SKKN vận dụng linh hoạt các định lý và phương pháp chứng minh hình học

Vì vậy là một giáo viên dạy toán tôi muốn góp một phần bé nhỏ vào sự nghiệp trồng người nên mạnh dạn đưa ra một số kinh nghiệm qua các năm giảng dạy ở môn toán đặc biệt là môn học hình h

I PHẦN MỞ BÀI

1 Lý do chọn đề tài

a/ Lý do khách quan

Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nổ lực xây dựng và đẩy mạnh Công Nghiệp Hoá –Hiện Đại Hoá đất nước nhằm tiến tới một xã hội văn minh hiện nay, muốn vậy con người phải có trí thức chính vì vậy Đảng ta đã xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu trong những năm gần đây, Đảng và nhà nước ta luôn quan tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học và sau đại học nhằm đua ra nền giáo dục nước nhà và phát triển ngang tầm khu vực Trong chương trình giáo dục môn toán là môn quan trọng là thành phần không thể thiếu của nền văn hoá phổ thông của con người Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy của mỗi con người

b/ Lý do chủ quan

Qua 10 năm giảng dạy môn toán ở trường THCS, hiện tại tôi đang dậy ở trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Trường Tộ ở Phường Thống Nhất, Thị xã Buôn

Hồ Tỉnh đắk lắk Tôi nhận thấy rằng hầu hết các em học sinh học môn hình học còn yếu nhiều so với môn số học và đại số, chính vì vậy nên ảnh hưởng không nhỏ đến tình hình dạy và học, đến chất lượng bộ môn,chất lượng đại trà của nhà trường, đặc biệt là ảnh hưởng rất lớn đến các em học sinh mà các em học sinh lại là nền móng thế hệ tiếp bước cho xã hội tương lai xây dựng đất nước Vậy thì người giáo viên cần phải làm gì ? phải hiểu rõ được nhiệm vụ của mình cần phải làm gì? Trong quá trình giảng dạy thế nào ? để ngày càng nâng cao chất lượng bộ môn hơn

Ngoài những quy tắc nhất định và cách chứng mình theo từng bước, từng tự

cần luyện thành thạo, học sinh phải phát huy năng lực sáng tạo “Vận dụng linh hoạt giữa định lý và các phương pháp chứng minh’’ Để khắc phục khó khăn đó?

trong quá trình giảng dạy như thế nào, hướng dẫn học sinh học như thế nào? Để ngày càng nâng cao chất lượng bộ môn được tốt hơn Mặc dù các cách giải một bài toán hình có rất nhiều, cách chứng minh cũng thiên biến vạn hoá Vì vậy là một giáo viên dạy toán tôi muốn góp một phần bé nhỏ vào sự nghiệp trồng người nên mạnh dạn đưa ra một số kinh nghiệm qua các năm giảng dạy ở môn toán đặc biệt là

môn học hình học và qua tham khảo một số tài liệu, tôi xin đưa ra đề tài “ Vận dụng linh hoạt các định lý và phương pháp chứng minh hình học’’

Đề tài này khi đến tay người đọc chắc còn thiếu sót, mong các bạn đồng nghiệp, chú ý nêu lên, có thể làm sáng tỏ đề tài, biến đổi cách giải, cung cấp tư liệu,

để đề tài của tôi hoàn chỉnh hơn

2 Nhiệm vụ của đề tài

Là đưa ra một số vấn đề để vận dụng các định lý và phương pháp chứng minh phải linh hoạt để giúp cho học sinh hiểu hơn về bộ môn hình học ở THCS, biến đổi một định lý, một bài toán phức tạp, thành một bài toán đơn giản hơn Từ những kiến thức củ, suy ra kiến thức mới, biến khó thành dễ, từ một suy ra ba, liên hệ các bài tập cùng loại

3 Đối tượng nghiên cứu

Vận dụng các định lý vào chứng minh hình học áp dụng cho học sinh khối 8(a1,2,5,6)+9 (a3,4,5,6) học môn toán học ở Trường Trung Học Cơ Sở Nguyễn Trường Tộ Phường Thống Nhất, Thị xã Buôn Hồ,Tỉnh Đắk Lắk

4 Phạm vi nghiên cứu

 Trong quá trình giảng dạy môn toán thời gian qua

 Qua các tiết dạy, buổi dạy chính khoá, tăng buổi, bồi dưỡng học sinh giỏi

 Tham khảo 1 số tài liệu

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp điều tra

 Phương pháp quan sát

 Phương pháp phân tích tổng hợp

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Vậy muốn vận dụng các định lý và các phương pháp chứng minh cho linh hoạt, thì có bí quyết gì không ?

Vấn đề này rất khó trả lời, vì nó không có những tiêu chuẩn tuyệt đối, và nó cũng không biết nên bắt đầu như thế nào, phương pháp tốt nhất là tự mình cố gắng tìm hiểu nhiều Ở đây tôi chỉ có thể cung cấp cho các bạn một số hiểu biết mà tôi nghĩ được để các bạn tham khảo

Đầu tiên, ta hãy nói về biến đổi các định lý Những định lý trong SGK, chỉ là 1

số kiến thức ta thường dùng đến và tương đối quan trọng Khi chứng minh bài tập ngoài những định lý đó, ta cần phải biết chọn lấy những định lý quan trọng trong các bài tập Để áp dụng các định lý, không những thế có khi ta còn phải biến đổi cả định lý trong SGK, hoặc trong bài tập, làm cho phương pháp chứng minh đơn giản

và gọn hơn

Nếu biết nội dung các định lý không máy móc, thường sáng tạo được thêm những định lý mới, với những định lý này, không những có thể làm cho phương pháp chứng minh đơn giản mà còn giúp cho ta tránh được suy luận dài dòng, tìm được phương pháp chứng minh dể dàng hơn

Ngoài việc biến đổi định lý, giaó viên cần phải giúp học sinh biết cách suy luận

từ cái cũ suy ra cái mới, khi đã tìm được cách chứng minh một bài tập hình học rồi,

ta không nên tự mãn, cho thế là đủ mà nên đi sâu nghiên cứu thêm, xem còn có cách giải nào khác không? Đối với những định lý đã học rồi hoặc những bài tập đã làm rồi thì sau này học đến các định lý mới, nên nghiên cứu lại thử xem từ các định lý mới có thể chứng minh được những định lý và bài tập trước kia không? Định hướng như vậy, không những giúp cho học sinh từ suy xét tiến bộ hơn, mà còn là một cơ hội tốt học sinh có một cơ hội tốt luyện tập vận dụng các định lý và cách vẽ đường phụ Vì mỗi cách chứng minh cần dùng đến những định lý và đường phụ khác nhau Những cơ hội tốt đó phải do các em học sinh tự mình cố gắng tìm kiếm

Từ đó có thể giúp các em biến khó thành dễ, có thể nói việc làm quan trọng

phương pháp chứng minh hay không chủ yếu là do việc làm này quyết định Một bài tập dù khó đến đâu, sau các bước phân tích cần thiết, điều có thể biến đổi từng bước thành bài dể Cứ như vậy sẽ đi đến chổ bài đã biến đổi thoả mãn điều kiện của

đề bài ra thường dùng sơ đồ phân tích để làm điều đó và giúp cho học sinh giải quyết được bài khó Từ một định lý, một bài toán ta cũng có thể định hướng dẫn dắt học sinh biết cách khai thác bài tạo ra nhiều bài toán tương tự và phát triển mở rộng hơn nửa và chính điều này sẽ tạo được nhiều hứng thú trong bộ môn toán

2 Thực trạng của vấn đề

Về ưu điểm Trường THCS Nguyễn Trường Tộ trước kia thuộc xã Thống Nhất huyện Krông Búk , nay là Thị xã Buôn Hồ, Phường thống Nhất Qua 10 năm đổi mới của Thị Xã Buôn Hồ, nhờ có sự thay đổi đó nên càng ngày vẫn có sự thay đổi

rõ nét trong đầu tư giáo dục Được sự quan tâm của ngành, của địa phương, của quý bậc phụ huynh nên việc đầu tư về cơ sơ vật chất, về thời gian học tập của các em mỗi ngày có mỗi thay đổi Đặc biệt nhờ có lớp học tăng buổi nên việc thực hiện những vấn đề được trình bày trên đây cũng thuận lợi hơn Có nhiều thời gian hơn để người dạy và người học thực hiện vai trò “Thầy phải luyện cái gì “ trò phải tập cái

gì ? trong các buổi học hình Mấy năm gần đây Bộ giáo dục đã đưa ra chương trình giải toán qua mạng, giúp một số em có điều kiện tự rèn luyện kiến thức và phát huy năng lực tư duy độc lập, rèn luyện tư duy sáng tạo tính tự giác học tập, phương phát giải toán nhanh, kỷ năng phát hiện tốt cách giải một số bài toán hình học phải nhanh

và chính xác

Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều khó khăn vì hình học là phân môn dùng lý luận để suy diễn, thì phải dựa vào quy tắc suy diễn để tìm hiểu tính chất chung của không gian chính điều đó mà một ngày hai ngày không dể gì học sinh tiếp cận mà học được ngay bộ môn hình học mà đòi hỏi người giáo viên phải định hướng dẫn dắt các em phải biết vận dụng một cách linh hoạt các định lý và phương pháp chứng minh

Bên cạnh đó xã hội ngày càng tân tiến , công nghệ thông tin phát triển nên các

em bị chi phối rất nhiều cho nhiều việc, như đá bóng, nghiện game, sử dụng điện thoại không đúng mục đích nên việc học của các em ngày càng bị giảm sút, có học nhưng không có hành nên kiến thức dần dần mất căn bản , không đủ kiến thức để giải quyết một số bài toán từ đơn giản, đến phức tạp, dẫn đến thấy bài tập, bài toán nào cũng khó ,đặc biệt môn hình học đa số các em để mất căn bản ở lớp dưới ,và không biết vận dụng một cách linh hoạt giữa các định lý và các phương pháp chứng minh hình học Trong khi học hình học phẳng nói chung học sinh đều cảm thấy có ít nhiều khó khăn Nghiên cứu nguyên nhân, tôi thấy có mấy điểm dưới đây

- Học sinh chưa có những khái niệm cơ bản rõ ràng

- SGK biên soạn tuần tự theo hệ thống lí luận, không tổng hợp từng loại làm cho người mới học khó nắm cách giải các bài toán

- Trong các SGK, các bài tập mẫu quá ít, hướng dẫn và gợi ý không đầy đủ nên khó tiếp thu và nghiên cứu

- Học sinh thường chỉ biết học “ vẹt “ các định lý và các qui tắc không biết vận dụng một cách linh động những định lý các quy tắc

- Học sinh hiện nay vẫn còn học mang tính thụ động rất nhiều, không chịu khó suy nghĩ, tìm tòi học hỏi, dẫn đến đa số các em không thích học môn hình học Một

số giáo viên lại chiều theo sở thích của các em cũng ít đầu tư định hướng vào việc dạy bộ môn hình học cho các em một cách bài bản, có hệ thống tư duy logic

- Điều kiện cơ sở vật chất nhà trường còn thiếu thốn phòng thư viện của trường không có sách tham khảo dành cho học sinh đọc Do đó, việc tìm tòi sách đọc là vấn đề hạn chế

- Nhưng khó khăn hơn vẫn là các em học sinh do điều kiện của địa phương với đặc thù là vùng công giáo, số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tế khó khăn còn một phần là học sinh dân tộc Êđê ở Buôn Đlung học sinh ở chùa Bửu Thắng, điều kiện học tập của các em rất khó khăn Vì vậy việc quan tâm đến học hành của các em còn hạn chế nhiều về tinh thần và vật chất, dẫn đến việc học môn toán, trong đó có phần môn hình học các em chưa thật hứng thú, say mê

Chính vì vậy là một người giáo viên tôi nhận thấy rằng cần phải rèn luyện cho các em năng lực tư duy, sáng tạo, tạo nhiều hứng thú bộ môn cho các em để giúp các em phần nào có thêm một phần kiến thức hiểu biết về bộ môn hình học, giúp các em biết cách vận dụng định lý, bài tập và phương pháp chứng minh hình học một cách linh hoạt

3 Nội dung và hình thức của các giải pháp

a Mục tiêu của các giải pháp

Qua các năm giảng dạy ở các khối lớp7, 8,9 qua trắc nghiệm hứng thú học toán cuả học sinh, tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm

- Kết quả khảo sát HS lớp 8 của trường trong năm học 2017-2018 về thái độ đối với môn hình học cho thấy:

- Kết quả khảo sát chất lượng môn hình học qua các bài kiểm tra học sinh lớp 8 của trường trong học kỳ 1 năm học 2017-2018 cho thấy:

Qua gần gủi tìm hiểu thì các em cho biết ban đầu cũng rất muốn học hình học nhưng không biết bắt đầu từ đâu, và làm cách nào để giải một bài toán nào đó và việc vận dụng định lý vào việc phân tích giải một bài toán đối với các em là rất khó khăn Đặc biệt các em không nhớ lý thuyết, có học lý thuyết cũng không biết vận

dụng khi nào.Vì vậy trong mỗi buổi tiết dạy hình học tôi luôn chú trọng đến việc đầu tiên tạo hứng thú cho các em thích học môn hình học nhiều hơn, bằng các tình

tự trong các tiết dạy như sau

Trước hết phải nghiên cứu lại phần lý thuyết phải xác định rõ kiến thức, cơ bản

và trọng tâm, biến đổi các định lý làm cho phương pháp chứng minh đơn giản và gọn hơn

Bước tiếp theo là tôi nghiên cứu các bài tập SGK soạn bài tập theo yêu cầu chuẩn kiến thức và trả lời những yêu cầu sau

Cách giải từng bài toán như thế nào?

Có thể có bao nhiêu cách giải bài toán này ?

Cách giải nào là cách giải thường gặp ? cách giải nào là cơ bản ?

Ý đồ của tác giả đưa ra bài toán này để làm gì ?

Để giải được bài toán cần phải áp dụng những kiến thức lý thuyết nào đã học

để giải

Mục đích và tác dụng của từng bài tập như thế nào ?

Để trả lời những câu hỏi trên nhằm đảm bảo một tiết dạy trên lớp đến với các

em học sinh một cách có hiệu quả, tôi tiến hành nghiên cứu từng nội dung theo trình

tự các mẫu sau

b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

 Từ kiến thức cũ suy ra kiến thức mới

Trong quá trình học hình, ta có làm quen với một định lý quan trọng: ‘’đường phân giác của góc trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng

tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy’’

Phần chứng minh của định lý trong SGK chắc bạn đọc đã rõ Nhưng có một số SGK xếp định lý này trước phần tam giác đồng dạng, nên phương pháp chứng minh khá phức tạp Sau khi học các định lý về tam giác đồng dạng rồi, nếu bạn trở lại nghiên cứu định lý này bạn sẽ thấy phương pháp chứng minh định lý đó có phần dễ hơn ; bởi vì những định lý về tam giác đồng dạng không phải suy từ định lý này mà

ra, nên cách chứng minh đó, về lý luận mà nói, không đến nỗi phạm sai lầm về mất

hệ thống, đảo lộn thứ tự Sau đây giới thiệu với các bạn một cách ngắn gọn hai phương pháp chứng minh mới của định lý này

1) Từ C dựng đường thẳng song song với AB cắt AD kéo dài tại E vì

·BAD =DAC· ;·ADB CDE= · nên ∆ABD : ∆ECD,

ta suy ra AB : EC = BD : DC, Nhưng BA· D =DAC· =·DEC nên EC = AC,

thay vào tỷ lệ thức trên, ta có : AB : AC = BD : DC

1 2

E

D B

A

C

D

A

E

2) Dựng CE sao cho · AEC = µB, ta có ∆ABD : ∆ACE

và suy ra : AB : AC = BD : CE,

Từ ·A C BAD =· D +Bµ ,DEC E C EC· =· A +· A(định lí góc ngoà trong tam giác )

ta có ·DEC E C= · D suy ra CE = DC thay vào tỷ lệ thức trước được

AB : AC = BD : DC (đpcm)

Bị chú : Cách giải (2) là đặt giả thiết µC> µB, trong trường hợp µC< µB, thì ta lấy ở µBmột phần góc bằng µC, rồi chứng minh như cũ khiµC = µB, tam giác này là tam giác cân, việc chứng minh định lý này trở nên hết sức dễ dàng

 Biến khó thành dễ

Có thể nói việc làm quan trọng nhất khi chứng minh một bài tập là phân tích suy xét, có tìm được phương pháp chứng minh hay không chủ yếu do việc làm này quyết định Một bài tập dù khó đến đâu, sau các bước phân tích cần thiết, đều có thể biến đổi từng bước thành bài dễ Cứ như vậy sẽ đi đến chỗ bài đã biến đổi thoả mãn điều kiện của bài ra, và ta cũng giải quyết được bài khó Phương pháp biến đổi bài khó thành dễ ta đã gặp nhiều trong các ví dụ trước Vì đây là vấn đề rất quan trọng trong việc học môn hình học nên chúng tôi nêu thêm ví dụ để nghiên cứu kỹ hơn Chúng ta có ba bài tập sau đây, tương ứng ba hình

1) Trong ∆ABC, phân giác của µBvà µC cắt nhau tại D, dựng đường song song với BC đi qua D, cắt nhau AB và AC tại E và F Chứng minh rằng EF = BE + CF 2) Trong ∆ABC, phân giác của µBvà của góc ngoài của µC cắt nhau tại D, dựng đường song song với BC đi qua D cắt AB, AC tại E và F

Chứng minh rằng EF = BE – CF

3) Trong ∆ABC, phân giác của µC cắt AB tai E ; qua E dựng đường song với

BC cắt AC tại F, cắt đường phân giác của góc ngoài của µC tại G.Chứng minh rằng

EF = FG

A

F

A

E

A

B

(1) (2) (3)

Hình vẽ của ba bài này tuy có khác nhau, nhưng quan sát kỹ, ta thấy cả ba hình đó đều có phần giống nhau như hình vẽ sau Trong hình này, nếu biết

QOP POx= , QP //Ox, thì có thể chứng minh QOP POx QPO· =· =· , và ∆QOP cân, nghĩa là QP = QO Ta có thể đặt thành một bài tập như sau

y

x

P O

Q

Từ một điểm trên đường phân giác của một góc dựng đường song song với một cạnh và cắt cạnh kia của góc, ta sẽ được một tam giác cân

Bài này, người mới học hình cũng chứng minh được Làm được bài này, thì cả

ba bài trên ta cũng làm được Trong bài (1) hoặc (2) dùng phương pháp này có thể chứng minh được ED = BE, DF = CF, rồi đem cộng hay trừ hai đẳng thức này với nhau, ta sẽ chứng minh được hai bài tập đó Trong bài (3) ta cũng dùng phương pháp trên, sẽ được EF = CF, FG = CF So sánh hai đẳng thức này với nhau ta thấy

EF = FG

 Từ một bài toán ta có thể suy ra ba bài toán

Chúng ta đã biết mỗi định lý đều có một định lý đảo, một định lý phản và một định lý phản đảo Bốn định lý như vậy, thường có phương pháp chứng minh và cách dựng đường phụ giống nhau Cho nên, nếu ta biết được phương pháp chứng minh một định lý rồi, gặp trường hợp phải chứng minh ba định lý kia, vẫn có thể áp dụng phương pháp trước chứng minh, làm cho ta đỡ mất công hơn Sau khi chứng minh một định lý rồi, ta đi sâu nghiên cứu thêm ba cách biến đổi của nó, ta sẽ có một ấn

tượng sâu sắc về phương pháp chứng minh và rút ra được nhiều kinh nghiệm mới Các bạn học hình nhất thiết đừng bỏ qua cơ hội nghiên cứu này

Sau đây là một ví dụ về tính chất của hình thang lớp 8

(1) Hai đường chéo của một hình thang cân bằng nhau

Định lý này có thể chứng minh theo cách sau

Từ A dựng AE // BC cắt DCtại E, dựng AF // DB cắt CD kéo dài tại F, dựng

AG ⊥ DC Ta sẽ có tứ giác AECB và tứ giác AFDB là hình bình hành ta suy ra AE

= BC = AD, AF = DB, từ định lý “trong tam giác cân, đường cao hạ từ định chia đôi cạnh đáy ”ta có: DG = GE Vì FD = AD = EC, nên FG=GC Từ định lý đảo của định lý nêu ở trên, ta biết AF = AC hay là DB = AC

Biết phương pháp chứng minh định lý này rồi,bây giờ cần chứng minh định lý đảo của nó

(2) Trong một hình thang có hai đường chéo bằng nhau Chứng minh hình thang đó là hình thang cân

Ta vẽ đường phụ như trước,và chứng minh như sau : Từ AF = DB = AC, ta suy

ra FG = GC Đem đẳng thức này trừ đi từng vế của FD = EC, được DG = GE Do

đó ta biết được AD = AE = BC

Sau đây là định lý phản của nó

(3) Nếu hai cạnh của một hình thang không bằng nhau, thì hai đường chéo của

nó cũng không bằng nhau, đường chéo đi qua đỉnh của góc xen giữa đáy lơn và cạnh bên lớn thì lớn hơn

Ta vẫn vẽ đường phụ như trước và chứng minh như sau:

G E

Nếu AD > BC thì AD > AE, từ định lý trong hai đường xiên đường nào có hình chiếu lớn thì lớn hơn, ta suy ra : BG > GE, đem cộng từng vế với FD = EC, được FG > GC

Lại từ định lý đảo của định lý trên , ta có AF >AC hay DB > AC

Khi chứng minh định lý phản đảo của nó

(4) Nếu hai đường chéo của một hình thang không bằng nhau thì hai cạnh bên cũng không bằng nhau, cạnh bên đi qua đỉnh của góc xen giữa đáy lớn và đường chéo lớn thì lớn hơn

Phương pháp vẫn giống như trước Ta chứng minh : Đặt giả thiết DB > AC thì

AF > AC, được FG > GC đem trừ từng vế với FD = EC, ta được DG > GE Từ đó

AD > AC hay AD > BC

Bài tập hình học tuy nhiều, nhưng trong đó cũng có một số bài giống nhau về thực chất nội dung mà khác nhau về bên ngoài Trong quá trình học tập, ta nên thường xuyên lưu ý, biết liên hệ những bài đó với nhau Làm như vậy có một điều lợi là, đã làm được một bài, thì cũng làm được một bài khác cùng loại

Thí dụ như bài ba dưới đây tương ứng với ba hình sau

1) Chứng minh rằng tứ giác có bốn đỉnh là các trung điểm của bốn cạnh của một tứ giác là một hình bình hành

2) Nối liền trung điểm của hai cạnh đối nhau với trung điểm của hai đường chéo của một tứ giác Chứng minh tứ giác tạo thành là hình bình hành

3) Cho tứ giác AKCL,AK,LC kéo dài cắt nhau tại B , AL, KC kéo dài cắt nhau tại D Gọi E; F; G; H lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, BC, CD, DA, Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành

(1)

E

F

G

H

B

C

(2)

E G

F

H

C

B

(3)

F

G

E

H

B

A

K

C

D

Trông bề ngoài, ba bài này hoàn toàn khác nhau, nhưng thực chất nội dung của chúng lại giống nhau vì những lý do sau:

Nếu đem cạnh BC của tứ giác ABCD trong hình (1) quay 180 0 xung quanh tâm

B, ta sẽ được hình (2) Và nếu đem đổi µCcủa hình (1) bằng một góc lớn hơn 180 0 thì

ta sẽ được hình (3) Phương pháp chứng minh của ba bài này đều dựa vào định lý đường trung bình của tam giác

Chứng minh EH = 1

2 BD; EH P BD và FG =1

2 BD; FG PBD trước, rồi mới chứng minh EH = FG ;EHPFG và xác định tứ giác EFGH là hình bình hành

Cũng có khi hình vẽ của mấy bài tập nào đó trông khác nhau hoàn toàn, những trong các hình đó lại có một phần giống nhau, thì cách chứng minh của chúng cũng giống nhau Như trong hai bài dưới đây , tuy chúng có khác nhau về hình vẽ : một bài là tam giác, bài kia là tứ giác, nhưng hai hình đó đều chứa những tam giác bằng nhau có những tính chất giống nhau:

1) Cho ∆ABC, lấy các cạnh làm cạnh dựng các tam giác đều ABD, BCE, CAF

ra phía ngoài của tam giác

Chứng minh : CD = AC = BF

A

B

C

D

F

E

2) Cho tứ giác ABCG,lấy AB và CG làm cạnh dựng các tam giác đều ABD, CGF ra phía ngoài của tứ giác và lấy BC làm cạnh dựng ∆BCE đều vào phía trong của tứ giác

Chứng minh rằng: DE = AC, EF = BG

j

B

A

C

G

E

Trong hình (1), có ·DBA = ·CBE = 60 0 mỗi vế cộng thêm ·ABC, ta được ·DBC =

·ABE.Từ DB = AB, BC = BE, ta có:

∆DBC = ∆ABE và suy ra CD = AE, cũng làm tượng tự như trên, ta sẽ chứng minh được bài (1) Trong hình (2), ta cũng có thể áp dụng phương pháp như ở bài (1) Chúng minh hai tam giác bằng nhau

Ngoài các bài trên, hai bài sau đây cũng có thể áp dụng phương pháp trên để chứng minh:

3) Ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng lấy AB, BC làm cạnh dụng các tam giác đều ABC, BCE về cùng một phía của đường thẳng