giai tich to hop co ban

Giải tích tổ hợp

C có 4 con đường Có thể chọn lựa bao nhiêu cách đi từ A đến C ?

b Từ các số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số phân biệt ?

c Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số chia hết cho 4 tạo bởi các số 1 , 2 , 3 , 4 , nếu : các chữ số có thể trùng nhau ? các chữ số phân biệt ?

GIẢI

a Có cả thảy 3 4 = 12 cách đi từ A đến C

b Để ý rằng chữ số đầu tiên phải khác 0

 Có 9 cách chọn viết chữ số đầu tiên của số ( trong các số 1 , 2 , , 9) Sau khi chọn xong

 Có 9 cách chọn viết chữ số thứ hai của số ( trong 8 chữ số còn lại của 1 , 2 , , 9 và 0 ).

 Có 8 cách chọn viết số thứ ba , sau khi viết xong hai chữ số đầu

 Có 7 cách chọn viết số thứ tư , sau khi viết xong ba chữ số đầu.

 Có 6 cách chọn viết số thứ năm ,, sau khi viết xong bốn chữ số đầu

Nếu các chữ số không được trùng nhau :

 Có 3 cách viết hai chữ số cuối : 12 , 32 , 24 .

 Có 2 cách viết chữ số thứ hai

 Có 1 cách viết chữ số thứ nhất

Vậy có cả thảy

1 2 3 = 6 cách viết

380 a Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau , bé hơn 10 000 được tạo thành từ 5 chữ số : 0 ,

1 , 2 , 3 , 4 ĐH XÂY DỰNG 98

b Một đội xây dựng gồm 10 công nhân , 3 kỹ sư Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng , 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác ?

ĐH KIẾN TRÚC HN 98

GIẢI

a Vì 10 000 là số tự nhiên bé nhất gồm 5 chữ số , nên các số bé hơn chỉ có 4 chữ số

 số có 1 chữ số : có 5 số tự nhiên là 0 , 1 , 2 , 3 , 4  5 số

 số có 2 chữ số : có 4 cách viết chữ số thứ nhất , 5 cách viết chữ số thứ hai  4 5 = 20 số

 số có 3 chữ số : có 4 cách viết chữ số thứ nhất , 5 cách viết chữ số thứ hai , và thứ ba  4 5 5

! 4

! 9

= 126 cách chọn 5 công nhân là tổ viên trong 9 công nhân còn lại Vậy có cả thảy

3 10 126 = 3780 cách chọn

Bài tập tự luyện

381 a Với 10 chữ số 0 , 1 , 2 , , 9 có thể lập nên bao nhiêu số khác nhau thỏa mãn điều kiện :Mỗi số gồm ba chữ số có thể trùng nhau ? Mỗi số gồm 10 chữ số phân biệt ?

b Từ các số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể tạo được bao nhiêu số 5 chữ số chia hết cho 8 ?

HD : a 900 ; 9 9 ! b số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng chia hết cho 8

382 a Với các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể tạo nên được bao nhiêu số , mỗi số gồm 4 chữ số phân biệt , trong đó nhất thiết có mặt chữ số 1 ?

b Có bao nhiêu số nguyên dương có 4 chữ số tạo nên từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 trong hai trường hợp : các chữ số không trùng nhau ? Số lẻ các chữ số không trùng nhau ?

HD : a 60 b 96 ; 36

 2 Chỉnh hợp

 Mỗi chỉnh hợp ( không lặp ) chập m từ tập hợp E có n phần tử là một bộ m thứ tự các phần tửcủa tập hợp E

 Số chỉnh hợp n chập m là Am

n =

)!

m n (

! n

Ví dụ

383 a Cho 6 số : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác

nhau Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ?

GTVT 99

b Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được :

Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ? Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? HQ 98

c Cho tập hợp X = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ

số khác nhau đôi một từ X ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau : n là số chẵn ? Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1 ? ĐH QGTPHCM 99

GIẢI

a Để chia hết cho 5 , chữ số cuối cùng phải là 5 : 1 cách viết

Mỗi cách viết 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 từ 5 số 1 , 2 , 3 , 4 , 6 :

có A3

5 =

! 3 5 (

! 5

! 6

 = 6 5 4 3 = 360 cách viết

Vậy có cả thảy :

6 360 = 2160 cách viết

Trường hợp 2 : Để chia hết cho 2 số tận cùng phải là 0 hoặc 2 , 4 , 6 Có hai khả năng xảy ra

 Nếu chữ số cuối là 0 : mỗi cách viết 4 chữ số đầu là một chỉnh hợp 6 chập 4 :

 Nếu chữ số 1 đứng ở vị trí thứ hai : có 6 cách viết chữ số đầu ; mỗi cách viết các số còn lại là chỉnh hợp 6 chập 3 : có A3

136 080 - ( 60 480 + 53 760 ) = 21 840 số thỏa điều kiện đề bài

b Nếu chữ số 1 , chẳng hạn , xuất hiện hai lần Thế thì mỗi cách viết 4 số còn lại và 6 vị trí

385 a Từ các chữ số 0 , 1 , 2 ,3 , 4 , 5 , 6 có thể viết được bao nhiêu số gồm năm chữ số phân biệt ,trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 ?

b Từ 7 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ?

c Từ 7 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt ?

d Từ 7 chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt , trong

đó nhất thiết có mặt chữ số 5 ?

e Từ năm chữ số 0 , 1 , 3 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt ?

f Từ năm chữ số 0 , 1 , 3 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số phân biệt ?

g Từ năm chữ số 0 , 1 , 3 , 6 , 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt và chia hết cho 3 ?

c Có bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số phân biệt và tổng các chữ số là lẻ

d Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số trong đó nhiều nhất là có hai chữ số trùng nhau ?

e Từ các chữ số 0 , 1 , 2 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 2 208 chia hết cho

! n

! ) 2 x (

! x

! 13

1

 A x 8

1 x

2

8 x 2 1 x

 5  x  9  D = { 5 , 6 , 7, 8 , 9 }

Ta có : f( 5) = 2.51 8 A2

6 = 15 ; f(6) = 2.61 8 A4

7 = 210 f(7) = 2.71 8 A 6

8 = 1232 ; f(8) = 2.81 8A8

9 = 45 360 ;f(9) =

8 9

Vậy miền giá trị E = { 15 , 210 , 1232 , 45 360 , 362 880 }

390 a Tính Q = 4

20

5 20

6 20

a Q =

! 16

! 20

! 15

! 20

! 14

! 20



! 14

! 15

! 16

! 14

! 15

! 15 16 ) 1 15 (

! 1 n (





+

! 1 m n (

! ) 1 n (

! ) 1 n (

m

=

! 1 m n (

! ) 1 n (







m n

n

 =

! m n (

! n

 = VT Bài tập tự luyện

391 Giải các phương trình , với x  N

1

1 x

1

A3 1

x  -

4

5

A2 2

11

A3 2

1

+ 3

1 n

A

1

 + + 3

m n

99

c Xét những số gồm 9 chữ số , trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2 , 3 , 4 ,

5 Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu : Năm chữ số 1 được xếp kề nhau Các chữ số được xếp tuỳ ý HVNHTPHCM 99

GIẢI

a Trường hợp C ngồi chính giữa : có 1 cách xếp C ngồi chính giữa Mỗi cách xếp 4 bạn còn lại

vào 4 chỗ là một hóan vị Vậy có cả thảy 4! = 24 cách

Trường hợp A , E ngồi ở hai đầu : Có hai cách xếp A , E vào hai đầu chỗ ngồi Số 3 bạn

còn lại , mỗi cách xếp là một hóan vị 3 người vào 3 chỗ ngồi : có 3 ! cách

Vậy có cả thảy : 2 3! = 12 cách

b Trước hết có 3! cách xếp ba bộ sách lên kệ Sau đó :

 Có 2! cách xếp 2 cuốn sách Tóan cạnh nhau

 Có 4! cách xếp 4 cuốn sách Văn cạnh nhau.

 Có 6! cách xếp 6 cuốn sách Anh cạnh nhau.

Vậy có cả thảy :

3! 2! 4! 6! = 6 2 24 720 = 207 360 cách

c Năm chữ số 1 xếp liền nhau : Lúc đó chúng được xem là một số Mỗi cách xếp là một hóan

vị Vậy có cả thảy : 5! = 120 cách

Các chữ số được xếp tùy ý : Có 9! cách xếp 9 chữ số , trong đó 5! vị trí số 1 giống như

nhau Vậy có cả thảy :

59!! = 9 8 7 6 = 3024 cách

396 a Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau KTQS 98

b Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau Có bao nhiêu cách xếp để : Các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ?

Các phiếu phân thành hai nhóm chẵn , lẻ riêng biệt ( chẳng hạn 2 , 4 , 1 , 3 , 5 ) ?

ĐH HUẾ 99

c Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau , mỗi dãy gồm 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồicho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau : Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau ? Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau ?

ĐH QGTPHCM 99

GIẢI

a Đánh số từ 1 đến n vào n ghế xen kẽ , ghế còn lại không đánh dấu Chọn nam sinh A trong

n nam sinh

Trước hết A ngồi vào ghế số 1 Mỗi cách xếp (n - 1) nam sinh còn lại là một hóan vị (n - 1) vị trí Khi A ngồi ở ghế số 2 , 3 , , n ta thấy cũng cách xếp tương tự Nên có (n - 1)! cách xếp nam sinh

Ứng với mỗi cách xếp nam sinh ta có n ! cách xếp nữ sinh

Vậy có cả thảy :

n! (n - 1)! cách xếp

b Số chẵn ở cạnh nhau :Có hai cách hai phiếu số chẵn ở cạcnh nhau : (2 , 4) ; (4 , 2) Sau đó

ta coi chúng là một phiếu Sẽ có 4! cách xếp các phiếu số 1 , 3 , 4 , 5 , (2 , 4) hoặc (4 , 2)

c trường hợp thứ nhất : Đánh dấu xen kẽ một dãy ghế

Còn dãy ghế đối diện , đánh dấu vào ghế đối diện với ghế

không được đánh dấu ( x hình)

Trước hết học sinh trường A có hai cách chọn lựa ; ngồi

ở ghế có hoặc không đánh dấu

Sau đó , có 6! cách xếp học sinh trường A vào chỗ ngồi

Rồi thì , với mỗi cách xếp của học sinh trường A có 6! cách xếp học sinh trường B

Vậy có cả thảy :

2 6! 6! = 1 036 800 cách

trường hợp thứ hai : Ta lần lượt thực hiện

 Học sinh thứ nhất trường A chọn ghế ngồi trước : có 12 cách Sau đó chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 6 cách chọn

 Học sinh thứ hai của trường A chọn ghế ngồi : có 10 cách Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 5 cách

 Học sinh thứ ba của trường A chọn ghế ngồi : có 8 cách Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 4 cách

 Học sinh thứ tư của trường A chọn ghế ngồi : có 6 cách Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 3 cách

 Học sinh thứ năm của trường A chọn ghế ngồi : có 4 cách Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 2 cách

 Học sinh thứ sáu của trường A chọn ghế ngồi : có 2 cách Rồi chọn học sinh trường B ngồi đối diện : có 1 cách

b Có bao nhiêu hóan vị được tạo nên từ các chữ cái trong từ “ DEGREE “ ?

c Có bao nhiêu cách xếp 5 nam sinh và 5 nữ sinh ngồi vào một dãy ghế sao cho không có hai nam hoặc hai nữ nào ngồi cạnh nhau ?

d Có bao nhiêu cách xếp 15 gói hàng vào trong ba thùng sao cho thùng thứ nhất đựng 2 gói ; thùng thứ hai đựng 3 gói ; thùng thứ ba đựng 10 gói ?

e Có bao nhiêu cách xếp 11 cầu thủ của một đội bóng thành một hàng ngang sao cho đội trưởng và thủ môn luôn đứng cạnh nhau ?

f Một rạp hát có 1000 chỗ ngồi chia thành hai dãy : dãy số chẵn và dãy số lẻ , mỗi dãy có 500 xhỗ ngồi Có bao nhiêu cách xếp 1000 khán giả thành hai hàng dọc đẻ vào rạp sao cho mỗi hàng ngang gồm hai khán giả không cùng dãy ?

g Có bao nhiêu cách xếp 6 nam sinh và 6 nữ sinh ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai nam hoặc hai nữ nào ngồi cạnh nhau ?

HD : a 5 ! = 120 b 63!! c 2(5 4 3 2 1)2 = 28 800 d 2!153!10! ! e 8 10 ! f 2(500!)2 g 2(6 !)2

398 a Có bao nhiêu cách xếp 12 quyển sách vào 6 ngăn , mỗi ngăn có 2 quyển ?

b Có bao nhiêu cách xếp 15 quyển sách lên kệ sao cho 5 quyển sách định trước luôn ở cạnh nhau ?

c Có bao nhiêu hóan vị các chữ số 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 trong đó các chữ số 1 , 2 , 3 đứng kề nhau theo : (i) Thứ tự tăng dần ? Thứ tự bất kỳ ?

d Có bao nhiêu cách xếp 9 quyển sách vào 5 ngăn , trong đó có 4 ngăn chứa đúng 2 quyển ?

e Có bao nhiêu cách xếp 15 quyển sách vào 3 ngăn sao cho ngăn thứ nhất chứa đúng 6 quyển , ngăn thứ hai chứa đúng 7 quyển ?

f Một lớp có 24 học sinh làm bài kiểm tra , mỗi học sinh làm một trong hai đề khác nhau Có bao nhiêu cách xếp 24 học sinh ngồi thành 2 dãy sao cho hai học sinh ngồi cùng hàng có đề thi khác nhau?

g Cho 5 quả cầu trắng và năm quả cầu xanh Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 quả cầu thành một dãy sao cho không có hai quả cầu nào cùng màu đứng cạnh nhau

HD : a

! 6

2

! 12

6 d

! 4 2

! 9

1 x x 2

P

A



 = 2

1 x

1 x 1 x

x

(

)!

x 2 (



! 1 x ( ) 2 x (

)!

1 x 2 (







 3 = 2xx21   3x + 6 = 4x + 2  x = 4

b Điều kiện x  2 Phương trình đã cho tương đương

! 1 x (

)!

1 x (

! x

  5x2 - 15x = 0  x = 0 (loại) ; x = 3

400 Giải các bất phương trình , với x  N :



 < 21.Px - 1 GIẢI

a Điều kiện 2  x  18 Bất phương trình tương đương với

x!

! x 20

(

! 18

 > (x - 2)!

! x 18 (

! 18

  x(x - 1) > ( 20 - x)(19 - x)  x > 10

4 4 n

143

< 0 

2 n

4 4 n

P

A



 <

n P 4

 ; k , n là số tự nhiên k  n

c

5 x

143

; b

3

4 1 x P

> 14

3 x

3 x 1 x

195

-

1 n

3 3 n

! m

! n

Ví dụ

407 a Đội tuyển bóng đá Việt Nam gồm 23 tuyển thủ , trong đó có 2 thủ môn ; 4 hậu vệ ;

10 trung vệ và 7 tiền đạo Có bao nhiêu cách chọn ra một đội tham gia vào một trận đấu gồm :

1 thủ môn ; 2 hậu vệ ; 5 trung vệ và 3 tiền dạo ?

b Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ , mỗi tổ có 10 học sinh ?

c Một chi đoàn có 20 đoàn viên , trong đó có 10 nữ Lập một tổ công tác có 5 người Hỏi cóbao nhiêu cách chọn nếu tổ công tác cần ít nhất 1 nữ ?

ĐH Y HN 98

! 40

GIẢI

a Từ 1 đến 100 có 33 số là bội số của 3 Có 67 33 tích số hai số trong đó một số chia

hết cho 3 và một số không chia hết cho 3 Ngoài ra , ta cũng có C2

33 tích số hai số đều là bội

của 3

Vậy có cả thảy :

67 33 + C2

33 = 2739 số

b Gọi a , b , c , d , e là các số sao cho 1  a < b < c < d < e  90 và cứ hai số bất kỳ

trong chúng đều có hiệu  1 Thế là

a ; b - 1 ; c - 2 ; d - 3 ; e - 4

là năm số phân biệt nằm giữa 1 và 86

Ngược lại , nếu năm số a’ ; b’ ; c’ ; d‘ ; e’ sao cho 1  a’ < b’ < c’ < d’ < e’ 

(i) giao điểm ? (ii) tam giác ? (iii) tứ giác ?

c Cho hai đường thẳng song song Trên đường thẳng thứ nhất cho 10 điểm , trên đường thẳng thứ hai lấy 20 điểm Có bao nhiêu tam giác nhận các điểm trên làm đỉnh ?

GIẢI

a Cứ hai điểm ta nối được một đoạn Nên có C2

n đoạn , nhưng trong đó có n đoạn là cạnh

đa giác nên có cả thảy :

7kg , 8 kg Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong số đó Có bao nhiêu cách chọn như thế ?

ĐH HUẾ 98

b Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu ?

ĐH HUẾ 99

c Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi trắng và 4 viên bi đen thành một dãy sao cho các viên

bi đen không nằm cạnh nhau , nếu : Tất cả viên bi cùng màu giống nhau ? Mọi viên bi đều khác nhau ?

c Các bi cùng màu giống nhau : Ta có thể xếp các viên bi đen :

- hoặc vào 1 trong 4 vị trí giữa các viên bi trắng

- hoặc ở hai biên

Cho nên có 6 vị trí có thể xếp viên bi đen Do đó có C4

6 cách xếp bi đen Các bi cùng màu khác nhau : Thế thì mỗi hóan vị của các viên bi cho ta một cách xếp khác Nên

có cả thảy :

C4

6 4! 5! cách

411 a Từ một cỗ bài 52 lá , 4 màu Có bao nhiêu cách rút ra từ cỗ bài : 6 lá trong đó có 3

lá “ bích “ ; một lá “ chuồn “ ; 2 lá “ cơ “ ? 5 lá trong đó 2 lá màu đỏ và 3 lá màu đen ?

b Cho tập hợp X = { 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 } Từ các số của X có thể lập được bao nhiêu phân số bé hơn 1 , trong đó mỗi phân số được lập từ hai số của X ?

c Có 5 cuốn sách A , B , C , D , E khác nhau đặt trên kệ Rút ra lần lượt , không hòan lại 3cuốn sách Có bao nhiêu cách rút được cuốn A ? không rút được cuốn A ?

26 cách rút lá màu đen Có C2

26 cách rút lá màu đỏ Vậy có cả thảy : C3