SKKN một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức đại số 20202 Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương 3 Giải phương trình, hệ phương

5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành

6) Dự kiến kết quả của đề tài

7) Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết 16

III MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức đại

số

20202) Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương

3) Giải phương trình, hệ phương trình 23PHẦN II: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG

1) Lý do chọn đề tài:

Ngày nay khoa học kỹ thuật công nghệ phát triển như vũ bão, sựphát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như ứng dụng và tất cả cácngành công nghệ then chốt như dầu khí, viễn thông, hàng không đềukhông thể thiếu toán học Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệthông tin thực sự đã dẫn đến hiện tượng “ Bùng nổ” các ứng dụng toán họcđưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội

Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và pháttriển dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh(người học toán)những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khảnăng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học

Trong việc dạy toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học vàgiải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sửdụng đúng phương pháp dạy học Góp phần hình thành và phát triển tư duycho học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng,rèn luyện về phẩm chất đạo đức, thao tác tư duy để giải các bài tập toántrong đó có giải toán bất đẳng thức

Một số thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trườngTHCS đó là:

Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ítkhai thác, phân tích đề bài, mở rộng các bài toán mới Dẫn đến học sinh khigặp bài toán khác một chút là không giải được, không nắm được phương phápgiải cho từng loại từng dạng

Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, khôngliền mạch, phương pháp giải hạn chế Vận dụng toán bất đẳng thức vào cácloại toán khó như cực trị, giải phương trình rất hạn chế

Vì vậy: phát triển năng lực, tư duy học sinh thông qua việc giải toánbất đẳng thức là cần thiết Hơn nữa theo yêu cầu của thực tế, giáo viên nêncho học sinh tiếp cận các dạng toán nâng cao, phân loại đối tượng để họcsinh được tiếp cận sớm, quen với một trong các dạng toán khó, đó chính làbất đẳng thức Trong nhiều năm học tôi đã tích luỹ được một số kiến thức

về toán bất đẳng thức xin trình bày ở đây một góc độ nhỏ

2) Mục đích nghiên cứu.

2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung vàviệc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bịcho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toángiúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giảiquyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

2.2 Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm bài tập trongSGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết được một số bài tập

2.3 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khigiải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học

2.4 Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương phápcăn bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

2.5 Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinhthấy mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳngthức, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.

3) Nhiệm vụ của đề tài.

3.1 Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳngthức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS

3.2 Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳngthức áp dụng để làm bài tập

3.3 Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp.3.4 Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp chotừng phương pháp giải, cách đổi biến

3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một

số phương trình đặc biệt

4) Phạm vi đề tài.

Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳngthức đối với học sinh cấp THCS

5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành.

Đề tài áp dụng đối với học sinh trong các buổi sinh hoạt câu lạc bộ,trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ học sinh giỏi, tốtnghiệp THCS và thi tuyển vào cấp 3

Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa raphương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ở nhà

6) Dự kiến kết quả của đề tài.

Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập

về bất đẳng thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngạilàm bài tập về bất đẳng thức

Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toánbất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳngthức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bấtđẳng thức

Cho hai số a và b ta có: a lớn hơn b, kí hiệu a>b⇔ a - b > 0

a nhỏ hơn b, kí hiệu a<b⇔ a - b < 0

Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

2.4 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thứcmới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

b a

⇒ a - c > b - d2.5 Tính chất đơn điệu của phép nhân:

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương

b a

⇒ ac > bd2.7 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức

Chú ý: ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thứckhông chặt(a ≥ b) tức là a > b hoặc là a = b.

Trong các tính chất trên nhiều tính chất dấu “>” ( hoặc dấu”<”) có thể thayđổi bởi dấu “≤” ( hoặc dấu “ ≥”)

3 Các bất đẳng thức cần nhớ.

3.1 a2≥ 0; - a2 ≤ 0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0

3.2 a ≥ 0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0

3.3 -a ≤ a ≤ a  Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0

3.4 a+b ≤ a + b  Xảy ra dấu đẳng thức khi ab ≥ 0

3.5 a-b ≥ a - b  Xảy ra dấu đẳng thức khi ab ≥ 0; a ≥ b 

( các điều kiện này còn có thể diễn đạt là  ≤ ≤

b a

Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1

Giải:

Xét hiệu (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) +1Đặt (x2 - 5x + 5) =y biểu thức trên bằng: (y-1)(y+1) + 1 = y2 – 1 +1= y2≥ 0

2 x3 + 4x +1 > 3x2 với x≥ 0

3 x4 - x >

2 1

4 Cho a+b = c+d chứng minh rằng c2 + d2 +cd ≥ 3ab

4

1

(5)Mặt khác (a-b)2 ≥ 0 ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (6)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta được 2(a4 + b4) >

4

1

⇒ a4 + b4 >

8 1

Ví dụ 2:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Chứng minh rằng:

c b

a+ −

1

+

a c

b+ −

1

+

b a

a+ −

1

+

a c

b+ −

1

+

b a

c+ −

1

≥ c2

b c

a+ −

1

+

c b

b+ −

1

+

b a

Giải

Phân tích hướng dẫn:

Gọi là vế trái của bất đẳng thức trên Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bấtđẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội

Để chứng minh: A < B ta làm trội A thành C (A< C) rồi chứng minh rằng

C≥B ( C đóng vai trò làm trung gian)

1 (

1

− + k k k

Do đó: A <

2 2

1

+

4 3 2

1

+ + (n−1).1n.(n+1)Đặt C=

3 2 1

1

+

4 3 2

1

+

3 2

1

-

4 3

1

+ + (n−11).n-(n+11).n =

1 2

b a

b a

1

−

n < nGiải

Gọi hai vế bất đẳng thức trên là A ta có

1

−

n )

Ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số bằng các phân số lớnnhất trong mỗi nhóm ta được

Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C ≥ D

Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A ≥ B

- Để dùng các phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thứcsau:

> 0 ∀ x (điều phải chứng minh)

• Khai thác bài toán: Từ lời giải trên ta thấy:

2

x=Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 - x +1 là 3

• Khai thác bài toán:

Xét trường hợp đặc biệt với c = 1 ta có:

Giải

Ta có (1) ⇔ a2x2+ a2y2+b2x2+b2y2

⇔ a2y2 - 2abxy+ b2x2 ≥ 0

⇔ (ay-bx)2 ≥ 0 (2)

Bất đẳng thức (2) được chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng

Dấu “=” xảy ra ⇔ ay-bx = 0 ⇔

x

a

=

y b

⇔ 4(a2+ b2) ≥ (a+b)2 (nhân cả hai vế với 8)

⇔ 4(a+b)(a2-ab+b2)≥ (a+b)(a+b)2 ( chia cả 2 vế cho a+b >0)

Chẳng hạn: a2 > b2⇔ a >b với a, b >0

m>n ⇔ am > an , m, n∈Z, a>1

Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương

3.4 Bài tập tự giải:

Bài 1: So sánh 2 số A= 3 3-3 và B= 2 2-1( không dùng máy tính)

Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thoả mãn xy<1 thì :

b

a

- a ≥ b-

a b

a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.

a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái ngược với điều đúng

a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của AB ⇒ B

Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1) vậy phải có: a +b ≤2

* Cách giải khác: ta có a2 + b2≤ 2(1)

Mặt khác 2ab ≤ a2+ b2 nên 2ab ≤ a2 + b2≤ 2 (2)

Cộng (1) với (2) ta được a2 +2ab +b2≤ 4

⇒ (a + b)2≤ 4 ⇒ -2≤ a+b ≤ 2

Ví dụ 2:

Cho a, b, x,y liên hệ bởi a+b= 2xy

CMR: ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x2 >a; y2 >bGiải

Giả sử x2<a , y2 <b ⇒ x2 + y2 < a+b = 2xy

abc

ca bc

Vì abc>0 nên trong 3 số có ít nhất một số dương

Ngược lại cả ba số đều âm ⇒ abc <0 (vô lý)

Không mất tính tổng quát ta giả sử a> 0

⇒ ab+bc+ca <0 (vô lý trái với giả thiết ab+bc+ca >0)

Vậy b>0, c>0 Cả ba số đều dương

4.3 Chú ý

Với những bài toán bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụngphương pháp phản chứng Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắmvững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lậpluận

4.4 Bài tập tự giải:

1 Cho a>b >0 và

b a

2 Cho a, b, c thoả mãn 0<a, b,c <1

CMR một trong ít nhất bất đẳng thức sau là sai

Nội dung của phương pháp này là tiền đề của phương pháp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n Nếu:

Mà kx2>0 nên 1+(k+1)x+kx2≥ 1+(k+1)x

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0

Ta sẽ chứng minh điều đó cũng đúng với n=k+1

Thật vậy theo giả thiết qui nạp rồi làm trội ta có

Pk+1= a2 +P k ≤ a2 + a + 1≤ a2 + 2a + 1 = ( )2

1

+

a =a +1Vậy bất đẳng thức được chứng minh

+ Với n=2 ta dễ dàng chứng minh được

6 Phương pháp đổi biến:

6.1 Phương pháp

B1 Đặt biến mới dựa theo biến cũ

B2 Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức vớibiến mới

B3 Kết luận và trả về biến cũ

6.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Chứng minh bất đẳng thức sau: abc ≥ (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

Với a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

2

z

x+

Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế các bất đẳngthức trên ta được: (y+z)2(x+z)2(x+y)2≥ 64 x2y2z2

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z⇔ a=b=c

2 9

2 9

6.3 Chú ý

Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý:+ Đặt biến mới theo hệ điều kiện của biến cũ, kèm theo điều kiện của biếnmới

+ Nắm được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc dễ ápdụng.

a

− + +a c b

b

− + +a b c

c

−

+ ≥ 32/ Cho x,y ≥ 0 thoả mãn: x2

a

+ + 2 2

4

c a

b

+ + 2 2

4

b a

c

+ ≥

2

2 2

1 1

1 + + + + + + ≥ m( )n m n

qa −

+ 1 1

(không xảy ra dấu bằng vì (1+qa)>1)

=

−b) Tìm các giá trị của x sao cho P = -2 (Học sinh tự làm)

7.3 Bài tập tự giải:

1/ CMR nếu các số dương a, b, c có tổng a+b+c =1 thì 1 +1+1 ≥ 9

c b a

a

1 1

1 1

x nằm ngoài khoảng hai nghiệm: x<x1, x>x2⇔ a.F(x)<0

x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1<x<x2) ⇔ a.F(x) <0

2

2 1

2 2

2 1 1 2 2 2

2

2 1

2 2 2 2

2 1

2

2 1

2 2 2 2

2 1

( Nếu A=0 thì a1=a2= =an=0, do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầmthường)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

∆ = 0 ⇔ a1x-b1= =anx-bn=0

⇔ b1=ka1; ; bn=kan với k∈R

Ví dụ 3:

Cho các số a, b, c, d thoả mãn a+d=c+b

CMR: Nếu lấy số m sao cho : 2m>ac−bd thì với mọi x∈R ta luôn có :(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2≥ 0 (1)

Giải:

Dựa vào giả thiết a+d=c+b nên ta có:

(1) ⇔[x2 −(a+d)x+ad] [x2 −(b+c)x+bc]+m2 ≥ 0

Vì a+c=b+d nên ta đặt y= x2-(a+d)x= x2+(b+c)x

Bất đẳng thức tương đương với: (y+ad)(y+bc)+m2≥ 0

0 1

⇔ abx2+y(a2x+b2x-c2x) +aby2≥ 0

⇔ abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2≥ 0

Đặt F(x) = abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2

Ta chứng minh F(x) ≥0 với mọi y∈R

Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý:

+ Nắm chắc định lý về dấu tam thức bậc hai

+ Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứngminh về dạng  ≤

≥

0 ) (

0 ) (

x F

x F

hoặc  ≤

≥

0 ) (

0 ) (

y F

y F

Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc hai đối với biến số x,y

8.4 Bài tập tự giải:

1/ Chứng minh rằng với mọi a∈R ta đều có :

3 1

1 3

1

2

2

≤ +

−

+ +

x m

x m

Trong đó mi là các số hữu tỷ dương

m x x

x 1 2

2

1 không đổi thì tổngcủa chúng S= x1+ x2 + +xn có giá trị bé nhất khi

n

n m

x m

x m

Trong đó mi là các số hữu tỷ cho trước

3 Cho a1, a2 an∈ R Ta có:

n

a a

a1 + 2 + + ≥ 1+ 2 + + (1)

Dấu “=” xảy ra ⇔ ai cùng dấu(a1, a2 an>0)

Đặc biệt: a1 −a2 ≥ a1 − a2

B Áp dụng:

1 Tìm cực trị của hàm số, biểu thức đại số:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

−

1

2 1

0 1 1 1

1

x

x x

1 1

1 1

2 2

1 1

x x

Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta được:

(1 1 1) 1994 1993 1 1993

Phương trình(1) ⇔ x2+2xy+y2+1+2x+2y+5x+5y+5+4=-y2

⇔ (x+y+1)2+5(x+y+1) +4=y2

0 ) (

a

s F

Giá trị lớn nhất của S=x+y+1 là -1 ⇔

2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình , hệ phương trình tam thức bậc hai thoả mãn điều kiện nào đó.

Bài 1: Cho phương trình: a2 x2 − 2 + a2x2 − 1 + 2a2 = 1

Tìm giá trị của tham số a để phương trình có đúng hai nghiệm trên tập hợp

0 2

=

c F(0)

c b - a F(-1)

c b a F(1)

=

−

− +

=

) 0 ( 2

) 1 ( ) 1 (

) 0 ( 2

) 1 ( ) 1 (

F F

F b

F F

F a

Thay vào F(x) ta được:

F(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( )0

1 1 2 0 1 1

2

F F x F F F

2 1

2 2

2

F x

F x F x

F x

F

+

− +

−

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 2)

0 2

1 2

1

1 2

F x x

F

− +

− +

1

x x

x x x x

1

x x

x x x x

F ≤ + + − + − =1+x+x2(*)+ Với -1≤x≤0: thì ( ) 2 2 1 2

2

1 2

1

x x

x x x x

F Điều phải chứng minh

3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

5 13 4 16

−

= +

−

⇔

3 13 4

2 6 12 3x

2

2

y y

−

= +

−

⇔

9 13 4

4 6 12 3

2

2

y y

x x

Vậy nghiệm của phương trình là (x=2, y=2)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

= +

− +

) 2 ( 0 2

) 1 ( 0 3 4 2

2 2

2

2

3

y y

x

x

y y

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x=-1, y=1)

PHẦN THỨ HAI: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG HÌNH HỌC

I Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học:

1 Một số kí hiệu được dùng để chỉ các yếu tố của tam giác:

1.1 a, b, c tương ứng với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB của ∆ ABC

1.2 α, β, γ tương ứng độ lớn của các góc tại ba đỉnh A, B, C của ∆ ABC1.3 ma, mb, mc tương ứng với độ dài các đường trung tuyến dựng từ cácđỉnh A, B, C của ∆ ABC

1.4 ha, hb, hc tương ứng với độ dài các đường cao dựng từ các đỉnh A, B, Ccủa ∆ ABG

1.5 la, lb, lc tương ứng với độ dài các đường phân giác dựng từ các đỉnh A,

B, C của ∆ ABC

1.6 R,r tương ứng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếptam giác ABC

1.7 SABC là diện tích tam giác ABC

1.8 ra, rb, rc tương ứng là các bán kính đường tròn bàng tiếp trong gócA,B,C của tam giác ABC

2 Một số kiến thức cơ bản cần dùng.

2.1 Với ba điểm bất kì A B C ta luôn có: AB≤BC+CA

Dấu bằng xảy ra khi điểm C nằm giữa hai điểm A B

2.2 Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn Cạnhđối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

2.4 Trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất

2.5 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm

đến một đường thẳng nào đó có hình

chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

2.6 Trong tam giác ABC có: