báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến phương pháp tọa độ để giải một số bài toán cực trị

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Vĩnh Phúc, năm 2020 1... Nói đến phơng pháp toạ độ, mọi ngời

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Vĩnh Phúc, năm 2020

1

MỤC LỤC Trang

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sán kiến 17

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong chơng trình giáo dục toán học ở trờng phổ thông trung học, phơng pháp toạ độ chiếm một vị trí quan trọng Nói đến phơng pháp toạ độ, mọi ngời thờng hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng nh các bài toán của hình học giải tích Tuy nhiên sẽ không có nhiều ngời nghĩ rằng phơng pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán sơ cấp: Giải phơng trình - giải bất

ph-ơng trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số Thậm chí phơng pháp toạ độ còn giúp ta giải quyết các bài toán số học - Suy luận logíc - Hình học tổ hợp - Hình học thuần tuý, mà là những đối tợng “xa vời” với phơng pháp toạ độ

Cùng với các phơng pháp khác, phơng pháp toạ độ là một trong những phơng pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp Phơng pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta cha nhìn thấy nó

Do đó chúng ta cũng nên đa phơng pháp toạ độ vào giải các bài toán sơ cấp trong chơng trình phổ thông trung học, nhằm trang bị thêm phơng pháp giải bài tập và ứng dụng của phơng pháp toạ độ Đó cũng chính là nhận thức và ý tởng của tôi khi chọn đề tài này

“Phương phỏp tọa độ để giải một số bài toỏn cực trị”

Do điều kiện thời gian, trong đề tài này tôi mới chỉ đa ra: Phơng pháp toạ độ với bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số - thông qua một vài ví dụ

Hy vọng rằng: Phơng pháp toạ độ sẽ đem lại cho các bạn sự thoải mái - trong sáng

- và lý thú

Dĩ nhiên, trong quá trình nghiên cứu cũng không tránh khỏi những khuyết

điểm Mong các bạn đồng nghiệp góp ý và bổ sung

2 Tờn sỏng kiến:

“Phương phỏp tọa độ để giải một số bài toỏn cực trị”

3 Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Áp dụng trong toỏn học

- Mục đớch: Sử dụng phương phỏp tọa độ để giải một số bài toỏn cực trị

4 Ngày sỏng kiến được ỏp dụng lần đầu: Thỏng 10/2017

5 Mụ tả bản chất của sỏng kiến:

Nội dung chính của đề tài

Để giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phơng pháp toạ độ, ngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:

- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối hai điểm A và B cho trớc thì đờng thẳng nối AB là đờng thẳng có độ dài ngắn nhất

3

- Cho điểm M ở ngoài một đờng thẳng d ( hoặc mặt phẳng (P)) cho trớc Khi

đó, độ dài đờng vuông góc kẻ từ M xuống d ( xuống (P)) ngắn hơn mọi đờng xiên

kẻ từ M xuống đờng thẳng (mặt phẳng) ấy

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn, thì tam giác đều có chu vi

và diện tích lớn nhất

Nếu bằng một phép biến đổi nào đó, bài toán có thể quy về các sự kiện hình học nói trên, thì nên dùng phơng pháp toạ độ để giải

Ngời ta sử dụng hai bất đẳng thức sau:

1 uv u  v

2 u v. u v.

   

(Chú ý điều kiện xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi , u v

 

là các véc tơ cùng

ph-ơng, cùng chiều hoặc là có một trong hai vectơ là vectơ không)

Ngoài ra còn chú ý một số kết quả sau (tự chứng minh) :

 Cho đoạn AB, M0 bất kỳ ngoài đoạn AB Ta có:

0

M AB

Max M M

 = Max{M0A,M0B}

 Cho f(x) liên tục trên tập D và tồn tại Max f x D ( )

và Min f x D ( )

1 Phơng trình

( )

f x

x D











 có nghiệm  Min f x D ( )  Max f x D ( )

2 Bất phơng trình

( )

f x

x D











 có nghiệm  Max f x x D ( ) 

3 Bất phơng trình

( )

f x

x D











 có nghiệm  Min f x x D ( ) 

M 0

B

Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ

1.1 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

f(x,y) = cos2x + cos2y Trên miền D = {(x, y: sinx + siny =

1

2 }

Lời giải:

Đặt u = sinx; v = siny Khi đó ta có:

cos2x + cos2y = 2 - 2(u2 + v2)

Xét bài toán mới: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: F(u,v) = u2 + v2 trên

miền D1 = {(u, v):

1 1; 1;

2

u  v  u v

}

Lúc đó ta có mối liên hệ:

( , )

