SKKN một số ứng dụng của định lý lagrange và định lý rolle

Báo cáo kết quả nghiên cứu này, tôi sẽ trình bày phép chứng minh định lý Lagrange vàứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle để giải một số dạng toán thường gặptrong các kì thi THP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

Mã sáng kiến: 61

Vĩnh Phúc, tháng 10 năm 2018

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 4

5 Mô tả sáng kiến 4 6 Bố cục 4

PHẦN B- NỘI DUNG 6 I Một số vấn đề lý thuyết liên quan 6 1 Định lý Rolle……… 6

2 Định lý Lagrange 7

II Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle 8 1 Giải phương trình ………. 8

2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình 10

3 Chứng minh bất đẳng thức……… 22

4 Tìm giới hạn dãy số……… 29

III Một số bài tập vận dụng 37 C PHẦN KẾT LUẬN 39 1 Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài……… 39

2 Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến ……… 39

3 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến ………… 39

PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Định lý Lagrange là một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân,

nó là một mở rộng của định lý Rolle Trong sách giáo khoa giải tích lớp 12, định lý nàyđược thừa nhận vì phép chứng minh của nó vượt ra ngoài chương trình phổ thông Ứngdụng của định lý Lagrange rất quan trọng trong việc xây dựng lý thuyết và giải quyếtmột số dạng toán trong chương trình giải tích ở trường THPT

Báo cáo kết quả nghiên cứu này, tôi sẽ trình bày phép chứng minh định lý Lagrange vàứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle để giải một số dạng toán thường gặptrong các kì thi THPTquốc gia và trong các kì thi chọn học sinh giỏi bậc trung học phổthông

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài "Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle" được tác giả chọn

viết nhằm giới thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phươngpháp của chúng tôi khi giảng dạy về định lý Lagrange trong chương trình toán THPT,qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của nó qua các ứng dụng, đặc biệt là các bàitoán được lấy từ các kì thi Olimpic về toán trong những năm gần đây

Đề tài này được coi như một chuyên đề để giảng dạy nâng cao cho học sinh THPT và

bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán Tác giải rất mong nhận được góp ý trao đổi

của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề có thể sâu sắc và hoàn thiệnhơn nữa Hy vọng đề tài sẽ góp một phần nhỏ để việc giảng dạy phần giải tích đạt hiệuquả nhất

3 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về định lý Lagrange và định

lý Rolle, đặc biệt từ các tạp chí trong và ngoài nước; tài liệu từ Internet

- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh giỏi toán)

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

4 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được học chuyên sâu theo chuyên đề như trên sẽ phát triển nănglực tư duy Toán học, đặc biệt là có phương pháp để giải quyết các bài toán về giải tích.Đây là phần còn khó với học sinh các trường THPT

5 Mô tả sáng kiến

5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

5.2 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Lê Anh Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com

5.3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn

5.4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dùng để dạy cho học sinh các lớp ôn thi THPTquốc

gia mức vận dụng cao và bồi dưỡng các đội tuyển HSG môn Toán tham dự các kì thiHSG tỉnh, HSG Quốc gia

5.5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/2018.

5.6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

6 Bố cục

Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

B- NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

II Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

1 Giải phương trình

2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

4 Tìm giới hạn dãy số.

III Một số bài tập vận dụng

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1.Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài, sáng kiến

2.Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến

3.Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến

PHẦN B NỘI DUNG

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

1 Định lý Rolle

Cho hàm số xác định trên đoạn thoả mãn các điều kiện sau:

1/ liên tục trên đoạn

2/ có đạo hàm trên khoảng

Khi đó tồn tại một điểm c thuộc khoảng sao cho

Chứng minh Nếu thì định lý hiển nhiên đúng, vì

Ta chỉ cần chứng minh định lý trong trường hợp ; trường hợp

, ta lập luận tương tự trường hợp

Vì theo giả thiết liên tục trên đoạn nên nó có giá trị dương lớn nhất trên

Hệ quả 1 Nếu hàm số có đạo hàm trên và có n nghiệm (n là sốnguyên dương lớn hơn 1) trên thì có ít nhất nghiệm trên

Hệ quả 2 Nếu hàm số có đạo hàm trên và vô nghiệm trên thì có nhiều nhất 1 nghiệm trên

Hệ quả 3 Nếu có đạo hàm trên và có nhiều nhất n nghiệm (n là sốnguyên dương) trên thì có nhiều nhất nghiệm trên

2 Định lý Lagrange

Cho hàm số xác định trên đoạn thỏa mãn

các điều kiện sau:

1) liên tục trên đoạn

2) có đạo hàm trên khoảng

Khi đó tồn tại một điểm c thuộc khoảng sao cho

Chứng minh Giả sử đồ thị hàm số trên đoạn là một cung (hình

hoành độ cắt cung tại điểm , dây tại điểm N và trục tại điểm H Đường thẳng AB có phương trình là , với hệ số góc

Ta có

Xét hàm số trên đoạn ta nhận thấy :

1) Hàm số liên tục trên đoạn vì nó là hiệu của hàm số liên tục và một

Nhận xét.

- Định lý khẳng định sự tồn tại của sao cho mà không

khẳng định tính duy nhất của điểm c.

- Ta thấy là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm thuộc cung của đồthị và là hệ số góc của đường thẳng AB, như vậy ý nghĩa hình học của

định lý chứng tỏ rằng trên cung của đồ thị hàm số luôn tồn tại một điểm C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó song song ( hoặc trùng) với đường thẳng AB.

II Một số ứng dụng của định lý Lagrange và định lý Rolle

1 Giải phương trình

Lời giải Ta có (1)

tổng của hai hàm số đồng biến Khi đó (2) trở thành

(3) Xét hàm số , ta thấy phươngtrình có không quá 2 nghiệm phân biệt Bởi vì giả sử phương trình

có 3 nghiệm , khi đó theo định lý Roll

thoả mãn suy ra phương trình

có 2 nghiệm phân biệt  phương trình có một nghiệm , tức làphương trình có nghiệm (điều này vô lý)

Vậy phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, dễ thấy thoả mãn

cho nên phương trình (3) có đúng 2 nghiệm Suy ra phương trình (1)

có đúng 2 nghiệm là

Lời giải Phương trình đã cho tương đương

.Xét hàm số

ra có nhiều nhất 1 nghiệm, suy ra có nhiều nhất 2 nghiệm

Bài toán 1.3 Giải phương trình (1)

Lời giải Ta thấy ngay là các nghiệm của phương trình (1)

Gọi là một nghiệm bất kì của phương trình đã cho Khi đó

Vì là hàm liên tục trên và có đạo hàm trong khoảng , nên theo định líRoll tồn tại sao cho

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm và  

Bài tương tự Giải phương trình:

Bài toán 1.4 Giải phương trình:

Lời giải Đặt thì (1) trở thành:

Xét hàm số

Suy ra

có nhiều nhất hai nghiệm Do đó có nhiều nhất ba nghiệm

Mặt khác dễ thấy , do đó có ba nghiệm Vậy nghiệm của phương trình (1) là:

2 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng phương trình luôn có

nghiệm với mọi bộ các số thực a, b, c.

Lời giải Xét hàm số Ta có

Qua lời giải trên ta thấy được sức mạnh của định lý Rolle trong việc chứng minh mộtphương trình có nghiệm Có thể mô tả nội dung của phương pháp này dưới bài toántổng quát sau:

Bài toán: Cho hàm số liên tục trên , chứng minh rằng phương trình

có ít nhất một nghiệm thuộc

Phương pháp giải:

- Xét hàm số là một nguyên hàm của hàm

- Chỉ ra được

- Sử dụng định lý Rolle để suy ra điều phải chứng minh

Ta tiếp tục với các bài toán thú vị sau:

thuộc

Lời giải Xét hàm số liên tục trên đoạn[0;1] và khả vi trong khoảng (0;1) Ta có

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.3 Cho đa thức có ít nhất hai nghiệm thực Chứng minh rằng

đa thức cũng có ít nhất hai nghiệm thực

Lời giải Giả sử là hai nghiệm của

Theo định lý Rolle thì có ít nhất một nghiệm thực trong khoảng nếu

và có nghiệm nếu Suy ra đa thức có ít nhất một nghiệmthực Vì nên nếu n lẻ thì hiển nhiên có ít nhất 3 nghiệmthực và vì vậy theo lập luận trên thì sẽ có ít nhất hai nghiệm thực Nếu n chẵn

thì do có nghiệm thực nên nó phải có ít nhất hai nghiệm thực

Nhận xét Với lớp các hàm đa thức thì luôn liên tục và khả vi mọi cấp, do đó ta dễ

dàng áp dụng được định lý Rolle và định lý Lagrange để suy ra số nghiệm của các đathức khác Cụ thể là nếu thì có nghiệm c thuộc khoảng Nếu

có nghiệm thì có nghiệm, có nghiệm,…

Sử dụng các tính chất này ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán khó, thậm chí

là rất khó về nghiệm của đa thức Đây cũng là dấu ấn nhất về tính chất giải tích củanghiệm đa thức

Bài toán 2.4 (Việt Nam TST năm 1994) Cho đa thức , và có 4nghiệm phân biệt Chứng minh rằng phương trình sau cũng có 4 nghiệm dương phânbiệt

Lời giải Ta có

Ta chứng minh nếu đa thức bậc bốn có 4 nghiệm dương phân biệt thì đa thức

cũng có 4 nghiệm dương phân biệt Không giảm tính tổng quát,giả sử hệ số bậc cao nhất của là 1 Đặt

với là cácnghiệm dương Từ đó theo định lí Viet thì Ta có

Suy ra , tức là tồn tại là nghiệm dương của Tương

Mặt khác nên còn có nghiệm thực thứ tư là Theo định lí Viet

Đặt , dễ thấy và cũng có 4 nghiệm dương phân biệt.Theo kết quả chứng minh trên phương trình có 4 nghiệm dươngphân biệt Ta có

Vậy phương trình có 4 nghiệm dương phân biệt

Bài toán 2.5 Cho là đa thức với hệ số thực có nghiệm thực phân biệt lớn hơn

thức có nghiệm thực phân biệt

Lời giải Ta có Dễ thấy

Giả sử các nghiệm của là Theo định lí Rolle, đa thức

- Giả sử tồn tại sao cho

Bài toán được chứng minh hoàn toàn

Bài toán 2.6 Cho là đa thức bậc với hệ số thực có nghiệm thực phân biệt

Do đó, có ít nhất nghiệm thực phân biệt khác 0, nên

có ít nhất nghiệm thực phân biệt khác 0 là các giá trị

Mặt khác nên là đa thức bậc

có ít nhất nghiệm thực là 0 và Do đó có nghiệm thực kể cảbội (nếu có nghiệm bội thì có duy nhất nghiệm khác 0 bội 2)

Bài toán 2.7 Cho số thực và đa thức với hệ số thực bậc sao cho

không có nghiệm thực Chứng minh đa thức

không có nghiệm thực

Lời giải Không mất tính tổng quát, ta giả sử hệ số bậc cao nhất của dương Vì

Ta có

không có nghiệm thực nên theo định lí Rolle có nhiều nhất 1 nghiệm Vì vậy có nhiều nhất 1 nghiệm

Giả sử là nghiệm thực duy nhất của , do là số chẵn nên tồn tại

số nguyên dương và đa thức với hệ số thực sao cho

thuẫn giả thiết không có nghiệm thực, suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 2.8 Cho đa thức hệ số thực bậc và có nghiệm thực (kể cả

nghiệm thực (kể cả nghiệm bội)

Lời giải có nghiệm thực nên phương trình cũng có nghiệmthực

Theo định lí Rolle thì phương trình

có ít nhất nghiệm thực Ta xét các trường hợp sau:

- Với chẵn Nếu lẻ thì là đa thức bậc lẻ có số nghiệm thực (kể cả bội) là lẻ, suy ra lẻ, mâu thuẫn Vậy là số chẵn Từ đó là đa thức bậc chẵn, suy ra số nghiệm thực, kể cả bội là chẵn Theo trên, nó có ít nhất nghiệm thực, trong khi

lẻ Vậy có ít nhất nghiệm thực

- Với lẻ Nếu chẵn thì là đa thức bậc chẵn nên nó có chẵn nghiệm thực kể

cả bội, tức chẵn, mâu thuẫn Vậy phải lẻ, suy ra là đa thức bậc là một

số lẻ Do đó nó có lẻ số nghiệm Mặt khác có ít nhất (là số chẵn) nghiệm thực Vậy Vậy có ít nhất nghiệm thực

Bài toán 2.9 Với n là số nguyên dương và , là các số thực

có nghiệm trong khoảng

Lời giải Xét hàm số liên tục trên đoạn

và có đạo hàm trên khoảng Ta có

điều phải chứng minh

Bài toán 2.10 Cho các số thực thỏa mãn

Chứng minh rằng phương trình

có ít nhất một nghiệm trong khoảng

Phân tích Nếu lấy nguyên hàm của hàm số thì khá phức tạp, chú ý rằng

Do đó khi lấy nguyên hàm của hàm số trên ta được

Lời giải Xét hàm số

khả vi trên và

đương với

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.11 Giả sử khả vi đến cấp trên Chứng minh rằng mỗi cặp số

cho

Phân tích Điều kiện của bài toán tương đương với

Lời giải Xét hàm số liên tục và có đạo hàmtrên Ta có

Do đó Theo đinh lý tồn tại để hay là

Tương đương với

Bài toán được chứng minh

Bài toán 2.12 Chứng minh phương trình có ít nhất 2 nghiệmphân biệt

Phân tích Phương trình đã cho tương đương với

Lời giải Xét hàm số liên tục trên và có đạo hàm

trên Ta có

Vậy phương trình : có ít nhất 2 nghiệm phân biệt

Bài toán 2.13 Cho hàm liên tục trên khả vi trên và

Chứng minh rằng tồn tại sao cho

Lời giải Xét hàm số liên tục trên khả vi trên và

Suy ra Theo định lý Rolle tồn tại sao cho hay

(đpcm)

Bài toán 2.14 Cho hàm số liên tục trên có đạo hàm trên khoảng và

Chứng minh rằng tồn tại sao cho

Suy ra Do đó tồn tại sao cho hay

Bài toán 2.15 (Định lí Cauchy) Nếu các hàm số là các hàm số liên tục trênđoạn , có đạo hàm trên khoảng và khác không trên khoảng thì

Lời giải Theo định Lagrange luôn tồn tại sao cho

Theo định lí Rolle tồn tại sao cho

Lời giải Xét hàm số trên đoạn , ta thấy thoả mãn các giả thiết

của định lý Lagrange nên tồn tại một điểm c thuộc khoảng sao cho

đồng biến trên Bài toán được chứng minh hoàn toàn

Nhận xét Trong bài toán trên thực chất của vấn đề là ta đi chứng minh hàm số

đồng biến trên và để làm được điều đó ta đi chứng minh hàm

Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng cách khác như sau:

Xét hàm số Với mọi cặp số thực dương x, y bất kì thỏa mãn ,theo định lí Lagrange, luôn tồn tại sao cho:

Mà

Vậy với mọi cặp số thực dương x,y bất kì thỏa mãn , luôn có

Thay x bởi và y bởi ta được

Điều đó có nghĩa là phương trình có nghiệm

Do đó và ta có điều phải chứng minh

Tiếp theo là một bài toán tương tự:

Bài toán 3.4 Biết rằng phương trình có 5 nghiệm thựcphân biệt Chứng minh rằng

Hướng dẫn Xét đa thức , do có 5 nghiệmphân biệt nên sẽ có hai nghiệm thực phân biệt Từ đó ta cóđiều phải chứng minh

thực phân biệt Chứng minh rằng

Hướng dẫn Xét đa thức bậc n Bằng lý luậnnhư trên ta suy ra phương trình (đạo hàm cấp ) phải có 2 nghiệmphân biệt Chú ý là

Từ biệt thức ta có ngay điều phải chứng minh

Tiếp theo ta giới thiệu hai bất đẳng thức kinh điển được chứng minh rất đơn giản nhờđịnh lý Lagrange là bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Bernoulli

Bài toán 3.6 (Bất đẳng thức Jensen)

Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và Chứng minh rằng

Lời giải Với , theo định lí Lagrange, tồn tại

Đẳng thức xảy ra khi

Bài toán 3.7 (Bất đẳng thức Bernoulli)

Cho số thực x thỏa mãn và là số nguyên dương Chứng minh rằng

Lời giải.

- Nếu x > 0, ta xét hàm , theo định lí Lagrange tồn tại thỏa mãn

- Nếu , ta xét hàm , theo định lí Lagrange tồn tại thỏamãn

Vậy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0, hoặc

Bài toán 3.8 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trên , (

với hữu hạn giá trị của x) Chứng minh rằng

Lời giải Vì và với hữu hạn giá trị của x, suy ra hàm

đồng biến trên Theo định lí Lagrange, luôn tồn tại sao cho:

Vì đồng biến trên