SKKN PHÂN TÍCH một số bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG THỰC tế THƯỜNG sử DỤNG TRONG kì THI THPT QG vào GIẢNG dạy môn TOÁN ở TRƯỜNG THPT

PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI THPT QG VÀO GIẢNG DẠY MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT DƯƠNG NGỌC ANH Giáo viên trường THPT Bến Tre - TP.

PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ỨNG DỤNG THỰC TẾ THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG KÌ THI THPT QG VÀO GIẢNG DẠY MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT DƯƠNG NGỌC ANH (Giáo viên trường THPT Bến Tre - TP.Phúc Yên - tỉnh Vĩnh Phúc)

Trong thực tế luôn đặt ra cho chúng ta giải quyết các vấn đề nhằm đáp ứng nhu cầu cuộc sống của con người Mỗi vấn đề đó luôn liên quan

và gắn chặt với một hoặc nhiều bài toán của các ngành khoa học, đặc biệt là toán học Chính vì lẽ đó, bài toán thực tế mặc nhiên có mặt và ngày càng xuất hiện với tần xuất nhiều hơn trong các đề thi THPT QG

và đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Học sinh phải đối mặt với rất nhiều dạng toán của bài toán thực tế mà phương pháp giải chúng lại chưa được hệ thống đầy đủ trong Sách giáo khoa Vì vậy, để giải được dạng toán này, chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như khai thác phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

Bài toán thực tế hình học không gian là bài toán thực tế được bắt nguồn từ những tình huống trong đời sống hàng ngày, chúng được quy chiếu về bài toán hình học không gian tương ứng, mà bài toán hình học không gian lại trở về cách giải quyết bản chất của một bài toán hình học

phẳng nào đó Hay nói một cách khác “mỗi bài toán hình học không

gian luôn chứa đựng và quy về một bài toán hình phẳng tương ứng”.

Khi đứng trước một bài toán thực tế hình học không gian, học sinh thường lúng túng và chưa biết định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu

Để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán thực tế hình học không gian, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, phân tích và khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải

Trong bài viết này, chúng tôi phân tích một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế thường sử dụng trong kỳ thi THPT QG vào giảng dạy môn toán ở trường THPT

Hướng phân tích tìm lời giải bài toán hình học không gian gắn với bài toán thực tế là chuyển đổi bài toán từ mới lạ về bài toán quen thuộc,

về các bài toán hình học phẳng đã biết kết quả Trên cơ sở phương pháp

đã được định hướng đối với mỗi bài toán cụ thể, các em có thể hình thành tổng hợp phương pháp giải và xây dựng các bài toán tương tự

Phân tích một bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế có thể được tiến hành như sau:

- Sử dụng các kiến thức và yếu tố của hình học phẳng và hình học không gian qui bài toán mới lạ - bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế về bài toán hình học phẳng quen thuộc

- Bằng cách phân tích bản chất của bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế để đưa về bài toán hình phẳng tương ứng với bài toán hình học không gian Từ việc phân tích bài toán hình học không gian chuyển đổi về bài toán hình phẳng tương ứng, một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, mặt khác cũng giúp học sinh biết cách định hướng trong việc tìm lời giải bài toán

1 Bài toán 1 (Câu 32, Đề thi minh họa THPT QG môn Toán năm

2019)

Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ H1, H2 xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r h r h1 , , , 1 2 2

1

2

r  r h  h thỏa mãn (tham khảo hình vẽ)

Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30cm3 , thể tích khối trụ

H1) bằng

A 24cm3 B 15cm3 C 20cm3 D 10cm3

Phân tích:

Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính thể tích của khối trụ tròn xoay Để giải quyết bài toán này, học sinh phải nắm chắc công thức tính thể tích của khối tròn xoay và bài toán này qui

về bài toán hình học phẳng tính diện tích của hình tròn

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ 2



V r h trong đó r là bán kính của khối trụ; h là chiều cao của khối trụ

Sử dụng đề bài để tính thể tích toàn bộ khối đồ chơi từ đó tìm được thể

tích của khối trụ (H1)

Cách giải:

Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là:

2

1 1

20

V r h r h r h r h r h

r h



Vậy thể tích khối trụ (H1) là 20 cm3

Chọn đáp án C

2 Bài toán 2 (Câu 31, mã đề 102, Đề thi THPT QG môn Toán năm

2018)

Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao bằng 200 mm Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1mm Giả định 1m 3 gỗ

có giá a (triệu đồng) , 1m 3 than chì có giá 6 a (triệu đồng) Khi đó giá nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A 84,5.a (đồng) B 78, 2.a(đồng) C 8, 45.a (đồng) D 7,82.a

(đồng)

Phân tích:

Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính thể tích của khối trụ tròn xoay và khối lăng trụ, trong đó khối trụ nằm trong khối lăng trụ có cùng chiều cao Để giải quyết bài toán này, học sinh phải nắm chắc công thức tính thể tích của khối tròn xoay và bài toán này qui về bài toán hình học phẳng tính diện tích của hình tròn

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ 2



V r h trong đó r là bán kính của khối trụ; h là chiều cao của khối trụ, thể tích khối lăng trụ

V B h trong đó B là diện tích hình lục giác đều, đáy của khối lăng trụ; h

là chiều cao của khối lăng trụ

Cách giải:

CÁCH 1: 1 triệu đồng /m3 = 10  3 đồng / mm3

2

3

3 3

4

lt

V   mm ; V c  200 (  mm3 ) ; V g V ltV c  2700 3 200  

(đồng )

CÁCH 2:

1 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy ra 3

1mm gỗ có giá 1000a đồng

1 m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy ra 1mm3 than chì có giá 10006a đồng

Phần chì của cái bút có thể tích bằng 2  3

1 200 .1 200

V     mm Phần gỗ của bút chì có thể tích bằng

2

3 2

3 3

200.6 200 2700 3 200

4

Số tiền làm một chiếc bút chì là 6 1 2

7,82 1000

aV aV

a



 đồng

Chọn đáp án D

3 Bài toán 3 (Câu 26, mã 102, Đề thi THPT QG môn Toán 2018)

Ông A dự định sử dụng hết 6,7 m2 kính để làm một bể cá bằng kính

có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?

A 1,57 m3 B 1,11m3 C 1, 23m3 D 2, 48m3

Phân tích và phương pháp:

Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính thể tích của khối hộp chữ nhật Để giải quyết bài toán này, học sinh phải nắm chắc công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật khi biết 3 kích thước, trong đó có chiều cao không đổi, chiều dài và chiều rộng của đáy

là biến số, bài toán này qui về bài toán max, min trong hình học phẳng

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp theo diện tích kính dùng (là một hằng số)

Cách giải : Giả sử kích thước chiều cao và các cạnh đáy lần lượt là

, ,2

h x x Ta có V  2x h2

Diện tích kính dùng là : 2 2 3 4 2 39 2

2

1,57

Chọn đáp án A

4 Bài toán 4 (Câu 46, Đề thi minh họa THPT QG môn Toán năm

2019)

Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2

như hình vẽ dưới đây Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/

m2 và phần còn lại là 100.000 đồng/ m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách trên

gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết A1A2  8m, B1B2 = 6m và tứ giác

MNPQ là hình chữ nhật có MQ  3 m?

A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D

5.782.000 đồng

Phân tích

Bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính diện tích của hình học phẳng hình elip Thực chất là bài toán hình học ứng dụng của tích phân Để giải quyết bài toán này, học sinh phải nắm chắc các định nghĩa về phương trình chính tắc của elip và công thức tính độ dài trục

lớn, trục bé, tính đối xứng của hình elip từ đó suy ra diện tích của hình

đó dựa và công cụ tích phân

Phương pháp:

+) Viết phương trình Elip, tính diện tích hình Elip

+) Tính diện tích phần trắng (phần không được sơn), ứng dụng tích phân

để tính diện tích hình phẳng

+) Tính diện tích phần xanh sau đó tính chi phí để sơn

Cách giải:

Elip (E) đã cho có độ dài trục lớn 2a  8 a 4, độ dài trục bé

2b  6 b 3

Ta có diện tích (E) bằng: S E   4.3 12   m2

Phương trình   2 2 2 16 2 3 16 2

Diện tích phần giới hạn bởi (E), trục hoành Ox, đường thẳng MQ có diện

tích:

4

3 16

4







AMQ

x

S dx => Diện tích phần trắng là:

 2

trang AMQ

Khi đó diện tích phần xanh là S xanh S E  S trang  12   2,174 6,525   m2

Vậy chi phí để sơn biển quảng cáo là 2,174.100  35,525.200  7322 (nghìn đồng)  7322000 đồng

Chọn đáp án A

Trên đây là một số bài toán hình học không gian ứng dụng thực tế được phân để tìm hướng giải tối ưu và hiệu quả Mong rằng cách tiếp cận và phân tích như trên giúp các bạn làm tốt bài toán loại này trong đề thi THPT QG Chúc các bạn thành công!

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Bài 1 Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 10,2 dm, chiều rộng

2 dm được uốn lại thành mặt xung quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao 2 dm ( như hình vẽ) Biết rằng chỗ ghép mất 2 cm Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước?

A 50 lít B 100lít C 20, 4lít D 20lít

( Đề thi thử THPT QG lần 3 năm 2018 trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

2 Bài 2 Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20 cm.

Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10 cm Nếu bịt kín miệng phễu và lật ngược phễu lên

thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng nhất với giá trị nào sau đây

cm

( Đề thi thử THPT QG năm 2019 trường THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước).

3 Bài 3 (Đề thi KSCĐ lần 1

– THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh

Phúc năm 2017 - 2018)

Cho một tấm tôn hình chữ

nhật ABCD có AD 60cm Ta

gập tấm tôn theo 2 cạnh MN

và QP vào phía trong sao cho

BA trùng với CD để được

lăng trụ đứng khuyết hai đáy

Khối lăng trụ có thể tích lớn

nhất khi x bằng bao nhiêu?

A x 20cm B x 22,5cm C x 25cm D x 29cm

4 Bài 4 (Đề thi KSCĐ lần 2 – THPT Lương Tài – Bắc Ninh năm 2017

- 2018)

Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2017, trường THPT A có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A1 Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A1 đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và

cách nhau x m (xem hình vẽ) Tìm x để khoảng không gian phía trong

lều là lớn nhất?

A x 4 B x 3 3 C x 3 D x 3 2

5 Bài 5 (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Chuyên Thái Bình năm 2017

-2018)

Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000lít mỗi chiếc Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?

A 1m và 2m B 1dm và 2dm C 2m và 1m D 2dm và 1dm

6 Bài 6 (Đề thi KSCĐ lần 1 – THPT Bến Tre – Vĩnh Phúc năm 2017

-2018) Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:

A 35cm; 25cm B 40cm; 20cm C 50cm;10cm D 30cm; 30cm

Phúc Yên, ngày 12 tháng 02 năm

2019

Dương Ngọc Anh