BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.Lời giới thiệu Phương trình lượng giác là một dạng tốn quen thuộc trong chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác tương đối nhiều
Trang 1SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
-o0o -BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
- Tên sáng kiến:
“ Mét sè Kü THUËT gióp häc sinh häc tèt
- Tác giả: NGUYỄN THỊ HƯƠNG
- Mã sáng kiến: 52.05
Tháng 1 năm 2020
Trang 2
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.Lời giới thiệu
Phương trình lượng giác là một dạng tốn quen thuộc trong chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác tương đối nhiều và khĩ nhớ, nếu chỉ học thuộc lịng cơng thức thì học sinh rất dễ nhầm lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều cĩ ít nhất một câu giải phương trình lượng giác và câu này học
Vì vậy để giúp các em học sinh đạt điểm tối đa phần lượng giác trong các kỳ thi tôi
mạnh dạn viết đề tài : « MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC »
Tơi rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quí thầy cô cùng
đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn
2 Tên sáng kiến:
« MỘT SỐ KỸ THUẬT GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC »
3 Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0914262614 E_mail: nguyenhuong150883@gmail.com
4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến :
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Tốn: lớp 11
6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10 /9/2019
7 Mơ tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các cơng thức lượng giác
2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác hay rút gọn một biểu thức lượng giác
3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng cơng thức nào để đưa phương trình đĩ về dạng phương trình đã biết cách giải
Trang 34/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác cĩ điều kiện.
7.1 Hiện trạng :
- Cơng thức lượng giác tương đối nhiều và khĩ nhớ, nếu chỉ học thuộc lịng cơng thức thì
học sinh rất dễ nhầm lẫn
- Đứng trước việc giải một phương trình lượng giác nhiều khi học sinh vẫn chưa định hình được việc áp dụng cơng thức lượng giác nào để hiệu quả nhất
- Trong các bài tốn giải phương trình lượng giác chứa điều kiện, học sinh chưa biết loại nghiệm ngoại lai
7.2 Một số giải pháp
- Đưa ra một số kỹ thuật để giúp học sinh học thuộc cơng thức lượng giác và giải phương trình lượng giác
7.3 Nội dung
I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/HỆ THỨC CƠ BẢN
1/ sin2x + cos2x = 1 2/ tanx = cossinx x
3/ cotx = cossinx x 4/ tanx cotx = 1
5/ 1 + tan2x = cos 2x
1
6/ 1 + cot2x = sin 2 x
1
2 / CUNG LIÊN KẾT
CÁCH NHỚ : - Cơng thức (2) và (3), (4): tanx và cotx là nghịch đảo của nhau
- Cơng thức (5) và (6): chú ý mẫu của tanx là cosx, mẫu của cotx là sinx
CÁCH NHỚ :
Đĩng khung những trường hợp đặc biệt và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đĩ , trường hợp
nào khơng được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào
cos đối , sin bù , phụ chéo
Hơn kém ta có tang và cotang
Hơn kém
2
, chéo , sin một mình
Trang 4(cos đối) (sin bù)
Hai cung đối nhau là x và – x Hai cung bù nhau là x và - x
cos ( - x) = - cosx
sin ( - x) = - sinx
tan(- x) = - tanx tan ( - x) = - tanx
cot (- x) = - cotx cot ( - x) = - cotx
(phụ chéo)
Hai cung phụ nhau là x và 2 – x Hai cung hơn kém nhau là x và + x
cos( 2 - x) = sinx cos ( + x) = - cosx
sin ( 2 - x) = cosx sin ( + x) = - sinx
tan(2 - x) = co tx
cot ( 2 - x) = tanx
Hai cung hơn kém nhau 2 là x và 2 + x
cos( 2 + x) = - sinx
tan( 2 + x) = - co tx
cot(2 + x) = - tanx
3/CÔNG THỨC CỘNG
cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb
sin ( a + b) = sina.cosb +sinb cosa
sin ( a – b) = sina.cosb – sinb cosa
tan ( a – b) = 1tantanaa.tantanb b
tan ( a + b) = 1tan tanaa.tantanb b
CÁCH NHỚ :
Cos thì cos cos , sin sin Sin thì sin cos , cos sin Cos trái dấu , sin cùng dấu
cos( - x) = cosx
sin ( - x) = sinx
tan ( + x) = tanx cot ( + x) = cotx
sin (
2
+ x) = cosx
Trang 5cot ( a + b) = cotcotb b.cotcotaa1
cot ( a – b) = cotcotb b.cot cotaa1
4/CÔNG THỨC NHÂN
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a cos3a = 4 cos3a – 3cosa sin 2a = 2 sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin3a tan 2a = 1 tana2 a
tan 2
tan3a = a 2a a
3
tan 3 1
tan tan
3
5/CÔNG THỨC HẠ BẬC
cos2 a = 1cos2 2a sin2a = 1 cos2 2a tan2a = 11 coscos22a a
6/CÔNG THỨC TÍNH biến đổi sina , cosa , tana về ( t = tan a2)
sina = 1 2
2
t
t
, cosa = 2
2
1
1
t
t
, tan a = 1 2
2
t
t
7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2 cos 2
2 cosab a b cosa - cosb = - 2 sin 2
2
sina + sinb = 2 cos 2
2 sinab a b sina - sinb = 2 sin 2
2
tan a + tanb = cossin( a a.cosb b)
tan a - tanb = cossin( a a.cosb)b
8/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG :
cosa.cosb = cosab cosa b
2 1
sina.sinb = cosab cosa b
2 1
sina.cosb = sinab sina b
2 1
CÁCH NHƠ : Ù
Cos cộng cos bằng hai cos cos Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin Sin cộng sin bằng hai sin cos Sin trừ sin bằng hai cos sin
CÁCH NHỚ : tang mình cộng với tang ta
Bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình
CÁCH NHƠ : Ù
cos nhân cos bằng
2
1
của cos cộng cos Sin nhân sin bằng trừ 21 của cos trừ cos Sin nhân cos bằng
2 1
của sin cộng sin
Trang 6
II/ BIỂU DIỄN GĨC CUNG TRÊN ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC
B1: Đưa về dạng x = k2
n
( k Z, n *
) B2: Cho k nhận các giá trị từ 0 đến (n-1)
0
k x , khi đĩ x được biểu diễn bởi điểm M 1
2 1
n
, khi đĩ x được biểu diễn bởi điểm M 2
2
n
, khi đĩ x được biểu diễn bởi điểm M3
2
n
, khi đĩ x được biểu diễn bởi
điểm M n
Giải:
x k x k k (n 1)
Khi k = 0 thì x =
6
x được biểu diễn bởi điểm M (
6
)
x k x k k (n 2)
Khi k = 0 thì x =
6
x được biểu diễn bởi điểm M (
6
)
M( 6
)
y
O
x
M( )
Ví dụ :Tìm điểm biểu diễn của cung x :
1/ x = 2 ( )
3/ x = ( )
k
k Z
M( 6
)
Trang 7Khi k = 1 thì x =
6
x được biểu diễn bởi điểm N (N là điểm đối xứng của M qua O)
k
x x k k (n 4)
Khi k = 0 thì x =
6
x được biểu diễn bởi điểm M (
6
) Khi k = 1 thì x =
x được biểu diễn bởi điểm P Khi k = 2 thì x =
6
x được biểu diễn bởi điểm N (N là điểm đối xứng của M qua O)
Khi k = 3 thì x = 3
x được biểu diễn bởi điểm Q (Q là điểm đối xứng của N qua O)
k
k Z
, x được biểu diễn bởi điểm cĩ 4 điểm là đỉnh hình vuơng MNPQ nội tiếp trong đường trịn lượng giác
Tổng quát:
Nếu x = 2k
n
( k Z) thì x được biểu diễn bởi n điểm là đỉnh đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường trịn lượng giác.
III/ MỘT VÀI KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
III.1 Kỹ thuật 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số :
1/ Khi hai vế phương trình có những thừa số giống nhau và có chứa x thì ta phải chuyển về một vế và đưa về phương trình tích
Gi
ả i : sinx ( 2 cosx -1 ) = cos2x.sinx sinx ( cos2x – 2cosx – 1 ) = 0
sin2 0
x
sincosx x01
2
x k
x k
x h
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là : x k ( k Z )
Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( 2 cosx +1 ) = cos2 x.sinx
O
x N
M( ) P
Q
Trang 82/ Nếu các góc trong phương trình có dạng nhân đôi thì ta thường dùng công thức nhân đôi hoặc công thức hạ bậc nâng cung để đưa về phương trình chỉ theo một góc
Gi
ả i : sin 2x = 2 cos2x 2 sinx cosx - 2 cos2x = 0 2cosx ( sinx – cosx ) = 0
cos 0
x
4
x
x
4
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là : 2
4
( k,h Z )
hoặc sin 2x = 2 cos2x sin2x = 1 + cos2x sin2x – cos2x = 1
3/ Nếu trong phương trình có chứa cos 2 x , sin 2 x thì ta dùng công thức hạ bậc nâng cung
Gi
ả i : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x 1 cos 2 1 cos 4 1 cos6 1 cos8
cos2x + cos4x = cos6x + cos8x 2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx
cosx ( cos7x – cos3x) = 0
cos 0
cos7 cos3
x
2
x x h
x x h
2 2 5
h x h x
5
h x h x
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là : 2
5
h x h x
( k,h Z )
4/ Nếu trong phương trình có dạng tổng thì ta biến thành tích hoặc ngược lại
Ví dụ 2 : Giải phương trình : sin 2x = 2 cos2 x
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin 2 2x = sin 2 3x + sin 2 4x
Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = 0
Trang 9ả i : sinx + sin 2x + sin 3x = 0 ( sin3x + sinx) + sin2x = 0
2sin2x cosx + sin2x = 0
sin2x ( 2 cosx + 1) = 0
sin 2 0
1 cos
2
x x
2 3
k x
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là : 22
3
k x
( k,h Z)
Gi
ả i : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x 1 1
(cos8 cos6 ) (cos8 cos 2 )
cos6x = cos2x 6 2 2
x x k
x x k
4
k x
k x k
x
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là : xk4 ( k Z)
Bài tập :Giải các phương trình sau :
1) sin 4x sin 3x sin 2x sin x 2 2 2 2 2) sin x(1 cosx) = 1 cosx + cos x 2
3) sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x 2 2 2 2
2
cos x cosx 1
sinx + cosx
6) cos 3x.cos2x cos x 0 2 2
7) 2cos x 1 2sin x cosx sin 2x sinx 8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x 9/ 9 – 13 cosx = - 1 tan 2 x
4
10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 3 11/ sin2 x – 6 sinx cosx + cos2 x = - 2 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x
x
x x
2 sin 2 cos 2
cos
1
sin
3
sin
14/ sin 5x – sinx = 3 sin 2x
15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x 16/ cos4 x – cos 2x + 2 sin6 x = 0
17/ cosx - cos 2x = sin 3x 18/ cos2 2x + 2cos2 x = 1
Ví dụ 5: Giải phương trình : cosx cos7x = cos 3x cos 5x
Trang 10III.2 Kỹ thuật 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số
1/ Đặt ẩn phụ theo tan
ï t = tan 2x 2 22
sin 2 , cos 2
Giải: Điều kiện : x
2 k
( k Z) 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x 6tan2 x = 2cos2x + 1
nên ta đặt ẩn phụ t = tan x 22
1 cos 2
1
t x t
Khi đĩ phương trình (1) trở thành : 6t2 = 2 ( 22
1 1
t t
) + 1 6t4 + 7t2 – 3 = 0
2
2
3
2
1
3
t loai
t
tan2x = 13
1
6 3
1
6 3
x x
6
( h Z)
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x = 6 h ( h Z )
2/ Biến đổi phương trình đã cho về dạng cĩ những biêu thức đồng dạng để từ đĩ ta đặt được ẩn phụ
Giải: Điều kiện : x
2
k
( k Z) (1) ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = 6
Đặt t = tanx + cotx = sin 2x2 , vì sin 2x 1 nên 2 2
2
t t
t
tan2x+ cot2x = t2 – 2 , tan3x+ cot3x = t3 – 3t
Khi đĩ phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – 8 = 0 2 2
3 4 0 ( )
t
Ví dụ 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos 2 x = cos 2x
Ví dụ 2: Giải phương trình: tanx + tan2 x + tan 3 x + cot 2 x + cot 3 x = 6 (1)
Trang 11 2
sin 2x = 2 sn2x = 1 x = 4 h ( h Z ) ( thỏa đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 4h ( h Z)
3/ Phương trình có chứa đồng thời sinx cosx m, sin cosx xn thì ta đặt t = sinx cosx
Giải:
Đặt t = sinx + cosx = 2sin (x4 ) Điều kiện : t [ 2; 2]
sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( 2 1
2
t ) Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 – 3t ( 2 1
2
t ) = 2t – 1 2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2
t3 + t – 2 = 0 2 1
2 0 ( )
t
sin (x4 ) = 1 sin
4 2
2 2 2
x k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
2 2 2
x k
( k Z )
4/ Phương trình có dạng : a (tan 2 x + cot 2 x ) + b( tanx – cotx) + c = 0
Ta đặt t = tanx – cotx tan 2 x + cot 2 x = t 2 + 2
Giải:
Điều kiện : x
2
k
( k Z) Đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + 2
Khi đó phương trình (1) trở thành: 3( t2 + 2) + 2 ( 3 - 1)t – 4 - 2 3 = 0
3t2 + 2 ( 3 - 1)t – 4 = 0
2 2 3
t t
Ví duï3 :Giải phương trình: sin3 x + cos 3 x = 2 ( sinx + cosx) – 1 (1)
Ví duï 4:Giải phương trình: 3 (tan2 x + cot 2 x ) + 2 ( 3 - 1) ( tanx – cotx) – 4 - 2 3 = 0
(1)
Trang 12* t = -2 tanx – cotx = -2 tan2x + 2tanx – 1 = 0 tan 1 2 tan
x x
x h
( k, h Z )( thỏa đk)
* t = 2
3 tanx – cotx = 2
3
sin cos sin cos
x x
3
cos 2 1 sin 2 2
x x
= 2
3
cot2x = - 1
3 = cot ( -
3
) 2x = - 3 + l x = - 6 l2 ( l Z)( thỏa đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x h
l
( k, h, l Z)
Bài tập: A/ Giải các phương trình sau:
3cos x 4sin x 1
2/ sinx cosx 4sin 2x 1
3/ 2(tan x sinx) + 3(cotx cosx) + 5 = 0 4/ 1 s inx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 6/
7/ cot x sin x 1 tan x tan x 4
2
8/ 2 cos x sin x 6 6 sin x cos x
0
2 2sin x
9/ 2 + cosx = 2tan
2
x
10/ cotx = tanx + 2 tan2x 11/ 1 + tanx = 2 2sinx 12/ sin( 2x -
3
) = 5 sin( x -
6
) + cos 3x 13/ sin( 3
10 2
x
) = 1sin( 3 )
x
14/ 2cos( x +
6
) = sin3x – cos3x
2
1
cos
m
m x m x
có đúng ba nghiệm thuộc ( - ;
2
C/ Tìm m để phương trình : cos2 x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0; 2] D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx –
m + 1 = 0
có 4 nghiệm thuộc khoảng ( - ;
2 2
) E/ Cho phương trình : 2( 2
4
cos x + cos2x ) + m ( 2
cos x - cosx) = 1 (1) a/ Giải phương trình khi m = 9
b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; )
Trang 13F/ Cho phương trình : 4tan2x + 4m
cosx + 5 = 0 (1) a/ Giải phương trình khi m = - 1
b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( - ;
2 2
) G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 : ]
H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = - 1
b/Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
III.3 Kỹ thuật 3: Phương trình lượng giác có điều kiện
1/ Phương trình lượng giác chứa tang, cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu:
Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại này là:
Đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa
Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay không?
Kết luận nghiệm
Giải:Điều kiện:
(2 1) ( )
4 cos 2 0
6 cos5 0
(2 1) ( )
10
x
x
Với điều kiện (1) tan 5 (1 tan 2 tan 3 ) tan 2x x x x tan 3x (2)
Nhận xét:
1 + tan2x.tan3x 0 vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0 tan2x = tan3x (VT=0 VP=0)
1 tan 2 2 x 0 vô lý
Vậy (2) tan 5 tan 2 tan 3 tan( )
1 tan 2 tan 3
x x
5
6
k
x x k x
Ví dụ 1: Giải phương trình: tan 2 tan 3 tan 5x x x tan 2x tan 3x tan 5x (1)