Luận án tiến sĩ: Nghiên cứu ngưng tụ BoseEinstein hai thành phần trong không gian bị hạn chế.

Các chế độ ripplon của hệ ngưng tụ BoseEinstein (BEC) hai thành phần phân tách bị giới hạn bởi một và hai tường cứng (tường quang học) đã được chúng tôi nghiên cứu bằng phương pháp gần đúng hydrodynamic trong khuôn khổ lý thuyết GrossPitaevskii (GP)

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Trần Hữu Phát và PGS TS Nguyễn Văn Thụ Các kết quả nghiên cứu của luận án là trung thực và không trùng khớp với bất kì công trình nào của tác giả khác.

Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2019

Tác giả luận án

Hoàng Văn Quyết

LỜI CẢM ƠN!

Trước tiên, tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS TSKH Trần Hữu Phát Sự hướng dẫn tận tụy và những động viên khích lệ của thầy là nguồn động lực to lớn cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành chương trình đào tạo và làm luận án Thầy mãi là tấm gương sáng về đạo đức, về tinh thần làm việc nghiêm túc, cống hiến hết mình vì khoa học để tác giả học tập và noi theo.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình hướng dẫn và cùng thảo luận giúp đỡ tác giả hoàn thành các tính toán quan trọng nhất trong luận án.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan người đã dẫn dắt tác giả đến với con đường nghiên cứu khoa học.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn TS Phạm Thế Song đã nhiệt tình giúp đỡ, cùng thảo luận về luận án và các vấn đề nghiên cứu liên quan.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Vật Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành chương trình đào tạo, hoàn thành luận án.

Lý-Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình tác giả, những người đã dành cho tác giả tình yêu thương trọn vẹn, từng ngày chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án.

Hà Nội, ngày 01 tháng 5 năm 2019

Tác giả luận án

Hoàng Văn Quyết

Mục lục

Lời cam đoan i

Danh mục từ viết tắt v

Danh mục hình vẽ và bảng biểu vii

Mở đầu 1

Chương 1 Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách 6

1.1.Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần 7

1.2.Cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ ngưng tụ Bose -Einstein 10

1.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE) 10

1.2.2 Hệ phương trình Gross-Pitaevskii 11

1.2.3 Phương pháp gần đúng parabol kép(DPA) 14

1.2.4 Phương pháp gần đúng hydrodynamics 16

Chương 2 Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần 18

2.1.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành trong không gian vô hạn 18

2.2.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị hạn chế bởi một tường cứng 22

2.3.Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC hai thành phần bị hạn chế bởi hai tường cứng 26

Chương 3 Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần

bị giới hạn bởi một tường cứng 30 3.1.Điều kiện biên cho các thành phần ngưng tụ 31 3.2.Trạng thái cơ bản của hệ 34 3.3.Sức căng tại mặt phân cách và hiện tượng chuyển pha ướt của hệ trong tập hợp chính tắc lớn(GCE) 41 Chương 4 Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thành phần

bị giới hạn bởi hai tường cứng 51 4.1.Trạng thái cơ bản của hệ 52 4.2.Sức căng tại mặt phân cách và một số hiệu ứng kích thước trong phân

bố chính tắc lớn (GCE) 64 4.3.Sức căng tại mặt phân cách và một số hiệu ứng kích thước trong phân

bố chính tắc (CE) 71 Kết luận và kiến nghị 77 Danh sách các công trình công bố kết qủa nghiên cứu của luận án 80 Tài liệu tham khảo 81

Danh mục từ viết tắt

BEC Bose-Einstein condensate ngưng tụ Bose-Einstein

BECs two segregated Bose-Einstein

condensates

ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách

CE Canonical ensemble tập hợp chính tắc

GCE Grand canonical ensemble tập hợp chính tắc lớn

DPA Double-parabola

Gross-TPA Tripple-parabola

MFA Mean-field approximation gần đúng trường trung bình HDA Hydrodynamic approach gần đúng hsydrodynamic

