BÀI 15 KHOẢNG CÁCH từ điểm đến MP p1 đa

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC.. b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC.. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA a và vuông góc với đáy, tam giác SBC cân tại S và

K

H

C

B

A

S

TAEducation CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2020

Môn: Toán KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG P1 TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRỰC TIẾP Dạng 1: d H SAB  ;     HK

K

I H

S

A B

Dạng 2: d A SHB  ;     AK

K S

H

A B

Bài 1.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BAC 600; SA AC a và vuông góc với đáy

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC

Lời giải

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có .cos

2

a

Kẻ AH SB H SB

1

Ta có BC AB BC SAB BC AH

2

Từ 1 và 2 , suy ra AH SBC Do đó

,

d A SBC AH Trong tam giác vuông SAB, ta có

5

AH

5

a

b) Kẻ BK AC K AC Ta có BK AC BK SAC

BK SA .Do đó d B SAC, BK

Trong tam giác vuông ABC, ta có sin 3

2

a

4

BK

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 2/7

E

C

B

A

S

K

Do O là tâm hình vuông nên OA OB OC OD

Mà SA SB SC SD, suy ra SO là trục của đường tròn

ngoại tiếp hình vuông ABCD nên SO ABCD

Trong tam giác vuông SOA, ta có 2 2 6

2

a

Gọi M là trung điểm BC, suy ra

2

a

Gọi K là hình chiếu của O trên SM, suy ra OK SM 1

Từ 1 và 2 , suy ra OK SBC nên d O SBC, OK

Trong tam giác vuông SOM, ta có

14

OK

14

a

K

D

M

S

C

O

Bài 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA a và vuông góc với đáy, tam giác SBC

cân tại S và tạo với đáy một góc 450 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

Lời giải

Tam giác SBC cân tại S nên SB SC Suy ra SAB SAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó AB AC Vậy tam giác ABC vuông cân tại A Gọi E là trung điểm BC, suy ra AE BC

Gọi K là hình chiếu của A trên SE, suy ra AK SE

1

Ta có BC AE BC SAE BC AK

2

Từ 1 và 2 , suy ra AK SBC nên d A SBC, AK

,

SE SBC SE BC

AE ABC AE BC

0

SBC ABC SE AE SEA

Tam gác SAE vuông tại A có SEA 450 nên là tam giác vuông cân, suy ra 2 2

2

a

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a ; SA SB SC SD a 2 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC

Lời giải

S

D

O

K

M

S

B

A

C

M

A

B

C

D

S

I

K

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a Cạnh bên

SA a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

Lời giải

a) Gọi M là trung điểm AD, suy ra ABCM là hình vuông

Do đó

2

AD

CM MA nên tam gác ACD vuông tại C

Ta có CD AC CD SAC CD AK

Từ 1 và 2 , suy ra AK SCD nên d A SCD, AK

Trong tam giác vuông SAC, ta có

3 2

AK

3

a

Bài 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 1200; cạnh bên SA vuông góc với đáy

Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC , biết SMA 450

Lời giải

Do BAD 1200 suy ra ABC 600 nên tam giác ABC đều cạnh a

Suy ra AM là đường cao trong tam giác đều ABC và 3

2

a

Từ 1 và 2 , suy ra AK SBC nên d A SBC, AK

Trong tam giác vuông AKM , ta có sin 6

4

a

4

a

Bài 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

SCN

Lời giải

Tam giác SAB đều và có M là trung điểm AB nên SM AB

Mà SAB ABCD theo giao tuyến AB nên SM ABCD

Ta có AMD DNC suy ra AMD DNC

Mà AMD ADM 900 suy ra DNC ADM 900 hay CN DM

Gọi E DM CN, K là hình chiếu vuông góc của M trên SE

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 4/7

K

H

E

M C'

B' A'

C

B

A

Từ 1 và 2 , suy ra MK SCN Do đó d M SCN, MK

2

a

2

a

5

DE

10

a

Trong tam giác vuông SME, ta có

8

MK

8

a

Bài 7 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông với ABACa, góc giữa BC' và mặt phẳng ACC A bằng ' ' 0

30 Gọi M là trung điểm của B C' ' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

A BC ' 

Lời giải

Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A

'

BA AC

BA ACC A

BA AA

 

 

góc của BC' trên mặt phẳng ACC A là ' ' AC' nên

0

30 BC', ACC A' ' BC AC', ' BC A' Trong tam giác vuông BAC', ta có

Trong tam giác vuông AA C' ', ta có

a) Gọi E là trung điểm của BC, suy ra AE BC

Kẻ AK A E ' K A E '

1

'

BC AE

2

d A A BC AK

Trong tam giác vuông A AE, ta có ' 2

5 '

AK

5

a

E

K

N

A'

C

A

C'

B'

M

B

Bài 8 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác với 0

ABa AC a BAC ; AA' 2a 5

Gọi M là trung điểm CC' Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BM ' 

Lời giải

Kéo dài A M' cắt AC tại N Suy ra AN 2AC 4a và d A A BM, ' d A A BN, '

Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên BN , suy ra AE BN

'

BN AE

BN A AE

BN AA

 

 

Từ 1 và 2 , suy ra AK A BN nên ' d A A BN, ' AK

Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác ABN , ta có BN AB2 AN2 2AB AN .cosBAC a 21

Ta có

ABN

7

AE

Trong tam giác vuông A AE, ta có '

3 '

AK

3

a

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a 3 và vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

Lời giải

Kẻ AH SB H SB Ta có BC AB BC SAB BC AH

,

d A SBC AH

Trong tam giác vuông SAB, ta có

2

AH

2

a

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 6/7

K

A

D

S

E

E

C

B

A

S

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD 2a ; cạnh bên SA a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD

Lời giải

Kẻ AE BD E BD

Gọi K là hình chiếu của A trên SE, suy ra AK SE 1

Ta có BD AE BD SAE BD AK

Từ 1 và 2 , suy ra AK SBD nên d A SBD, AK

Trong tam giác vuông ABD, ta có

5

AE

Trong tam giác vuông SAE, ta có

3

AK

3

a

d A SBD AK

Bài 3 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC với AB a AC, 2 , a BAC 1200 Cạnh bên SA vuông góc

với đáy, mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC

Lời giải

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có

Gọi E là hình chiếu của A trên BC, suy ra AE BC

Ta có BC AE BC SAE BC SE

,

SE SBC SE BC

AE ABC AE BC

0

SBC ABC SE AE SEA

ABC

3 7

a

Từ 1 và 2 , suy ra AK SBC nên d A SBC, AK

Trong tam giác vuông AKE, ta có sin sin 3

2 7

a

2 7

a

b) Gọi H là hình chiếu của B trên AC Ta có BH AC BH SAC

,

d B SAC BH

H

C

S

E

K

O

D

2

a

2

a

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 600 Gọi O là giao điểm của AC và

BD.Đường thẳng 3

4

a

SO và vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng SBC

Lời giải

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều nên tam giác BCD

cũng đều Do đó đường cao DH trong BCD bằng 3

2

a

Gọi E là hình chiếu vuông góc của O trên BC

Kẻ OK SE K SE

1

Ta có BC OE BC SOE BC OK

2

Từ 1 và 2 , suy ra OK SBC nên d O SBC, OK Trong tam giác vuông SOE, ta có

8

OK

8

a

d O SBC OK