D

Max f x y

= 2 - 2 1

( , )

D

Min F u v

(1) ( , )

D

Min f x y

= 2 - 2 1

( , )

D

Max F u v

(2)

Vẽ hệ trục Ouv

Tập D1 chính là đoạn thẳng AB (phần đờng thẳng u + v =

1

2 nằm trong hình

vuông) Dễ thấy

A(-1

2 ; 1) & B(1;

-1

2 )

Nếu M(u; v)  D1 thì u2 + v2 = OM2

Vậy 1

( , )

D

Max F u v

=

M AB

1

( , )

D

Min F u v

=

8

M AB

Theo (1) ta có: Max f x y D ( , )

=

7

4 ; Min f x y D ( , )

=

-1

2

1.2 Ví dụ 2: Tìm GTLN & NN của hàm số: f(x, y) = x2 + y2 trên miền:

5

/2 -1

D =

2 0

x y

x y





  





Lời giải:

Vẽ hệ trục Oxy

Dễ thấy các điểm (x; y) thoả mãn hệ trên chính là toàn tam giác ABC

Ta thấy x2 + y2 = OM2 ( Gọi D là miền dàng buộc hệ)

Ta có:

( , )

D

Max f x y

=

2

M D

Max OM

 = Max {OA2, OB2, OC2} = 20

( , )

D

Min f x y

=

2

M D

Min OM

 = MinOH 2 =

16

Tóm lại: Max f x y D ( , )

= 20

( , )

D

Min f x y

=

16

5

1.3 Ví dụ 3:Tìm GTNN của hàm số:

f(x, y, z, t) = z2 + t2 - 2xz - 2yt - z

Trên miền D = { (x, y, z, t): x2+ y2 = 1; z2- t + 3 = 0}

Lời giải:

Với (x, y, z, t)  D, ta có:

f(x, y, z, t) = (x - z)2 + (y - t)2 - x2 - y2 - 3 =(x - z)2 + (y - t)2 - 4 (1)

Khi (x, y, z, t)  D thì điểm M(x; y) nằm trên đờng tròn đơn vị; còn điểm N(z, t) nằm trên Parabol: v = u2 + 3

Ta có: (x - z)2 + (y - t)2 = MN2

Rõ ràng: MinMN2 = M0N0 = 4 Trong đó M0(0; 1) và N0(0; 3)

Từ (1) suy ra: f(x, y, z, t)  0 (x, y, z, t)  D

Mặt khác, khi x = 0, y = 1, z = 0, t = 3 thì f(x, y, z, t) = 0, mà (0, 1, 0, 3 )D Vậy Min f x y z t D ( , , , )

= 0

1.4 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = x2  x  1 x2  3x  với x  R.1

Lời giải:

Ta viết lại f(x) dới dạng: f(x) =

(1)

Xét hệ trục Oxy với điểm A(

1

2 ;

3

2 ); B(

3

2 ;

1

2 ); C(x ; 0)

Khi đó từ (1) ta có: f(x) = CA + CB  AB

Trong đó AB =

2

Do đó: f(x)  2

Mặt khác, giả sử AB cắt Ox tại ở tại C0 Ta có: C0A + C0B = AB

Nh vậy, nếu đặt x0 = OC0 thì f(x0) = 2

Vậy : Min f x x R ( )

7

y

x

A

x

u v

-1

1

M

N(z,t)

O

1.5 Ví dụ 5: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:

f(x, y) = 4x + 3y Trên miền: D = {(x, y): x2 + y2 + 16 = 8x + 6y}

Lời giải:

Nếu (x, y)  D, ta có: x2 + y2 = 8x + 6y  (x - 4)2 + (y - 3)2 = 9

Nghĩa là: D là đờng tròn tâm O1(4; 3) và bán kính R = 3 khi (x, y)  D, ta có:

f(x, y) = 4x + 3y =

với M(x; y) nằm trên đờng tròn trên

Nối OO1 cắt đờng tròn D tại 2 điểm M1, M2, ta đợc:

M D

Min OM

 = OM1 = OO1 - M1O1 = 5 - 3 = 2

M D

Max OM

 = OM2= OO1 +O1M2 =5 + 3 = 8

Vậy: Max f x y D ( , )

= 8 +

1

2 82 = 40,

( , )

D

Min f x y

= 8 +

1

2 22 = 10

1.6 Ví dụ 6: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:

f(x) = sinx 2 sin 2 x sinx 2 sin 2 x với x  R

Lời giải:

Gọi m là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x) Điều đó có nghĩa là phơng trình sau (ẩn x)

có nghiệm:

sinx 2 sin x sinx 2 sin x = m (1)

Đặt u = 2 sin x 2 ; v = sinx

B

M 2

khi đó (1) 

(2)

2 (3)

1 1 (4)

1 2 (5)

u v u v m

v u









  



  

 Xét hệ trục Ouv:

Dễ thấy (3), (4), (5) biểu diễn cung AB nhỏ, ở đây A(1; -1); B(1; 1).

