SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG phương pháp lượng giác hóa

Sáng kiến kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa Thực tiễn dạy học cho thấy: Khi giải một số lớp bài toán quan trọng ở phổ thông: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tích phân,… HS thường đi vào bế tắc khi không có định hướng khác để giải bài toán. Định hướng cho HS nhìn bài toán theo con mắt ‘‘lượng giác’’ là một hướng rất hay mà có thể giúp HS tư duy đa dạng hơn. Từ những bài toán không chứa những yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa. Phương pháp lượng giác hóa trong giải các bài toán ở phổ thông là một phương pháp rất hay nhưng rất ít được GV đề cập để giúp các em có cái nhìn theo nhiều khía cạnh khác nhau khi giải một bài toán. HS có thêm những công cụ mới để diễn đạt, suy luận. Thế nhưng việc nhận dạng và sử dụng không thành thạo phương pháp trên đã làm cho HS bế tắc, không hứng thú khi giải toán.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Lĩnh vực : Toán Cấp Trung học Phổ thông

Năm học 2014 - 2015

Viết tắt Viết đầy đủ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 2

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

5 CẤU TRÚC BÁO CÁO 2

CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 3 1.1.1 Về dạy học giải bài tập toán: 3

1.1.2 Về rèn luyện kỹ năng 5

1.2 TÌNH HÌNH DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Ở PHỔ THÔNG………… 6

1.3 MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 8

1.3.1 Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa .8

1.3.2 Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian 9

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 11

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 12

2.1 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 12

2.1.1 Căn cứ và định hướng lựa chọn sắp xếp hệ thống bài tập 12

2.1.2 Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa 13

2.2.BÀI TẬP RÈN LUYỆN 30

2.2.1 Bài tập 30

2.2.2 Hướng dẫn hoặc lời giải 32

2.3 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 39

KẾT LUẬN 40

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Xuất phát từ yêu cầu của xã hội: Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa họccông nghệ có những bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo con người không chỉ lànắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối vớitiềm lực khoa học kỹ thuật của đất nước Do đó ngành giáo dục giữ vai trò quantrọng để đào tạo ra con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyếtnhững vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớncủa đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh

Xuất phát từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học: Đổi mới phươngpháp giáo dục dạy học sẽ khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thànhnếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến vàphương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tựhọc, tự nghiên cứu cho HS Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học môn toán ởtrường THPT là làm cho HS học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen họctập thụ động

Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT,việc dạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông

là dạy hoạt động toán học Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt độngtoán học, giúp HS phát triển tư duy, tính sáng tạo

Thực tiễn dạy học cho thấy: Khi giải một số lớp bài toán quan trọng ởphổ thông: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tíchphân,… HS thường đi vào bế tắc khi không có định hướng khác để giải bài toán.Định hướng cho HS nhìn bài toán theo con mắt ‘‘lượng giác’’ là một hướng rấthay mà có thể giúp HS tư duy đa dạng hơn Từ những bài toán không chứanhững yếu tố của lượng giác, bằng phép đổi biến ta chuyển bài toán về lượnggiác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hóa Phương pháp lượnggiác hóa trong giải các bài toán ở phổ thông là một phương pháp rất hay nhưngrất ít được GV đề cập để giúp các em có cái nhìn theo nhiều khía cạnh khácnhau khi giải một bài toán HS có thêm những công cụ mới để diễn đạt, suyluận Thế nhưng việc nhận dạng và sử dụng không thành thạo phương pháp trên

đã làm cho HS bế tắc, không hứng thú khi giải toán

Với những lý do trên, tôi chọn báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là “Rènluyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp lượng giác cho học sinh THPT’’

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

a) Mục đích

Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toánbằng phương pháp lượng giác hóa cho HS THPT.

b) Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng trong dạy học toán

- Tìm hiểu thực tiễn ở trường THPT về vấn đề dạy học phương pháp lượnggiác hóa

- Làm rõ những kỹ năng chính để giải toán bằng phương pháp lượng giáchóa cho HS THPT

- Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng cho HS thông qua việc lựa chọn và

sử dụng hệ thống bài toán giải bằng phương pháp lượng giác hóa

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu lựa chọn xây dựng và sử dụng hợp lý hệ thống bài tập trong dạyhọc thì có thể rèn luyện được cho HS những kỹ năng vận dụng phương pháplượng giác hóa trong giải một số dạng toán, góp phần nâng cao hiệu quả củaviệc dạy học ở phổ thông

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lý luận

- Quan sát, điều tra thực tiễn

5 CẤU TRÚC BÁO CÁO

Ngoài phần mở đầu, kết luận, báo cáo gồm có 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng và hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng giải toán bằngphương pháp lượng giác hóa

CHƯƠNG 1- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

1.1.1 Về dạy học giải bài tập toán:

a) Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT

* Mục đích

Một trong những mục đích dạy toán ở trường phổ thông là phát triển ở

HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biến tri thức khoa học củanhân loại được tiếp thu thành kiến thức của bản thân Hệ thống những kiến thức

và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại và có năng lực vận dụng nhữngtri thức đó vào những tình huống cụ thể trong đời sống, trong lao động sản xuất

* Vai trò

Trong mọi lĩnh vực, toán học là công cụ để HS học tốt các môn họckhác, giúp HS hoạt động hiệu quả và rèn luyện những phẩm chất, đức tính củangười lao động: Tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, khoa học sáng tạo

* Ý nghĩa

Giải bài tập toán là hình thức hiệu quả nhất để có thể kiểm tra năng lực

về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học của HS Việc giải bàitập toán có tác dụng lớn trong việc hứng thú học tập nhằm phát triển trí tuệ vàgóp phần giáo dục, rèn luyện con người HS về nhiều mặt

b) Vị trí và chức năng của bài tập toán

* Vị trí

Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Đối với HS cóthể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Hoạt động giảibài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở phổ thông

* Các chức năng của bài tập toán

1 Chức năng dạy học

2 Chức năng giáo dục

3 Chức năng phát triển

4 Chức năng kiểm tra

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho HS

những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập toán hình thành cho HS thế giới quan duy

vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo

- Chức năng phát triển: Phát triển năng lực tư duy cho HS và rèn luyệnnhững thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá

khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độphát triển của HS

Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phụ thuộc vào việckhai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của tác giả viếtsách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người GV phải có nhiệm vụkhám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

c) Dạy học phương pháp giải bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV cung cấp cho HS lờigiải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giảiđược bài toán đó Để làm tăng hứng thú học tập của HS, phát triển tư duy, GVphải hình thành cho HS phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiếnhành theo 4 bước sau:

- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứngthú với bài toán đó Vì thế người GV phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò

mò, hứng thú cho HS và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quá Tiếptheo GV phải giúp HS phân tích bài toán đã cho qua các việc như: Xác định đâu

là ẩn, đâu là dữ kiện? Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần) như thếnào? Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điềukiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

- Bước 2: Xây dựng chương trình lời giải

“Phải phân tích bài toán thành nhiều bài toán đơn giản hơn Phải huyđộng kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc…) có liên quan đến điềukiện, những quan hệ trong bài toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gầngũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả

- Bước 3: Thực hiện chương trình giải.

- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải mộtdạng toán nào đó

Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể) Khai thác kết quả nếu có thể

có của bài toán

Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài toán.Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa vô cùng quantrọng Cần phải luyện tập cho HS có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem

có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặcbài toán phải biện luận

Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần làthông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗingười để đạt được mục đích Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thóiquen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp

“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứngminh đã nhận được Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiếnthức thuần túy, so với thông tin trơn”

Trong thực tế dạy học cho thấy, HS thường gặp khó khăn khi vận dụngkiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: HS không nắm vững kiến thứccác khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ năng Muốn hìnhthành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho HS, người thầy giáo cầnphải tổ chức cho HS học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tíchcực, sáng tạo để HS có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụngvào thực tiễn Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học

đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với

xã hội”

b) Đặc điểm của kỹ năng

- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: Hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả -hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó

- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ cácthuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tạitrong ý thức với tư cách là công cụ của hành động Cùng với vai trò cơ sở của trithức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng Bởi vì: “Môn toán là môn họccông cụ có đặc diểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triểnnhân cách trong trường phổ thông” Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụngnhững tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành vàphát triển trong hoạt động.

- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: Kiếnthức, kỹ năng, phương pháp

c) Sự hình thành kỹ năng

Sự hình thành kỹ năng là làm cho HS nắm vững một hệ thống phức tạpcác thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong cácbài tập Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho HS, chủ yếu là kỹ năng học tập và

kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:

- Giúp HS hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải quyết cácđối tượng, các bài tập cùng loại

- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thứctương ứng

d) Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải cácbài tập toán (bằng suy luận, chứng minh) Để thực hiện tốt môn toán ở trongtrường THPT, một trong những yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức và kỹ năng,cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán

và những kỹ năng tương ứng Chẳng hạn: Tri thức và kỹ năng giải bài toán bằngcách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạtđộng và tư duy hàm Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà cónhững yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

1.2 TÌNH HÌNH DẠY HỌC GIẢI TOÁN VÀ VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Ở PHỔ THÔNG

Dạy học giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa ở phổ thông còngặp nhiều khó khăn, kết quả chưa tốt Việc dạy phương pháp này vẫn chưa đượcchú trọng…

a)Về phía giáo viên

GV chưa khái quát cho HS mỗi dạng toán cần phải làm như thế nào màchỉ quan tâm đưa ra bài tập và trình bày lời giải hoặc hướng dẫn một cách qualoa cho HS.

Do khi giảng dạy trên lớp, GV cần truyền tải một số lượng lớn kiếnthức nên không có đủ thời gian để chú trọng, khắc sâu kiến thức cho HS Trong

đó, tri thức về phương pháp lượng giác hóa là một trong những tri thức rất hữudụng để giải một số lớp bài tập phổ thông mà GV không thể giới thiệu cho HStrong một ít tiết học được

Do các kiến thức về lượng giác của HS còn yếu, do mất gốc từ đầu nêngây khó khăn cho GV khi dạy học áp dụng phương pháp lượng giác hóa vào giảitoán

Hiện nay, GV vẫn dạy theo hướng đọc giải nhiều, đôi khi HS không hiểu

mà làm theo thói quen Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phươngpháp lượng giác hóa cho HS ở phổ thông còn chưa được quan tâm, chú trọng

b) Về phía học sinh.

Phương pháp lượng giác hóa có nhiều thuận lợi trong việc giải các bàitoán về giải phương trình, hệ phương trình, tích phân, hình học… Tuy vậy, khi

HS sử dụng phương pháp này không tránh khỏi những khó khăn và sai lầm

Thứ nhất, HS chưa biết nhận ra dấu hiệu nào để chuyển bài toán ban đầusang bài toán lượng giác hóa

Thứ hai, HS gặp khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đếnlượng giác Hơn nữa phân phối chương trình hàm số lượng giác và phươngtrình lượng giác chiếm rất ít thời gian nên việc nắm vững lý thuyết và vận dụngvào giải bài tập của HS còn chưa được tốt HS còn lúng túng, gặp nhiều khókhăn khi làm bài tập

Thứ ba, do các em chưa có cái nhìn tổng quan nên để phát hiện ra bàitoán sử dụng phương pháp lượng giác hóa cũng không phải là dễ

Thứ tư, thực tế hiện nay trình độ của HS còn hạn chế, không đồng đều,khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết dạy dành cho toán chưa nhiều Đây

là lí do gây cản trở cho việc HS tiếp thu tri thức toán nói chung, tri thức vềphương pháp lượng giác trong giải toán nói riêng

Nếu các giờ dạy vẫn tiến hành đồng loạt, áp dụng như nhau đối với mọiđối tượng HS, bài tập đưa ra cho HS có chung một mức độ khó, dễ thì khôngphát huy khả năng tư duy sáng tạo cho HS khá giỏi Còn HS yếu kém thì khôngnắm vững được nội dung trên