Danh sách hình vẽ

1 Hình vẽ mô phỏng hai ứng dụng của BECs (nguồn: inetrnet) 2

1.1 Thế tương tác theo tham số trật tự φ 15

2.1 Cấu trúc hình học hệ BEC trong không gian vô hạn 18

2.2 Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h 22

2.3 Mặt phân cách được đặt tại z = z 0 và tường cứng tại z = −h 2 , z = h 1 26

3.1 Cấu hình hệ BEC hai thành phần bị giam giữ bởi một tường cứng, tường cứng đặt tại z = −h 0 LAj là chiều dài xâm nhập của thành phần ngưng tụ j(j = 1, 2) trong miền ngưng tự j0(j0= 2, 1) 6= j 31

3.2 Hàm sóng của hệ ngưng tụ ở trạng thái cơ bản ứng với điều kiện biên Robin (c = 1/ √ 2) với h = 0 Đường nét liền ứng với nghiệm trong gần đúng DPA, đường nét đứt ứng với nghiệm giải số hệ phương trình GP 39

3.3 Sự phụ thuộc của ` = f (K, ξ) theo 1/K tại ξ = 1 40

3.4 Hàm sóng của thành phần 2 trong miền −h ≤ % ≤ ` tại K = 3, ξ = 1 và đường nét chấm ứng với c = 0 (điều kiện biên Neumann), đường nét gạch ứng với c = 1(điều kiện biên Robin), đường nét liền ứng với c = ∞ (điều kiện biên Dirichlet) 44

3.5 Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong GEC theo 1/K tại ξ = 1 Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin và Dirichlet 45

3.6 Làm ướt một phần, 0 < θ < π/2, (a, b ) Làm ướt hoàn toàn, θ = 0, (c) 47

3.7 Đường chuyển pha ướt, đường nét liền (nét đứt) tương ứng với điều kiện biên Dirichlet (Robin) 48

4.1 Hai tường cứng tại z = ˜ h1, z = −˜ h2, mặt phân cách z = L,và thành phần ngưng tụ

1(2) chiếm vùng z > L(z < L) LA j là chiều dài xâm nhập của thành phần ngưng

tụ j(j = 1, 2) trong miền ngưng tự j0(j0= 2, 1) 6= j 52 4.2 Trạng thái cơ bản của hệ với c1 = −1, c2 = 1, h1 = h2 = 10 đường màu

xanh ứng với thành phần 2, màu đỏ ứng với thành phần 1, nét liền (nét

đứt) ứng với nghiệm DPA (giải số hệ phương trình GP) 60 4.3 Sự phụ thuộc của ˜ γ12 vào kích thước của hệ d = 2h tại K = 3 and ξ = 1 Đường

nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng tương ứng với điều kiện biên Neumann,

Robin(c1= −0, 5; c2= 0, 5) và Dirichlet 67 4.4 Sự phụ thuộc vào d = 2h của lực F GCE tại K = 1, 2, ξ = 1 Đường nét chấm, nét

gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c1= −0, 5; c2= 0, 5)

và Dirichlet 68 4.5 Lực FGCE phụ thuộc vào 1/K tại h = 5, ξ = 1 Đường nét chấm, nét gạch và nét

liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin (c 1 = −0, 5; c 2 = 0, 5) và Dirichlet 68 4.6 Hàm sóng của thành phần ngưng tụ 2 trong khoảng −h ≤ % ≤ ` và của thành phần

1 trong khoảng ` ≤ % ≤ h tại h = 10, K = 3, ξ = 1 Đường nét chấm, nét gạch và nét

liền tương ứng với các điều kiện biên Neumann, Robin (c1= −1, c2= 1) và Dirichlet 70 4.7 Sự phụ thuộc sức căng tại mặt phân cách trong GCE theo 1/K tại ξ = 1 Đường nét

chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện biên Neumann, Robin và Dirichlet 71 4.8 Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong CE theo 1/K

tại ξ = 1 Đường nét chấm, nét gạch và nét liền tương ứng với điều kiện

biên Neumann, Robin và Dirichlet 72 4.9 Sự phụ thuộc của sức căng mặt tại mặt phân cách trong CE ứng với

điều kiện biên Neumann theo kích thước của hệ d = 2h tại ξ = 1, K = 3 74 4.10 Sự phụ thuộc của lực Casimir - like FCE trong CE theo d tại ξ = 1, K = 1, 1 75

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là một trạng thái lượng tử vĩ mô, ở đómột số lượng lớn các hạt vi mô tập trung trong cùng một trạng thái lượng

tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 [23] cho các nguyên

tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên Dự đoán này dựa trên ýtưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose [16]trước đó một năm Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạtvật chất và chứng minh được rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đếnnhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng tháilượng tử ứng với năng lượng thấp nhất có thể và tạo nên trạng thái mớicủa vật chất gọi là BEC

Năm 1995 nhóm các nhà thực nghiệm ở đại học Colorado và viện côngnghệ Massachusetts đã thành công khi tạo ra BEC của các nguyên tử

sự tồn tại của BEC đã được ghi nhận bằng giải Nobel Vật lý năm 2001trao cho E A Conell, C E Wieman và W Ketterle [21] Những nghiêncứu về lĩnh vực này thực sự bùng nổ sau khi các nhà thực nghiệm thànhcông trong việc tạo ra ngưng tụ BEC hai thành phần không trộn lẫn(BECs) [40, 57]

BEC là dạng vật chất lượng tử, sóng vật chất lượng tử có đặc tính quantrọng của laser, đó là tính kết hợp Mặt khác phương pháp cộng hưởngFeshbach cho phép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng

(a) (b)

Hình 1: Hình vẽ mô phỏng hai ứng dụng của BECs (nguồn: inetrnet).

hạn như cường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạngthái bất kỳ theo ý muốn [32] Do đó BEC(s) là môi trường lý tưởng trongphòng thí nghiệm để có thể:

khó nghiên cứu được trong các vật liệu thực tế

sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn (domain wall) giữa haithành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực từ (monopole) [3, 6, 12, 20,

25, 26, 33, 41, 49, 58] Trên hình 1 là ảnh mô phỏng cho hai ứng dụng quantrọng của BECs: tạo ra siêu photon (a) và đơn cực từ (b)

thủy động học cổ điển, chẳng hạn các hiện tượng không ổn định Helmholtz [51], không ổn định Rayleigh-Taylor [47], Richtmayer-Meshkov[7]

Kenvin-Ngoài ra các nghiên cứu về BEC đã đưa ra những ứng dụng rất quan

chíp điện tử cỡ nguyên tử, chế tạo một số loại xăng đặc biệt cho một sốmáy bay quân sự

Chính vì những lí do trên, sự phát hiện ra BEC đã mở ra một giai đoạnphát triển như vũ bão cả lĩnh vực lý thuyết và thực nghiệm trong việc

nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử Việc nghiên cứu BEC hai thành phần

là một vấn đề rất thời sự, hứa hẹn sẽ đưa ra một số tính chất vật lý mới,

từ đó sẽ mở ra những hướng nghiên cứu mới trong vật lý lý thuyết, vật lýcác môi trường đậm đặc và trong công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử.Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu về BECs mới chỉ diễn ra với hệ thốngBECs trong không gian vô hạn và hệ BECs trong không gian hữu hạnvới điều kiện biên Dirichlet, trong khi các thực nghiệm và các ứng dụngthực tế lại tiến hành trong không gian bị giới hạn với nhiều điều kiện biênkhác nhau Chính vì những lí do trên, chúng tôi đã quyết định chọn đề tàicủa luận án là "Nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần trongkhông gian bị hạn chế " Trong luận án này, trong khuôn khổ lý thuyếtGross-Pitaevskii (GP) chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúng parabolkép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) để nghiên cứu

hệ BEC hai thành phần trong không gian bị hạn chế với các điều kiện biênkhác nhau nhằm mục đích sẽ tìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảosát sự ảnh hưởng của các điều kiện biên đến sự ổn định của hệ

2 Mục đích nghiên cứu

lý của hệ BEC hai thành phần bị giới hạn bởi các tường cứng song songvới mặt phân cách, ở trạng thái cân bằng với các điều kiện biên khác nhau

Từ đây tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định và một số hiệu ứng vật

lý mới

phần bị giam giữ bởi các tường cứng song song với mặt phân cách

3 Đối tượng, nhiệm vụ, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong luận án chúng tôi thực hiện nghiên cứu trên đối tượng là hệ BEChai thành phần Các nghiên cứu của chúng tôi giới hạn trong phạm vi sau:

- Hệ BECs trong không gian nửa vô hạn, tức là hệ bị giới hạn bởi mộttường cứng

- Hệ BECs trong không gian hữu hạn tạo nên bởi hai tường cứng đặtcách nhau một khoảng nhất định

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hàm sóng của hệ ngưng tụ ở trạng thái cơ bản thoả mãn các điềukiện biên khác nhau tại các tường cứng bằng phương pháp gần đúng DPA

và sau đó so sánh kết quả tìm được với kết quả tính số

- Xác định sức căng tại mặt phân cách giữa hai thành phần với các điềukiện biên khác nhau

- Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên tại tường cứng đến các tínhchất vật lý hệ từ đó tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổn định

- Xác định sức căng bề mặt của ngưng tụ tại tường cứng

- Vẽ giản đồ chuyển pha ướt của ngưng tụ trên bề mặt tường cứng

- Chỉ ra ảnh hưởng của sự giới hạn không gian đối với các tính chất vật

lý của hệ

- Nghiên cứu các kích thích bề mặt trên mặt phân cách của hệ BEC haithành phần, trong đó tập trung vào việc tìm ra hệ thức tán sắc của sóngmao dẫn tại mặt phân cách

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu về BEC(s) được thực hiện trong gần đúng trường trungbình Trên cơ sở này, các nghiên cứu lý thuyết về BEC(s) được thực hiện

dựa vào

- Hệ phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian

- Hệ phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc thời gian

Do tính chất liên kết và phi tuyến của hệ các phương trình vi phânbậc hai mà chúng ta không có lời giải giải tích cho trường hợp tổng quát

Để khắc phục khó khăn này, trong luận án chúng tôi chủ yếu sử dụng haiphương pháp gần đúng cơ bản Đó là

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình liên quan đếnluận án đã công bố và tài liệu tham khảo, phần nội dung của luận án gồmbốn chương

Chương 1 Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einsteinhai thành phần phân tách

Chương 2 Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ Einstein hai thành phần

Bose-Chương 3 Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thànhphần bị giới hạn bởi một tường cứng

Chương 4 Các hiệu ứng kích thước hữu hạn trong hệ BEC hai thànhphần bị giới hạn bởi hai tường cứng

Chương 1

Tổng quan và cơ sở lý thuyết về hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần phân tách

Chương này sẽ trình bày trình bày tổng quan các nghiên cứu về hệ BEChai thành phần phân tách trong những năm vừa qua ở trong nước và trênthế giới; trình bày cơ sở lý thuyết và phương pháp dùng nghiên cứu hệ BEChai thành phần phân tách

1.1 Tổng quan các nghiên cứu lý thuyết về hệ ngưng

tụ Bose - Einstein hai thành phần

Ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) được tiên đoán bằng lý thuyết bởi Bose

và Einstein cách đây hơn 90 năm [16] Thí nghiệm về BEC của khí boson

Những kết quả thí nghiệm xác nhận sự tồn tại của BEC đã được ghi nhậnbằng giải Nobel vật lý năm 2001 trao cho E A Conell , C E Wieman

và W Ketterle vì những thành tựu nghiên cứu thực nghiệm ngưng tụ khíloãng của các nguyên tử kiềm [21] Kể từ đó, kỹ thuật thực nghiệm vềkhí siêu lạnh phát triển rất mạnh mẽ, người ta đã tạo ra được BEC từhai thành phần khí khác nhau Phương pháp cộng hưởng Feshbach chophép điều khiển được hầu hết các tham số quan trọng, chẳng hạn nhưcường độ tương tác giữa hai thành phần, nhằm tạo ra những trạng tháibất kỳ theo ý muốn [32] Nhờ đó, nhiều hiện tượng lượng tử trong hệBECs như các bất ổn định, sự hình thành các xoáy (votex), các vách ngăn(domain wall) giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực(monopole) [3, 6, 12, 20, 25, 26, 33, 41, 49, 58] đã được kiểm chứng bằng thựcnghiệm, tạo động lực mạnh mẽ cho các nhà khoa học nghiên cứu về loạivật chất đặc biệt này

Bước phát triển cực kỳ quan trọng của nghiên cứu lý thuyết về BECđược đánh dấu bởi thành công của Gross và Pitaevskii trong việc thiết lập

hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GPEs) dựa trên gần đúng trường trungbình (MFA) [22,42,44] GPE(s) cho thấy hàm sóng ngưng tụ thỏa mãn cácphương trình thủy động lực học [42, 44] Thực nghiệm cũng đã xác nhận

mở ra một hướng nghiên cứu mới đầy triển vọng đó là nghiên cứu các hiệntượng lượng tử của BEC tương tự với các hiện tượng đã biết trong thủyđộng lực học cổ điển, trong đó có sức căng bề mặt và chuyển pha ướt

