TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 11 2012 TÍNH TỒN ÁNH CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN KIỂU ANTI-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH Nguyễn Văn Cần1, Nguyễn Xuân Thuần2, Nguyễn Mạnh Hùng3

Giả sử D là tập con con trù mật tuyến tính trong không gian Banach phản xạ tách được X ;Xlà không gian đối ngẫu của X.. Giả sử D là tập con con trù mật tuyến tính trong không gian Banac

TÍNH TOÀN ÁNH CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN KIỂU

ANTI-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

X Y là các không gian Banach thực, 

X là không gian đối ngẫu của X Ánh xạ

 

: 2X

A là ánh xạ đo được, nếu với mỗi tập con Vcủa X , tập

A1( ) V      : ( ) A   V    Q

Ánh xạ A :    X Y được gọi là ánh xạ ngẫu nhiên, nếu ánh xạ   A ( , )  x ,

x X  là đo được Ánh xạ ngẫu nhiên A là ánh xạ liên tục (hemi-liên tục, đơn điệu…),nếu với mỗi   , ánh xạ x  ( , ) A  x liên tục (hemi-liên tục, đơn điệu…) Ký hiệu

 Hemi liên tục, nếu ánh xạ t   B( x ty y  ),  liên tục,  x, y X 

Để đơn giản, giá trị của ánh xạ ngẫu nhiên A tại các điểm ( , )  x hoặc ( , , )  x y

được viết là A ( , ) :  x  Ax hoặc A ( , , ) :  x y  A x y ( , ) (1.1)Trong [2]-[4], lớp bài toán biến phân ngẫu nhiên dạng

T y ( )  T u y ( ),  u  0,   y D  X (1.2)Với T là toán tử ngẫu nhiên nửa đơn điệu, nửa đơn điệu yếu, nửa H- đơn điệu trongkhông gian Banach Trong bài báo này, bài toán (1.2) được mở rộng cho lớp ánh xạ ngẫunhiên kiểu anti-đơn điệu chính qui trên không gian Banach

1, 2, 3 ThS Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức.

Bổ đề 1.1[1] Giả sử Dlà tập con trù mật tuyến tính trong không gian Banach X ,

Định nghĩa 2.1 Giả sử X là không gian Banach thực, 

X là đối ngẫu của X 1) Ánh xạ A X : X

 được gọi là ánh xạ kiểu anti-đơn điệu, nếu tồn tại ánh

 được gọi là ánh xạ có tính chất ( )  , nếu

K anti – đơn điệu, coercive và hemi-liên tục

2) Ánh xạ A X : X

 gọi là ánh xạ kiểu anti-đơn điệu chính qui, nếu A là ánh xạ

kiểu anti-đơn điệu và 

 ( A  K )  X , với mỗi K có tính chất ( )  A là ánh xạ ngẫu nhiên kiểu anti-đơn điệu chính qui, nếu A là ánh xạ ngẫu nhiên kiểu anti-đơn điệu và



 ( A  K )  X , với mỗi ánh xạ ngẫu nhiên 

   :

là ánh xạ Anti-đơn điệu Hơn nữa, các ánh xạ x  S xy( ), y  S yx( ) là hemi-liên tục.

Vì vậy, ánh xạ A : 0,1     xác định bởi ánh xạ S là ánh xạ kiểu Anti- đơn điệu,nhưng ánh xạ ( , ) x y  S x y ( , ) không là ánh xạ Anti- đơn điệu

Trong các kết quả sau, ta luôn giả thiết phân tử 0thuộc miền xác định của ánh xạ A(

 S y x ( , )  Kx y x ,    0, x y D  ,  ,   (2.3)Với mọi t  (0,1), trong (2.3) thay xbởi tx  (1  t y ) , cho ta

Định lí 2.1 Giả sử D là tập con compact trong không gian Banach phản xạ tách

được X ;Xlà không gian đối ngẫu của X A: D X

   là ánh xạ ngẫu nhiên kiểu anti-đơn điệu chính qui và sup{A( )0 :w wÎ W = Î} b Khi đó, bài toán (2.1) có nghiệm.

Chứng minh Với mỗi    cố định Giả sử  Xn là dãy tăng các không gian con

hữu hạn chiều của X ,

M X M X Gọi phép nhúng đẳng cấu Jn: Xn  X và

phép chiếu :  



J X X là đối ngẫu của Jn, Dn   D Xn  Xn Khi đó,

 Dn n  là dãy tăng các tập con compact yếu trong D Với mỗi n, xét ánh xạ ngẫunhiên

u hội tụ yếu tới u  D, khi n  

Do tính liên tục của phiếm hàm    , và tính hemi-liên tục của Ktrên Dn, nên từ(2.5) ta được

AyKu y u,  0, y D, 

Hệ quả 2.1 Giả sử D là tập con con trù mật tuyến tính trong không gian Banach

phản xạ tách được X ;Xlà không gian đối ngẫu của X A: D X

   là ánh xạ ngẫunhiên kiểu anti-đơn điệu chính qui và sup A( )0 :      Khi đó, phương trìnhtoán tử AyKx v có nghiệm

