Phương pháp giải bài toán về tạo số

Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh củng cố những kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp các em

Trang 1

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động

học của trò Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh củng cố những kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài

toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư

duy logic và có óc sáng tạo linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách quy lạ về quen, biết cách biến cái "không thể" thành cái "có thể"

Tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán học phổ thông Nội dung này thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, khu vực và Olympic 30/04 Các dạng toán về tổ hợp rất phong phú và đa dạng và cũng rất phức tạp nên khó phân loại và hệ thống thành các chuyên đề riêng biệt Với thực trạng đó rất cần thiết có người thầy hướng dẫn các em tìm ra phương pháp giải và tìm ra phương pháp giải tối ưu Chính vì lí do đó nên tôi đã chọn cho

mình đề tài:“ Phương pháp giải bài toán về tạo số ”.

2 Tên sáng kiến: “Phương pháp giải bài toán về tạo số”

Trang 2

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Phạm Thị Hồng Quyền

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0967.297.005

- Email: hongquyennth1979@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Phạm Thị Hồng Quyền

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo viên THPT áp dụng vào dạy ôn thi học

sinh giỏi lớp 11, lớp 12 môn toán và ôn thi THPT Quốc Gia phần kiến thức lớp 11

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Tháng 12 năm 2017

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Nội dung sáng kiến

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Khi giải các bài toán loại này ta thường áp dụng các mệnh đề sau đây : Mệnh đề 1 Giả sử ta viết các chữ số theo hàng ngang và m, n là các chữ số nguyên

dương với m n� thì

a) Số cách viết m chữ số trong n chữ số khác nhau vào m vị trí định trước bằng A n m

b) Số cách viết m chữ số phân biệt đã cho vào m vị trí trong n vị trí định trước

bằng A n m

(trong đó n-m vị trí còn lại chưa xét sự thay đổi chữ số)

c) Số cách viết m chữ số giống nhau vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng

C  C .

Trang 3

Mệnh đề 2 Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó có chữ số 0, số các số có m chữ số

khác nhau tạo thành từ chúng bằng   1

1

1 m n

n A .

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1 Số tạo thành chứa các chữ số định trước

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt

đồng thời ba chữ số 0, 1, 2?

Lời giải.

Gọi số tạo thành là a a a a a1 2 3 4 5

Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí: ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách

chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là A42; số cách chọn 2 trong 7 chữ số

còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí còn lại là A72.

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là 4A A42 72  2016.

Ví dụ 2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt

các chữ số 1và 2?

Lời giải.

Gọi số tạo thành là a a a a a1 2 3 4 5

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1 Trong số tạo thành có chữ số 0

Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí: ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách

chọn 2 trong 4 vị trí còn lại cho hai chữ số 1 và 2 là A2; số cách chọn 2 trong 7

Trang 4

chữ số còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí còn lại là A72.

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là 4A A42 72  2016.

Trường hợp 2 Trong số tạo thành không có chữ số 0

Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí: số cách chọn 2 trong 5 vị trí cho hai chữ số 1 và

2 là A52; số cách chọn 3 trong 7 chữ số còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí còn lại là A73. Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 2 là A A52 73  4200. Theo quy tắc cộng, ta được số phải tìm là 2016+4200=6216

Bài toán tổng quát 1 Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau n� 10 , trong n chữ số

đã cho có chữ số 0 Từ chúng có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với k m n � ?

Cách giải Số tạo thành gồm m chữ số có dạng a a a1 2 m Gọi tập hợp k chữ số định trước là X

Trường hợp 1 X chứa chữ số 0

Ta có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k-1 chữ số khác 0 thuộc X vào

k-1 vị trí trong m-1 vị trí còn lại bằng 11

k m

A 

 (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k trong

số n-k chữ số không thuộc X vào m-k vị trí còn lại bằng A n k m k

 (theo mệnh đề trên) Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 1 là

1

1 k m k.

m n k

S  m A A 

Trường hợp 2 X không chứa chữ số 0

Ta tính theo các bước:

Trang 5

Bước 1 Tính số các số tạo thành chứa chữ số 0.

Lần lượt có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m-1 vị trí còn lại bằng 1

k m

A  (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k-1 trong số

n-k-1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m-k -1vị trí còn lại bằng 11

m k

n k

A   (theo mệnh

đề trên)

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành chứa chữ số 0 bằng:

1 1 k 1 m k1

m n k

S  m A A   

Bước 2 Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0

Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m vị trí bằng A m k (theo mệnh đề trên); số cách viết m-k trong số n-k-1 chữ số khác 0 mà không thuộc X vào m-k vị trí

còn lại bằng 1

m k

n k

A 

  (theo mệnh đề trên)

Theo quy tắc nhân, ta được số các số bằng: 2  1 k m k1

m n k

 

Bước 3 Theo quy tắc cộng, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 2 bằng

DẠNG 2 Số tạo thành chứa hai chữ số định trước không cạnh nhau

Ví dụ 3 Cho tập hợp gồm 6 chữ số {0,1,2,3,4,5} Từ chúng viết được bao nhiêu số

có 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?

Lời giải.

Gọi số tạo thành là a a a a1 2 3 4

Trang 6

Trước hết ta tính số số tạo thành bất kì Số cách chọn chữ số cho a1là 5; số cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại của số tạo thành là A53. Theo quy tắc

nhân ta được số số là5.A53  300.

Bây giờ ta tính số số tạo thành sao cho trong đó có hai chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau Giả sử 1 và 2 xếp theo thứ tự 12

Nếu a a1 2 12: Số cách chọn 2 trong 4 chữ số còn lại cho hai vị trí còn lại của số tạo thành là A42.

Nếu a a1 2 �12: Số cách chọn vị trí cho12 là 2 (a a2 3 hoặc a a3 4) ; số cách chọn chữ số cho a1là 3; số cách chọn 1 trong 3 chữ số cho vị trí còn lại của số tạo thành là A31 3;ta được số số là 2.3.3=18

Theo quy tắc cộng số số tạo thành sao cho trong đó có chứa 12 là 12+18=30

Tương tự số số tạo thành sao cho trong đó có chứa 21 là 30

Vậy số số tạo thành sao cho không có hai chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau là

300-2.30=240

Bài toán tổng quát 2 Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau 2 � �n 10 Từ chúng

có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên có m (m n�) chữ số khác nhau sao cho trong đó

có hai chữ số định trước không đứng cạnh nhau

Trang 7

Cách giải Số tạo thành gồm m chữ số có dạng a a a1 2 m và hai chữ số định trước là

x, y (thuộc n chữ số đã cho) Ta xét các trường hợp của giả thiết về chữ số x, y và chữ số 0 như sau:

1) Giả thiết n chữ số đã cho có chữ số 0

Trường hợp 1 Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số định trước x, y khác 0

Bước 1 Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trước; có n-1 cách chọn chữ số cho a1; số cách chọn m-1 trong n-1 chữ số còn lại cho m-1 vị trí còn lại

là

1

m

n

A ( theo mệnh đề nêu trên) Do đó các số tạo thành là 1 ( 1) m11.

n

S  n A

Bước 2 Tính số các số có hai chữ số x, y cạnh nhau theo thứ tự xy và yx.

Xét trường hợp x, y cạnh nhau theo thứ tự xy.

Với a a1 2 xy. Khi đó mỗi sốa a3 m ứng với một chỉnh hợp chập m-2 của n-2 chữ số

khác x, y Theo mệnh đề trên, số các số đó bằng 2 m22.

n

S A 





Với a a1 2 �xy. Lần lượt ta có n-3 cách chọn chữ số cho a1khác 0, x, y; m-2 cách chọn vị trí cho xy; số cách chọn m-3 trong n-3 chữ số còn lại kháca x y1 , , cho m-3 vị trí còn lại là 33

m

n

A ( theo mệnh đề trên) Theo quy tắc nhân, số các số đó bằng

3

3 ( 3)(m 2) m3

n



Từ hai trường hợp trên, ta được số các số có chứa xy bằng

Trang 8

Tương tự có số có chứa yx.

Bước 3 Vậy số các số tạo thành trong trường hợp thứ nhất là

1 2( 2 3 ) ( 1) m1 2 m2 ( 3)( 2) m3

S S S S  n A  A  n m A

Trường hợp 2 Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số định trước x, y bằng 0

Bước 1 Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số x, y định trước bằng

1

1 ( 1) m1

n



 

Bước 2 Tính số các số có x, y cạnh nhau dạng x0 và 0x thứ tự bằng

2 (m 1) m2 ; 3 ( 2) m2

S   A S  m A

Số các số tạo thành trong trường hợp thứ hai là: S S  1 S2 S3.

2) Giả thiết n chữ số đã cho không có chữ số 0

Khi đó ta cũng tìm được

2 2 2(m 1)



Ví dụ 4 Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

6 chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau

Lời giải

Số các số có 6 chữ số được lập từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 là 6! 5!  .

Số các số có chữ số 0 và 5 đứng cạnh nhau: 2.5! 4!  .

Số các số có chữ số 0 và 5 không đúng cạnh nhau là 6! 5! 2.5! 4!      384.

DẠNG 3 Số tạo thành chứa chữ số lặp lại

Trang 9

Ví dụ 5 Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong đó có một chữ số

xuất hiện ba lần, một chữ số khác xuất hiện hai lần và một chữ số khác với hai chữ số trên?

Lời giải.

 Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau

Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có C36 cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số

đó Sau đó có 9 cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất hiện 2 lần và có C23cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí còn lại cuối cùng Ta được số các số đó bằng

S 10.C 9.C 8 720.C C  

 Vì vai trò của 10 chữ số 0, 1, …, 9 như nhau nên số các số có chữ số đầu trái là

0 bằng

1

S

10 , do đó số các số có chữ số đầu trái khác 0 thỏa mãn bài toán bằng

3 2

6 3

9

S 648.C C 38880.

Bài toán tổng quát 3 Cho tập hợp gồm n chữ số 3 n 10 � �  Từ chúng viết được

bao nhiêu số có m chữ số n m 3 � � sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số khác xuất hiện q lần và một chữ số khác với hai chữ số trên với

k q 1 m?   

Cách giải Ta xét hai bài toán nhỏ dưới đây

1) Giả thiết n chữ số đã cho có chữ số 0

Bước 1 Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta thấy:

Trang 10

Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có Ckmcách chọn k trong m vị trí cho chữ số

đó Sau đó có n-1 cách chọn chữ số xuất hiện q lần (khác với chữ số trên) và cóCqm k cách chọn q trong m-k vị trí còn lại cho chữ số đó Cuối cùng có n-2 cách chọn chữ số vào vị trí còn lại

Theo quy tắc nhân, ta tính được số các số đó bằng S n(n 1)(n 2)C C    km qm k .

Bước 2 Vì vai trò của n chữ số như nhau nên số các số có chữ số đứng đầu khác 0

thỏa mãn bài toán bằng

m m k

(n 1)S

(n 1) (n 2)C C

2) Giả thiết n chữ số đã cho không có chữ số 0

Khi đó ta cũng tìm được S n.C (n 1)C  km  qm k .(n 2) n(n 1)(n 2)C C     km qm k .

Ta có thể mở rộng bài toán tổng quát cho t chữ số trong đó mỗi chữ số xuất hiện lần

lượt k , k , k 1 2 tlần (k 1  k 2    k t m).

Ví dụ 6 Từ các chữ số 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?

Lời giải

Cách 1: dùng tổ hợp

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có C92 cách

Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là C92 3

7

C 4 4

C 1260 số.

Cách 2: dùng hoán vị lặp

Số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là

9!

1260 2!3!4! 

số

Trang 11

DẠNG 4 Tính số số tự nhiên chẵn

Ví dụ 7 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?

Lời giải: Gọi số tạo thành là a a a 1 2 5

Trường hợp 1 a 5  0: Số cách chọn 4 trong 9 chữ số còn lại cho 4 vị trí còn lại là

4

9

A  3024.

Trường hợp 2 a 5 � 0 :Lần lượt ta có

4 cách chọn chữ số chẵn cho a ; 5 sau đó số cách chọn chữ số cho a 1 là 8; tiếp theo số

cách chọn 3 trong 8 chữ số còn lại cho 3 vị trí còn lại là A 38

Ta được số số là 4.8.A38  10752.

Theo quy tắc cộng, ta được số số là 10752+3024=13776

Nhận xét Số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau (ứng với a 5 � 0) là 4.8.A38  10752.

DẠNG 5 Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ

Ví dụ 8 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai

chữ số lẻ?

Lời giải Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.

Trường hợp 1 Trong số tạo thành có chữ số 0 Lần lượt ta có

Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; số cách chọn thêm 2 trong 4 chữ số chẵn là C24;

số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là C25; với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ chọn ra có 4! Hoán vị cách xếp vào bốn vị trí còn lại của số tạo thành Ta được số số là

2 2

4 5

4.C C 4! 5760 

Trường hợp 2 Trong số tạo thành không có chữ số 0 Lần lượt ta có

Số cách chọn trong 4 chữ số chẵn khác 0 là C34; số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là C 52; với 5 chữ số chọn ra có 5! hoán vị cách xếp vào 5 vị trí của số tạo thành

Ta được số số là C C 5! 4800.34 52 

Theo quy tắc cộng, ta được số số tạo thành là 5760 + 4800 =10560

Trang 12

Ví dụ 9 Tập S gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Tìm tập S gồm số có sáu chữ số khác nhau sao cho không

có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau

Lời giải

Vì số được chọn có 6 chữ số nên ít nhất phải có hai chữ số chẵn, và vì không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn có tối đa 3 chữ số chẵn

TH1: Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là abcdef

Xếp 4 số lẻ trước ta có 4! cách

Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống của các số lẻ có C A52 52 4.C14 cách.

Trong trường hợp này có  2 2 1

5 5 4 4! C A  4.C  4416 (số).

TH2: Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là abcdef

Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có A43 cách

Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống của các số lẻ có C A43 53C A32 42 cách.

Trong trường hợp này có 3  3 3 2 2

4 4 5 3 4 4896

A C A C A  (số).

Vậy có tất cả 9312 số có 6 chữ số sao cho không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau

Ví dụ 10 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3

Lời giải

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	392,39 KB