1.3 MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

Kỹ năng giải bài tập toán, đặc biệt là giải toán bằng phương pháp lượnggiác hóa bao gồm một hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành để vận dụng trithức (kiến thức, phương pháp) vào việc giải các bài tập khác nhau

Kỹ năng giải toán được hình thành qua quá trình giải bài toán bằngphương pháp lượng giác hóa Ta có 4 bước giải bài toán bằng phương pháplượng giác hóa như sau:

Bước 1: Nhận dạng các dấu hiệu chuyển bài toán sang bài toán lượnggiác

Bước 2: Chuyển đổi bài toán từ ngôn ngữ không có yếu tố lượng giácsang bài toán với ngôn ngữ lượng giác (bài toán trung gian)

Bước 3: Giải bài toán trung gian

Bước 4: Đối chiếu, kết luận và kiểm tra đánh giá

Trong quá trình giải một bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa,

HS cần có những kỹ năng cơ bản sau:

- Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giáchóa

- Kỹ năng chuyển bài toán đã cho về ngôn ngữ lượng giác

- Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian

- Kỹ năng chuyển kết quả của bài toán trung gian về yêu cầu của bài toánban đầu

Báo cáo này chỉ tập trung vào rèn luyện 2 kỹ năng:

- Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giáchóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác

- Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải các bài toán trung gian

1.3.1 Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa

Phương pháp lượng giác hóa là phương pháp rất hữu dụng để giải cácbài toán như chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức Nhưng không một phương pháp giải toán nào làtoàn năng Chính vì vậy, vấn đề đặt ra là những bài toán nào sẽ thích hợp choviệc sử dụng phương pháp lượng giác hóa Từ đó, GV cần truyền đạt cho HS cáctri thức về dấu hiệu nhận dạng để HS có thể sử dụng thành thạo phương phápnày vào giải toán

Ví dụ 1:

Cho a, b thay đổi thỏa mãn điều kiện: a2 b2 4 Chứng minh rằng:

Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện Trong đó a,

b bị ràng buộc bởi mối liên hệ: a2 b2 4

Nhận xét: Với điều kiện của a, b là a2 b2 4, GV gợi ý cho HS liêntưởng tới hệ thức cơ bản sin2tcos2t 1 Từ đó, GV gợi ý cho HS có thể đặt ẩnphụ để chuyển bài toán ban đầu về ngôn ngữ lượng giác hay không?

(a 2cos ,t b2sint,t0,2 )

Như vậy, với cách đặt ẩn phụ như trên GVđã chuyển bài toán ban đầu vềbài toán chứng minh bất đẳng thức lương giác tương đương dưới đây:

12cos2t32sin cost t 9sin2t 20

Đây là bất phương trình lượng giác cơ bản mà HS dễ dàng chứng minhđược

1.3.2 Kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bài toán trung gian.

Đây cũng là một kỹ năng mấu chốt trong phương pháp lượng giác hóa.Trong kỹ năng này, cần rèn luyện cho HS các kỹ năng sau: Kỹ năng giải phươngtrình lượng giác (kỹ năng viết đúng các công thức nghiệm của các phương trình

cơ bản, kỹ năng sử dụng đúng các công thức biến đổi lượng giác, kỹ năng đặtđiều kiện xác định của phương trình và biết đối chiếu nghiệm tìm được với điềukiện xác định), kỹ năng biến đổi tương đương, kỹ năng tìm miền giá trị của hàm

Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán   1 x 1, GV đặt ra câu hỏi: các em liêntưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1] Đến đây, các

em nghĩ đến hàm cos, sinđã học ( kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu sử dụng

phương pháp lượng giác hóa)… Vậy ta có thể chuyển bài toán trên về bài toánlượng giác tương đương không?