Chứng minh Từ định lý 2.1, tồn tại uB( , ) X sao cho

AyKu y u,  0, y D,  (2.6)

Do đó, với mỗi 

 ( , )

v B X và y D , đặt TyAy v Khi đó, Tcó mọi tính chất của A Từ đó suy ra

Định lý 2.2 (Nhiễu anti-đơn điệu) Giả sử D là tập con compact trong không gian

Banach phản xạ tách được X ; X  là không gian đối ngẫu của X A:  D X là ánh

xạ ngẫu nhiên kiểu anti-đơn điệu chính qui và sup A ( )0 :      ,

:

T  D X  là ánh xạ ngẫu nhiên anti-đơn điệu, coercive Khi đó, bài toán

Ay Ty Ku y u  ,    0, y D ,   có nghiệm

Hệ quả 2.2 Giả sử D là tập con con trù mật tuyến tính trong không gian Banach phản

xạ tách được X ; X  là không gian đối ngẫu của X A:  D X là ánh xạ ngẫu nhiênkiểu anti-đơn điệu chính qui và supA ( )0 :     

T : D X

   là ánh xạ ngẫu nhiên anti-đơn điệu, coercive Khi đó, phương trìnhtoán tử Ay Ty Kx v   có nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Browder E.E, Nonlinear maximal monotone operators in Banach spaces Math

Anal, Vol 175(1965), pp89-113

[2] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan, Nonlinear variational inequalities

for random weakly semimonotone operators, Random Oper and Stoch Equ Vol 9,

No 4, pp 1-10 (2001)

[3] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan, Random equations for semi H

-monotone operators and weakly semi H - -monotone operators Random Oper and

Stoch Equa Vol10, No 4, pp1 – 8 (2002)

[4] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan Random nonlinear variational in

equalities for mappings of monotone type in Banach spaces Stoch Analysis and

Appl Vol 24, No 3, pp 489 – 499 (2006)

[5] Himmelberg C J., Measurable relations, Fund.Math.Vol 87,pp53-72,(1975)

[6] Itoh S., Nonlinear random equations with monotone operator in Banach Spaces,

Math Ann Vol 236, pp 133-146, (1977)

[7] Nguyen Van Luong and Nguyen Xuan Thuan, A fixed point theorem for  weakly contractive mapping in metric spaces, Int Journal of Math Analysis, Vol 4,

-No 5(2010), pp 233-242

[8] Nguyen Van Luong and Nguyen Xuan Thuan, Common fixed point theorem for

weakly compatible maps through generalized altering distance function, Int Journal

of Math Analysis, Vol 4, No 22(2010), pp 1095-1104

[9] Nguyen Van Luong and Nguyen Xuan Thuan, Coupled fixed points in partially

ordered metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis Applications, Vol 2, No 4

(2010), pp 16-24

[10] Nguyen Van Luong and Nguyen Xuan Thuan, Coupled fixed points in partially

ordered metric spaces and application, Nonlinear Analysis, Theory- Method and

Applications, Vol 74 (2011), pp 983-992

[11] Nguyen Xuan Thuan and Nguyen Van Can, Random variational inequalities for

semi-H-monotone mappings, preprint Inst of Math No 12, pp 1-7, (2002).

[12] Nguyen Xuan Thuan and Nguyen Van Can, Random semi-Diffirentiable and pseudo

potential operators in Banach spaces, Tuyển tập các báo cáo tóm tắt Đại hội Toán

học toàn quốc lần thứ 7, Qui Nhơn , 4-8/8/2008

[13] Zeidler E., Nonlinear functional analysis and its applications, Vol II, Springer,

(1986)

[14] Siddiqui A.H- Ansari Q.H and Kazmi K.R, On nonlinear variational inequalities,

Indian J.pure Math, vol 25, No9, pp 963-973.(1994)

THE SURJECTIVITY OF RANDOM MAPPINGS ANTI

-MONOTONE TYPE IN BANACH SPACES

Nguyen Van Can, Nguyen Xuan Thuan, Nguyen Manh Hung

Mathematics subject classification: Primary 60H25; Secondary 47H10, 47H09.

Ngày Tòa soạn nhận bài 15/5/2011

Ngày thông qua phản biện: 9/6/2011

Ngày chấp nhận đăng 2/7/2012

Người phản biện: TS Trần Quang Vinh

ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ TENSOR

Từ khóa: Đạo hàm và đạo hàm Lie trên đại số tensor.

B NỘI DUNG

1 Đạo hàm trên đại số các đa thức

Ký hiệu B = P x  P x x 1, , ,2 x n là đại số các đa thức n biến x x1, , ,2 x n trên

là một B - cơ sở của F  dimB F n

Trên F ta định nghĩa phép toán  , : F F  Fthỏa mãn

X Y, ( )f X Y f( ( ))  Y X f( ( ))

1 ThS Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức

Nhận xét 1.2  , là một tích Lie trên B – module F

Vậy F sẽ là một đại số trên B.

Chứng minh: Ta dễ dàng suy ra từ định nghĩa của tích Lie trên B – module F.

2 Đạo hàm trên đại số Tensor Im(B)

Đặt F * là B- đối ngẫu của F, có cơ sở đối ngẫu với cơ sở  D i i n1, của F là cơ sở

định như vậy gọi là ánh xạ kéo lùi của tensor K với dạng tuyến tính  theo chỉ số i

Định nghĩa 2.3 Ánh xạ D: Im( )B  Im( )B gọi là một đạo hàm trên đại số Im( )B

nếu ánh xạ D thỏa mãn :

1 D là P- tuyến tính.

2 D bảo tồn kiểu tensor.

3 Hạn chế của D trên B là một đạo hàm.

Mệnh đề 2.4 (Xem [2]) Cho K là tensor kiểu ( , )r s trong đó r s 0 và D là một đạo

hàm trên Im( )B Khi đó : DK( , , , )1 r Y1 Y s D K( ( , , , )1 r Y1 Y s

Chứng minh : Tương tự như cách chứng minh mệnh đề 2.5

Cơ sở của không gian Fs r là :   1

s

i i n j

k k

Ký hiệu : D L X , ta nói L X là đạo hàm Lie với hướng X Nếu Ta có :

1

1

( )

n i

s

i i n j

3 -Cảm sinh của các phần tử của đại số tensor im(b)

Gọi P * là đối ngẫu của P; P * ={ :P P, là P- tuyến tính}, dimP P * 1

P có đơn vị là 1, P * có cơ sở là Id P (Id a P( )  a a P)

Cho Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử {1, 2,3, , }n Với mỗi ánh xạ tuyến tính

*

P

  và mỗi phép hoán vị  G n xác định một ánh xạ j : B  B biến mỗi đa thức

f B thành đa thức j (f) thỏa mãn với mỗi bộ b b1, , ,2 b nP ta có : j (f)

Vậy cho ta điều phải chứng minh.

Mệnh đề 3.4 Với mỗi đạo hàm XF, tồn tại duy nhất một đạo hàm X F thỏa mãn :

Dạng tuyến tính  xác định trên gọi là - hóa của .

Mệnh đề 3.7 Với mọi đạo hàm XF, dạng tuyến tính  F* ; X là -hóa của

X ,  là -hóa của  thì ta có được :   

X X

s

i i n j

( )

s r

L K L K

Hệ quả này dễ dàng suy ra từ mệnh đề 3.8 và định nghĩa về đạo hàm Lie của tensor K.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Hữu Quang, Kiều Phương Chi and Bùi Cao Vân (Submit 2010), The

Liederivative of currents on Lie group, Bull Korean Math Soc.

[2] A Ya Sultanov, Derivations of linear Algebras and linear connections, Journal of

Mathematical Sciences (in Russian), Vol 169, No 3, 2010

[3] G-M.Greuel, Introduction to Algebraic geometry, notes for a class taught at the

University of Kaiserslautern, Mathematics International Lecture Notes, University

of Kaiserslautern (1997-1998)

[4] Katharina Haberman, Andreas Klein (2003), Derivative of Symplectic Spinor fields,

metaplectic representation, and quantization Rostock Math Kolloq 57, 71-91.

[5] K.Yano, The theory of Lie derivatives and its applications, North-Holland

Publishing Co.Amsterdam; P-Noordhooff Ltd, Gronin-gen; Interscience PublishersInc New York

DERIVATION ON TENSOR ALGEBAR

Nguyen Viet Son

(derivative of the polynomial) and construct the operation - induced on the polynomial algebra and we give the definition - induced of the derivative, - induced of the linear and - induced of the tensors Basing on the Lie derivative of tensor algebra, we study the relationship on the Lie derivative of the tensors by the operation - induced

Key words: Derivative and Lie derivative.

Ngày Tòa soạn nhận bài 20/5/2011

Ngày thông qua phản biện: 20/6/2011

Ngày chấp nhận đăng 2/7/2012

Người phản biện: PGS TS Nguyễn Hữu Quang

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI LỚP ÁNH XẠ

KIỂU ANTI- ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chú ý rằng, bài toán (1) liên hệ với bài toán tối ưu qua định lí sau:

Định lý 1.1[7] Giả sử f X : ® là hàm khả vi Frechet và Dlà tập con lồi trong

X Khi đó, nếu u là nghiệm của bài toán tối ưu: min  f x x D ( ) :   , thì u là nghiệm của bài toán biến phân  f u x u  ( ),      0, x D.

1 ThS, 3 TS Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức

2 NCS (GV Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức, hiện đang du học tại Úc)

Phiếm hàm f D : Ì X ®  R gọi là lồi trên D, nếu

+ Anti-đơn điệu, nếu  Ax y ,  x   0 th× Ay y ,  x  0,  x, y D 

+ Hemi-liên tục, nếu hàm giá trị thực t A x á ( + ty y ), ñ liên tục,  x, y D 

Tính liên tục và tính Hemi-liên tục là đồng nhất trên các không gian hữu hạn chiều([1], [14] ) Trong [1],[9], lớp bài toán biến phân dạng

T y ( )  T u y ( ),  u  0,   y D (2)

đã được xét cho lớp toán tử đơn điệu, nửa đơn điệu trên không gian Banach Mở rộng hơn,bài toán (2) được giải cho lớp ánh xạ ngẫu nhiên kiểu đơn điệu, nửa đơn điệu yếu và đơnđiệu cực đại chính qui ([3,4,5])

Bổ đề 1.1(Bổ đề 1,[13]) Giả sử Klà tập lồi khác rỗng trong X Các ánh xạ

T A K X và phiếm hàm j được giả thiết như trong Bổ đề 1.1 Khi đó, bài toán

2 CÁC KẾT QUẢ

Định nghĩa 2.1 Giả sử X là không gian Banach thực, 

X là đối ngẫu của X . Ánh

xạ T : X X

 được gọi là ánh xạ kiểu Anti- đơn điệu, nếu tồn tại ánh xạ

S : XX X

 sao cho 1) T(x) = S(x, x),   x X.

2) Với mỗi yX, ánh xạ S :y x  S ( ) S( , )y x  x y là Anti- đơn điệu, hemi-liên tục,   x X.

3) Với mỗi xX, ánh xạ S :x y  S ( ) S( , )x y  x y là hemi liên tục,   y X.

Nhận xét 2.1 Trong Định nghĩa 2.1, ánh xạ x  S x x ( , )  T x ( ) là hemi-liêntục

Ví dụ 2.1 Gọi   x là phần nguyên của số thực x

x  S x , y  S yx( ) là hemi-liên tục Vì vậy ánh xạ T :    xác định bởi ánh

xạ S là ánh xạ kiểu Anti- đơn điệu, nhưng ánh xạ ( , ) x y  S x y ( , ) không là ánh xạAnti- đơn điệu.Từ định nghĩa 2.1, ta trực tiếp thu được bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Giả sử Dlà tập con khác rỗng, lồi, đóng trong không gian Banach phản

  :

T D X X - là ánh xạ kiểu Anti- đơn điệu; f D : ® - là phiếm hàm lồi, nửa liên tục dưới và hemi-liên tục Khi đó, các bất đẳng thức biến phân sau tương đương

 S x x x ( , ),  y  f x ( )  f y ( ) 0  (6)

Từ tính Anti-đơn điệu của x  S xy( ) :  S x y ( , ), ta có

(6)  S y x x ( , ),  y  f x ( )  f y ( ) 0  (7)tính hemi-liên tục của y  S yx( ) :  S x y ( , ) vàf , kéo theo mọi t   0,1 ,

T x x ( ),  y  f x ( )  f y ( ) 0,   x y ,  D

Định lý 2.1 Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach phản xạ tách đượcX ; 

  :

T D X X là ánh xạ kiểu Anti- đơn điệu,

:

f D   là phiếm hàm lồi, nửa liên tục dưới và hemi-liên tục Khi đó, tồn tại u D 

sao cho

T u x ( ),  u  f x ( )  f u ( )  0,   x D

Chứng minh Giả sử X kk,  1,2, , m là dãy tăng các không gian con hữu hạnchiều củaX , xác định bởi

   , 

m

x x D hội tụ yếu tới u X  khi m   Vì Dk là tập đóng yếu trong

D, nên u  D Từ (11), sử dụng phương pháp chứng minh trong Bổ đề 2.1, ta nhận được

T u x ( ),  u  f x ( )  f u ( )  0,   x D

♦ Xét hàm j : D D ´ Í X ´ X ®, xác định bởi

 x y ,     x y , :   T y x y ( ),  (12)Với   x x ,   0 Khi đó, trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1 là tồn

tại hay không y D  sao cho   x y ,   f x    f y   ,   x D (13)

Từ đó, ta có kết quả sau

Mệnh đề 2.2 Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn trong không gian Banach phản xạ tách được X Các ánh xạ T f , được giả thiết như trong Định lí 2.1 và hàm  được xác định ở (12) Khi đó, với mọi x y X , 

1) Bài toán (13) có nghiệm, và

2) Bài toán cực tiểu hoá f x      x y ,   min! có nghiệm

Đặc biệt, khiX là không gian Hilbert, thì cặp đối ngẫu .,. là tích trong   ,. trên

X Gọi T D :  X  X là ánh xạ phi tuyến trên tập con lồi, đóng D; T là đạohàm Frechet của T Xét dạng song tuyến tính liên tục a X : ´ X ®,

 x y ,   a x y ( , ) ,  x y X ,  và thỏa mãn điều kiện

a u x u ( ,  )   T u x u  ( ),   ,   x D (16)

Từ (15),(16) chúng ta đề cập tới bài toán sau

Bài toán Tìm u X  thỏa mãn

a u x u ( ,  )  f x ( )  f u ( ) 0,    x X (17)với f X   : ; T u ( )  X Khi đó, bài toán (17) tương đương với

bài toán  T u x u  ( ),    f x ( )  f u ( ) 0,    x X (18)

Định lý 2.2 Cho không gian Hilbert X và T X :  X - là ánh xạ kiểu

Anti - đơn điệu; f X :  - là phiếm hàm lồi, nửa liên tục dưới, hemi-liên tục và

(.,.)

a thỏa mãn điều kiện (14) Khi đó, u X  là nghiệm của bài toán(17), khi và chỉ khi u là nghiệm của bài toán (18)

Chứng minh Được suy ra trực tiếp từ (15), (16).

