Nguyên hàm tích phân đầy đủ chi tiết ôn thi THPT Toán

Từ đây ta có nhận xét: hầu hết các bài tích phân của hàm lượng giác mà tử số là hằng số sẽ được giải quyết bằng 2 cách dạng 4 hoặc dạng 5... Hướng tiếp cận bài toán tích phânĐể làm tốt m

( 1)(2 1)

101 0









Trang 3

x

2 2

11

11

2 21

1 1 1

11

Câu 21 I x dx

x4 x2

1

1 1

3 2 1

2 ln2



1 3 0

21

t t

2 2 4 2 2

11

.31

.3

11

4 1

3

1 3

1 1

2 ( 1)

2 ( 1)( 1)

11



x

3 2

11

3 7

3 2

3 0

t

t t

t t

2 3

11

11

2 ln(1 )

dv xdx

ln(1 )2

32

2 4 1



 Đặt x 2sintdx 2costdt

2 2

1 2 1

6 0

1

 vì  2;3     1;1

Dạng 1: Biến đổi lượng giác

1 4 2sin

4sin 4sin (1 cos )

3 0

dx x

x x

dx

cos 2 sin

8 cos cos sin

1





1 1

0

sin cos2

1

ln28

1 2

2

3 1

2 13

2 3

sin 1 cos cos

6

2 0

sin(sin cos )

1

tan (cos )cos (sin )

0

1

tan (sin )cos (cos )

0

1

tan (sin )cos (cos )

cos (sin ) cos (cos )

sincos 3 sin

sin

.cos 3 sin

1 3

3 2

0 0

cot 2

Câu 99 I x dx

0

sin5sin cos 2cos

6

sin sin3

2

ln(2 3) 1

1 1

2

2 0

 

 Ta có:

2 6

2 0

2 0

Câu 109

0

tancos 2

ln

10

3 3

8 4

1sin.coscos



x x

8 4

cos I

1ln( 15 4) ln( 3 2)2

3cos2

1 0

4

ln 34

tan cos 1 cos

cos

u

1 2 1 3

2 2

2 0

arctan 2

sin cos

.( 1) 1

Câu 127

dx I

e

3ln2

2 3

e dx I

31



t

1 3 0

2 ( 1) + d t t

t t

2 0

0

1 2

0 2ln(   1) = 2ln3 1 

8 ln

Câu 134

x x

 Ta có:

x

dx I

1 2 0

32

3 2 2 1

12

ln(1 ln )

 Đặt t  1 lnx  J t dt

t

2 1

Trang 33

Câu 150

1

1( ln )

8 3

Trang 35

 Đặt

x du

x dx

dv

v x

1 1 2

1

2 ln( 1)

x x

2

2 1

2 1

2 0

dv x dx

2 2

ln( 1)

e e

1 2 1

ln 1

3

.2

2 1

2

6 6

cos

( cot ) sin

0

14

3

445

29



x x

2

cos cos

ln(5 )

dx dv

x x

2 3 1

Trang 41

x

3 4

x

2

1 2sin

2

4 4

sincos

I 2 

0

2 2 sin 1

) sin (

2 3

( sin )sin (1 sin )sin

x

2 2

2 0

12cos2

v x

0

tan2

4 6

4 0

2ln

1 sin sin

1 1

Câu 198 I x dx

4

2 4

sin 1

4 sin

cos

cos ( sin cos )

2

cos1

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Bảng tính nguyên hàm cơ bản:

Ví dụ: Tính các tích phân: 1.∫cos sin 5x xdx 2.

costgx dx x

x

+

∫

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ]a b Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) ;

thì:

b ( ) [ ( )]b a ( ) ( )

a

f x dx= F x =F b F a−

2 Các tính chất của tích phân:

• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : b ( ) 0

∫ 11)2

6

1 sin 2x cos2xdxsin x cosx

dx x

x

15) ∫2 +

02cos3 1

3sinπ

dx x

x

16) ∫2 −

05 2sincosπ

dx x

x 17) ∫

− +

18) ∫

+ +

− 1

2 1

0

1 sin xdx

π +

∫

2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3

0 [a + − (4 4a)x 4x ]dx 12 + =

∫

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :

1) DẠNG 1:Tính I = b ' bằng cách đặt t = u(x)

a f[u(x)].u (x)dx

∫

Công thức đổi biến số dạng 1: ∫ [ ] = (∫)

) (

)()

('.)(

b u

a u b

a

dt t f dx x u x u f

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t =u(x)⇒dt=u'(x)dx

Bước 2: Đổi cận :

)(

)(

a u t

b u t a x

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

I =∫b f[ ] = (∫) (tiếp tục tính tích phân mới)

) (

)()

('.)(

b u

a u a

dt t f dx x u x u

∫ 7) e

1

1 ln xdx x

+

0

1 dx cosx

dx x x

0 ( 2 sin )2

2 sin π

dx x

(

π

dx x

tg 19) ∫

+

−

2 4

2sin1

cossin

π

x

x x

dx x

x x

22) ∫2 +

0

sin

cos)cos(

π

xdx x

−+

1

ln ln 3

2) DẠNG 2: Tính I = b bằng cách đặt x =

a f(x)dx

Công thức đổi biến số dạng 2: =∫ =β∫ [ ]

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f I b

a

)(')()

b x

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

=∫ =β∫ [ ] (tiếp tục tính tích phân mới)

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f I b

a

)(')()

+ +

∫ 15)

2 0

cos

1 cos

x dx x

π +

+ +

− 0

1

dx x

x

x

II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:

Tính các tích phân sau:

1 dx

e + 2

∫ 5)

5x x2 4

dx

III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần:

v x u dx x v x

u udv

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt

)(

)(')

('

)(

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

u udv

Bước 3: Tính [ ]b và

a v

a vdu

Tính các tích phân sau:

π +

∫

ln(1 x)dxx

16) 1∫ + 17)

0

2

)1ln( x dx

π

xdx x

x

19) ∫2 + + 20)

0

)1ln(

)72

2

2 ) ln(x x dx

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a

0

cos x dxcos x sin x

x

−

++

x

f x dx f x dx a

Công thức:

1

C y

2

C y

2

C x

1

C x

]dx x g x f

2:)(

:)(

Ox

x y

d

x y C

=

=

1 : ) (

2 : ) (

: ) (

x

y d

e y

a x

x g y

C

x f y

)

(

) ( :

= Δ

=

=

b y

a y

y g x C

y f x C H

: :

) ( : ) (

) ( : ) (

: ) (

2 1 2 1

)(:)(C1 x= f y

)(:)(C2 x= g y

)(C1 y f x a

=

=)(:)(C2 y g x

b

x=

O

=

)(C y= f x

b

a

x y

∫

=π

Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y 2 x;y 0 = − =

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)= − 2 và y = 4

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Ox

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= −4 x y x2; = 2+2

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 21 ; 2

-Hết -

Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu:

Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức

+ +

Đặc biệt: + I 21 dx

= +

1 5

x

= +

∫ Đặt x= 5 tant Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ 4 b)

* Tương tự: 1/

7 0

x I

x I

= +

= +

1 1

3

3 0

dx

x x

= +

∫

B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

+ Nếu n hoặc m lẻ: Đặt hàm số dưới mũ chẵn bằng t (Tức là sinx = t hoặc cosx = t)

+ Nếu n, m cùng lẻ: Đặt t = sinx hoặc t = cosx đều được

+ Nếu n, m cùng chẵn thì dùng công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 2 1 cos 2

Dạng 2: I =∫ f[cos ].sinx xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về cosx và chỉ còn lại sinx là phần dư ở sau

(cách nhận dạng là số mũ của sinx lẻ) Đặt t = cosx

sin k+ x = sin k+ x = (sin x)k+ = (1 cos )x k+

1 sin

A2 = 21 1 cos2 2 cos2 1 cos2 1

(sin x) ' = sin 2 , (cosx x) ' = − sin 2x

+ Đôi khi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = 1sin 2

Ví dụ 8: a)

/2

2 0

∫ Ta nhận thấy hàm số có chứa cos 2 x và sin2x

a x b+ x x c+ x+d ta sẽ chia cả tử và mẫu cho cos

3cot 1sin

x

x

π π

+

= ∫ nếu theo 1 cách máy móc thì thấy hàm số chứa cotx và 12

sin x thì ta

đặt t = cotx Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều

Không tin hãy thử?

Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít khi cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi

A 2, A 3 , A 4 , A 5 , A 6 Ở dạng 4 ta có thể giải quyết bằng cách này bằng cách không chia cho cos nữa mà

ta sẽ chia cả tử và mẫu cho sin Thử coi?

Từ đây ta có nhận xét: hầu hết các bài tích phân của hàm lượng giác mà tử số là hằng số sẽ được giải quyết bằng 2 cách dạng 4 hoặc dạng 5

MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN

1 / sin 2x= 2 sin cos 2/ cos 2x x x= cos x− sin x= 2 cos x− = − 1 1 2 sin x

11 / 1 sin 2 + x= (sinx+ cos )x

CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG

0 tan

/12

0 tan 4

0 sin tan

/2 cos

0 sin 2

25/

/2

2 0

∫

31/

/4

4 0

0 tan

π

/4 3

0 tan

/4

2 0

x

π

= +

/2

2 0

3cot 1sin

x

x

π π

+

/4

2 /6

/4

3 0

= +

x

π π

=

+

∫

C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ (CHỨA CĂN)

Nhưng nếu phương trình trong căn vô nghiệm thì chắc chắn cách này sẽ không giải quyết được!!!!

Dạng 4 2

I =∫ f x a−x dx - Hàm số có chứa 2

a−x Hướng giải quyết: Đặt x= asint

Ví dụ 4:

1

2 0

1 3

x

=

−

∫ đặt x= 3 sint, trình bày lời giải tiếp

Ta quay lại với trường hợp phương trình trong căn vô nghiệm, coi cách này có giải quyết được không?

Ví dụ 5:

1

2 0

∫ đặt x+ = 1 5 sint thử coi được không?

Từ đó đặt câu hỏi: vô nghiệm nhưng hệ số a dương bài toán sẽ được giải quyết như thế nào?

1 3

Hướng giải quyết: đặt 1

t

a x b

= +

I =∫x −x dx

4/

3

2 3 3/ 2 (1 )

dx I

= +

10/

6

3

2 4

4

3

2 2

1

2 1

1 4

dx I=

0

1.

1 2

=

∫

Hướng tiếp cận bài toán tích phân

Để làm tốt một bài toán tích phân, trước tiên học sinh cần phải nắm vững đạo hàm và nguyên hàm của các hàm số cơ bản Bên cạnh đó học sinh phải thành thạo các kỹ năng của phương pháp đổi biến

số, phương pháp tích phân từng phần Cuối cùng, học sinh cũng cần một số định hướng cơ bản để tiếp cận và xử lý tốt bài toán tích phân Dưới đây là một số hướng tiếp cận cơ bản.

Bước 1 Ta chỉ có tính chất “tích phân của một tổng bằng tổng các tích phân” chứ không có tính chất

“tích phân của một tích bằng tích các tích phân” Do đó, ta phải biến đổi tích phân của một tích thành tích phân của một tổng (nếu được).

Bước 2 Sau bước 1 mà vẫn chưa tính được tích phân thì ta nên nghĩ đến phương pháp đổi biến số.

Bước 3 Nếu không có dấu hiệu nào để ta sử dụng phương pháp đổi biến số thì ta chuyển sang phương pháp tích phân từng phần.

Ví dụ 1 Tính tích phân

Z 3 1

1

x 2 dx = −1

x

3

• Tính I2 (Ta nhận thấy I2 không có dấu hiệu nào để ta sử dụng phương pháp đổi biến số nên ta sẽ

sử dụng phương pháp tích phân từng phần Chú ý thứ tự ưu tiên cho biểu thức u là: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.)

Khi đó

I2 = − 1

xln(x + 1)

3

1

−

Z 3 1



−1x

 1

x + 1dx = −

1

3ln 4 + 1 ln 2 +

Z 3 1

1 x(x + 1)dx

= −1

3ln 4 + ln 2 +

Z 3 1

= −1

3ln 4 + ln 2 + (ln 3 − ln 4) − (ln 1 − ln 2) = ln 3 −

1

3ln 4.

Q(x), trong đó P (x) và Q(x) là các đa thức một biến x.

Trong phần này ta không đi giải quyết bài toán tích phân của của một hàm hữu tỉ tổng quát, ta chỉ xét các dạng tích phân trong đó biểu thức dưới dấu tích phân là hàm hữu tỉ có những “dấu hiệu” giúp

ta có thể phân tích tích phân đó thành tổng của những tích phân đơn giản hơn.

Ví dụ 2 Tính I =

Z 2 1

 3x2− 2x + 1 + 1

x + 1

 dx

Giải Ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của hàm số dưới dấu tích phân và tính tích phân theo công thức Newton-Leibnizt như dưới đây.

I = x3− x 2 + x + ln |x + 1|

2



2x + 1

 dx

Giải Cũng giống ví dụ trên, ta dễ dàng tính được tích phân này như sau

1

=

 3.2 + 1

2ln 5



−

 3.1 + 1

Z 2 1

3x 3 + x 2 − x + 2

x + 1 dx và J =

Z 2 1

6x + 4 2x + 1dx Rõràng, việc tính I và J bây giờ sẽ phức tạp hơn Cụ thể, ta phải thực hiện thao tác ngược với thao tác quy đồng mẫu thức của người ra đề, đó là thao tác chia đa thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân về dạng như trong 2 ví dụ đã đề cập ở trên.

Tổng quát, nếu biểu thức dưới dấu tích phân là f (x) có dạng

trong đó P (x), Q(x), R(x) là các đa thức và S(x) = P (x).Q(x) + R(x) Khi đó f (x) = S(x)

Q(x) là mộthàm hữu tỉ, có bậc đa thức trên tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa thức dưới mẫu Đối với loại này, bước xử lý đầu tiên trong quá trình tính tích phân là thực hiện phép chia đa thức trên tử cho

đa thức dưới mẫu.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với hàm hữu tỉ mà có bậc trên tử nhỏ hơn bậc dưới mẫu thì ta làm như thế nào? Ta cùng xem xét ví dụ dưới đây để tìm ra một phần câu trả lời.

Ví dụ 4 Tính tích phân K =

Z 2 1

 2 2x + 1 − 3

x + 2

 dx.

Giải Ta có

K = (ln |2x + 1| − 3 ln |x + 2|) ... giải tốn tích phân của hàm hữu tỉ tổng quát, ta xét dạng tích phân biểu thức dấu tích phân hàm hữu tỉ có “dấu hiệu” giúp

ta phân tích tích phân thành tổng tích phân đơn... nhóm hàm số sơ cấp là: hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit Kết hợp ý tưởng hàm hợp vào nhóm hàm số cho ta nhiều tốn tích phân lạ.

Ví dụ Tính tích phân< /small>... 1

 dx

Giải Ta dễ dàng tìm nguyên hàm hàm số dấu tích phân tính tích phân theo công thức Newton-Leibnizt đây.

I = x3−