Từ đó, GV định hướng cho HS có thể chọn một trong 2 cách đặt ẩn phụ:

Giả sử HS chọn xcos ,t t0, Khi đó, bài toán giải phương trình vô

tỉ sẽ tương đương với bài giải phương trình lượng giác sau:

4cos3t 3cost  1 cos 2t

GV định hướng cho HS cách giải phương trình lượng giác này bằngnhững gợi ý như sau GV đưa ra câu hỏi yêu cầu HS rút gọn 2 vế của phươngtrình GV gợi ý cho HS quan sát 2 vế của phương trình và nhận xét GV có thểgợi ý sâu hơn bằng cách đặt câu hỏi: ‘‘Vế trái của phương trình giống công thứcbiến đổi lượng giác nào đã biết?’’ Đến đây, các em sẽ nghĩ ngay đến công thứcnhân ba:

cos3t =4cos3t 3cost

GV đặt ra câu hỏi: ‘‘Để rút gọn vế phải của phương trình, thì các em cónhớ hệ thức lượng giác nào liên quan đến cos x2 ’’ HS sẽ liên tưởng ngay đến hệthức lượng giác cơ bản: sin x2 +cos2x 1 Từ đó, HS có thể rút gọn phươngtrình lượng giác về phương trình sau: cos 3tsint

Khi giải phương trình lượng giác, GV gợi ý cho HS quan sát phương trình

và đặt câu hỏi: ‘‘Phương trình lượng giác trên gần giống phương trình lượnggiác cơ bản nào’’ HS sẽ nhận ra gần giống phương trình lượng giác cơ bản

cosxcos ,sinxsin Đến đây, HS sẽ tìm cách chuyển đổi phương trìnhtrên về cùng là hàm sin hoặc cùng là hàm cos

Giả sử chọn chuyển 2 vế về cùng hàm cos Lúc này, GV hỏi HS cáchchuyển như thế nào? HS sẽ nhớ ra công thức biến đổi giá trị lượng giác của cáchàm đặc biệt sint cos( )

2 t



 Khi đó, HS sẽ chuyển phương trình về phương

trình sau: cos3 cos

3 22

4

k t

của k (k Z ) Từ đó, HS dễ dàng tìm được ,5 ,3

8 8 4

t   

Sau khi tìm t, GV yêu cầu HS thay vào phương trình xcos ,t t0,

ta thu được: cos ,cos5 ,cos3

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Để thực hiện nhiệm vụ của báo cáo, ở chương 1 đã tiến hành: Nghiêncứu lý luận về dạy học giải bài toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, bốn bước giảitoán của Polya Đồng thời tìm hiểu thực trạng hiện nay ở THPT về kỹ năng giảitoán bằng phương pháp lượng giác hóa của HS

Từ đó xác định một số kỹ năng cần thiết để HS giải toán bằng phươngpháp lượng giác hóa.Những việc này sẽ làm cơ sở để xây dựng và sử dụng hệthống bài tập ở chương 2 nhằm góp phần rèn luyện kỹ năng cho HS

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

LƯỢNG GIÁC HÓA

Chương này sẽ làm rõ việc rèn luyện hai kỹ năng: Kỹ năng nhận dạngdấu hiệu lượng giác, kỹ năng vận dụng tri thức lượng giác vào giải bài toántrung gian thông qua phân tích cụ thể các ví dụ minh họa cho từng kỹ năng.Cuối cùng, đưa ra một số bài tập giúp các em HS rèn luyện kỹ năng giải bài toánbằng phương pháp lượng giác hóa

2.1 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

2.1.1 Căn cứ và định hướng lựa chọn sắp xếp hệ thống bài tập

Khi giải toán cần chú ý tìm kiếm những bài toán có liên quan và đề xuất

ra những bài toán mới Trong quá trình tiến hành giải một bài toán, HS có thể sửdụng các phương pháp khác nhau, các suy luận khác nhau và tìm ra các lời giảikhác nhau Vì vậy, để tìm được lời giải hay cho một bài toán, HS cần phải kiểmtra và nghiên cứu kỹ lời giải Đặc biệt đối với những bài toán không có thuậtgiải, đòi hỏi HS phải tích cực suy nghĩ tìm tòi lời giải và có phương pháp suyluận hợp lý đồng thời cần có kinh nghiệm trong việc sử dụng các công cụ để giảitoán

Để phù hợp với khả năng tiếp thu của HS, hệ thống bài tập sử dụngphương pháp lượng giác hóa được đưa ra từ dễ đến khó Có những bài tập cơbản có thể dùng các công thức, định lý đã học để chứng minh và kết quả củanhững bài tập này có thể vận dụng vào chứng minh các bài toán khác Có nhữngbài tập phải sử dụng kiến thức tổng hợp nhằm rèn luyện kỹ năng, khả năng vận

dụng kiến thức, khả năng phát triển tư duy cho HS

GV có thể sử dụng hệ thống bài tập đã phân dạng này trong các tìnhhuống dạy học khác nhau như: Làm bài tập về nhà, bài tập phân hóa, dùng đểbồi dưỡng HS khá giỏi, dùng để làm đề kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm… gópphần bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS Đưa ra hệ thống bài tập đã phândạng nhằm giúp HS có định hướng khi giải toán và thành thạo các kỹ năng giảitoán bằng phương pháp lượng giác hóa

2.1.2 Rèn luyện một số kỹ năng trong giải toán bằng phương pháp lượng giác hóa

Trong khuôn khổ báo cáo chỉ tập trung vào 2 kỹ năng là kỹ năng nhậndạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán

về dạng toán lượng giác và kỹ năng vận dụng các tri thức lượng giác để giải bàitoán trung gian

2.1.2.1 Kỹ năng 1: Kỹ năng nhận dạng các dấu hiệu để sử dụng phương pháp lượng giác hóa và chuyển bài toán về dạng toán lượng giác.

Như đã nói ở mục 1.3, HS cần phải rèn luyện bốn kỹ năng chính khi sửdụng phương pháp lượng giác hóa vào giải toán, trong đó kỹ năng đầu tiên là kỹnăng nhận dạng dấu hiệu lượng giác Để rèn luyện kỹ năng này, GV cần trang bịcho HS nhận dạng một số dấu hiệu sau:

 Dấu hiệu 1: Nếu (ax)2 ( )by 2 r2 Đặt ax r cos , y r sin

 Dấu hiệu 2: Nếu x r thì đặt x r cos , 0, hoặc y r sin với

 Dấu hiệu 4: A bất kì, đặt Atan

Sau đây, tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa thể hiện kỹ năng nhận

dạng dấu hiệu lượng giác hóa:

* Dấu hiệu 1: Nếu (ax)2 ( )by 2 r2 Đặt ax r cos , y r sin

Khi đó HS sẽ thấy lí do không vận dụng phương pháp đạo hàm được vì A

là biểu thức chứa hai biến, hai biến lại bị ràng buộc bởi một phương trình bậchai vì thế không dễ dàng để thiết lập được hàm số để khảo sát Cũng khôngthuận lợi khi ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp miền giá trị vì khi đó bàitoán chuyển về dạng toán biện luận sự có nghiệm của một hệ phương trình bậchai hai ẩn Điều này là không hề dễ dàng!

Đến đây, GV gợi ý HS nhìn vào điều kiện ràng buộc giữa x và y làm ta

“liên tưởng” đến hệ thức lượng giác quen thuộc nào? Từ đó ta có thể nghĩ đếnviệc đặt ẩn phụ ra sao để chuyển biểu thức đã cho về dạng lượng giác?

HS: Từ điều kiện x2  y2 1 cho ta “liên tưởng” đến hệ thức lượng giác:

sin  cos   GV gợi ý cho HS chuyển giả thiết 1 x2  y2 2 sang đẳngthức có vế phải bằng 1 hay không? Từ đó, HS có thể dễ dàng nhận ra cần phảitiến hành chia cả 2 vế cho 2 Tiếp đó, GV yêu cầu HS chuyển vế trái của đẳngthức đó về tổng bình phương của 2 biểu thức là

2

x

,2

y

Như vậy, HS đãchuyển: x2  y2 2 thành

viết dưới dạng lượng giác

A = 4 2(cos3  sin3) 3(cos   sin )

GV gợi ý HS sử dụng các kỹ năng biến đổi công thức lượng giác cùngvới kỹ năng tìm miền giá trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Từ đó, HS dễ dàng tìm được kết quả