Để nghiên cứu đặc tính vật lý của hệ BECs, việc quan trọng đầu tiên

là phải tìm được hàm sóng của hệ hạt ở trạng thái ngưng tụ thông qua lời

giải của GPEs Tuy nhiên, GPEs là hệ phương trình vi phân bậc hai phituyến tính liên kết nên việc tìm được lời giải chính xác cho tới nay vẫncòn là một thách thức, ta chỉ giải quyết được trong một số trường hợp đặcbiệt [30], chủ yếu vẫn phải dựa vào tính số kết hợp với các phương phápgần đúng [4, 5, 30, 59].

Bằng giải pháp tuyến tính hóa các tham số trật tự ở mỗi phía của mặtphân cách, Ao và Chui đã tìm được nghiệm gần đúng của GPEs cho hệBECs, từ đó tính được sức căng mặt phân cách của hệ có số hạt xác định

bị giam trong một giếng thế hữu hạn [4]

Trên cơ sở xem xét các giới hạn phân tách yếu và phân tách mạnh củaBECs, Barankov đã tìm được lời giải cho GPEs và xác định được sức căngmặt phân cách của hệ theo hàm sóng ngưng tụ [5]

Hiện tượng ngưng tụ bị hấp thụ bởi một bức tường quang học (opticalwall), hay còn gọi là chuyển pha ướt trong hệ BECs, được Indekeu vàSchaeybroeck đề cập trong [30], sau đó tiếp tục phát triển dựa trên cáctính toán về sức căng bề mặt trong lý thuyết GP của Schaeybroeck [48],các nghiên cứu này đã được hoàn thiện trong [31]

Phát triển ý tưởng tuyến tính hóa các tham số trật tự của Ao và Chui [4],Indekeu và các cộng sự đã xây dựng thành công phương pháp DPA [28],sau đó được mở rộng thành gần đúng ba parabol (TPA) [59], nhờ đó tìmđược nghiệm giải tích gần đúng của GPEs Từ đây, các tác giả đã tínhtoán một cách chi tiết về sức căng mặt phân cách, sức căng bề mặt củangưng tụ tại tường cứng, dựa trên qui tắc Antonov để vẽ giản đồ chuyểnpha ướt So sánh với kết quả thu được từ các tính toán bằng lý thuyết

GP cho thấy cấu hình ngưng tụ, sức căng mặt phân cách, giản đồ phaướt trong DPA và TPA rất tiệm cận với kết quả tính số ở mọi trạng tháiphân tách của hệ từ phân tách yếu (weak segregation) tới phân tách mạnh(strong segregation) [28, 59]

Để các nghiên cứu lý thuyết về BECs tiến gần với thực tế, các nhàkhoa học đã đi nghiên cứu hệ BECs hai thành phần trong không gian bán

vô hạn và hữu hạn [53–55] và đã thu được rất nhiều kết quả quan trọng

có ý nghĩa vật lý như: tại tường cứng sẽ xảy chuyển pha ướt từ dính ướtmột phần sang dính ướt hoàn toàn, khi hệ bị giam giữ bởi hai tường cứngthì xuất hiện của lực Casimir-like và tùy thuộc vào khoảng cách giữa cáctường mà lực này có thể là lực hút hoặc lực đẩy, sức căng mặt phân cáchtrong tập hợp chính tắc lớn (GCE) và tập hợp chính tắc (CE) không cònliên hệ với nhau như đối với hệ vô hạn.

Bên cạnh những tính chất tĩnh nêu trên thì các tính chất động lựchọc, đặc biệt là động lực học mặt phân cách được chú ý đặc biệt bởi tínhứng dụng cao của nó trong các công nghệ hiện đại Chỉ xét trường hợphai thành phần hoàn toàn đối xứng, Mazet [37] chỉ ra rằng các sóng kíchthích bề mặt có hai khả năng: sóng mao dẫn, ở đó năng lượng sóng tỉ lệ với

Tương tự như vậy, Brankov [5] cũng chứng minh được rằng hệ thức tánsắc cho kích thích bề mặt của hệ BECs cũng có hai khả năng như trên,

cứu Takahashi và cộng sự [50] đối với hệ BECs có kích thước tùy ý, hệthức tán sắc khi kích thước hệ trở nên đủ lớn cũng có dạng của sóng maodẫn Bên cạnh hiệu ứng của sóng mao dẫn, các nghiên cứu cũng khảosát các hiệu ứng khác như Kelvin-Helmholtz [51], Rayleigh-Taylor [47],Richtmayer-Meshkov [7]

Trên đây chúng tôi đã trình bày tổng quan những nghiên cứu lý thuyết

về BECs trong và ngoài nước Từ đây chúng tôi nhận thấy rằng có hai vấn

đề rất thú vị mà chưa được nghiên cứu:

nhau tại tường sẽ ảnh hưởng thế nào đến các tính chất vật lý của hệ, điềukiện biên nào tại tường sẽ khiến cho hệ ổn định

ra với hệ vô hạn trong khi tất cả các thực nghiệm, ứng dụng thực tế lạitiến hành trong không gian bị giới hạn

Vì vậy trong luận án này chúng tôi sử dụng phương pháp gần đúngparabol kép (DPA), phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) trong

khuôn khổ lý thuyết GP để đi nghiên cứu hệ BEC hai thành phần trongkhông gian bị hạn chế với các điều kiện biên khác nhau với mục tiêu sẽtìm ra một số hiệu ứng giới hạn mới, khảo sát sự ảnh hưởng của các điềukiện biên đến sự ổn định của hệ và tìm ra điều kiện biên khiến cho hệ ổnđịnh.

cứu hệ ngưng tụ Bose - Einstein

1.2.1 Phương trình Gross-Pitaevskii (GPE)

V

Ld~r

[42, 44] Ở đây,

L = i~2



Ψ∗∂tΨ − Ψ∂tΨ∗− Hb, (1.1)với Ψ = Ψ(~r, t) = √

N ϕ(~r, t) là hàm sóng của hệ hạt, ϕ(~r, t) là hàm sóngđơn hạt thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa,

a < 0 ứng với tương tác hút)

với ν = (x, y, z, t) Sử dụng (1.3) tìm được phương trình

i~∂tΨ = − ~

2

2m∇2Ψ + U (~x)Ψ + G|Ψ|2Ψ (1.4)gọi là GPE phụ thuộc thời gian

hàm thực, thì (1.4) trở thành

− ~

2

2m∇2ψ(~r) + U (~r)ψ(~r) + G|ψ(~r)|2ψ(~r) = µψ(~r) (1.5)

gian Lời giải của (1.5) cho chúng ta hàm sóng ở trạng thái cơ bản của hệhạt boson

số trật tự; mj là khối lượng nguyên tử; gjj0 = 2π~2ajj0(1/mj+ 1/mj0) > 0

là hằng số tương tác, chúng được xác định qua ajj0 là độ dài tán xạ sóng

s

thuộc thời gian

lại như sau

Bây giờ chúng ta sẽ đưa các phương trình trên về dạng không thứnguyên bằng cách đưa ra một số đại lượng sau:

K > 1 thì các thành phần không thể trộn lẫn vào nhau và ngược lại.Lưu ý rằng, để thực hiện các phép biến đổi trên chúng ta đã giới hạnkhảo sát hệ ở trạng thái cân bằng pha, tức là áp suất của hai thành phần

hệ trong thống kê chính tắc lớn, tức là các thành phần ngưng tụ được nốivới một bể nhiệt để chúng có thể trao đổi hạt với nhau, khi đó thế hóa

Tổng quát, ta không thể tìm được nghiệm giải tích của hệ (1.14) Tuynhiên có ba trường hợp đặc biệt sau đây thì có thể tìm được nghiệm giảitích của hệ (1.14):

- Khi hệ đối xứng ξ1 = ξ2 và K = 3, Malomed và cộng sự [36] tìm được

1.2.3 Phương pháp gần đúng parabol kép(DPA)

Yêu cầu đặt ra đối với các nghiên cứu về BEC(s) là phải giải GPE(s)(1.14) Tuy nhiên, đây là hệ các phương trình vì phân bậc hai liên kết vớinhau và tổng quát, ta không thể tìm được lời giải giải tích

Một trong các phương án đầu tiên được áp dụng là tính số Tuy nhiênphương pháp này đòi hỏi hệ thống máy tính có cấu hình rất mạnh và quantrọng là nếu chỉ đơn thuần kết quả số, chúng ta khó đưa ra được các phánđoán vật lý Vì lý do này mà đã có một số phương pháp gần đúng được

đề xuất, khi sử dụng các phương pháp gần đúng ta sẽ thu được nghiệmgiải tích của hàm sóng, sức căng tại mặt phân cách từ đây chúng ta dễdàng có những suy luận, phán đoán có ý nghĩa vật lý Trong luận án tôi

sử dụng gần đúng parabol kép (DPA) được đưa ra trong [4, 28] và phươngpháp gần đúng hydrodynamics (HDA) [47]

Để tìm hiểu về phương pháp gần đúng DPA chúng ta hãy xét hệ BEC

Khi đó thế GP (1.15) được viết lại như sau

VGP = −φ2 + φ

4

Ở gần mặt phân cách tham số trật tự φ giảm dần từ 1 nên ta đặt

ϕ

Hình 1.1: Thế tương tác theo tham số trật tự φ.

trong đó đường nét liền ứng với thế GP, đường nét đứt ứng với thế DPA.Như vậy, thế GP được thay bằng hai đường parabol nên đây được gọi làgần đúng parabol kép (DPA)

Khi sử dụng phương pháp gần đúng DPA, hệ phương trình GP có thể đượcđưa về hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể giải được như sau:

−∂%2

jφj + 2(φ − 1) = 0,

−∂%2

ở đây β = √

K − 1, các chỉ số (j, j0) = (1, 2) đối với bên phải mặt phân

Như vậy hệ GPEs liên kết (1.14) được chuyển thành hai phương trình

vi phân không liên kết (1.22) và hệ phương trình (1.22) hoàn toàn có thểgiải bằng giải tích

1.2.4 Phương pháp gần đúng hydrodynamics

Ở phương pháp gần đúng hydrodynamics (HDA) chúng ta coi chuyểnđộng của các hạt trong trạng thái ngưng tụ như là những chuyển độngcủa các dòng chảy chất lỏng Mục đích của ta là cần tìm ra những phươngtrình cho chuyển động của dòng như những phương trình thủy động học

có dạng tương tự cổ điển như phương trình Bernoulli, phương trình Euler,phương trình liên tục từ đó nghiên cứu các tính chất động học của hệBEC

Để nghiên cứu các vấn đề động học của BEC chúng ta sử dụng phươngtrình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian

i~∂Ψ

∂t = −

~2

2m∇2Ψ + V (~r) Ψ + G|Ψ|2Ψ (1.23)

∂|Ψ|2

∂t + ~∇



i~2m



Mật độ động lượng của ngưng tụ được xác định bằng biểu thức

~

J = i~2

Các phương trình (1.24), (1.29), (1.30) cho thấy có thể nghiên cứu các

hệ BEC trên quan điểm xem chúng như các chất lỏng lượng tử

Tổng kết chương 1

Như vậy chương 1 đã đạt được những kết quả chính sau đây:

tách trong những năm vừa qua

hệ BEC hai thành phần.;

kép và phương pháp gần đúng hydrodynamic

Chương 2

Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần

Trong chương này chúng tôi áp dụng phương pháp gần đúng namics (HDA) nghiên cứu sóng mao dẫn ở mặt phân cách của hệ BEChai thành phần bị giới bởi một tường cứng và hai tường cứng

hai thành trong không gian vô hạn

Xét hệ BEC hai thành phần trong không gian vô hạn hình 2.1

Hình 2.1: Cấu trúc hình học hệ BEC trong không gian vô hạn

Ta bắt đầu từ phương trình Lagrangian cho hệ:

với độ dày giao diện không đáng kể, từ (2.5) và (2.6) dẫn đến phương trìnhBernoulli sau:

nj (x, y, z, t)eiφj (x,y,z,t), (2.8)

~

∂

∂t (δφj) + gjjδnj = 0, (2.10b)

giả định rằng những thay đổi mật độ tương đối của các hạt chất lỏng nhỏ

so với gradient vận tốc Vận tốc trong (2.10a) được định nghĩa là

z → −∞ Giải các phương trình (2.13a), (2.13b) với các điều kiện biêntrên chúng ta có

δφ1 = (A1cosσ + B1sinσ) exp (−kz),

δφ2 = (A2cosσ + B2sinσ) exp (kz),

Không làm mất tính tổng quát chúng ta xét

δφ1 = A1exp (−kz) cosσ, (2.14a)

δφ2 = A2exp (kz) cosσ, (2.14b)

Từ (2.14), (2.10b), (2.12) chúng ta có

P1 = A1ωn10exp (−kz0) sinσ, (2.17a)

P2 = A2ωn20exp (kz0) sinσ (2.17b)Thay (2.16), (2.17) vào phương trình Bernoulli (2.6) ta được

ra trong [29, 52] nhưng bằng phương pháp khác Như vậy phương phápgần đúng HDA là hoàn toàn đáng tin cậy, có thể dùng để nghiên cứu hệBEC hai thành phần trong các cấu chúc hình học bị hạn chế

hai thành phần bị hạn chế bởi một tường cứng

Xét hệ BEC hai thành phần bị giới hạn như hình vẽ 2.2

Hình 2.2: Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h.

Các cấu hình hình học của hệ thống gợi ý rằng các điều kiện hợp lýđược áp đặt lên hai ngưng tụ là

∂ϕ2(z)

∂z

δφ1 = (A1 cos σ + B1sin σ) exp (−kz) ,

δφ2 = (A2 cos σ + B2sin σ) cosh [k(z + h) ] ,

Không làm mất tính tổng quát chúng ta xét

δφ1 = A1 exp (−kz) cos σ, (2.20a)

δφ2 = A2 cosh [k(z + h) ] cos σ (2.20b)

khi này hệ trở thành hệ vô hạn và kết quả (2.24) trở thành

Để có được một cái nhìn sâu hơn về vấn đề này chúng ta hãy mở rộng

phân cách (2.21) được thay đổi như sau:

Sau khi thay (2.27) vào (2.7) chúng tôi thu được phương trình

%1ω − ~V1~k2 + %2coth [k (z0 + h)]ω − ~V2~k2 = αk2, (2.28)giải (2.28) chúng ta thu được

(h + z0)α − (cosθ1V1 − cosθ2V2)2%1%2

3/2

Phương trình (2.30) cho thấy hệ thức tán sắc tại mặt phân cách diễn

tả một phonon và còn cho thấy sự bất ổn Kelvin-Helmholtz xảy ra khi

V2cosθ2 < 0 Như vậy khi hệ chuyển động song song với mặt phẳng phâncách và bị giới hạn bởi một tường cứng, ở giới hạn bước sóng dài, sóngkích thích tại mặt phân cách diễn tả một phonon và hơn nữa hệ trở nênkhông ổn định

khi này hệ trở thành hệ vô hạn và (2.29) trở thành

ở đây Vr = cosθ1V1 − cosθ2V2

Công thức (2.31) là hệ thức tán sắc điển hình của chất lỏng đã được biếtđến trong [60], như vậy các tính toán ở trên là hoàn toàn chính xác

2.3 Hệ thức tán sắc tại mặt phân cách của hệ BEC

hai thành phần bị hạn chế bởi hai tường cứng

Xét hệ BEC hai thành phần bị giam giữ bởi hai tường cứng Giả sử

z = −h2 như vẽ trong hình 2.3

Hình 2.3: Mặt phân cách được đặt tại z = z0 và tường cứng tại z = −h2, z = h1 .

Dựa vào cấu trúc hình học chúng ta có các điều kiện biên tại hai bứctường cứng là

∂ϕ1(z)

∂z

z=h1

∂ϕ2(z)

∂z

... kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần bị< /h2>

giới hạn tường cứng

Trong chương này, tơi trình bày nghiên cứu hệ BEC haithành phần bị giới hạn nửa không gian tường cứng... toàn đáng tincậy, dùng để nghiên cứu hệ BEC hai thành phần cấuchúc hình học bị hạn chế.< /p>

3 Tìm hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC hai thànhphần ứng với số cấu trúc hình học bị giới hạn, ... Hệ thức tán sắc mặt phân cách hệ BEC

hai thành phần bị hạn chế hai tường cứng

Xét hệ BEC hai thành phần bị giam giữ hai tường cứng Giả sử

z = −h2 vẽ