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Browder.F.E, Problèmes nonlinéairies, University of Montreal Lectures Notes,

(1965)

[2] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan, Random fixed point theorems for

multivalued nonlinear mappings Random Oper and Stoch Equa Vol 9, No3(2001),

pp 345 – 355

[3] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan, Nonlinear variational inequalities

for random weakly semi - monotone operators Random Oper and Stoch Equ.9(4)

(2001), pp1–10

[4] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan, The surjectivity of semiregular

maximal monotone random mappings Random Oper and Stoch Equ Vol10, No

1(2002), pp13 – 24

[5] Nguyen Minh Chuong and Nguyen Xuan Thuan, Random nonlinear variational

inequalities for mappings of monotone type in Banach spaces Stochastic Analysis

and Applications Vol 24(2006), pp 489 – 499

[6] Denkowski.Z, Migorsk.S and Papageorgiou, An introduction to nonlinear analysis,

Kluwe Academic Publishers, (2003)

[7] Kinderlehrer D and Stampacchia G, An Introduction to Variational Inequalities

and Their Applications, Academic Press, New York-London,(1980)

[8] Noor.M.A, Bilinear forms and convex set in Hilbert space, Bull.Un Math.Itaj inna,

Vol 5(1972), pp 241-244

[9] Itoh S, Nonlinear random equations with monotone operator in Banach Spaces,

Math Ann Vol 236(1977), pp 133-146

[10] Nguyen Xuan Thuan, Random solution to the equations T   , ( ), ( ) u  u    b ( ) 

and applications to nonlinear elliptic boundary value problems, Preprint 2000/39,

Inst of Math Hanoi (2000), pp1– 8

[11] Nguyễn Xuân Thuần, Nguyễn Văn Lương, Lê Văn Đăng, “Bất đẳng thức biến phân

ngẫu nhiên phi tuyến” Tạp chí khoa học trường Đại học Hồng Đức Số 2 (2009),

tr 26-30

[12] Nguyen Xuan Thuan and Nguyen Van Can, Random semi-Diffirentiable and pseudo

potential operators in Banach spaces, Tuyển tập các báo cáo tóm tắt Đại hội Toán

học toàn quốc lần thứ 7 Qui Nhơn , 4-8/8/2008

[13] Siddiqui A.H- Ansari Q.H and Kazmi K.R, On nonlinear variational inequalities,

Indian J.pure Math, vol 25, No9(1994), pp 963-973

[14] Zeidler E, Nonlinear functional analysis and its applications, Vol II, Springer,

(1986)

VARIATIONAL INEQUALITIES FOR MAPPINGS OF

ANTI-MONOTONE TYPE IN BANACH SPACES

Nguyen Xuan Thuan, Nguyen Van Luong, Trinh Thi Hai

ABSTRACT

In this paper some new results that concern the existence of solution of nonlinear

variational inequalities for mappings of Anti-monotone type in Banach spaces are presented.

Key words: Random fixed point; Mapping of monotone type; Nonlinear; Random;

Variationnal inequality.

Mathematics subject classification: Primary 60H25; Secondary 47H10, 47H09.

Ngày Tòa soạn nhận bài: 20/5/2011

Ngày thông qua phản biện: 9/6/2012

Ngày chấp nhận đăng: 2/7/2012.

Người phản biện: TS Trần Quang Vinh

SỰ ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ TUYẾN TÍNH KHÔNG

Từ khóa: Hệ suy biến có trễ, ổn định mũ, hàm Lyapunov, bất đẳng thức ma trận

tuyến tính.

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Khi nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, ta cần xem xét một số tínhchất mà trong hệ phương trình vi phân thường không có, như là sự không chính quy vàimpulses nghiệm, và các tính chất khác Vì vậy, nghiên cứu tính định tính của hệ phươngtrình vi phân suy biến có trễ là phức tạp hơn rất nhiều so với vấn đề định tính cho hệphương trình vi phân thường Một số điều kiện cho sự ổn định của hệ suy biến có trễ dướidạng những bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) được đưa ra trong [5, 6, 9] Để ý rằngnhững kết quả thu được trong các bài báo [6,9] là cho sự ổn định tiệm cận hoặc là ổn địnhtiệm cận của hệ có hàm điều khiển

Trong bài báo này, chúng tôi đã phát triển vấn đề lên sự ổn định mũ cho hệ suy biến

có trễ với tham biến không chắc chắn có chuẩn bị chặn Chúng tôi xét trường hợp trễ làhằng số Bằng cách xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii, chúng tôi chứng minh rằng điềukiện mới cho sự ổn định mũ của hệ suy biến có trễ được thiết lập dưới dạng những bất đẳngthức ma trận tuyến tính (LMIs) Kết quả được áp dụng cho sự ổn định mũ của hệ khôngchắc chắn suy biến có trễ

Bài báo được chia làm các phần như sau Phần 1 là đặt vấn đề, phần 2 trình bày các kíhiệu, các định nghĩa và một số bổ đề quan trọng cần thiết cho việc chứng minh kết quả củabài báo Điều kiện ổn định mũ phụ thuộc trễ được trình bày và hoàn thành trong phần 3

2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các kí hiệu sau đây sẽ được sử dụng trong suốt bài báo này R + là tập tất cả các số

thực không âm; R n là không gian Euclidean n-chiều với chuẩn ||.||, x T y là tích vô hướng của

1 ThS Trường THPT Như Thanh II, Thanh Hóa

2 TS Phòng Đào tạo, Trường Đại học Hồng Đức

hai véc tơ x, y; max A  min A, resp. là max (min, resp.) của phần thực các giá trị

riêng của A; A T là chuyển vị của ma trận A, I là ma trận đơn vị; 0 n là ma trận không trong

R n Một ma trận Q 0 Q 0 ,resp. được gọi là Q- nửa xác định dương (xác định dương,

resp.) nghĩa là Qx,x  0 với mọi x  R n(resp Qx,x  0 với mọi x0);A  B

nếu màA B 0 ;kí hiệu ;C1: C1  h,0,R n



 là tập tất cả các hàm khả vi liên tục từđoạn   h ,0  vào R n Các quỹ đạo x(t) trên [t-h, t] được định nghĩa bởi

Xét trường hợp H=D=D d =0 khi đó, hệ suy biến có trễ (2.1) có thể viết là

det sE A là không đồng nhất bằng không

Định nghĩa 2.2 ([11]) Hệ (2.3) được gọi là impulse-free nếu bậc của đa thức

Chúng tôi giới thiệu các bổ đề quan trọng được dùng trong các chứng minh về sau

Bổ đề 2.1 ([5]) Nếu hệ (2.3) là chính quy và impulse-free, thì hệ (2.3) tồn tại duy

nhất nghiệm trên  0, 

Bổ đề 2.2 (Bổ đề phần bù Schur [1]) Cho các ma trận X, Y, Z với số chiều thích hợp

thỏa mãn X=X T >0, Y=Y T >0 Khi đó X+Z T Y -1 Z<0 nếu và chỉ nếu

Bổ đề 2.3 Cho S là một ma trận đối xứng xác định dương Khi đó với bất kì x, y

n

R

 và ma trận F, bất đẳng thức sau là đúng

, ,

e s f t

0

2 0

1

1

t t

Trước hết chúng tôi chứng minh sự ổn định mũ của hệ suy biến (2.3)

Định lý 3.1 Hệ suy biến có trễ (2.3) là chính quy, impulse-free và ổn định mũ , nếu

tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Q, X, Z và các ma trận P Y , , thoả mãn các bất đẳng thức sau

Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh hệ (2.3) là chính quy và impulse-free

Do 0<rank(E) = r < n, nên tồn tại các ma trận không suy biến M, N sao cho

  

0 0

0

r

I MEN

h d T T

T

ZA hA

ZA hA ZA hA Q e

Y PA Y Y PE hX Q PA P A

T

d T

d T

T

Z hA Z hA hZ Z hA Z hA ZA hA

Y PE hX

Q PA P

A

h d T T

   

1 2

1 2

T T T d h T

d h

A P Q e PA Q

Y Q Q Y PE

hX P Y Q A e A Y

Q A e A P







 (3.11)

Vì PE0 và các ma trận Q, X, Z là đối xứng, xác định dương nên từ (3.11) ta thu

được bất đẳng thức sau đây

11

0

00

Y Y

Y

  (3.14)Nhân vào bên trái 0

0

T

N N

è ø è ø (3.18)

ˆ ˆ

deg det sE A  r rank E Vậy, hệ (2.3) là chính quy và impulse-free

Tiếp theo ta chứng minh rằng hệ (2.3) là ổn định mũ Để làm điều này, chúng ta đặt

I 

  (3.20)Thực hiện phép đổi biến

     

 

1 2

t h

-úû

min 11

t C

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng hệ gồm r-chiều của hệ (2.3) là ổn định mũ Ta

vẫn phải còn chứng minh phần còn lại của hệ (2.3) là ổn định mũ

Thật vậy, (3.23), chúng ta có

0y t  A y t d  h  A y t d  h (3.36)Nhân vào bên trái hai vế của phương trình (3.36) với 2y2T  t P22, chúng ta được

( ) ( )

1

22

d

d T

T

d h

Ở đây 1 là số dương bất kì và z t  A d21y1t  h. Bởi (3.16), ta có thể chọnđược số  2 0 sao cho

2 22

0

0 0

T T

d h

t t

h C

t h C

Vậy sự ổn định mũ của n-r thành phần còn lại của hệ (3.23) được chứng minh Do đó

sự ổn định mũ của hệ (2.3) được chứng minh

Thông qua Định lí 3.1, chúng ta đi chứng minh định lí về sự ốn định mũ cho hệ khôngchắn chắn suy biến có trễ dưới đây

Định lí 3.2 Hệ không chắc chắn suy biến có trễ (2.1) là chính quy, impulse-free và

ổn định mũ, nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Q, X, Z và P, Y là các ma trận có cỡ thích hợp và số  0thỏa mãn các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây

2 1 0 0 0.

T T

sự ổn định mũ của hệ đã được thiết lập dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] S Boyd, L.El Ghaoui, E Feron and V Balakrishnan, Linear Matrix - Inequalities in

System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994

[2] J.K Hale and S.M Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential

Equations, Springer-Verlag, New York, 1993.

[3] Fuzhen Zhang, Matrix theory, New York Springer-Verlag, 1999.

[4] P.T Nam, V.N Phat, Robust Stabilization of Linear Systems with Delayed State

and Control, J Opt Theory Appl 140 (2009), 287-299.

[5] S Xu, P.V Dooren, R Stefan and J Lam, Robust stability and stabilization for

singular systems with state delay and parameter uncertainty, IEEE Trans Aut.

Contr 47(2002).

[6] D H Gao, S.Zhu, Z Cheng and B Xu, Delay-dependent state feedback

guaranteed const control for uncertain singular time-delay systems, In Proc IEEE

Conf Decision and Control, Spain, December 12-15, 2005.

[7] Le V Hien, V.N Phat, Exponential stability and stabilization of a class of uncertain

linear time-delay systems, J of Franklin Insttitute, 346(2009), 611-625.

[8] Le V Hien, Q.P Ha, V.N Phat, Stability and stabilization of switched linear ynamic

systems with time delay and uncertainties, Appl Math Comp,210(2009), 223-231.

[9] D.H Su, X Ji, and J Chu, Delay-dependent robust control for uncertain singular

time-delay systems, Asian J of Control, Vol 8(2006), 180-189.

[10] D Yue and Q.L Han, Robust H Filter Design of Uncertain escriptor Systems

with Discrete and Distributed Delays, In: Proc IEEE Conf Decision and Control,

Hawaii, USA, December 2003, 610-615

[11] S Xu and J Lam, Robust Control and Filtering of Singular Systems NewYork

Key words: Exponential stability, system with time delay, linear matrix inequality techniques.

Ngày Tòa soạn nhận bài: 16/6/2011

Ngày thông qua phản biện: 20/7/2011

Ngày chấp nhận đăng: 2/7/2012

Người phản biện: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy

XÂY DỰNG BIỂU THỨC VÀ TÍNH TOÁN CÁC THÔNG SỐ KHUẾCH TÁN CỦA HỢP KIM XEN KẼ Fe-Si BẰNG PHƯƠNG

Từ khóa: Hợp kim xen kẽ, lý thuyết khuếch tán, thống kê mô men.

1 MỞ ĐẦU

Hợp kim đã và đang đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong ngành công nghiệp chếtạo, bởi vì những tính chất cơ, lý học vượt trội của nó so với kim loại thuần khiết Chính vìthế, hợp kim nhận được sự quan tâm đặc biệt của các nhà Vật lý Việc xác định các cơ chếhình thành hợp kim cũng như các tham số mô tả nó luôn là những bài toán hóc búa cho cácnhà Vật lý Lý thuyết được sử dụng phổ biến trong nghiên cứu hợp kim là lý thuyết khuếchtán Lý thuyết này đã chỉ ra hai cơ chế khuếch tán chủ yếu trong sự hình thành hợp kim là:

cơ chế xen kẽ và cơ chế thay thế

Phương pháp thống kê mômen do GS TS Nguyễn Tăng đề xuất và đã được GS TS

Vũ Văn Hùng và các cộng sự áp dụng cho việc nghiên cứu các bài toán về sự ảnh hưởngcủa dao động phi điều hoà đến các tính chất nhiệt động của các tinh thể có khuyết tật đã thuđược những thành công phù hợp so với các số liệu thực nghiệm đã công bố

Tác giả sử dụng phương pháp thống kê mômen để xây dựng lý thuyết khuếch tán củahợp kim xen kẽ, chỉ ra cơ chế khuếch tán của hợp kim xen kẽ và xây dựng biểu thức giảitích xác định năng lượng kích hoạt E, hệ số có dạng hàm mũ D0, hệ số khuếch tán D Từ

đó áp dụng tính số cho một số hợp kim xen kẽ cụ thể Fe-Si

2 NỘI DUNG

2.1 Công thức giải tích mô tả trạng thái nhiệt động của hợp kim xen kẽ

Sử dụng phương pháp thống kê mômen tác giả đã xây dựng được các biểu thức giảitích mô tả trạng thái nhiệt động của hợp kim xen kẽ như sau:

1 ThS Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức.

 Công thức tính năng lượng tự do của nguyên tử xen kẽ B trong nền nguyên tử A

Áp dụng phương pháp thống kê mômen [8], năng lượng tự do của nguyên tử xen kẽ Bđược tính theo công thức:

B m

k T k B

B B B

m

k T k T k U





1ln2

u u

r là khoảng lân cận gần nhất của nguyên tử B và các nguyên tử lân cận

Để tính được năng lượng tự do của nguyên tử B việc quan trọng đầu tiên là phải xácđịnh được r i Sự phụ thuộc nhiệt độ của r i vào nhiệt độ được tính theo công thức:

a k

a k

a k a

23 6

47 3

3

2

1 3

16 6

50 6

121 3

4

2

13

223

833

1692

933

x cth x x cth x x cth x x cth x x cth x xcthx

5

2

16

533

1483

3912

3636

7943

2

1 (2-9)Thừa số tương quan f sẽ nhỏ hơn 1 và được tính gần đúng:

1

2 1

21

11

n n

Với mạng LPTK (lập phương tâm khối):

+ Nếu khuếch tán theo cách 1 thì f = 0.5 (n1 = 4)+ Nếu khuếch tán theo cách 2 thì f = 0.75 (n1 = 8)trong đó: n1 là là số vị trí gần nhất mà nguyên tử B có thể nhảy vào, f là thừa số tương quan,

B B





 * (2-11)với B* là năng lượng tự do của nguyên tử B ở vị trí 1, B

 là năng lượng tự do của nguyên

tử B ở vị trí 2 hoặc 3

* Công thức tính độ dài bước nhảy hiệu dụng a:

Đối với mạng LPTK

+ Nếu khuếch tán theo cách 1: a = r1 + r2 (2-12)

+ Nếu khuếch tán theo cách 2:

a (2-13)

 Năng lượng kích hoạt E =  (2-14)

2.2 Áp dụng cho mạng lập phương tâm khối (lptk)

Một trong những vấn đề khi nghiên cứu hiện tượng khuếch tán là chúng ta cần phải chỉ

ra được cơ chế khuếch tán của vật liệu Đối với hợp kim nói chung và hợp kim xen kẽ nói

1

3

riêng thì có hai cơ chế khuếch tán cơ bản là: cơ chế xen kẽ và cơ chế thay thế Cơ chế nàochiếm ưu tiên phụ thuộc vào từng kim loại và các tạp chất pha tạp Đối với hợp kim xen kẽ dođặc điểm của các nguyên tử xen kẽ là những nguyên tử có kích thước nhỏ nên cơ chế xen kẽ

là chủ yếu Điều đó có nghĩa là các nguyên tử có kích thước bé hơn, dưới tác dụng của nhiệt

độ và ứng suất có thể dịch chuyển từ lỗ trống này sang lỗ trống khác trong mạng tinh thể

Cơ chế khuếch tán trong hợp kim xen kẽ phụ thuộc vào cấu trúc của mạng kim loại.Đối với mạng lập phương tâm khối có hai cách khuếch tán:

Cách 1: Nguyên tử B từ tâm mặt mạng (vị trí 1) di chuyển qua ô mạng (vi trí 2) đểsang tâm mặt mạng bên cạnh (theo cách này có 4 vị trí mà nguyên tử B có thể xen vào).Hình 1

Cách 2: Nguyên tử B từ tâm mặt mạng (vị trí 1) di chuyển chéo (vi trí 3) để sang mặtchéo (theo cách này có 8 nguyên tử B có thể dịch chuyển vào) Hình 2

Vấn đề đặt ra ở đây là phải xác định năng lượng ở các vị trí khác nhau của nguyên tửxen kẽ và tính hiệu ta sẽ được giá trị của năng lượng kích hoạt…

1 1 1

r

r AB +  2  1

2 1

r

r AB -  1  1

3 1

r

25

5 12

1 1 1

r AB +  2  1

2 1

r

r AB -  1  1

3 1

r

r AB +  2 1

2 1 2

1

1 3 1

2 r

AB

 +   1

1 1 4

1 1 1

r

r AB +   5

10

5 1 1 1

1

r

r AB - 2  2  1

1 64

1 1 3 1

4 r

AB

1 16

r

r AB +  2  1

2 1

1 1 3 1

r

r AB (2-25)Khi nghiên cứu các tính chất của một hệ nhiệt động, một vấn đề lớn có ảnh hưởngđến kết quả là việc chọn thế năng tương tác thích hợp giữa các nguyên tử trong tinh thể.Tuỳ thuộc vào loại vật liệu và tính chất nghiên cứu mà dạng thế năng được sử dụngkhác nhau

2.3 Kết quả tính toán số cho hợp kim Fe - Si

* Với hợp kim xen kẽ (HKXK) có cấu trúc mạng lập phương tâm khối Fe-Si tác giả

đã thử rất nhiều các dạng thế khác nhau nhưng chỉ khi sử dụng thế mn là thế Lennard Jones [6] cho các tương tác Fe-Fe, Si-Si thì cho kết quả phù hợp với thực nghiệm:

r

r n r

r m m n

(-Đối với HKXK Fe-Si ta áp dụng gần đúng: