Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở trường THCS

Tên sáng kiến thứ 1: Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở trường THCS.. Việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạytoán trong nhà trường trung học cơ sở nói riêng đã đ

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa.

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn.

Đơn vị: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc

HỒ SƠ GỒM CÓ:

1 Đơn đề nghị công nhận Sáng kiến cấp huyện

2 Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến

3 Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường

Tam Dương, năm 2019

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

-ĐƠN ĐỀ NGHỊ

CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN

Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến huyện Tam Dương

Tên tôi là: Khổng Thị Hồng Hoa.

Chức vụ (nếu có): Tổ trưởng chuyên môn.

Đơn vị/địa phương: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc Điện thoại: 0385 921 891

Tôi làm đơn này trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến huyện Tam

sáng kiến đã được Hội đồng Sáng kiến cấp trường công nhận sau đây:

1 Tên sáng kiến (thứ 1): Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở trường THCS.

2 Tên sáng kiến (thứ 2):

(Có Báo cáo Báo cáo kết quả nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến

và Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường kèm theo)

Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật,không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn chịu tráchnhiệm về thông tin đã nêu trong đơn

Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị

(hoặc Chính quyền địa phương)

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu:

Trong thời kì cả nước đang tiến nhanh trên con đường cách mạng côngnghiệp 4.0 Song song với sự phát triển mạnh mẽ về các lĩnh vực kinh tế, xã hội,công nghệ thông tin,… sự nghiệp giáo dục cũng đang được đổi mới và phát triểnkhông ngừng, nhất là đổi mới về phương pháp dạy học

Toán học là bộ môn khoa học trừu tượng nhưng có ý nghĩa vô cùngquan trọng trong học tập Việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và dạytoán trong nhà trường trung học cơ sở nói riêng đã được định hướng pháp chếhoá trong luật giáo dục đó là: “phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tựgiác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp, bồidưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh …”.Giúp HS hướng tới học tập chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụđộng vốn có của đa số học sinh trong nhà trường trung học cơ sở

Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học mônToán ở trường THCS Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu củaviệc học tập môn Toán Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toáncho học sinh là việc làm hết sức cần thiết

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh những

kỹ năng, phương pháp giải toán, sự độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạonhất Vì vậy đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi ra những phươngpháp mới và hay để dạy cho học sinh Từ đó học sinh được trau dồi tư duy logic,

sự sáng tạo qua việc giải các bài toán Việc đánh giá chất lượng, năng lực tưduy, hay khả năng tiếp thu kiến thức của phương pháp dạy học đối với bộ môntoán chủ yếu thông qua giải bài tập Công việc giải bài tập nhằm củng cố hoànthiện khắc sâu nâng cao những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng giảitoán Đối với học sinh ngoài việc truyền đạt cho học sinh những kiến thức, kĩnăng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình giáo khoa đại trà chúng tacòn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận học sinh khá, giỏi đây là một việcrất cần thiết và phải được tiến hành thường xuyên ở trong các nhà trường trunghọc cơ sở Nhằm tạo điều kiện để cho học sinh phát huy được năng lực, trí thôngminh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi cáccấp, phát triển nhân tài cho đất nước

Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với học sinh THSC làcần nắm vững kiến thức quan trọng đó là giải bài tập về số học trong đó có nội

dung số chính phương Nội dung này học sinh đã được học ở lớp 6 nhưng kiếnthức này sẽ gặp lại ở các lớp 7; 8; 9 Trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ chú trọngcác kiến thức cơ bản nhất, chưa phong phú và đa dạng Bài tập còn ít và dễ docác yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đào tạo đã đề ra.Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức, phát triển kĩ năng củanhững em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi

Trong kỳ thi giao lưu học sinh giỏi cấp huyện trong những năm gần đây,học sinh đội tuyển toán nhà trường, của huyện Tam Dương nói chung đa sốkhông làm được bài toán số chính phương hoặc làm nhưng không lập luận chặtchẽ, do đó kết quả học sinh giỏi không cao

Với những lý do trên tôi đưa ra sáng kiến: "Các phương pháp giải bài

tập về số chính phương ở trường THCS" để áp dụng vào giảng dạy cho độituyển học sinh giỏi toán của nhà trường, đồng thời làm tài liệu chung bồi dưỡnghọc sinh giỏi toán của huyện trong năm học 2018 - 2019 và những năm sau

2 Tên sáng kiến: "Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Giáo viên: Khổng Thị Hồng Hoa - Trường THCS Đồng Tĩnh, TamDương, Vĩnh Phúc

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Sáng kiến được áp dụng trong lĩnh vực Giáo dục đào tạo, cụ thể là ápdụng trong bồi dưỡng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Sáng kiến đưa ra được hệ thống các phương pháp giải các bài toán về sốchính phương trong chương trình toán THCS với nội dung phong phú, đa dạngvới các mức độ từ dễ đến khó, phù hợp với các đối tượng học sinh

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Đối với học sinh THCS từ lớp 6 đến lớp 9: ngày 22 tháng 09 năm 2019

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1.1 Cơ sở lý luận

Toán học trung học cơ sở là cầu nối giữa sự phát triển của toán học ở tiểuhọc và toán học ở trung học phổ thông Ở đây học sinh được tìm hiểu các kiếnthức cơ bản như định nghĩa, định lý, tiên đề,…trong các phân môn như số học,

đại số, hình học Đó mới là mức độ kiến thức, nâng cao nữa là kĩ năng giải toán.

Để làm được điều này thầy truyền đạt, hướng dẫn chính xác khoa học, phươngpháp phù hợp còn học sinh phải có năng lực tư duy, chăm chỉ và có cách thứchọc tập tốt

Tuy nhiên nhìn chung chất lượng giáo dục vẫn còn nhiều điều đáng phảiquan tâm Bản thân tôi là giáo viên bộ môn Toán đã nhiều năm thực hiện côngtác giảng dạy tôi rất băn khoăn và trăn trở về chất lượng bộ môn toán trong nhàtrường trung học cơ còn thấp so với yêu cầu

Năm học 2018 - 2019 cũng là năm tiếp theo triển khai thực hiện kết luậncủa hội nghị Trung ương VI (khoá IX) về tiếp tục thực hiện nghị quyết Trungương II (khoá IX) “Đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, đổi mới phươngpháp dạy học khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duysáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vàphương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện và thời gian tựhọc, tự nghiên cứu cho học sinh”

Từ những đường lối trên của Đảng, chủ trương của Nhà nước, biện phápcủa sở giáo dục và đào Vĩnh Phúc và phòng giáo dục và đào Tam Dương cũngnhư qua kinh nghiệm giảng dạy tôi nghĩ rằng việc hình thành kĩ năng giải bài tập

số học về số chính phương cho học sinh lớp THCS cũng là một đổi mới của cánhân tôi với mong muốn góp phần vào mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dụcnói chung

Qua nghiên cứu, giảng dạy tôi nhận thấy phương pháp giải các bài toán

về số chính phương là nội dung cơ bản thiết yếu trong chương trình toán Nó là

cơ sở và công cụ cho các nội dung toán sau này và nhiều ứng dụng trong thực tế.Lượng kiến thức và các bài tập vận dụng rất phong phú từ dễ đến khó

Kỹ năng giải bài tập về số chính phương trong chương trình giúp học sinh

có khả năng thành thạo giải các bài toán liên quan và biết áp dụng linh hoạt vàocác dạng bài tập khác nhau Nó là tiền đề để học sinh hình thành được kỹ nănggiải bài tập đại số trong chương trình ở học sinh đại trà, ôn luyện bồi dưỡng họcsinh giỏi môn toán trung học cơ sở cũng như của học sinh ở phổ thông trung học

7.1.2 Cơ sở thực tiễn (Thực trạng học tập môn toán trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương)

Hiện nay toán học ngày càng phát triển và mở rộng đi sâu hơn Do đó việcdạy tốt bộ môn số học về số chính phương kể cả lí thuyết hay bài tập trở thànhmột nội dung rất quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở

Thực tế khi giảng dạy tại trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dươngcho thấy trong quá trình học tập các em học sinh vẫn còn lúng túng khi giải cácbài tập số học về số chính phương Gặp những dạng toán tương tự hay dạng toánmới các em chưa có định hướng để làm bài

Thống kê khảo sát nội dung về số nguyên tố trong hai năm học 2017 –2018; 2018 – 2019 tại trường THCS Đồng Tĩnh như sau:

Chính vì thế tôi nghiên cứu và đưa ra đề tài “Các phương pháp giải bài tập về

số chính phương ở trường THCS”

7.1.3 Giải pháp

Sáng kiến đưa một số phương pháp giải các bài toán về số nguyên tố, cụ thểnhư sau:

Phương pháp 1 Chứng minh một số là số chính phương

Phương pháp 2 Chứng minh một số không là số chính phương

Phương pháp 3 Chứng minh số đó nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp Phương pháp 4 Chứng minh số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.Phương pháp 5 Tìm số n để các số (biểu thức) là số chính phương Các phương pháp này được sắp xếp từ dễ đến khó, mỗi phương pháp đều

có những ví dụ minh họa cụ thể Khi áp dụng giảng dạy cho học sinh ta tiếnhành cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, liên quan giúp học sinh tự tintrong việc tiếp thu kiến thức và phương pháp mới Đây là điều khá quan trọngtrong việc dạy học nói chung, dạy học môn toán nói riêng

7.1.4 Một số lý thuyết cơ bản về số chính phương:

Số chính phương là một số viết được dưới dạng bình phương của một số

tự nhiên

Ví dụ: Có 9 = 32, 25 =52 Các số 9 và 25 là bình phương của các số tựnhiên của 3 và 5 nên 9 và 25 được gọi là các số chính phương

7.1.4.2 Một số tính chất:

Tính chất 1: Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6,

9; không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

Tính chất 2: Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các

thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

Tính chất 3: Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1.

Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N)

Tính chất 4: Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1.

Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N )

Tính chất 5: Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục

là chữ số chẵn

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ

Tính chất 6: Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

Tính chất 7: Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ Đảo lại một

số có số lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương

Tính chất 8: Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào Tính chất 9: Nếu tích hai số nguyên liên tiếp là số chính phương thì một trong

hai số đó có một số là số 0

Tính chất 10: Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là số chính

phương thì a, b đều là số chính phương

7.1.5 MỘT SỐ DẠNG BÀI VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.

7.1.5.1 Chứng minh một số là số chính phương.

Để chứng minh số A là số chính phương, tùy từng bài toán ta lựa chọn phươngpháp nào cho phù hợp Sau đây là các phương pháp thường dùng.

Dựa vào định nghĩa

Bài 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:

A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4

2 2

Vậy A là một số chính phương nhưng

Bài 7: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2.

2

(33 3) 3

Từ bài toán này ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát:

Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên B gồm kchữ số 2 Chứng minh rằng : A - B là một số chính phương

6, Cho a = 11… 1 ; b = 100… 011 ( n2)

n chữ số 1 (n-2)chữ số 0

CMR : ab +4 là số chính phương

Dựa vào tính chất đặc biệt

Ta sẽ chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và ab là một số chính phương thì a và b đều là số chính phương.Chứng minh:

- Giả sử (a,b) = 1 và a.b = c2( cN)

Khi đó ta sẽ chứng minh : a và b đều là các số chính phương

- Gọi d = (a,c)  a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = 1

Từ (1) và (2) => b =c12 Khi đó a=

2 2 1

c d c



Như vậy tính chất trên được chứng minh

Sau đây là một số bài toán ta có thể áp dụng tính chất trên

Bài 1: Chứng minh rằng : Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y thì : a, x-y và x+ y +1 là các số chính phương

- Thật vậy , gọi d = (x-y; x +y+ 1)

Chứng minh tương tự phần a ta được (x – y; 2x +2y +1) = 1

áp dụng tính chất 9 suy ra x – y và 2x +2y +1 là các số chính phương

Bài tập áp dụng:

1 Chứng minh rằng:

Nếu x và y là các số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì:

a, x –y và 2x +2y +1 là các số chính phương

b, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương

2 Chứng minh rằng :

Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y thì :

a, x –y và 3x +3y +1 là các số chính phương

b, x –y và 4x +4y +1 là các số chính phương.

Từ các bài toán trên ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát:

Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn nx2 +x = ( n +1)y2 +y (n  N) thì :

a, x – y và nx +ny +1 là các số chính phương

b, x- y và (n +1)x + (n +1)y +1 đều là các số chính phương

7.1.5.2 Chứng minh một số không là số chính phương.

Chúng ta đã biết cách chứng minh một số là số chính phương Vậy để chứng minh một số không phải là số chính phương ta làm thế nào? Một số là số chính phương thì cần có những điều kiện gì?

Trả lời được những câu hỏi trên , chúng ta sẽ tìm ra hướng để giải quyết những bài toán “ Chứng minh một sô không là số chính phương”

Sau đây là một số phương pháp giải khi thực hiện dạng toán này

Dựa vào kiến thức trên, ta có thể giải quyết được bài toán sau đây:

Bài 1: Chứng minh số A = 11 +112+113+114+115+116+117 không là số chính phương

Bài 2: Chứng minh số 2006000 không là số chính phương.

Nhận xét :

Ta thấy B có tận cùng là 1 Vậy muốn chứng minh B không là số chínhphương ta phải làm như thế nào?

Khi đó ta cần chú ý một tính chất nữa của số chính phương đó là:

Một số chính phương chia hết cho số p 2k+1 thì phải chia hết cho p 2k+2 (p là

số nguyên tố , k  N)

Vậy lời giải bài toán 3 sẽ là : Ta thấy B chia hết cho 3 nhưng không chiahết cho 9 ( vì tổng các chữ số của số B bằng 3 chia hết cho 3 mà không chia hếtcho 9) => B không phải là số chính phương

Bài 4: Chứng minh số 20070 không là số chính phương.

Giải :

- Cách 1: Theo bài toán 2 ta thấy số 20070 có tận cùng là một số lẻ chữ

số 0 => 20070 không là số chính phương

- Cách 2 : Ta thấy số 20070 chia hết cho 5( vì có tận cùng là 0) nhưng

không chia hết cho 25 ( vì hai chữ số tận cùng không chia hết cho 25) Do đó số

Dựa vào việc xét số dư trong các phép chia cho 3,4,5…

Bài 1: CMR : Số A = 22…24 không phải là số chính phương.

Nhận xét: Thật vậy, nếu xét chữ số tận cùng ta thấy số A có tận cùng là 4,

như vậy không thể kết luận được gì Mà số A chia hết cho 2 và cũng chia hết cho 4( do hai chữ số tận cùng chia hết cho 4) Như vậy, ta không thể áp dụng cách chứng minh ở dạng 1 vào bài toán này

Chúng ta đã biết chứng minh một số chính phương khi chia hết cho 3 có

số dư là 0 hoặc 1 Vậy A chia cho 3 có số dư như thế nào? Khi đó ta có lời giải

Giải:

Do số A có tổng các chữ số của nó là 104, số này chia cho 3 dư 2