SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐA Phương pháp : 1.
Trang 1SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A) Phương pháp :
1 Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:
Hướng 1:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f(x) =k (1)
Bước 2 : Xét hàm số y= f (x)
Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước 3 : Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=x0 ( mà ta nhẩm được)
Hướng 2:
Bước 1 : Đưa phương trình về dạng : f(x) =g(x) (1)
Bước 2 : Xét hai hàm số y= f (x) và y=g (x)
Dùng lập luận để khẳng định y= f (x) là hàm đồng biến (nghịch biến)
vày =g (x) là hàm nghịch biến (đồng biến) Bước 3 : Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệmx=x0 là nghiệm duy nhất
Hướng 3:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng f(u) = f(v) (1)
Bước 2 : Xét hàm số : y= f (t)
Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3 : Khi đó từ (1) suy ra : u= v
2 Đối với loại bất phương trình có 2 hướng để giải quyết:
Hướng 1:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f(x) >k (1)
Bước 2: Xét hàm số y = f (x) Dùng lập luận để khẳng định hàm số tăng (giảm) Bước 3: Từ (1) ta thấy f(x) > f( α )
Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra x>α nếu hàm số tăng hay x< α nếu hàm số giảm
Hướng 2:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f(u) > f(v) (1)
Bước 2: Xét hàm số y = f (x)
Dùng lập luân để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: u> v nếu đồng biến ,u< v nếu nghịch biến
B) Bài tập ứng dụng :
Loại 1: Giải các phương trình
1 4x− 1 + 4x2 − 1 = 1
2 3 + sinx− 2 − sinx = 1
3 x− 1 = −x3 − 4x+ 5
5
1 ) 2 2 3 (
log
1 3 2
3
2
=
+ + +
−
−
−x x
x x
5 2x− 1 − 2x2−x = (x− 1 ) 2
6 8sin 5 4sin 1 8sin1 5 − 4sin1 −1
−
=
−
x x
e
Trang 27 x+ x2 −x+ 1 − x+ 1 + x2 +x+ 1 = 1
Bài làm:
1 4x− 1 + 4x2 − 1 = 1
Điều kiện:
≥
−
≥
− 0 1 4
0 1 4 2
x
x
2
1
≥
⇔x
Nhận xét : số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số
1 4 1
y và y= 1
Xét hàm số y= 4x− 1 + 4x2 − 1
• Miền xác định :
+∞
2
1
D
1 4
4 1 4
2
2
−
+
−
x
x x
y
Suy ra hàm số đồng biến
Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là x =21
2 3 + sinx− 2 − sinx = 1
Đặt t = sinx , điều kiện t ≤ 1
Khi đó phương trình có dạng : 3 +t − 2 −t = 1
t
t = + − +
⇔ 3 1 2 (*) Xét hàm số :
• Hàm số f(t) = 3 +t là hàm đồng biến trên D =[− 1 , 1]
• Hàm số g(t) = 1 + 2 −t là hàm nghịch biến trên D =[− 1 , 1]
Từ (*) suy ra : f(t) =g(t) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy t = 1 là nghiệm phương trình (*), do đó :
Z k k
x
x= ⇔ =π + 2 π ∈
2 1
sin
3 x− 1 = −x3 − 4x+ 5 (*)
Điều kiện : x≥ 1
Xét hàm số f(x) = x− 1 là hàm đồng biến trên D =[1 , +∞)
Xét hàm số g(x) = −x3 − 4x+ 5
• Miền xác định D =[1 , +∞)
• Đạo hàm : y' = − 3x2 − 4 < 0 ∀x∈D⇔
hàm số nghịch biến trên D
Từ (*) ta có : f(x) =g(x)
Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.Ta thấy 1
=
x thoả mãn phương trình
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
5
1 ) 2 2 3 (
log
1 3 2
3
2
=
+ + +
−
−
−x x
x
Trang 3Điều kiện :
0 2 3
2 − x+ ≥
x ⇔x x≥≤21 Đặt u= x2 − 3x+ 2 ,u≥ 0
Lúc đó : 3x−x2 − 1 = 1 −u2
5
1 ) 2 ( log
2
1
+ +
⇔
−u
Xét hàm số :
2
1 3
5
1 ) 2 ( log ) (
x
x x
f
−
+ +
=
• Miền xác định: D=[0 , +∞)
• Đạo hàm : 2 5 ln 3 0
5
1 3 ln ) 2 (
1 )
+
x x
Suy ra hàm số tăng trên D
Mặc khác : f( 1 ) = 2 Do đó (**) có dạng : f(u) = f( 1 ) ⇔u= 1 Với u =1⇔x=3±2 5
Vậy phương trình có nghiệm
2
5
3 ±
=
x
5 2x− 1 − 2x2−x = (x− 1 ) 2
Biến đổi phương trình về dạng : x− 1 +x− = x2 −x +x2 −x
2 1
Xét hàm số f(x) = 2t +t
• Miền xác định : D =R
• Đạo hàm : f' (t) = ln 2 2t + 1 > 0 ∀t∈D
Suy ra hàm số đồng biến
Từ (*) có dạng ( 1 ) ( 2 )
x x f x
f − = − ⇔x− 1 = x2 −x⇔ x= 1 Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình
6 8 sin 5 4 sin 1 8sin1 5 4sin1 1
−
−
−
=
−
x x
e
Điều kiện : ∀x∈R
Biến đổi phương trình về dạng :
1 sin 4
1 5
sin 8
5 sin 8
−
−
=
−
−
x
e x
(*) Xét hàm số f t e t 1t
)
• Miền xác định : D =R
t e x
f' ( ) = t + 12 > 0 ∀ ∈ Suy ra hàm số đồng biến
Từ (*) có dạng : f( 8 sinx− 5 ) =f( 4 sinx− 1 ) ⇔ 8 sinx− 5 = 4 sinx− 1
Trang 4
−
=
−
−
=
−
⇔
x x
x x
sin 4 1 5 sin 8
1 sin 4 5 sin 8
=
=
⇔
2
1 sin
1 sin
x x
+
=
∨ +
=
+
=
⇔
π
π π
π
π π
2 6
5 2
6
2 2
k x
k x
k x
7 x+ x2 −x+ 1 − x+ 1 + x2 +x+ 1 = 1
Điều kiện :
≥ + + + +
≥ +
− +
0 1 1
0 1 2 2
x x x
x x x
−
−
≥ + +
−
≥ +
−
⇔
1 1
1 2
2
x x
x
x x
x
Với
≥ +
−
≥
−
≥ +
−
≤
−
⇔
−
≥ +
−
2 2
2 2
1 0
0 1
0 1
x x x x
x x
x x
x
x
x
∀
⇔
≤
≥
⇔
0 0
Với
+ +
≥ + +
≥
−
−
≥ + +
≤
−
−
⇔
−
−
≥ + +
1 2 1
0 1
0 1
0 1 1
1
2 2
2 2
x x x x x
x x
x x
x
x
x
∀
⇔
−
≤
−
≥
⇔
1 1
Vậy D= R
Biến đổi phương trình về dạng :
1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1
x
1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
+
Xét hàm số f(t) = t+ t2 −t+ 1
• Miền xác định D =R
• Đạo hàm :
1
1 4
1 2 1 2
1 2
)' (
) ( '
2 2
2
2
2
+
− +
− +
− + +
−
= +
− +
+
− +
=
t t t t t
t t
t t
t t
t t t t f
Nhận xét :
0 1 2 1 2 1 2 3 ) 1 2 ( 1 2 4 4 4 1 2 1
2 t2 −t+ + t− = t2 − t+ + t− = t− 2 + + t− > t− + t− ≥
⇔
∀
>
⇒f' (x) 0 x hàm số đồng biến
Khi đó :
(*)⇔ f(x) = f(x+ 1 ) ⇔x=x+ 1 vô nghiệm Vậy phương trình vô nghiệm
Loại 2:Giải các bất phương trình
1 x+ 9 + 2x+ 4 > 5
2 x2 − 2x+ 3 − x2 − 6x+ 11 > 3 −x− x− 1
Bài làm:
1 x+ 9 + 2x+ 4 > 5 (1)
Trang 5Điều kiện:
≥ +
≥ +
2 0
4
2
0 9
x x
x
(*) Xét hàm số y= f(x) = x+ 9 + 2x+ 4
• Miền xác định : D =[− 2 , +∞)
x x
x
+
+ +
4 2
1 9 2
1 ) ( ' Suy ra hàm số đồng biến trên D
Ta có : f( 0 ) = 5,do đó :
• Nếu x> 0 thì f(x) > f( 0 ) ⇔ x+ 9 + 2x+ 4 > 5, nên x> 0 là nghiệm
• Nếu − 2 ≤x≤ 0 thì f(x) ≤ f( 5 ) ⇔ x+ 9 + 2x+ 4 ≤ 5 nên − 2 ≤x≤ 0 không là nghiêm
Vậy với x> 0 là nghiệm của (1)
2 x2 − 2x+ 3 − x2 − 6x+ 11 > 3 −x− x− 1
Điều kiện:
3 1 0
1
0 3
0 11 6
0 3 2
2
2
≤
≤
⇔
≥
−
≥
−
≥ +
−
≥ +
−
x x
x
x x
x x
(*)
Biến đổi bất phương trình thânh:
x2 − 2x+ 3 + x− 1 > x2 − 6x+ 11 + 3 −x
x x
x
x− + + − > − + + −
Xét hàm số f(t) = t2 + 2 + t.Ta thấy hàm số đồng biến trên [ ]1 , 3
Từ (1) ta có f(x− 1 ) > f( 3 −x) ⇔ x− 1 > 3 −x⇔x> 2
So sánh với (*) ta có : 2 <x≤ 3 là nghiệm của bất phương trình
Loại 3: Giải các hệ phương trình
1
=
−
−
=
−
−
y x
x y
x
4
3
) 1
(
1 1
2
+
= + +
+
= + +
x y
y
y x
x
3 2 3
3 2 3
2 2
3
= +
− +
− +
= +
− +
− +
= +
− +
− +
x z
z z
z
z y
y y
y
y x
x x
x
) 1 ln(
3 3
) 1 ln(
3 3
) 1 ln(
3 3
2 3
2 3
2 3
Bài làm:
1
=
−
−
=
−
−
y x
x y
x
4
3
) 1
(
1 1
Điều kiện :
Trang 6
≥
≥
⇔
≥
≥
−
0
1 0
0 1
y
x y
x
Biến đổi tương đương hệ về dạng :
=
−
−
=
−
−
−
y x
x x
x
4
3 2
) 1
(
1 ) 1 ( 1
Từ phương trình : x− 1 − (x− 1 ) 2 = 1 −x3
2 2
1 = − 3 + 2 − +
−
Ta thấy hàm số f(x) = x− 1 là hàm đồng biến trên [1 , +∞)
Xét hàm số g(x) = −x3 +x2 − 2x+ 2
• Miền xác định : D =[1 , +∞)
• Đạo hàm g' (x) = − 3x2 + 2x− 2 < 0 ∀x∈D
Suy ra hàm số nghich biến
Từ (*) ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm ( 1 , 0 )
2
+
= +
+
+
= +
+
x y
y
y x
x
3 2 3
3 2 3
2
2
Điều kiện:
≥
≥
0
0
y
x
Biến đổi hệ
+ +
= +
+
= + +
y y
x
y x
x
2 3
3
3 2 3
2 2
Cộng vế theo vế ta có : 3 +x2 + 3 x+ 3 = 3 +y2 + 3 y+ 3 (*)
Xét hàm số f(t) = 3 +t2 + 3 t+ 3
• Miền xác định : D =[1 , +∞)
t t
t t
+
2
3 3
) ( '
2 Suy ra hàm số đồng biến
Từ (*) ta có f(x) = f(y) ⇔x=y
Lúc đó : 3 +x2 + x = 3
• VT là hàm số hàm tăng
• VP là hàm hằng
• Ta thấy x = 1 là nghiệm
Suy ra phương trình có nghiệm x= 1 là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm ( )1 , 1
3
= +
− +
−
+
= +
− +
−
+
= +
− +
−
+
x z
z z
z
z y
y y
y
y x
x x
x
) 1 ln(
3
3
) 1 ln(
3
3
) 1 ln(
3
3
2 3
2 3
2 3
Xét hàm số f(t) =t3 + 3t− 3 + ln(t2 −t+ 1 )
Trang 7Lúcđó hệ có dạng
=
=
=
x z f
z y f
y x f
) (
) (
) (
• Miền xác định: D= R
t t
t t
x
+
−
− +
+
1 2
1 2 3 3 ) ( '
2 2
.Suy ra hàm số đồng biến trên D
Ta giả sử (x,y,z)là nghiệm của hệ và x= max{x,y,z} khi đó ta suy ra:
x z f y f z z y f
x
f
y= ( ) ≥ ( ) = ⇒ = ( ) ≥ ( ) =
Vậy x≥ y≥z≥x⇔x= y=z.Thay vào hệ ta có : x3 + 3x− 3 + ln(x2 −x+ 1 ) =x
0 ) 1 ln(
3
3 + − + − + =
Ta thấy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT là đồng biến )
C) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình,bất phương trình và các hệ sau:
1. 3 −x+x2 − 2 +x−x2 = 1
2. x− 3 = −x3 + 3x2 +x− 12
3. 2x− 1 + x2 + 3 = 4 −x
−
−
−
=
−
x x
e
5. 2 2 6 2 4 3 ( 4 2 ) 3 6
− +
−
=
− +
x
m
6. tanx+ 2 3 log 2 tanx = 3
cos sin
2
1 2
1
2 2
8. 3 2 sinx− 3 + ( 3 sinx− 10 ) 3 sinx− 2 + 3 − sinx= 0
9.
= + +
−
=
−
12
2 2
2
2 xy y
x
x y
y x
10.
=
− + +
=
−
− + +
7 4 3 2 4
0 2 5 ) 3 ( ) 1 4
(
2 2
2
x y
x
y y
x x
11. x+ x2 − 1 ≥ 1
12. x− 1 + x2 − 1 ≥ (x+ 1 )( 3 −x)
13. x+ 1 ≤ 1 − 2x+x2 −x3
14. x+ 3 x− 3 ≥ 9 −x
15.
+ +
= + + +
+ +
= + + +
3 5
3 2 3
3 5
3 2 3
2 2
x y
y
y x
x
16.
= +
=
25
4 2
2 y
x
y
x y x
Trang 8
>
=
+
−
=
−
0
,
3
2
2 2 sin 2
2
sin
y
x
y
x
x y y
x
π
18.
=
− +
−
=
− +
−
=
− +
−
z x z
z
y z y
y
x y x
x
) 6 ( log 6 2
) 6 ( log 6 2
) 6 ( log 6 2
3 2
3 2
3 2
19.
+
−
=
−
+
−
=
−
8 1
1
tan
tan
y x y
x y y x
20.
<
<
+
= +
=
−
4
5 ,
) 2 ( 3 1 10
sin
sin
4 6
π
π x y
y x
y x
e x y