Từ (2) ta có:

2

2

u v

u v   m

 (u + v)2 + 2(u + v) - 2m - 2 = 0

 u + v = -1 + 2m 3

(u + v) = -1 - 2m  loại (vì không cắt cung 3 AB)

Từ đó nhận thấy (1) có nghiệm  đờng thẳng :

u + v = -1 + 2m  cắt cung 3 AB

tức là 0  -1 + 2m   23

 1  2m   33

 - 1  m  3

Vậy Max f x x R ( )

 = 3 và Min f x x R ( )

 = -1

1.7 Ví dụ 7: Tìm GTLN & GTNN của hàm số

f(x) =

4 1

2

x

trên đoạn [0; 2]

Lời giải:

Viết f(x) dới dạng: f(x) = x 2 2 2 x (1)

Xét phơng trình tham số: x 2 2 2 x = m (2)

Đặt x = u; 2 x = v Khi đó:

9

O

y

x

B

A

(2) 

2 2 (3)

2 (4) 0; 0 (5)







Xét hệ trục Ouv:

Thấy hệ (3), (4), (5) có nghiệm  đờng thẳng u2 2vm cắt cung phần t thứ nhất AB của đờng tròn tâm O báb kính 2

Đờng thẳng u2 2vm qua A( 2; 0) có dạng: u2 2v 2

Đờng thẳng u2 2vm là tiếp tuyến của cung AB có dạng: u2 2vOC, ở

đây



Từ đấy thấy ngay hệ (3), (4), (5) có nghiệm  đờng thẳng u2 2vm nằm giữa hai đờng thẳng nói trên  2 m3 2

= 3 và Min f x  0;2  ( ) 2

1.8 Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) =

x  px p  x  qx q (p, q là hai số cho trớc)

Lời giải

Xét p  q 0:

Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm A(x - p; p ) & B(x - q; q) Khi đó:

f(x) =

= OA + OB

Rõ ràng có: OA + OB  AB

u

v

O

A B

-Mà AB = (q q) ( p  q) không đổi với mọi vị trí của A và B.

Vậy ta luôn có f(x) 

(1) Dấu = xảy ra  A, O, B thẳng hàng

Ta có: OA(x p p; ); BO(q x q; )

mà A, O, B thẳng hàng 

x p

x





Do AB không đổi với mọi vị trí của A, B nên ta có:

q p p q

2 Xét p  q 0 ( p = q = 0)

Lúc này f(x) = 2|x|  Min f(x) = 0 (3)

Tóm lại, với mọi trờng hợp ta đều có:

x R

1.9 Ví dụ 9: Tìm GTLN & GTNN của hàm số:

f(x, y) = x - y Trên miền:

D =

0, 0

x y













Lời giải:

Miền xác định D cần lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f(x, y) đợc biểu diễn bởi miền gạch chéo sau:

11

y

Chú ý rằng:

Đồ thị hàm số x - y =  suy ra từ đồ thị hàm số x - y = 0 một lợng (- ) theo trục Oy

Gọi () là một giá trị tuỳ ý của f(x, y) trên D

Điều này có nghĩa là hệ sau ẩn (, x, y) có nghiệm:

0, 0

x y

x y

















Giải hệ ta có:

0, 0

x y







 Suy ra toạ độ điểm A( 5; 2 5 ).4

Đờng thẳng x - y =  qua A khi  = - 4 - 5

Đờng tròn (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 cắt trục hoành tại B(2; 0) & C(10; 0)

Đờng thẳng x - y =  qua B khi  = 2 Khi đó:

x

y

A

2 -2

4 3

6

x - y = - 4 - 5 & x - y = 2 là hai vị trí giới hạn mà đờng thẳng x - y =  cắt miền D

Từ đó suy ra: Max f x y  D ( , ) 2

, Min f x y   D ( , ) 4 5

1.10 Ví dụ 10: Cho a, b , c, h là bốn số dơng cho trớc; x, y, z là ba số thực thay đổi

sao cho ax + by + cz = k (1) ( k là số cố định cho trớc)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x, y, z) =

a h x b h y c h z với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1).

Lời giải:

Xét hệ trục Ouv: A(ah, ax); B((a + b)h; ax + by); C((a + b + c)h; ax + by + cz)

Ta có:

OA = a h2 x2 ; AB

=

b h y ; BC =

c h z

Vậy f(x, y, z) = OA + OB + OC (2) & OA + AB + BC là độ dài đờng gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O(0; 0) & C((a+b+c)h; k)

Ta có: OC =

k h a b c

Từ (2) suy ra: f(x, y, z)  OC =

k h a b c (3)

Dấu = trong (3) sảy ra  O, A, B, C thẳng hàng

13

ax + by

A

B O

u

ax + by + cz =

k

(a+b+c)h

ax

ah

(a+b)h

v

C

ax ax by ax by cz

ah ah bh ah bh ch

k

x y z

a b c

 

Nh vậy:

a b c a b c a b c

Từ (3) và (4) ta có: Minf(x, y, z) =

k  a b c h .

1.11 Ví dụ 11: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) là 2n số thực thoả mãn: 1 1

1

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

1

n

i i i







Lời giải:

Trong mặt phẳng xét hệ tọ độ Oxy:

Gọi Mk là điểm có toạ độ 1 1

;

, k= 1, 2, , n

Nh vậy điểm 1 1

;

sẽ nằm trên đờng thẳng x + y = 1 (vì giả thiết x+ y =1)

Dễ thấy:

1



(k = 1, 2, , n)

Từ đó suy ra:

A = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn-1Mn

Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ O đến đờng thẳng x + y = 1, thì OH =

2 2

y

x

O

H

Râ rµng: OM1 + M1M2 + + Mn-1Mn  OH, hay A 

2

2 (1) DÊu b»ng s¶y ra trong (1)  O, M1, M2, , Mn th¼ng hµng & Mn  H



0

n

y

tg

 x1 = x2 = = xn = y1 = y2 = = yn =

1

2n

VËy MinA =

2

2

15

Kết luận

Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và loại toán khá phức tạp trong chơng trình THPT Cách giải rất phong phú - đa dạng Mặt khác, phơng pháp toạ độ cũng là phơng pháp mới đối với học sinh - có phần trừu tợng Khi vận dụng phơng pháp toạ độ, học sinh cần nắm vững kiến thức toạ độ Có t duy lôgic -khéo léo Vận dụng đợc phơng pháp này sẽ giúp học sinh phát triển t duy - ý thức rèn luyện kiến thức và tạo sự say mê học tập, hứng thú trong học tập

Thông qua một vài ví dụ trên, nhằm giúp học sinh thấy đợc ý nghĩa và

ơng pháp vận dụng vào bài toán, giúp học sinh phần nào tự tin và ý thức hơn về

ph-ơng pháp (kiến thức) toạ độ, mà có những ví dụ với phph-ơng pháp sơ cấp đơn thuần không giải đợc hoặc phức tạp - Nhng đối với phơng pháp toạ độ thì lời giải lại đơn giản, ngắn gọn và dễ hiểu

Do điều kiện thời gian cũng nh tinh thần học hỏi, tôi cũng chỉ đa ra một số

ví dụ đơn giản trên, nhằm đạt đợc một số yêu cầu nào đó mà thôi Mong sự đóng góp chân tình của các bạn đồng nghiệp, nhằm hoàn thiện, thờng xuyên có t tởng cũng nh suy nghĩ đến phơng pháp này mà trớc kia ta ít nghĩ tới

6 Những thụng tin cần được bảo mật

7 Cỏc điều kiện cần thiết để ỏp dụng sỏng kiến

-Phương phỏp ỏp dụng đối với một số bài toỏn cực trị

-Áp dụng với những đối tượng học sinh giỏi, học sinh khỏ, bồi dưỡng học sinh giỏi

8 Đỏnh giỏ lợi ớch thu được do ỏp dụng sỏng kiến theo ý kiến tỏc giả

Giỏo viờn cú cỏch sử lý linh hoạt, cỏch nhỡn tinh tế hơn đối với một số bài toỏn cực trị.

Học sinh cú thờm một phương phỏp thật sự bổ ớch để sử lớ một số bài toỏn cực trị.

Từ đú cỏc em cú niềm đam mờ và yờu thớch mụn toỏn hơn

Lập Thạch, ngày 17 thỏng

02 năm 2020

Thủ trưởng đơn vị/

Chớnh quyền địa phương

(Ký tờn, đúng dấu)

, ngày thỏng năm

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

(Ký tờn, đúng dấu)

.Lập Thạch, ngày 06 thỏng

02 năm 2020

Tỏc giả sỏng kiến

(Ký, ghi rừ họ tờn)

Vương Thành Nam

17