3 3

VT= 2(4cos 3cos ) (3sin 4sin )

2(cos3 sin 3 ) 2cos(3 )

HS áp dụng miền giá trị của hàm số, ta được 2 A 2

Kết luận: vậy giá trị lớn nhất của A là 2, giá trị nhỏ nhất của A là -2

u x y v x y  kèm theo điều kiện u2 v2 x2  y2 1 Đa số

HS chúng ta tỏ ra lúng túng, và không có hứng thú tìm lời giải bài toán

Phương pháp chứng minh bài toán này, những HS có học lực tốt sẽ nghĩngay đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản: bất đẳng thứcBunyakovsky Nhưng mục đích tôi đưa bài toán này, để hầu hết HS có thể nhậnthấy dấu hiệu lượng giác hóa ở ngay giả thiết (nếu HS được trang bị tri thứclượng giác hóa này) Khi đó, HS có thêm sự hứng thú khi chứng minh bài toánnày

GV gợi ý cho HS quan sát 2 đẳng thức u2 v2 1,x2  y2 1 GV đặt racâu hỏi rằng hai hệ thức trên giống với hệ thức lượng giác nào mà ta đã học? Từ

đó, HS đưa ra được hệ thức sin2 cos2  Như vậy, liệu ta có thể chuyển1bốn đại lượng u, v, x, y sang bốn đại lượng lượng giác được hay không? HS sẽnghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ u, v, x, y theo hàm sin, cos GV nhắc nhở HSviệc chọn các cặp (u,v);(x,y) theo từng góc riêng biệt, chẳng hạn theo góc  ,góc

Từ đó, HS có thể chọn u c os , vsin , x c os , ysin GV yêu cầu

HS chuyển bài toán đã cho sang bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác

HS: Như vậy, bài toán ta cần chứng minh là:

cos (cos   sin ) sin (cos    sin )  2

Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản, HS có thể chứngminh được nhờ công thức biến đổi lượng giác và miền giá trị hàm số lượng giáccủa một số hàm đặc biệt

 cos (cos   sin ) sin (cos    sin )  2

(cos cos sin sin ) (sin cos cos sin ) 2

Tuy nhiên, từ điều kiện bài toán  1 x1, GV đặt ra câu hỏi: Các emliên tưởng đến biểu thức nào mà tập giá trị của nó cũng thuộc [-1,1] Đến đây,các em nghĩ đến hàm cos, sin đã học.

Lúc này, ta có thể đặt ẩn phụ như thế nào? HS có thể đặt x = cos  hoặc

x = sin Vậy từ đó, ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán lượng giác nhưthế nào? Khi đó, HS có thể nghĩ đến việc thay x bởi cos (giả sử chọn x = cos

GV đưa ra câu hỏi gợi ý cho HS rút gọn vế trái HS sẽ sử dụng côngthức hạ bậc để rút gọn bài toán:

Khi nhìn bài toán chứng minh bất đẳng thức GV đặt các câu hỏi để HS

tự phát huy được tính tự học của HS Bài toán cần chứng minh:

2

3 9 a 4a 15 Đây là bất đẳng thức chứa một ẩn Các em có định hướngchứng minh như thế nào? Đa số HS nghĩ đến cách sử dụng phương pháp biếnđổi tương đương:

a a

Tương tự: chứng minh với 15 3 9  a2 4a

Như vậy, với cách giải như vậy, mất nhiều thời gian GV gợi ý cho HSthông qua việc HS chú ý tới điều kiện xác định: a  3

GV đưa ra quan điểm 3 1

   thì giống với miền giá trị của hàm số lượng giác nào? Khi đó, HS

nghĩ ngay tới hàm cos và hàm sin GV yêu cầu HS thay

3

a

bởi sin (giả sử lấytheo hàm sin) tức là thay a bởi 3sin Khi đó, ta chuyển bài toán sang chứngminh bất đẳng thức lượng giác 3 9 9sin 2 4.3.sin 15

GV gợi ý cho HS sử dụng hệ thức lượng giác đơn giản:

x x

x

