Bài toán đồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIBÙI HUY BÁCH BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI HUY BÁCH

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU ĐỐI VỚI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9 46 01 03

HÀ NỘI, 2020

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Cung Thế Anh

Phản biện 1: PGS.TS Hoàng Quốc Toàn

Trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà NộiPhản biện 2: PGS.TS Đoàn Thái Sơn

Viện Toán họcPhản biện 3: PGS.TS Đỗ Đức Thuận

Trường ĐHBK Hà Nội

Luận án đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họptại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam;

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Việc nghiên cứu những lớp phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ Chính vì vậy nó đã vàđang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới Sau khinghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu bài toán đồng hóa dữliệu (data assimilation), tức là dự đoán dáng điệu của nghiệm trong tương lai

từ những phép đo thu được, rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán

xu thế phát triển của hệ trong tương lai; điều này đặc biệt quan trọng trongcác bài toán dự báo, chẳng hạn bài toán dự báo khí tượng Đây là một hướngnghiên cứu được phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây Ta có thể phátbiểu một cách toán học bài toán đồng hóa dữ liệu như sau Giả sử một quátrình phức tạp (chẳng hạn dự báo khí tượng) được mô tả bởi phương trình tiếnhóa (nói chung rất phức tạp) có dạng

dY

dt = F (Y )trong đó Y là vectơ biểu diễn biến trạng thái mà ta muốn “dự báo” Mục tiêucủa chúng ta là tìm một xấp xỉ “tốt” của Y trên một đoạn thời gian có độ dài

T (dự đoán) Chúng ta đối mặt với bài toán sau đây: Chúng ta không biết “dữkiện ban đầu” của Y tại một thời điểm trước thời điểm t0 để tính nghiệm của

mô hình dự báo từ thời điểm t0 trở đi, tuy nhiên chúng ta biết “phép đo” của

Y trong miền không gian trong khoảng thời gian [t0, T ] hoặc tại một dãy thờiđiểm {tn}n∈N Bài toán đồng hóa dữ liệu là xác định một nghiệm xấp xỉ W (t)của Y (t) từ các “phép đo” đã biết, sao cho W (t) hội tụ về Y (t) (theo một chuẩnthích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng

Phương pháp cổ điển của đồng hóa dữ liệu liên tục là chèn các phép đo quansát trực tiếp vào một mô hình sau này được lấy tích phân theo thời gian Mộtcách để khai thác điều này là chèn các quan sát chế độ thấp Fourier từ mộtchuỗi thời gian vào trong phương trình cho sự tiến hóa của các chế độ cao Về

mặt toán học, cách tiếp cận này dựa trên sự tồn tại tập hút toàn cục hữu hạnchiều và tính chất các mode xác định (determining modes) của hệ Navier-Stokes(D.A Jones and E.S Titi (1993)), nhưng có nhược điểm là không áp dụng đượckhi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theo không gian, vì không thể lấyđạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạc đó Một cách tiếp cận hiệuquả khác áp dụng cho các hệ tiến hóa tuyến tính được đề xuất bởi J.P Pueltrong (J.P Puel (2009)) Cách tiếp cận này dựa trên các bất đẳng thức kiểuCarleman, nhưng có hạn chế là chỉ áp dụng được cho các bài toán tuyến tính.Năm 2014, Titi và cộng sự đã đề xuất một phương pháp mới (A Azouani, E.Olson and E.S Titi (2014)) khắc phục được nhược điểm của các phương phápnói trên Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiểnphản hồi chứa dữ liệu quan sát được đưa vào trong hệ gốc để được một hệ mớigọi là hệ phương trình đồng hóa dữ liệu Sau đó ta sẽ thiết lập các điều kiện

để đảm bảo hệ đồng hóa dữ liệu này có một nghiệm toàn cục duy nhất và nóhội tụ về nghiệm khảo sát của hệ gốc ban đầu Tuy nhiên, kết quả nghiên cứubằng phương pháp này mới chỉ có ở bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục cho cho

hệ Navier-Stokes hai chiều (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014)) và mộtvài α-mô hình ba chiều (D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi(2016), D.A.F Albanez and M.J Benvenutti (2018)) Trường hợp rời rạc thìmới chỉ có kết quả đối với hệ Navier-Stokes hai chiều (C Foias, C.F Mondainiand E.S Titi (2016))

Hệ Navier-Stokes đóng vai trò quan trọng trong cơ học chất lỏng Tuy nhiên,trong trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) thì tính đặtđúng toàn cục và việc tính toán số nghiệm của hệ này vẫn còn là những vấn đề

mở lớn và tỏ ra rất khó Một trong những cách tiếp cận để vượt qua những khókhăn này là sử dụng những hệ chỉnh hóa của hệ Navier-Stokes Một lớp hệ chỉnhhóa phổ biến và thường được sử dụng là các α-mô hình trong cơ học chất lỏng,bao gồm hệ Navier-Stokes-α (C Foias, D.D Holm and E.S Titi (2001)), hệLeray-α (A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005)), hệ Leray-αcải biên (A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006)) và hệ Bardina đơngiản hóa (W Layton and R Lewandowski (2006)), Về mặt hình thức, nếucho α = 0 trong các α-mô hình này ta sẽ thu lại được hệ Navier-Stokes cổđiển Trong vài năm gần đây, đã có một số kết quả về bài toán đồng hóa dữliệu liên tục cho các α-mô hình, bao gồm hệ Navier-Stokes-α (D.A.F Albanez,H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016)), hệ Bardina đơn giản hóa (D.A.F.Albanez and M.J Benvenutti (2018)), hệ Leray-α (A Farhat, E Lunasin andE.S Titi (2019)), Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả

nào về bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với các α-mô hình trong cơ họcchất lỏng.

Từ những phân tích trên ta thấy rằng mặc dù đã có một vài kết quả ban đầunhưng các kết quả về bài toán đồng hóa dữ liệu đối với các α-mô hình trong

cơ học chất lỏng, đặc biệt trong trường hợp đồng hóa dữ liệu rời rạc hoặc chỉ

sử dụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc, vẫn còn ít và đang làvấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, thu hút được sự quan tâmcủa nhiều nhà toán học trên thế giới Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề "Bài toánđồng hóa dữ liệu đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng"làm đề tài nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu

Từ cuối những năm 1960, các vệ tinh nhân tạo bắt đầu thu được các dữ liệu

về thời tiết gần như liên tục theo thời gian Charney, Halem và Jastrow đã chỉ

ra trong (J Charney, M Halem, and R Jastrow (1969)) một số phương trình

về khí quyển được dùng để xử lý các dữ liệu đó và thu được các đánh giá tiêntiến về trạng thái khí quyển hiện tại Phương pháp của họ, được gọi là đồnghóa dữ liệu liên tục Một tổng hợp về việc sử dụng đồng hóa dữ liệu liên tụctrong thực tế dự báo thời tiết cũng được nêu bởi Daley (R Daley (1991)).Bằng việc sử dụng số determining modes, Titi và cộng sự đã nghiên cứubài toán đồng hóa dữ liệu cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều, trongtrường hợp dữ liệu thu thập được là liên tục trên một khoảng thời gian (E.Olson and E.S Titi (2003)) và trong trường hợp dữ liệu thu thập được là rờirạc theo thời gian (K Hayden, E Olson and E.S Titi (2011)), nhưng có nhượcđiểm là không áp dụng được khi các dữ liệu thu được dưới dạng rời rạc theokhông gian, vì không thể lấy đạo hàm theo biến không gian tại các điểm rời rạcđó

Nhằm khắc phục những nhược điểm trên, năm 2014, Titi và cộng sự đã đềxuất một phương pháp mới (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014)) Ýtưởng của phương pháp này là sử dụng một số hạng điều khiển phản hồi Ih (afeedback control term) đưa vào trong phương trình Cách làm này còn được gọi

là phương pháp nudging Newtonian hay phương pháp giãn động lực (dynamicrelaxation) (J Hoke and R Anthes (1976)) Toán tử Ih, với các điều kiện thíchhợp, đã được chỉ ra là một toán tử tổng quát, bao hàm cho cả toán tử dùngtrong trường hợp determining modes nêu ở trên, cũng như các toán tử dùng đểnghiên cứu determining nodes và các phần tử thể tích (D.A.F Albanez, H.J

Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016)).

Nội dung của phương pháp như sau: Giả sử rằng một hệ phương trình códạng

dY

(với điều kiện biên đã biết), không biết điều kiện ban đầu Y (t0) = Y0 Bằngcách sử dụng các thiết bị đo đạc, ta biết một phần của nghiệm trong khoảngthời gian [t0, T ] (bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục) hoặc tại các thời điểm tnvới n = 1, 2, , trong đó ti ≤ tj, ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (bài toán đồnghóa dữ liệu rời rạc) Vì không biết điều kiện ban đầu nên ta không thể tínhđược Y (t) Do đó, thay vì đi tính Y (t), ta đi tìm W (t), sao cho W (t) hội tụ về

Y (t) (theo một chuẩn thích hợp) khi thời gian t tiến tới vô cùng Khi đó, W (t)được gọi là nghiệm xấp xỉ, nghiệm Y (t) được gọi là nghiệm khảo sát Ký hiệu

Ih(Y (t)) là phần của nghiệm mà ta đo đạc được tại thời điểm t Ở đây, h đặctrưng cho độ thô của phép đo

Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục, phần đo đạc Ih(Y (t)) của nghiệmthu được trên [t0, T ], ta xét hệ phương trình

dW

dt = F (W ) − µIh(W ) + µIh(Y ) (2)với điều kiện ban đầu W (t0) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý) Ở đây, sốdương µ được gọi là tham số giãn Ta sẽ tìm các điều kiện đủ của các tham số

µ và h (h đủ nhỏ, µ đủ lớn) để hệ (2) có nghiệm toàn cục duy nhất W (t) và

W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng Theo quan điểm vật lí,

độ phân giải không gian h của phép đo thường là khó và tốn kém để thay đổi,trong khi tham số giãn µ là tham số toán học có thể dễ dàng thay đổi, do đó tatập trung vào việc tìm điều kiện của h để tồn tại một giá trị µ đảm bảo cho sựthành công của thuật toán Sau khoảng thời gian T > 0 đủ lớn, nghiệm W (T )

có thể được sử dụng làm điều kiện ban đầu trong hệ (1) để đưa ra dự đoántrong tương lai của nghiệm tham chiếu Y (t) khi t > T hoặc ta có thể tiếp tụcvới chính hệ đồng hóa dữ liệu (2), nếu dữ liệu đo vẫn tiếp tục được cung cấp.Đối với bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc, lúc này gần với thực tiễn hơn, khi

mà phần đo đạc Ih(Y (t)) của nghiệm thu được tại các thời điểm rời rạc tn với

n = 1, 2, , trong đó ti ≤ tj, ∀i ≤ j và tn → ∞ khi n → ∞ (đồng hóa dữ liệurời rạc), thay cho hệ (2), ta xét hệ phương trình đồng hóa dữ liệu sau

với điều kiện ban đầu W (t0) = W0 do ta dự đoán trước (lấy tùy ý) Gọi κ làkhoảng cách lớn nhất giữa hai lần đo: |tn+1− tn| ≤ κ, ∀n ∈ N Cũng như đối với

hệ (2), ta đi tìm các điều kiện đủ của h, µ và κ sao cho hệ (3) có nghiệm toàncục duy nhất W (t) và W (t) hội tụ tới Y (t) khi thời gian t tiến tới vô cùng.Phương pháp đồng hóa dữ liệu chỉ áp dụng được cho các mô hình đặt đúng,tức là đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm Chính vì lý do

đó, kết quả đồng hóa dữ liệu đối với hệ phương trình Navier-Stokes mới chỉ

có trong trường hợp hai chiều (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), C.Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016)), còn trong trường hợp ba chiều tachưa chứng minh được các kết quả tương tự Để nghiên cứu các tính chất nóichung và bài toán đồng hóa dữ liệu nói riêng của hệ phương trình Navier-Stokes

ba chiều, một cách làm phổ biến đó là nghiên cứu trên các α-mô hình, đượccoi như là những xấp xỉ của hệ Navier-Stokes khi tham số α nhỏ Gần đây

đã có một số kết quả đã có đối với bài toán đồng hóa dữ liệu cho các α-môhình: hệ Navier-Stokes-α (D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S.Titi (2016)), hệ Bardina đơn giản hóa (D.A.F Albanez and M.J Benvenutti(2018)),

Rất gần đây một hướng nghiên cứu mới, đó là giảm số chiều phép đo xuốngthấp hơn số chiều không gian, cũng đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhàkhoa học (A Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2016), A.Farhat, E Lunasinand E.S Titi (2017))

3 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích của luận án: Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu, cả trongtrường hợp liên tục và trường hợp rời rạc, đối với một số α-mô hình trong

cơ học chất lỏng

• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất toàn cục và đánhgiá tiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm của hệ đồng hóa dữ liệu(gọi là nghiệm xấp xỉ) với nghiệm khảo sát của hệ gốc (nói riêng là sự hội

tụ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát khi thời gian ra vô cùng nếuphép đo không có sai số), đối với một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng

• Phạm vi nghiên cứu: Trong các mô hình dưới đây v = u − α2∆u Các môhình được xét trên khoảng [t0, ∞), với điều kiện biên tuần hoàn trên hìnhhộp Ω = [0, L]3 và điều kiện ban đầu u(t0) = u0 chưa biết

– Nội dung 1: Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α bachiều:

– Nội dung 3: Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục chỉ sử dụng phép đotrên hai thành phần của vectơ vận tốc đối với hệ Bardina đơn giảnhóa ba chiều:

4 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc: sử dụng phương pháp đềxuất trong (C Foias, C.F Mondaini and E.S Titi (2016)) bởi E Titi vàcác cộng sự

• Nghiên cứu bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục: sử dụng phương pháp

đề xuất trong (A Azouani, E Olson and E.S Titi (2014), A Farhat, E.Lunasin and E.S Titi (2016), A.Farhat, E Lunasin and E.S Titi (2019))bởi E Titi và các cộng sự

5 Kết quả của luận án

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và đánh giá đượctiệm cận theo thời gian của hiệu giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm khảo sátcho bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ Leray-α ba chiều và hệNavier-Stokes-α ba chiều trong trường hợp phép đo có thể có sai số Đặcbiệt, khi không có sai số ta thu được sự hội tụ theo tốc độ mũ của nghiệmxấp xỉ hội tụ tới nghiệm khảo sát khi thời gian tiến tới vô cùng

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theotốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ tới nghiệm khảo sát đối với bài toán đồnghóa dữ liệu liên tục đối với hệ Bardina đơn giản hóa ba chiều mà chỉ sửdụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất của nghiệm xấp xỉ và sự hội tụ theotốc độ mũ của nghiệm xấp xỉ về nghiệm khảo sát cho cả bài toán đồng hóa

dữ liệu liên tục và rời rạc đối với hệ Leray-α cải biên ba chiều mà chỉ sửdụng phép đo trên hai thành phần của vectơ vận tốc

6 Cấu trúc của luận án

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2 Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ phương trình α

Leray-• Chương 3 Bài toán đồng hóa dữ liệu rời rạc đối với hệ phương trình Stokes-α

Navier-• Chương 4 Bài toán đồng hóa dữ liệu liên tục rút gọn đối với hệ Bardinađơn giản hóa

• Chương 5 Bài toán đồng hóa dữ liệu rút gọn đối với hệ Leray-α cải biên

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số α-mô hình trong cơ học chất lỏng

1.3 Tập hút toàn cục

1.4 Các không gian hàm

1.5 Các toán tử

1.6 Một số bất đẳng thức sơ cấp thường dùng

Chương 2

BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU

RỜI RẠC ĐỐI VỚI HỆ LERAY-α

2.1 Đặt bài toán

Giả sử rằng sự tiến hóa của u được mô tả bởi hệ Leray-α ba chiều (A Cheskidov,D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005), A.Farhat, E Lunasin and E.S Titi(2017)), với điều kiện biên tuần hoàn trên miền Ω = [0, L]3:

trên khoảng [t0, ∞), với điều kiện ban đầu u(t0) = u0 chưa biết

Ta gọi {tn}n∈N là một dãy tăng các thời điểm trong [t0, ∞) mà tại đó các sốliệu được thu thập Ta giả thiết rằng

H → span{w1, , wm} là "phép chiếu Fourier thấp", tức là phép chiếu trựcgiao của H lên không gian con Hm = span{w1, , wm} xác định bởi m vectơ

riêng của toán tử Stokes A và ηn là sai số của số liệu đo lường tại thời điểm tn.

Ta giả sử rằng {ηn}n∈N bị chặn trong H bởi E0 Chú ý rằng Pmu(tn) là chưabiết và ta chỉ biết ˜u(tn)

Cho trước một số liệu ban đầu dự đoán z0 ∈ V , ta đi tìm một hàm z thỏamãn z(t0) = z0, với cùng điều kiện biên như của v, và thỏa mãn hệ sau:

2.2 Sự tồn tại duy nhất và sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ

tới nghiệm khảo sát

Ta viết lại hệ Leray-α ba chiều dưới dạng

dv

với v = u + α2Au, và điều kiện ban đầu v(0) = v0 ∈ H

Định lí 2.1 (A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005)) Giả

sử f ∈ H và v0 ∈ H Khi đó hệ (2.5) có duy nhất một nghiệm toàn cục v thỏamãn

v ∈ C([t0, ∞); H) ∩ L2loc(t0, ∞; V ),dv

dt ∈ L2loc(t0, ∞; V0) (2.6)Hơn nữa, nửa nhóm tương ứng S(t) : H → H có một tập hút toàn cục A trong

H Hơn nữa, với mọi v ∈ A, ta có

|v| ≤ M0 :=

√2νGr

λ1/41

với Gr = ν−2λ−3/41 |f | là số Grashoff

Định lí 2.2 Giả sử z0 ∈ H, f ∈ H và v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàncục A của hệ Leray-α ba chiều Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm z của hệphương trình (2.4) trên khoảng [t0, ∞) thỏa mãn z(t0) = z0 và

z ∈ C([t0, ∞); H) ∩ L2loc(t0, ∞; V ),dz

dt ∈ L2loc(t0, ∞; V0) (2.8)Đặt

BV (M0) := {v ∈ H : |v| ≤ M0} Định lí 2.3 Giả sử v là một quỹ đạo nằm trong tập hút toàn cục A của hệLeray-α ba chiều và giả sử M0 là hằng số dương trong đánh giá nghiệm v cho ở(2.7) Xét z0 ∈ BH(M0) và giả sử z là nghiệm duy nhất của (2.4) trên khoảng[t0, ∞) thỏa mãn z(t0) = z0 Giả sử rằng {ηn}n∈N là một dãy bị chặn trong H,tức là tồn tại một hằng số E0 ≥ 0 sao cho