Giao trinh xử lý số tín hiệu

Trong môn học Xử lý số tín hiệu, những nội dung chính được đề cập bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong xử lý số tín hiệu như biến đổi Z, biến đổi Fourier, biến đổi DFT, các phương pháp tổng hợp bộ lọc FIR và cấu trúc bộ lọc. Giáo trình Xử lý số tín hiệu được biên soạn cho đối tượng là sinh viên cao đẳng các ngành Công nghệ kỹ thuật điện, điện tử; công nghệ viễn thông, công nghệ thông tin, công nghệ tự động,… với chủ trương ngắn gọn, nhiều ví dụ, dễ hiểu. Giáo trình được chia thành 5 chương: Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc Chương 2: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu rời rạc trong miền Z Chương 3: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số liên tục. Chương 4: Biểu diễn hệ thống và tín hiệu trong miền tần số rời rạc Chương 5: Thiết kế bộ lọc FIR

  1

BỘ CÔNG THƯƠNG 

TRƯỜNG CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP 

Chủ biên: ThS Mạc Văn Biên Thành viên: ThS Phan Quang Thưởng

GIÁO TRÌNH

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU

(Giáo trình lưu hành nội bộ)  

BẮC GIANG, NĂM 2018

  3

LỜI NÓI ĐẦU

Xử  lý  số  tín  hiệu  (DSP:  Digital  Signal  Processing)  nghĩa  là  xử  lý  tín  hiệu bằng  con  đường  số  và  là  môn  học  đề  cập  đến  các  phép xử  lý  các  dãy  số  để  có được  các  thông  tin  cần  thiết  như  phân  tích,  tổng  hợp  mã  hoá,  biến  đổi  tín  hiệu sang dạng mới phù hợp với hệ thống. Đây là ngành khoa học đang phát triển rất mạnh và được áp dụng rất hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như: Thông tin liên lạc, phát thanh, truyền hình, điều khiển, đo lường, … So với xử lý tín hiệu tương tự, 

xử lý tín hiệu số có nhiều ưu điểm như: 

- Độ chính xác cao, sao chép trung thực, tin cậy. 

- Tính bền vững: không chịu ảnh hưởng nhiều của nhiệt độ hay thời gian 

- Linh hoạt và mềm dẻo: thay đổi phần mềm có thể thay đổi các tính năng phần cứng. 

-  Thời  gian  thiết  kế  nhanh,  các  chip  DSP  ngày  càng  hoàn  thiện  và  có  độ  tích  hợp cao. 

Trong  môn  học  Xử  lý  số  tín  hiệu,  những  nội  dung  chính  được  đề  cập  bao gồm các khái niệm về tín hiệu và hệ thống, các phép biến đổi cơ bản dùng trong 

xử  lý  số  tín  hiệu  như  biến  đổi  Z,  biến  đổi  Fourier,  biến  đổi  DFT,  các  phương 

pháp tổng hợp bộ lọc FIR và cấu trúc bộ lọc. Giáo trình Xử lý số tín hiệu được 

biên  soạn  cho  đối  tượng  là  sinh  viên  cao  đẳng  các  ngành  Công  nghệ  kỹ  thuật điện, điện tử; công nghệ viễn thông, công nghệ thông tin, công nghệ tự động,… với  chủ  trương  ngắn  gọn,  nhiều  ví  dụ,  dễ  hiểu.  Giáo  trình  được  chia  thành  5 chương: 

chắn không tránh khỏi các sơ sót, nhầm lẫn.  Chúng tôi rất mong bạn đọc thông cảm và đóng góp các ý kiến cho tác giả trong quá trình học tập, trao đổi để lần tái bản sau được hoàn thiện hơn. 

Giáo  trình  được  Hiệu  trưởng  phê  duyệt  làm  tài  liệu  chính  thức  dùng  cho giảng  dạy,  học  tập  môn  học  Xử  lý  số  tín  hiệu  ở  trường  Cao đẳng  Kỹ  thuật Công nghiệp 

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về: 

- Mạc Văn Biên, Phan Quang Thưởng - Giảng viên khoa Điện tử - Tin học, Cao Đẳng Kỹ thuật Công nghiệp, số 202 Trần Nguyên Hãn, TP. Bắc Giang, Bắc Giang. 

-  Văn  phòng  khoa  Điện  tử  -  Tin  học,  tầng  5,  tòa  nhà  đa  năng,  số  202  Trần Nguyên Hãn, TP. Bắc Giang, Bắc Giang. 

- Thư viện Cao Đẳng Kỹ thuật Công nghiệp, số 202 Trần Nguyên Hãn, TP. Bắc Giang, Bắc Giang. 

TÁC GIẢ 

  5

MỤC LỤC

1.4 Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 42 

TRONG MIỀN Z

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG

TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

Chương 5 TỔNG HỢP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU

Trong xử lý số ta chỉ xét ảnh tĩnh; Một điểm ảnh đặc trưng bởi một cường độ sáng phụ thuộc vào hai biến số x và  y: ia(x,y), x và  y biểu diễn hệ tọa độ trong mặt phẳng ảnh, như vậy ia(x,y) có tính chất hai chiều và được biểu diễn như sau: 

Hình 1.2 Biểu diễn tín hiệu hình ảnh

Trong xử lý số tín hiệu chúng ta chỉ tập chung nghiên cứu đối với các tín hiệu 

là hàm của một biến độc lập, cụ thể ở chương này chúng ta đề cập đến vấn đề biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền biến số độc lập n (trong miền thời gian rời rạc – miền n). 

1.1.2 Phân loại tín hiệu

Các tín hiệu trên thực tế được chia thành hai nhóm lớn là tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc và được thể hiện trên hình sau: 

Hình 1.3 Phân loại tín hiệu

a) Định nghĩa tín hiệu liên tục: Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học 

Tín hiệu liên tục 

Hình 1.4 Minh họa tín hiệu tương tự (a) và tín hiệu lượng tử hóa (b)

Định nghĩa quá trình lượng tử hóa: Là  quá trình  xấp  xỉ  một  tập  đại  lượng 

có  giá  trị  tương  đối  lớn  hoặc  thay  đổi  liên  tục  hoặc  thay  đổi  một  cách  rời  rạc trong một khoảng rất nhiều giá trị (ví dụ: các số thực) bằng một lượng có giá trị nhỏ hơn hoặc thay đổi một cách rời rạc trong một khoảng tương đối ít giá trị (ví dụ: các số nguyên). 

b) Định nghĩa tín hiệu rời rạc: Nếu  biến  độc  lập  của  sự  biểu  diễn  toán học 

của một tín hiệu là rời rạc, thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu rời rạc

Nhận xét: Theo định nghĩa tín hiệu rời rạc thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời  rạc theo biến số

Nếu  dựa  vào  biên  độ,  chúng  ta  có  thể  phân  loại  tín  hiệu  rời  rạc  ra  làm  hai loại: Tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số. 

Định nghĩa tín hiệu lấy mẫu: Nếu  biên  độ  của  tín  hiệu  rời  rạc  là  liên  tục 

(không được lượng tử hóa) thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu lấy mẫu. 

Nhận xét: Tín hiệu lấy mẫu liên tục theo biến và rời rạc theo hàm. 

Định nghĩa tín hiệu số: Nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu 

c) Định lý lấy mẫu: Nếu  một  tín  hiệu  tương  tự  xa(t)  có  tần  số  cao  nhất  là 

Fmax= B, được lấy mẫu tại tốc độ FS > Fmax = 2B, thì xa(t) có thể được phục hồi một cách chính xác từ giá trị các mẫu của nó nhờ hàm nội suy. 

Khi  FS >  Fmax  =  2B  ta  gọi  FS  lúc  này  là  tần  số  lấy  mẫu  Nyquist,  ký  hiệu  là 

FNyquist  hay  FN.  Có  thể  hiểu  lấy  mẫu  là  quá  trình  biến  đổi  tín  hiệu  liên  tục  theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. 

Nội  suy là  phương  pháp  ước  tính  giá  trị  của  các  điểm  dữ  liệu  chưa  biết trong  phạm  vi  của  một tập  hợp rời  rạc  chứa  một  số  điểm  dữ  liệu  đã  biết. Những điểm này là giá trị đại diện của một hàm số của một biến số độc lập có một lượng giới hạn các giá trị. 

Trong  hệ  thống  xử  lý  tín  hiệu  số  tín  hiệu  tương  tự  ở  đầu  vào  được  chuyển sang dạng số nhờ bộ chuyển đổi tương tự - số (ADC - Analog Digital Converter). Tín hiệu tương tự ở đầu ra được thiết lập lại nhờ bộ chuyển đổi số - tương tự (DAC - Digital Analog Converter). 

Vậy tín hiệu ra của bộ ADC là tín hiệu số xd(n), đó là tín hiệu vào của hệ thống 

số, hệ thống số này làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số xd(n) và đưa ra tín hiệu số yd(n). Sau đó tín  hiệu này  lại được đưa  qua bộ DAC để thiết lập lại thông tin tương tự 

ya(t). Như vậy bản chất của việc xử lý thông tin này chính là thực hiện việc xử lý 

tín hiệu tương tự thông qua con đường số, nên môn học này được gọi là “Xử lý số tín hiệu”

1.2. TÍN HIỆU RỜI RẠC 

1.2.1 Các cách biểu diễn tín hiệu rời rạc

Một tín hiệu rời rạc được biểu diễn bởi một giá trị thực hoặc giá trị phức. Nếu 

nĩ được hình thành bởi các giá trị phức thì được gọi là tín hiệu phức. 

Trước khi biểu diễn tín hiệu rời rạc chúng ta sẽ tiến hành chuẩn hĩa biến số độc lập bởi chu kỳ lấy mẫu như sau: 

S S

nT

T   n Trong đĩ:  nTS : Biến số độc lập 

TS: Chu kỳ lấy mẫu Như vậy sau khi chuẩn hĩa ta cĩ: 

 Nếu trong miền biến số chúng ta chuẩn hĩa bởi chu lỳ lấy mẫu TS thì trong miền tần số chúng ta phải chuẩn hĩa bởi tần số lấy mẫu FS

1

S S

F T

Biekï thư ùc toán học, với N n N

0 với n còn lại

  15

Hình 1.9 Biểu diễn tín hiệu rời rạc x(n) bằng đồ thị

1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số

Tín  hiệu  rời  rạc  x(n)  chỉ  được  định  nghĩa  với  giá  trị  n  nguyên,  x(n)  không được coi bằng không và không được định nghĩa với các giá trị n không nguyên. Tùy từng trường hợp cụ thể mà ta áp dụng cách biểu diễn tín hiệu cho hợp lý, thuận tiện với mục đích của chúng ta. 

1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị

  17

Ví dụ 1.5: Hãy biểu diễn toán học và biểu diễn bằng đồ thị các dãy sau:  

x (n)=u(n-1);        x (n)=u(n+1) Bài giải: 

0, n còn lại

 Biểu diễn dưới dạng đồ thị: 

Hình 1.16 Đồ thị biểu diễn r(n)

Ví dụ 1.7: Biểu diễn tốn học và biểu diễn bằng đồ thị dãy sau: x(n)r(n-2) Bài giải: 

Biểu diễn dưới dạng biểu thức tốn học:    2



n-2, nr(n-2)=

0, n còn lại

Hình 1.20 Đồ thị biểu diễn dãy x(n)  với chu kỳ N=4

1.2.3.2 Dãy có chiều dài hữu hạn

Một dãy được xác định với số hữu hạn N mẫu (N điểm trên trục hoành) gọi là dãy có chiều dài hữu hạn với N là chiều dài của dãy. 

vô cùng, dãy rect (n)N có chiều dài bằng N. Nếu ta ký hiệu chiều dài của dãy x(n) 

là L, ta có thể viết chiều dài của dãy rect (n)N  như sau: 

n N N

dụ 1.10 ta thấy dãy rect (n)M là dãy năng lượng còn dãy u(n) là dãy công suất. 

1.2.3.4 Tổng của hai dãy

Định nghĩa:  Tổng của  hai dãy  nhận  được  bằng cách  cộng từng đôi  một  các 

giá trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. 

Ví dụ 1.11: Hãy thực hiện x3(n) = x1(n) + x2(n) 

Giải: 

Hình 1.22 Tổng của hai dãy

1.2.3.5 Tích của hai dãy

Định nghĩa: Tích của hai dãy nhận được bằng cách nhân từng đôi một các giá 

trị mẫu đối với cùng một trị số của biến độc lập. 

Ví dụ 1.12: Hãy thực hiện x3(n) = x1(n).x2(n) 

Bài giải: 

Hình 1.25 Minh họa dãy x(n) trong ví dụ 1.14

Từ ví dụ  1.14, ta thấy: Một dãy  x(n) bất  kỳ  đều có thể biểu diễn dưới dạng sau: 

  25

Kích thích và đáp ứng: Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hay kích thích), dãy ra được gọi là đáp ứng của hệ thống ứng với kích thích đang khảo sát. 

Đặc trưng của hệ thống: Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi một toán 

tử T làm nhiệm vụ biến đổi dãy vào thành dãy ra và được ký hiệu như sau: 

T[x(n)] = y(n) hoặc  T

x(n)y(n) hoặc cũng có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau: 

1.3.1.2 Các hệ thống tuyến tính

Đối với hệ thống tuyến tính bất biến, toán tử T phải tuân theo nguyên lý xếp chồng, tức là phải tuân theo quan hệ sau đây: 

T[a.x1(n)+ b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n) 

Sau  đây  chúng  ta  sẽ  đi  xét  hệ  thống  tuyến  tính  bất  biến  theo  biến  k,  tức  là dạng của đáp ứng xung hk(n) không phụ thuộc và k. 

Hệ  thống  tuyến  tính bất  biến  theo thời  gian: nếu  tín hiệu  vào x(n) dịch  đi  k đơn vị thì tín hiệu ra y(n) cũng dịch đi k đơn vị. 

Ta có thể biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến theo sơ đồ sau: 

a Phương pháp 1: Phương pháp trực tiếp (phương pháp thế)

Khi các chuỗi được  mô tả bằng  các biểu thức toán học  có dạng đơn giản ta nên thực hiện phép tính tích chập trực tiếp. Khi thực hiện phép chập trực tiếp, ta thường phải tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn các số hạng có dạng   và nn n

   Các biểu thức có dạng đơn giản của một số chuỗi thường gặp: 

1) 

N N-1

1

1

k k= 0

n

Hãy tìm đáp ứng ra của hệ thống qua phép tính tích chập y(n) = x(n) * h(n) Bài giải: 

  29

4 k=0

n = -1 y(-1) = x(k)h(-1-k) = 1.0 +1.0 +1.0 +1.0 +1.0 0

4 k=0

n = 0 y(0) = x(k)h(-k) = 1.1 +1.0 +1.0 +1.0 +1.0 1

4 k=0

n = 1 y(1) = x(k)h(-1-k) = 1.0,75 +1.1 +1.0 +1.0 +1.0 1,75

4 k=0

n = 2  y(2) = x(k)h(-1-k) = 1.0,5 +1.0,75 +1.1 +1.0 +1.02,25 

Tiếp tục tính tương tự như trên ta được: 

Tất cả các giá trị khác của y(n) đều bằng không. 

Vậy, tổng hợp các kết quả ta được y(n) cho bởi đồ thị hình 1.26. 

Hình 1.26 Đồ thị minh họa y(n) trong ví dụ 1.16

Hoặc  tính  tích  chập  trực  tiếp  từ  giải  tích  của  x(n)  và  h(n)  thông  qua  công thức: 

Bước 4: Thực hiện phép nhân x(k) với h(n-k) theo từng mẫu với tất cả các giá trị 

của k và cộng các giá trị thu được, chúng ta có một giá trị y(n) (ví dụ, nhân x(k) với h(-k) rồi cộng các kết quả theo từng mẫu ta thu được y(0), nhân x(k) với h(1-k) rồi cộng các kết quả theo từng mẫu ta thu được y(1), …). Tổng hợp các kết quả ta có dãy y(n) cần tìm. 

Bước 4: Thực hiện phép nhân x(k) với h(n-k) theo từng mẫu với tất cả các giá 

trị của k và cộng các giá trị thu được y(n). 

  33

Hình 1.27 Đồ thị của y(n) trong ví dụ 1.17

c Phương pháp 3: Phương pháp quy luật trượt

Một phương pháp khác để chúng ta thực hiện phép tích chập gọi là phương pháp quy luật trượt, phương pháp này thuận lợi khi cả hai chuỗi x(n) và h(n) đều 

Sau khi dịch phải xong ta thực hiện dịch trái (ứng với n<0) nếu cần thiết và làm tương tự bước 2, thu được giá trị y(-1), tiếp tục dịch trái 1 đơn vị và lại làm như bước 2 ta thu được y(-2)… 

Bước 4: Tổng hợp các kết quả …y(-2), y(-1), y(0), y(1), y(2)… ta được đồ thị 

của y(n) cần tìm. 

Ví dụ 1.18: Cho x(n) = rect5(n)  

và:        [0,4]

0      

n 1-           

  35

Hình 1.30 Ý nghĩa của tính chất phân phối 

  Nếu  ghép  song  song  các  hệ  thống  với  nhau  thì  đáp  ứng  xung  của  cả  hệ thống tổng quát bằng tổng của đáp ứng xung của các hệ thống thành phần. 

1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả nếu và chỉ nếu đáp ứng 

xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau: 

h(n) = 0 với n<0 Chứng minh: 

Giả sử ta có hai kích thích x1(n) và x2(n): 

  37

x1(n) = x2(n)    với n<n0 

x1(n) ≠ x2(n)    với n≥n0 Hai đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến lần lượt là: 

y1(n) = y2(n)     với n<n0 Chúng ta có thể chia tổng này thành hai phần như sau: 





 y n1 - y2 n =  [x (k) - x (k)].h(n-k) = 0

h(n-k) = 0 (vì x1(k) ≠x2(k)) với n<n0 và k≥n0 Đặt m = n-k với n<n0 và k≥n0, ta có m<0 

Vậy h(m) <0 với m<0 → Định lý đã được chứng minh. 

Nhận xét: Các hệ thống nhân quả là hệ thống duy nhất thực hiện được về mặt 

vật lý. Đối với các hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ta có thể biến dạng công thức tích chập dựa theo tính chất: h(n) = 0 với n<0. 

0 víi n [  

1 0

nó thỏa mãn điều kiện : 

h(n) = 0     với n>0 Vậy chiều dài của một tín hiệu nhân quả là : 

L[h(n)] = [-∞, 0] = ∞ 

Ta sẽ có:│y(n)│<∞   với n bất kỳ 

Ví dụ 1.22. Xét sự ổn định của hai hệ thống tuyến tính bất biến có cùng kích thích đầu vào là x(n) = u(n) với các đáp ứng xung lần lượt là : 

h1(n) =  rect4(n) và h2(n) =  u(n) Bài giải: 

Ta thấy: │x(n)│=1 <∞ với n bất kỳ. 

Đáp ứng ra của hai hệ thống lần lượt là y1(n), y2(n). 

y1(n) = u(n)* rect4(n) và y2(n) = u(n)* u(n) Kết quả cho trên hình 1.35 

  Nói cách khác, một hệ thống tuyến tính bất biến không ổn định khi tại một mẫu nào đó mà đáp ứng ra y(n) của hệ thống không bị giới hạn, và ta cũng có thể nói rằng dãy y(n) không bị hạn chế. 

Ví  dụ  1.23.  Hãy  xét  tính  nhân  quả  và  tính  ổn  định  của  hệ  thống  có  đáp  ứng xung: 

Nhận xét : Trong phương trình này, tập hợp các hệ số ak(n) và br(n) sẽ biểu diễn toàn bộ hành vi của hệ thống đối với một giá trị n cho trước. 

  43

Phương trình này chính là ảnh rời rạc của phương trình vi phân tuyến tính đối với các hệ số liên tục, phương trình có dạng sau : 

dy(t) y(t) y(t t)

Hệ  thống  (1)  và  (2)  đều  là  hệ  thống  tuyến  tính,  nhưng  hệ  thống  (1)  không phải là hệ thống bất biến vì hệ số của nó không phải là hằng số và phương trình y(n)= nx(n) không phải là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. Còn hệ thống  (2)  là  bất  biến  vì  hệ  số  của  nó  là  hằng  số  và  phương  trình  y(n) 

=2x(n)+3x(n-1) là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. 

1.4.2 Các phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Một hệ thống tuyến tính bất biến về mặt toán học được mô tả bởi một phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát sau đây : 

  45

Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của phương trình sai phân trên với điều kiện đầu:  1) y(-1) = 0 và x(n) = ∂(n) 

B1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất - y 0 (n)

Thông thường nghiệm tổng quát có dạng hàm mũ y0(n) = αn thay vào phương trình (1.18) ta được: 

0

(n-k)

N k k

2

) 1

00

  47

Giả sử (1.20) có nghiệm đơn α1, α2, … ,αN → nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất có dạng: 

Các hằng số A1, A2,…, AN sẽ được xác định bởi các điều kiện đầu. 

Nếu  các  nghiệm  của  phương  trình đặc  trưng  là  các  nghiệm  bội,  thì  y0(n)  có dạng như sau: 

B2: Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân không thuần nhất - y p (n)

Phương  trình  sai  phân  không  thuần  nhất  là  phương  trình  sai  phân  ứng  với kích thích đầu vào khác 0, có dạng: