ 2: Cho (E): x 2 y2 1

a + =b có tiêu ñiểm F F1 , 2

1) Cho a = 2, b = 1 Tìm ñiểm M sao cho F M 1 = 2F M2 (ðs: 4 23

; 27

2) Chứng minh rằng với mọi ñiểm M ta luôn có: F M F M OM 1 . 2 + 2 = +a 2 b2

Ví dụ 3(D – 2005): Cho ñiểm C(2;0) và elíp (E):

2 2

1

4 1

x y

+ = Tìm toạ ñộ các ñiểm A, B thuộc (E), biết rằng hai ñiểm

A, B ñối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác ñều

+ = Tìm ñiểm A và B thuộc (E), có hoành ñộ dương sao cho tam

giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất (ðs: 2 2

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho elip (E) : 9 x 2 + 25 y2= 225 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (E) sao cho tam

giác MF F1 2vuông tại M

Ví dụ 6: Cho elip (E) : 5 x 2 + 9 y2 = 45 có tiêu ñiểm F F1 , 2 M là một ñiểm bất kì trên (E) và biểu thức

) Chứng minh chu vi tam giác F MF1 2không ñổi Tìm M ñể diện tích tam giác F MF1 2bằng 2

) Tìm M sao cho giá trị của f lớn nhất

Ví dụ 7: Cho ñiểm M di ñộng elip: 9 x 2 + 16 y2= 144 và H, K lần lượt là hình chiếu của M lên hai trục tọa ñộ Tìm M

ñể diện tích OHMK lớn nhất.

Loại 3: Sự tương giao giữa ñường thẳng và Elip

Cách giải chung : Sự tương giao giữa ñường thẳng∆ : Ax By C+ + = 0 và (E):

Ví dụ 2:Cho hai ñiểm A( − 3; 0) , B ( 3; 0) và ñường thẳng d: 3 x − 2( 3 1) − y+ = 3 0 Tìm trên d ñiểm M có

hoành ñộ âm sao cho chu vi tam giác MAB bằng 4 2 3 + (ðs: 3

Trang 36

ñộ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất ñó (ðs:M (2 7; 0), (0; 21)N và GTNN của MN bằng 7)

Ví dụ 4 (B – 2010 – NC): Cho ñiểm A(2; 3 ) và (E):

2 2

1

3 2

x y

+ = Gọi F1và F2là các tiêu ñiểm của (E) (F1có

hoành ñộ âm); M là giao ñiểm có tung ñộ dương của ñương thẳng AF1với (E); N là ñiểm ñối xứng của F2qua M Viết

phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 (ðs:

Trang 37

2

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trang 38

3

Trang 39

4

B CÁC BÀI TOÁN

BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM

ðể hiểu rõ hơn cho 4 hướng tư duy tương ứng với 4 TH của Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ðiểm” thầy sẽ

dùng 6 bài thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa.

1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho

  và ñường thẳng AN có phương trình 2x− − =y 3 0 Tìm tọa ñộ ñiểm A

2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn ( ) :C x2+y2= 8 Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có

3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C1) :x2+y2= 4 , (C2) :x2+y2− 12x+ 18 = 0 và ñường thẳng d x: − − =y 4 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1)tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d

trình x2+y2= 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox

5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+ 3y= 0 và

4 0

x− + =y ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1

( ;1) 3

6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d: 2x− + =y 3 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox

Trang 40

+) Ta có { }A = AN∩AM nên Theo hướng tư duy 1 (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM

+) Biết M nhưng chưa biết A (chính là ñáp số ta cần tìm) nên ta phải ñi tìm thêm vtpt hoặc vtcp

+) Bài toán không có yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt hoặc vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng +) Yếu tố ñịnh lượng: cos ∠MAN= cos(n AM,n AN)

uuuur uuur

AM n

⇒uuuur⇒ phương trình AM → tọa ñộ ñiểm A

Định dạng
Số trang	1.911
Dung lượng	36,57 MB