SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạylớp mũi nhọn khối A của trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển toán lớp 11, tôi nhận thấy mình phải có trách nhiệm

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước vềchất lượng thi ĐH-CĐ và thi THPT Quốc gia Là một trường đang trên đà phát triển,trường THPT Nguyễn Thái Học luôn nỗ lực để duy trì và nâng cao hơn nữa chất lượnggiáo dục mọi mặt của nhà trường Nhiệm vụ ấy vừa là trách nhiệm, vừa là niềm vinh

dự của mỗi giáo viên Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạylớp mũi nhọn khối A của trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển toán lớp

11, tôi nhận thấy mình phải có trách nhiệm giúp các em học sinh đạt được điểm số caonhất trong khả năng của các em

“DÃY SỐ” là một trong những kiến thức hay và khó trong chương trình Đại số

và Giải tích lớp 11 Trong các đề thi khảo sát chuyên đề của các trường có không ítnhững câu hỏi trắc nghiệm về dãy số đã gây khó khăn đối với học sinh Đặc biệt trong

các đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số luôn xuất hiện và là câu khó đối với nhiều

học sinh Trong đó dạng toán phổ biến nhất về dãy số là dạng bài về tìm công thức sốhạng tổng quát của dãy số( CTTQ) và tình giới hạn của dãy số Để giúp học sinhTHPT đặc biệt là học sinh lớp khá giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học có thể

gải quyết được một số dạng bài tập liên quan đến dãy số, tôi chọn viết đề tài:

“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA

DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”

Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quátrình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồngnghiệp Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạnmột số dãy số cho bằng công thức truy hồi

2 Tên sáng kiến:

“ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA

DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI”

3 Tác giả sáng kiến:

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0977604246

- E_mail: thuyduongnth@gmail.com

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0977604246

- E_mail: thuyduongnth@gmail.com

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học môn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

11ở trường THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11.

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 1 năm 2016

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động

học của trò Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinhcủng cố những kiến thức đã học còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh,giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mônToán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài

toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư

duy logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần địnhhướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách

vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản,biết cách biến cái “không thể” thành cái “có thể”

II Cơ sở lý thuyết.

1 DÃY SỐ

1 1 Định nghĩa:

a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn*

(gọi tắt là dãy số)

1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm

a) Dãy số ( )u n được gọi là tăng nếu u n1u n với mọi n  *

b) Dãy số ( )u n được gọi là giảm nếu u n1 u n với mọi n  *

1.3 Dãy số bị chặn

a) Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n M,  n *

b) Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u n m n,  *

c) Dãy số ( )u n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là

tồn tại các số ,m M sao cho m u n M,   n *

2 CẤP SỐ CỘNG

2.1 Định nghĩa: (un ) là cấp số cộng  u n+1 = u n + d, n  N* (d: công sai)

2.2 Số hạng tổng quát:u n u1(n 1)d với n  2

1(1 )

11

n

n n

+ Bản thân tôi là giáo viên đã ra trường lâu năm, được Ban giám hiệu phân công

đứng lớp chọn và phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn

và bao quát toàn cấp học

+ Học sinh đã được rèn luyện kỹ năng giải bài tập về cấp số cộng, cấp số nhân lànền tảng để giải các bài toán về dãy số

+ Phương pháp được dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số các em có ý thứchọc tập tốt và nắm bắt kiến thức tốt

II Khó khăn:

+ Học sinh vẫn quen cách học thụ động, không chịu suy nghĩ tìm tòi trước những

câu hỏi khó, lạ

+ Thời lượng dạy không được nhiều nên nhiều ý tưởng của giáo viên chưa truyền tảiđược hết

PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về dãy số là xác định côngthức số hạng tổng quát của một dãy số cho bởi công thức truy hồi Có nhiều phương

pháp để giải quyết yêu cầu đó Tuy nhiên phương pháp thường gặp là biến đổi để qui

về dãy số đặc biệt đó chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Dạng 1.1 Xác định CTTQ của dãy (un) được xác định :

Dãy số kiểu này xuất hiện khá nhiều trong các bài tập về dãy số cũng như trong

các câu hỏi trắc nghiệm Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất:

Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách bài tập đại số và giải tích 11) :

Tìm công thức số hạng TQ của dãy (un) được xác định như sau :

1 1

2( ) :

1

n

u u

Bài toán này có thể giải bằng các cách khác nhau:

Cách 1: Dự đoán SHTQ rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Ta có: u1  2 3 1;u2   1 3 2;u3   0 3 3;u4   1 3 4

Dự đoán: u n  3 n

Dễ dáng chứng minh được công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học

Cách 2: Từ công thức truy hồi u n1u n  1 suy ra: u n1 u n 1 suy ra dãy số ( )u n là

một cấp số cộng, với:

1 21

u d

u q







* Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên ta thấy bài toán có thể giải quyết dễ dàng bởi dãy số đã

cho chính là những dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) hoặc cấp số nhân (CSN) Tuynhiên không phải dãy số nào cũng là CSC hay CSN Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số

1 1

1( ) :

n

u u

Dãy số này không phải là CSC hay CSN, tuy nhiên ta có thể biến đổi về CSC, CSN

đối với một dãy trung gian khác

Thật vậy: Từ công thức truy hồi: u n13u n 10 ta biến đổi về dãy v sao cho n  v là n

*Từ ví dụ trên ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng :

+ Nếu a 1 thì (un) là cấp số cộng với công sai d=b

+ Nếu a  : Ta sẽ phân tích b k ak1   nên 1

b k

n n

b Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số trên ĐS:

Bài 2: Tìm công thức SHTQ của các dãy số sau:

5 5

n n

 

Dạng 1.2: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định như sau :

Khi đó ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: u n  g n( )a u( n1 g n(  1))

Ta tìm được CTTQ của dãy (un ) là:   1

1 (1) n ( )

n

Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số và giải tích 11)

Cho dãy (un) xác định bởi

1 1

Cách 2:

1 1

Ví dụ 2: (bài 3.28 trang 90 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)

Cho dãy số (vn) xác định như sau:

Bài 3:(BT2.4 trang 106 sách BT địa số và giải tích 11)

Cho dãy (un) được xách định như sau:

1

3 1

n

S S

2( ) :

b,

1

1

4( ) :

2( ) :

1 1

Ví dụ 1: Cho (un ) được xác định như sau :

0

1

1( ) :

u u

Ví dụ 2: Cho (Un ) được xác định như sau :

0

1

1( ) :

u u

Từ công thức truy hồi

1 ( )77

n n

 Phân tích n kn akn1

 Phân tích f n  g n   ag n  1

 Trong đó:

+ Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1 của n

+ Nếu a 1 thì g(n) là đa thức bậc k của n

Sau đó chuyển công thức truy hồi của dãy (un) về các dạng đã học ta tìm được

1 1 1 1

1

2 1

Đồng nhất hệ số:

1 2

1 2

56

Bài 4: Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:

CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM

Câu 1 Cho dãy số  u với n

1 1

 Số hạng tổng quát u n của dãy số là số

hạng nào dưới đây?

A

( 1)5

 Số hạng tổng quát u n của dãy số là

số hạng nào dưới đây?

A u n  2 n 12 B u n  2 n2 C u n  2 n12 D u n  2 n 12

Câu 3 Cho dãy số  u với n

1 1

22

A S 2016 3.4 2018 B S 2016 3.4 2018

C S 2015 3.4 2017 D S 2015 3.4 2017

Câu 7 Cho dãy số ( )u n xác định bởi

1 1

 Số hạng tổng quát u n của dãy số là

số hạng nào dưới đây?

n n

u u

Câu 10 Cho dãy số  u với n

1 1

 Số hạng tổng quát u n của dãy số là

số hạng nào dưới đây?

 Số hạng tổng quát u n của dãy số là số

hạng nào dưới đây?

A S 2019.22018  1 B S 2017.22018  1

C S 2017.22018 D S 2018.22018  1

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Dạng 2.1 Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ của dãy số.

Nếu biết CTTQ của dãy số thì việc tính giới hạn không còn khó khăn nữa Để tìm ra

CTTQ của dãy số có khá nhiều cách Trong dạng 1 ở chuyên đề này chúng ta đã đưa rađược một số cách cơ bản để xác định Các ví dụ sau đây dùng các phương pháp đã biếtở dạng 1 để tìm CTTQ của dãy số

Ví dụ 1 Cho dãy số:

1

1

101

u

(HSG Bắc Giang) Lời giải: Áp dụng dạng 1.5 ta tìm được CTTQ của dãy số trên là: u  n 5(2n  1)

Do đó:

55

 Tính limu n ĐS: limu  n 18

Bài 2: Cho dãy số:

1 1

u

ĐS: 2

2lim

n n

Để tìm được giới hạn theo cách này ta cần nắm được các tính chất sau của dãy số:

1 Dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới thì có

thì có giới hạn hữu hạn

2 Nếu dãy số ( )u n thỏa mãn điều kiện u n M,n và tồn tại limu nthìlimu n M

3 Nếu dãy số ( )u n thỏa mãn điều kiện u n m n, và tồn tại limu nthì limu n m

4 Giải sử dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn thì limu n limu n1

Ví dụ 1 : Cho dãy số ( )u n xác địn bởi:

1 1

Ta sẽ chứng minh dãy ( )u n tăng và bị chặn trên.

Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp như sau:

- Với n=1 ta có: u2  2u1  2 2  2 u1

- Giả xử u k1u k, khi đó u k2  2u k1  2u k u k1 Vậy u n1u n, n 1

Hay dãy số ( )u n tăng nê sẽ bị chặn dưới bởi 2 Ta sẽ chứng minh dãy số ( )u n bị

chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy:

Ví dụ 2 : Cho dãy số (un) xác định như sau:

 u n  2, n 1 hay dãy số ( )u n bị chặn dưới bởi 2

Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh

Thật vậy :

2 1

hay dãy số giảm.

Như vậy dãy số ( )u n giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn Giả sử

1limu n a (a>0) limu n a

Dễ dàng chứng minh được dãy tăng vì: u n1  u n 2019u n2 0  suy ra dãy số bịn

chặn dưới bởi u1=2019 hay u  n 2019, n 1 

Giả sử dãy số có giới hạn hữu hạn là a( a>2019) thì : a2019a2  a a 0 2019suy ra dãy số không có giới hạn hữu hạn hay limu  n

Lời giải :

    hay dãy số ( )u n bị chặn dưới bởi 2

Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh

Thật vậy :

- Xét hiệu :

2 1

hay dãy số giảm

Như vậy dãy số ( )u n giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn Giả sử

1limu n a (a>0) limu n a

Ta có: a  30a2 3a2011 29a2 3a2011 0 phương trình này vô nghiệmnên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (u n) không bị chặn Do đó: limu  n

Bài 2: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi :

1

2 1

Chứng minh dãy số ( )u n tăng và tìm giới hạn của dãy số đó.

Dạng 2.3 Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp

Để áp dụng phương pháp này ta nhắc lại nguyên lý kẹp như sau:

Cho 3 dãy số: ( ),( ),(w )u n v n n thỏa mãn điều kiện: v n u n w ,n n và

limv n limw n a thì limu n a

Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa phương pháp này:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Nhận xét: Trong Ví dụ 1, dãy số được cho bằng CTTQ vì vậy việc áp dụng giới hạn

kẹp dễ hơn, trong trường hợp dãy số cho bằng công thức truy hồi ta phải sử dụng kỹnăng đánh giá cao hơn để có thể dùng được giới hạn kẹp Sau đây ta xét các ví dụ màdãy số cho bằng công thức truy hồi

Ví dụ 2: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi :

1

2 1

14

n

n

u

n u

n

.Thật vậy:

Với n=1 thì 1

14

Ví dụ 3: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi :

1

1

14

1

n n

n

n

u

n u

Ví dụ 4: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi :

1

1

n n

b) Tính limu n ( Đề HSG Hà Tĩnh)

Bài 2: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi : 2 1

b) Tính limu n ( Đề HSG Quảng Ngãi)

8 Khả năng áp dụng của sáng kiến:

Đề tài đã được bản thân tôi triển khai giảng dạy tại các lớp 11A6 - khóa 2017; đội tuyển toán 11 năm học 2015-2016, lớp 11A1 khóa 2018-2021 và đội tuyểntoán 11 năm 2019-2020 của trường THPT Nguyễn Thái Học, tính khả thi và hiệu quảcủa đề tài được khẳng định Học sinh hứng thú hơn với các bài tập dãy số vốn rất khô

2014-và khó, chất lượng học tập bộ môn được nâng cao rõ rệt

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

Đề tài có thể dùng cho tất cả các giáo viên giảng dạy Toán THPT dạy cho

học sinh lớp 11 THPT

10 Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

Năm học 2015-2016 đội tuyển toán 11 có 9 em đi thi đã có 8 em đạt giải trong đó

có 1 giải Nhì; 5 giải ba, 2 giải Khuyến khích Đặc biệt bài toán về “dãy số” tất cả cáchọc sinh trong đội tuyển đều giải được

Năm học 2019 – 2020 khi áp dụng dạy cho lớp 11A1 và đội tuyển toán các em đã

có thể giải quyết được những dạng toán về dạy số đã học

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu Số

Trường THPTNguyễn Thái Học

Môn Đại số và Giải Tích 11

2 Nguyễn Thị Thùy

Dương

Trường THPTNguyễn Thái Học

Giảng dạy môn Đại số và GiảiTích 11